FORMULARIO

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ESQUEMAS - FORMULARIOS
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RAZ. MATEMÁTICO
Razonamiento Lógico ........................ 8
Orden de información ....................... 9
Planteo de ecuaciones -
Edades ............................................ 10
Operaciones matemáticas ............... 11
Sucesiones ................................... 12
Series ........................................... 13
Ecuaciones diofánticas ...................... 14
Análisis combinatorio ...................... 15
Máximos y Mínimos ......................... 16
ARITMÉTICA
Razón - Proporción - Promedios .......... 17
Magnitudes proporcionales .............. 18
Teoría de Conjuntos - Operaciones
entre conjuntos ............................. 19
Numeración ................................... 20
Adición y Sustracción ...................... 22
Multiplicación y División - Teoría
de la Divisibilidad ............................ 23
Criterios de la divisibilidad ............... 24
Números Primos ............................. 25
MCD y MCM .................................. 26
Números racionales Q - Tanto
por ciento ..................................... 27
Interés Simple - Mezclas .................. 28
ÁLGEBRA
Ecuaciones lineales ........................ 29
Principales productos notables ......... 30
Ecuación cuadrática ....................... 31
Polinomios - Teoría de exponentes .... 32
Sistema de Ecuaciones .................... 33
División de Polinomios - Factorización ... 34
Teoría de Ecuaciones ........................ 35
Inecuaciones I ............................... 36
Inecuaciones II ............................. 37
Valor absoluto - Relaciones y funciones ... 38
Binomio de Newton ........................ 39
Logaritmos .................................... 40
Números complejos ........................ 41
ÍNDICE GENERAL
GEOMETRÍA
Triángulos ..................................... 42
Congruencia de triángulos ............... 43
Cuadriláteros ................................ 44
Circunferencia ............................... 46
Proporcionalidad y semejanza
de triángulos ................................ 48
Relaciones métricas ........................ 49
Áreas triángulares ......................... 50
Áreas cuadrangulares -
Área circular .............................. 51
Geometría del espacio y poliedros
regulares ..................................... 52
Prismas y Cilindro - Pirámide - Cono ..... 53
Esfera y teorema de Pappus Guldin -
Polígonos y Poliedros regulares ........ 54
TRIGONOMETRÍA
Sistemas angulares - Sector circular ..... 55
Razones trigonométricas de
ángulos agudos ............................. 57
Resolución de triángulos rectángulos ... 58
Geometría analítica ........................ 59
Ecuación de la recta ....................... 60
Razones trigonométricas de un
ángulo en posición normal ............... 61
Reducción al primer cuadrante ......... 62
Circunferencia trigonométrica .......... 63
Identidades trigonométricas ............ 64
Identidades de ángulos compuestos ..... 65
Ángulos dobles y ángulos mitad I ..... 66
Ángulos mitad II y ángulo triple -
Triángulos rectángulos notables ....... 67
Transformaciones trigonométricas ..... 68
Funciones trigonométricas inversas .... 69
Ecuaciones trigonométricas ............. 70
Resolución de triángulos ................. 71
FÍSICA
Cinemática MRU - MRUV.................. 72
