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Prof. Jesús R. Ticona Parisaca 14/06/2022 
MATEMÁTICA IV – TRIGONOMETRÍA 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
R. T. de ángulos de en posición normal 
Objetivos 
• Determinar cuándo un ángulo se encuentra en posición normal. 
• Definir el radio vector 
• Definir las razones trigonométricas de ángulos en posición normal: seno, coseno, … 
Ángulo trigonométrico en posición normal (estándar o regular) 
Todo ángulo trigonométrico dibujado en el plano cartesiano con su vértice en el origen de coordenadas, con su 
lado inicial en el eje positivo de las abscisas y su lado final en alguno de los cuatro cuadrantes es llamado ángulo 
en posición normal. 
Observa el siguiente gráfico: 
 
 
Razones trigonométricas de ángulos de cualquier magnitud 
Los valores numéricos de las funciones trigonométricas de un ángulo cualquiera se pueden determinar de forma 
aproximada, dibujando el ángulo en una posición tal que su vértice esté en el origen de coordenadas y uno de sus 
lados coincida con el eje de abscisas positivas. 
Ubicación de un ángulo en el plano cartesiano 
Para ubicar el cuadrante al que pertenece un ángulo se toma como referencia la ubicación del lado final del ángulo. 
• Si 𝛼 es un ángulo positivo y menor a una vuelta. 
𝛼 ∈ 𝐼 𝐶, si 0° < 𝛼 < 90° 
𝛼 ∈ 𝐼𝐼 𝐶, si 90° < 𝛼 < 180° 
𝛼 ∈ 𝐼𝐼𝐼 𝐶, si 180° < 𝛼 < 270° 
𝛼 ∈ 𝐼𝑉 𝐶, si 270° < 𝛼 < 360° 
 
• Si 𝛽 es un ángulo negativo y menor a una vuelta. 
𝛽 ∈ 𝐼 𝐶, si −360° < 𝛼 < −270° 
𝛽 ∈ 𝐼𝐼 𝐶, si −270° < 𝛼 < −180° 
𝛽 ∈ 𝐼𝐼𝐼 𝐶, si −180° < 𝛼 < −90° 
𝛽 ∈ 𝐼𝑉 𝐶, si −90° < 𝛼 < 0° 
 
Posición de un punto en un plano cartesiano 
Un punto se determina en el plano cartesiano mediante dos valores (x; y) que son distintos a los ejes. Las distancias 
se conocen hoy con el nombre de coordenadas rectangulares. Las dos rectas perpendiculares entre sí reciben el 
nombre de ejes. Al eje horizontal se le conoce como eje “X”, al eje 
 
 vertical como eje “Y” y su punto de intersección como origen. Dichos ejes dividen al plano en cuatro cuadrantes. 
INSTITUCIÓN EDUCATIVA COLVER 
R.D. 0369-2017-DREP 
14 
MATEMÁTICA IV 
TRIGONOMETRÍA 
Con esfuerzo y disciplina lograremos el éxito…!!! 
4año 
 
 
 
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Prof. Jesús R. Ticona Parisaca 14/06/2022 
MATEMÁTICA IV – TRIGONOMETRÍA 
 
 
 
Observación. 
Los cuadrantes se enumeran siempre en el sentido antihorario. 
 
Radio vector. 
El radio vector se define como el segmento de recta que tiene por extremos al origen "O" y un punto "P" del plano 
cartesiano. 
 
 
2 2 2
2 2 , 0
r x y
r x y r
= +
 = + 
 
 
 
Ángulos que pertenecen a algún cuadrante. 
Ángulos que pertenecen a algún cuadrante 
 
Razones trigonométricas de un ángulo en posición normal 
Sea "𝜃" un ángulo trigonométrico en posición normal, (x; y) un punto de su lado final y "r" (r > 0) la longitud de 
su radio vector, entonces las razones trigonométricas de " 𝜃 "; se definen como sigue: 
 
 
cot
cos sec
tan csc
y x
sen
r y
x r
r x
y r
x y
 
 
 
= =
= =
= =
 
 
 
 
 