Caída libre - Movimiento
en dos dimensiones ....................... 74
Movimiento circular - Fuerza
Estática ........................................ 75
Dinámica - Rozamiento.................... 76
Trabajo - Potencia mecánica
Energía Mecánica ........................... 77
Hidrostática - Electrostática ............ 78
Electrodinámica .............................. 79
Electromagnetismo - Física
moderna ....................................... 80
Movimiento armónico simple ............. 81
QUÍMICA
Átomo .......................................... 82
Características generales de los
números cuánticos ......................... 83
Configuración electrónica ................ 84
Tabla Periódica Actual ..................... 85
Propiedades periódicas atómicas ...... 86
Enlace químico ............................... 87
Unidades químicas de masa ............. 88
Estado gaseoso ............................. 89
Soluciones .................................... 90
Estequiometría .............................. 91
Cinética - Equilibrio - Ácidos y Bases ..... 92
Electroquímica ................................ 93
Química Orgánica ........................... 94
Cíclicos y aromáticos ...................... 95
Hidrocarburos ............................... 96
Alquenos u olefinas - Alquinos
o acetilénicos ................................ 97
Alquenino - Oxigenados
y nitrogenados .............................. 98
Metalurgia y petróleo ..................... 99
Contaminación ambiental ................ 100
SAN MARCOS 8
ESQUEMA - FORMULARIO
Raz. Matemático
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9 SAN MARCOS
ESQUEMA - FORMULARIO
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Raz. Matemático
SAN MARCOS 10
ESQUEMA - FORMULARIO
• A excede a B en 10 unidades
• El doble, de un número disminuido
 en 3 unidades.
• El doble de un número, disminuido
 em 3 unidades.
• A es por dos veces B
• A es dos veces más que B
A B 10– =
Lenguaje Literal
(Enunciado) Traducción
Lenguaje Matemático
(Ecuaciones)
2(x 3)
2x 3
–
–
A 2B
A B 2B
A 3 B
=
= +
=
Con dos o más sujetos
Daniella
Melanie
Pas Pre Fut
a d e
c b f
• La diferencia de sus edades es siempre la misma.
 a c d d e f
• La suma en aspa da el mismo resultado:
 a b c d
 d f b e
 a f c e 
– –= = –
+ = +
+ = +
+ = +
ImportanteCaso 1:
Año nacimiento edad año en curso
• Si la persona ya cumplió años en el año en curso.
+ =
Caso 2:
Nota:
Año nacimiento edad = año en curso 1
• Si la persona todavíano cumple años en el año en curso.
Si el problema no dice si ya cumplió o todavía, se trabaja con el caso 1.
+ –
Raz. Matemático
11 SAN MARCOS
ESQUEMA - FORMULARIO
+
X
Materia prima
Botones
Producto terminado
Proceso de producción
Operación matemática
Máquina
Adición
Sustracción
División
Números Resultado
Operadores
a b 3a 5b 4* = + + 
Definición
..........................................
a b 3(b a ) a* = * + 
2 2
Si x x 1= +
5 =m
Se resuelve de 
............... hacia ..............
Se resuelve de 
............... hacia ..............
m =5
Definición
..........................................
Explícita
Implícita
adentro afuera
afuera adentro
Raz. Matemático
SAN MARCOS 12
ESQUEMA - FORMULARIO
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Raz. Matemático
13 SAN MARCOS
ESQUEMA - FORMULARIO
Raz. Matemático
SAN MARCOS 14
ESQUEMA - FORMULARIO
ECUACIONES DIOFÁNTICAS
MULTIPLICIDAD
1. Si N es múltiplo de n
Si N = N nk; kn   


n

: se lee múltiplo de n
Ejemplo:
Si N= 5

N =5k= {... -15, -10, -5, 0, 5, 10, 15,....)
Si N = 8

N= 8k = {... -24, -16, -8, 0, 8, 16 , 24 ...}
2. Si N no es múltiplo de n
d eN n r ó N n r   
 
donde: d er r n 
dr : residuo por defecto
er : residuo por exceso
Ejemplo:
20 no es múltiplo de 6 (20 6 )

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2 
20 6 
24 4 
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20 6 2 20 6 4     
 
Donde: 2 + 4 =6
Aplicación:
Si N 9 3 N 9 6    
 
Si N 12 1 N 12 11    
 
PRINCIPIO DE MULTIPLICIDAD
1.
o o o o on + n + n +...+ n = n
Ejemplo:
• 8 8 8 8  
   
• 15 15 15 15 15   
    
2. o o on+n = n
Ejemplo:
• 7 7 7 
  
• 14 14 14 
  
3.
o
k n= n;k Z∈
Ejemplo:
• 2 7 7
 
  
 
 
• 0 10 10
 
  
 
 
PRINCIPIO DE ARQUÍMEDES
Sea A x B = 
o
n
 
o o
Si A n B = n
 
o o
Si B n A = n
Ejemplo:
4x 5

4 5 x 5  
 
Raz. Matemático
15 SAN MARCOS
ESQUEMA - FORMULARIO
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Raz. Matemático
SAN MARCOS 16
ESQUEMA - FORMULARIO
Problemas sobre certeza
Casos 
desfavorables
:Número de
extraciones
Casos
favorables
+
Lo que no
quiero que
salga
Lo que 
pide el
problema
MÁXIMOS Y MÍNIMOS
Otras situaciones
• Si: a + b = K
 (a.b) = .máx
K
2
K
2
• Si: a × b = K
 (a+b) = mín K K+
• Si: a > 0
a + > 2 1a
x > 0 2
• Si: × = IR
Expresiones algebraicas
de 2do grado
E(x) = Ax + Bx + C2
A > 0 EMÍN
A > 0 EMÁX
 X = 2A
Raz. Matemático
17 SAN MARCOS
ESQUEMA - FORMULARIO
Aritmética
SAN MARCOS 18
ESQUEMA - FORMULARIO
 Propiedades
• A IP B A DP
• A DP B (C cte)
 A IP C (B cte)
1
B
A x C
B
= cte
A IP B
a1
b1
a2
b2
= k
Valor “B”
Valor “A”
Hipérbola
Equilátera
Gráfica:
a1
a2
b1 b2
a1 a2b1 b2= k= . .
MAGNITUDES
PROPORCIONALES
(Valor de A) (Valor de B)=Cte
A DP B
Valor de A
Valor de B
= Cte
Valor “B”
Valor “A”
Línea
Recta
Gráfica:
b2b1
a1
a2
Valor
de A
Constante
Valor
de B
f(x) = K x
A DP B
Valor
de B
Valor
de A
Constante
f(x) = x
k
A IP B
IPDP
= 
• A DP B A IP 1B
Aritmética
19 SAN MARCOS
ESQUEMA - FORMULARIO
 1 2 3 n
elementos
A a ;a ;a ;.......;a  
i j
donde :
a a
i, j 


• Cardinal = n(A) = n
• N° subconjuntos = 2n(A) = 2n
• N° subconjuntos propios = 2n(A) – 1 = 2n – 1
OPERACIONES ENTRE
CONJUNTOS
No AA o B
B A
A B
A B
Unión (U): Complemento ( (A)):
Solo ADiferencia (–):
A y BIntersección ( ):
A B
Sólo A o sólo B
Diferencia
Simétrica (A):
A
Aritmética
SAN MARCOS 20
ESQUEMA - FORMULARIO
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4.
ab
cd
e
 
 a
n
 
 b
n
 
 c
n
 
 d
n 
 e
(n
)
=
+
+
+
+
4
3
2
2 
 
 4
 
 
 3
 
 
10
 
 7
0
2 
 
14
 
 7
3 
 
 B
as
e 
10

5
+
+
Si
:
+ ab
c (
n)
_ =
– xy
(m
) 
+
Co
m
o 
 
ab
c 
 >
 x
y

 n
 <
 m
Ba
se
 n
Ba
se
 1
0 
 
 
 
 B
as
e 
m
 
 
 
 
 
1 
 
 
 
 
 
 
 
 
2
 
D
es
co
m
po
si
ci
ón
 
 
 D
iv
is
io
ne
s
 
 
 P
ol
in
óm
ic
a 
 
 
 
 S
uc
es
iv
as
 
 
 
 
24
3 
 
 7
 
33
 
34
 
 7
 
 5
 
 6
 
 4
ab
ab
 
 a
b.
10
0 
 a
b
=
+ 2
n
n
n
ab
ab
ab
n
ab

=
+
3
n
n
n
ab
ca
bc
ab
c
n
ab
c

=
+




Aritmética
21 SAN MARCOS
ESQUEMA - FORMULARIO
Números capicúas
1a
 1b
 1c = a + b + c + d + e + x
 1d
 1e
 x
NUMERALES DE CIFRAS MÁXIMAS
n
BASES SUCESIVAS
k
k cifras
(n – 1)(n – 1)(n – 1)... (n – 1) n – 1 =
121; 3553; 27372; abccba
Aritmética
SAN MARCOS 22
ESQUEMA - FORMULARIO
I. ADICIÓN
a + b + c +...+ z = S
Sumandos Suma
total
Progresión aritmética
Sea: 
 an = a1 + (n – 1)r
n 1a – an 1
r
   ;
n: Número de términos
n 1
n
a a
S n
2
 
   
 
;
Sn: Suma de términos
Sumas notables
•
n(n 1)1 2 3 ... n
2

++ + + +
• 2 + 4 + 6 + ... + 2n = n(n + 1)
• 1 + 3 + 5 + ... + (2n – 1) = n2
• 12 + 22 + 32 + ... + n2 =
n(n 1)(2n 1)
6
+ +
• 13 + 23 + 33 + ... + n3 =
2n(n 1)
2
 
 
 