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MATEMÁTICA IV – TRIGONOMETRÍA 
Signos de las razones trigonométricas 
Los signos de las razones trigonométricas dependen del cuadrante en el que están ubicados los ángulos y no de su 
sentido de giro. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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MATEMÁTICA IV – TRIGONOMETRÍA 
Problemas de R. T. de cualquier ángulo 
01. De la figura, calcula el valor de M = 𝑐𝑠𝑐𝛼 
A) −
13
5
 
B) −
13
12
 
C) −
13
12
 
D) 
13
5
 
E) 
5
13
 
 
02. De la figura, calcula el valor de N = 𝑠𝑒𝑛𝛽 
A) 
5
3
 
B) −
3
5
 
C) −
4
5
 
D) 
4
 5
 
E) 
3
5
 
 
03. De la figura, calcula el valor de M = 𝑡𝑎𝑛𝛼 
A) 
5
3
 
B) 
3
4
 
C) 
4
3
 
D) 
4
 5
 
E) 
3
5
 
 
04. De la figura, calcula: 𝑐𝑠𝑐𝜃 − 𝑠𝑒𝑛𝛼 
A) 
13
5
 
B) 
3
5
 
C) 1 
D) 2 
E) 
16
5
 
 
05. Si: 𝑠𝑒𝑛𝜃 = 
√2
3
 ;𝜃 ∈ 𝐼𝐼𝐶, calcula: 
M = 2cot2𝜃 − √7𝑠𝑒𝑐𝜃 
A) 8 B) 10 C) 12 D)15 E) 20 
 
06. Si 𝑐𝑜𝑠𝜃 = 
2
3
 y 𝑡𝑎𝑛𝜃. 𝑐𝑜𝑠𝜃 < 0, calcula: 
M = 𝑠𝑒𝑛𝜃 𝑡𝑎𝑛𝜃 − 𝑐𝑠𝑐𝜃 𝑐𝑜𝑡𝜃 
A) 
11
30
 B) 
13
30
 C) −
13
30
 D)−
11
30
 E) 
5
30
 
 
07. Calcula el valor de 𝑡𝑎𝑛𝜃 
A) 
5
3
 
B) 
3
4
 
C) 
4
3
 
D) 
4
 5
 
E) 
3
5
 
 
08. De la figura, calcula: 𝑡𝑎𝑛𝛽 
A) 
7
3
 
B) 
4
3
 
C) −
4
3
 
D)−
7
3
 
E) −
3
7
 
09. De la figura, calcula: 𝑡𝑎𝑛𝜃 
A) −
4
7
 
B) 
4
7
 
C) −
4
3
 
D)−
7
3
 
E) −
3
7
 
010. De la figura, calcula: M = 3𝑡𝑎𝑛𝛼 + 1 
A) −3 
B) −2 
C) −1 
D) 1 
E) 2 
011. Del punto (3; −4) pertenece al lado final del 
ángulo 𝜃 en posición normal, calcula: 
M = 5𝑐𝑜𝑠𝜃 + 6𝑡𝑎𝑛𝜃 
 
A) −3 B) −4 C) −5 D)−10 E) −11 
 
 
 
 
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MATEMÁTICA IV – TRIGONOMETRÍA 
012. Del gráfico, calcula: 𝑃 = 𝑐𝑜𝑠𝛽 − 5𝑐𝑜𝑠𝛼 
A) 2 
B) −2 
C) 4 
D) 3 
E) −4 
 
013. De la figura, calcula: 2𝑐𝑜𝑡𝜃 − 1, si 𝐶𝐵 = 2𝐵𝐴 
A) 2 
B) −2 
C) −1 
D)−3 
E) 3 
 
 
014. De la figura, calcula: M = 
3𝑠𝑒𝑛𝜃
𝑠𝑒𝑛𝛽
−
2𝑡𝑎𝑛𝛽
𝑡𝑎𝑛𝜃
 
A) 2 
B) −2 
C) −1 
D) 0 
E) 1 
 
015. Si P(−3; 5) es un punto del lado final del ángulo 𝜃 
en posición normal, calcula: 
M = (√34 − 5)(𝑠𝑒𝑐𝜃 + 𝑡𝑎𝑛𝜃) 
A) −3 B) −4 C) 5 D) 
1
2
 E) −
3
2
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
998434050