+
• a0 + a1 + a2 + a3 + ... + an–1 =
na – 1
a – 1
II. SUSTRACCIÓN
M – S = D
Propiedades:
• 2M = M + S + D
• (n) (n)ab – ba = (n)xy
x y n – 1 =+
donde n 3 y a b 
• (n) (n)abc – cba = (n)xyz
x z n – 1 =+
 y = n – 1
donde: n 3; a c 
• abcd – dcba xyzw=
donde: a > d
 x + y + z + w = 18 ó 27
Complemento Aritmético
• (b) (b)
bk 1 cifras
CA(N ) 100...00 – N

=
Si N tiene k cifras
• (n)CA(abcd ) =
n(n – 1 – a)(n – 1 – b)(n – 1 – c)(n – d)
Aritmética
23 SAN MARCOS
ESQUEMA - FORMULARIO*
o
A B B(k)= =
Se dice:
- A es múltiplo de B
- A es divisible entre B
- A dividido entre B da residuo cero
*
o o o
n n n+ =
*
o o o
n – n n=
*
o o o o
n(k) n k nk
 
  
 
= = =
*
o o
k(n) n=
* o o o o(n a)(n b)(n c) n a.b.c+ + + +=
*
o o
k k(n r) n r+ +=
*
o o
k k(n – r) n r+= , k: par
*
o o
k k(n – r) n– r= , k: impar
*
o
Oo
o
N a
N b N MCM(a,b,c)
N c
=
= =
=








*
o
Oo
o
N a r
N b r N MCM(a,b,c) r
N c r








+
+ +
+
=
= =
=
Aritmética
SAN MARCOS 24
ESQUEMA - FORMULARIO
• Por 2
o o o
abcde 2 e. Si e 2 abcde 2= = =+
• Por 4
o o o
abcde 4 de. Si de 4 abcde 4= = =+
• Por 8
o o o
abcde 8 cde. Si cde 8 abcde 8= = =+
• Por 5
o o o
abcde 5 e. Si e 5 abcde 5= = =+
• Por 25
o o o
abcde 25 de. Si de 25 abcde 25= = =+
• Por 125
o o o
abcde 125 cde. Si cde 125 abcde 125 = = =
• Por 3
o o o
E
abcde 3 a b c d e. Si E 3 abcde 3= = =+ + + + +
• Por 9
o o o
E
abcde 9 a b c d e. Si E 9 abcde 9= = =+ + + + +
• Por 11 abcde
+-+-+
o o o
E
11 e – d c – b a. Si E 11 abcde 11= = =+ + +
• Por 13
ab cd e f gh 
3143 1431
- + - +
o o o
E
13– 3a b 4c 3d – e – 4f – 3g h. Si E 13 abcdefgh 13= = =+ + + +
• Por 7
ab cd e f gh 
3123 1231
+ - +
o o o
E
7 3a b – 2c – 3d – e 2f 3g h. Si E 7 abcdefgh 7= = =+ + + + +
Aritmética
25 SAN MARCOS
ESQUEMA - FORMULARIO
• Por 33 a bcd e
o o o
E
33 a bc de. Si E 33 abcde 33= = =+ + +
• Por 99 a bcd e
o o o
E
99 a bc de. Si E 99 abcde 99= = =+ + +
• P or n 1
en 
base n

o o o
(n) (n)
E
abcde (n 1) a b c d e. Si E=(n – 1) abcde (n – 1)        =
• P or n 1
en 
base n
 a b cd e
+ - + -+(n)
o o o
(n)
E
(n 1) e – d c – b a. Si E=(n 1) abcde (n 1)+ + + + + += =
• Dada la descomposición canonica del número N:
31 2 k
1 2 3 kN p p p ...p ...D.C.
  =
• Su cantidad de divisores se calcula como:
N 1 2 3 kCD ( 1)( 1)( 1)...( 1)   = + + + +
Además:
N SIMPLES COMPUESTOSCD CD CD = +
• La suma de divisores se calcula como:
1 2 k1 1 1
1 2 k
(N)
1 2 k
p – 1 p – 1 p –1
SD ...
p – 1 p – 1 p –1
  
  =
+ + +
Aritmética
SAN MARCOS 26
ESQUEMA - FORMULARIO
• La suma de inversas de divisores se calcula como:
(N)
(N)
SD
SID
N
=
• El producto de los divisores se calcula como:
(N)CD
(N)PD N=
• El esquema del algoritmo de Euclides:
A B
Cocientes
Residuos
K MCD (A;B)
O
• Conociendo el MCD de dos números podemos concluir que:
(A;B)
(A;B)
A p x k
; donde: p y q son PESI
B q x kMCD k 
MCM k x p x q
 




=
==
=
• Siempre se cumple que:
MCD(A;B) MCM(A;B) A B =
•
n A n B n kMCM ;
m m m
   
 
 
= •
n A n B n kMCD ;
m m m
   
 
 
=
Aritmética
27 SAN MARCOS
ESQUEMA - FORMULARIO
Clases de fracciones
• Propia • Común y ordinaria
• Impropia • Decimal
• Reductible • Homogénea
• Irreductible • Heterogénea
Número fraccionario
Z = {... –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, ...} Fracción
Números enteros Z
Operaciones
con tanto
por ciento
Adición
Sustracción
Aumentos y descuentos
sucesivos
Aumento
 único
 
a ba b %
100
 
 
 
= + +
Descuento
 único
 
a ba b – %
100
 
 
 
= +
Aplicaciones
comerciales
Variación
porcentual
Pventa = Pcosto + ganancia
Pventa = Pfijado – descuento
Pventa = Pcosto – pérdida
Pfijado = Pcosto + incremento
 Variación
porcentual
Aumento ó
disminución
100%
Cantidad 
 inicial
 
 
  
 
 
 
=
Aritmética
SAN MARCOS 28
ESQUEMA - FORMULARIO
M C I= +
r% y t en las mismas unidades
I C r% t
M = C (1 + r% t)
=
INTERÉS SIMPLE
medio
Costo total
 P = 
Peso total
 Grado
alcohólico
 
Alcohol 100%
Total
=
aparente aparenteG = P venta costoP = P + Ganancia
 
x L
a%
y L
b%
z L
c%
(x+y+z) L
d%
+ + =
a%(x) + b%(y) + c%(z) = d%(x+y+z)
Aritmética
29 SAN MARCOS
ESQUEMA - FORMULARIO
Álgebra
SAN MARCOS 30
ESQUEMA - FORMULARIO
(a
 
 b
)
 =
 a
2a
b 
 b
+
±
±
2
2
 
 
2
(a
 
 b
)
(a
 
b)
 
 2
(a
b
)
(a
 
 b
)
(a
 
 b
)
 
 4
ab
+
+
 
– 
=
+
 
+
– 
–
=
2 
2
2 
2
2 
2
(a
 
 b
)(
a 
 b
) 
 a
 b
+
–
=
–
2
 
2
(a
 
b)
(a
ab
 
b
) 
 a
b
(a
 
b)
(a
ab
 
b
) 
 a
 
b
+
 
– 
+
 
=
+
 
– 
+
 
+
 
=
– 
2
 
2
3 
3
2
 
2
3
3
(a
 
b)
 
 a
b
3a
b(
a 
b)
(a
 
b)
 
 a
3a
b 
3a
b
b
±
 
=
±
 
±
 
±
 
±
 
=
±
 
+
 
±
 
3
3 
3
 
3
3 
2
2 
3
(x
 
a)
(x
 
b)
 
x
(a
 
b)
x
ab
+
 
+
 
=
 
+
+
 
+
2
(a
 
b 
 c
)
 
 a
 b
 c
 2
(a
b 
 a
c 
 b
c)
+
 
+
=
+
+
+
+
+
2
2
 
2
 
2
 
Si
: 
a 
 b
 
 c
 
 0
. S
e 
ve
rif
ic
a 
qu
e:
 
a
 b
 
c
 
 3
ab
c
 
a
 
 b
 
 c
 
 
2(
ab
 
 a
c 
 b
c)
+
+
=
+
+
 
=
+
+
=
–
+
+
3
 
3
3
2
2
2
• • (x
x
y
y
)(
x
x
y
y
) 
 x
x
y
y
2
n
n
m
2
m
2n
n
m
2
m
4n
2
n
2
m
4
m
+
+
–
+
=
+
+
(x
xy
 
y
)(
x
xy
 
y
) 
x
x
y
y
2 
2
2 
2
4
 
2
2 
4
+
 
+
 
– 
+
 
=
 
+
 
+
 
(a
 
b 
c)
 
 a
b
c
3(
a 
b)
(a
 
c)
(b
 
c)
+
 
+
 
=
+
 
+
 
+
 
+
 
+
 
+
 
3
3
 
3
 
3
 
a
b
c
3a
bc
 
 (
a
b
c)
[a
b
c
(a
b
bc
ca
)]
3
3
3
2
2
2
+
+
–
=
+
+
+
+
–
+
+A
RG
AN
’D
G
AU
SS
P
R
IN
C
IP
A
LE
S 
P
R
O
D
U
C
T
O
S 
N
O
T
A
B
LE
S
6 7 8 9 10
54321
Álgebra
31 SAN MARCOS
ESQUEMA - FORMULARIO
Análisis de las raíces
 Si: D 0
 Si: D 0
 Si: D 0
>
=
<
•
•
•
ECUACIÓN CUADRÁTICA
Forma
Fórmula
ax bx c 0 ; a 0
x 
 b b 4ac
 2a
2
2
 + + =
=
– –
2 raíces IR
diferentes x1 x2
2 raíces IR
iguales x =x1 2
2 raíces IC
conjugadas
Recordar:
(x x ) (x x ) 4x .x1 2
2
1 2
2
1 2+ – – = 
suma:0
b 0=x; x–
producto:1
a c=x;1/x
c 0= b 0 ; c 0= =
a b c
m n p
= =
Discriminante
 D = b – 4ac2
x x b
 a1 2
+ =–
x x c
 a
1 2. =
x x ??
 
1 2– =
Propiedades de las raíces
Si: ax + bx + c = 0
 
(opuestas) (inversas)
 
x – Sx + P = 0
Si: ax + bx + c = 0
mx + nx + p = 0
2
2
2
2
Raíces simétricas Raíces recíprocas
Una raíz nula Dos raíces nulas
Reconstrucción de una ecuación cuadrática
Ecuaciones equivalentes: (Raíces iguales)
Álgebra
SAN MARCOS 32
ESQUEMA - FORMULARIO
 Recordar las definiciones Recordar los teoremas
na a.a.a...a ;
"n factores de a"
= n
0a 1 ; a 0=
n
–n
n
1 1a ; a 0
aa
   
 
= =
mn nm/n ma a a= =
m–n
mm n m n
n
aa .a a ; a
a
= =+
   m n m.n n n nn ma a a ; (a.b) a b= = =
n n n n n
n
a a ; a.b a. b
b b
 
 
 
= =
n n m nmn
n
a a ; a a
b b
= =
nk nmk ma a=
Monomio
Definición
Términos Semejantes
Grado Relativo
Grado Absoluto
Definición
Grado Absoluto
Grado Relativo
Clasificación
Polinomio
Ordenado
Completo
Homogéneo
Idénticos
Idénticamente nulo
Racional EnteraEXPRESIÓN ALGEBRAICA
Álgebra
33 SAN MARCOS
ESQUEMA - FORMULARIO
tienen solución
no tienen
solución
soluciones finitas
a b c
a b c
1 1 1
2 2 2
= =
a b c
a b c
1 1 1
2 2 2
=
a b
a b
1 1
2 2

x
y
E1E2
x
y E1
E2
x
y E1 E2
(x ;y )0 0
E E1 2 // 
E E1 2 
Ecuación Compatible
 Indeterminada
Ecuación Incompatible
Determinada
 E : a x b y c
 E : a x b y c
1 1 1 1
2 2 2 2
+ =
+ =
Por su Solución
SISTEMA DE ECUACIONES
Álgebra
SAN MARCOS 34
ESQUEMA - FORMULARIO
Criterios de factorización
FACTORIZACIÓN
Criterio del 
factor
 común y/o 
agrupación
Criterio 
de 
las
 identidades
Criterio 
del 
aspa
simple
Criterio 
del 
aspa 
doble
Criterio 
de los 
divisores 
binomios
Criterio 
del aspa 
doble
especial
Álgebra
35 SAN MARCOS
ESQUEMA - FORMULARIO
* Si r es una raíz de P(x) = 0, entonces P(r) = 0.
* n n–1 n–2(x) n n–1 n–2 0P a x a x a x ... a= + + + + =0; na 0 , también se puede escribir
n 1 2 3 na (x – r )(x – r )(x – r )...(x – r ) 0=
donde 1 2 3 nr ,r ,r ,...,r raíces de la ecuación.
* Si: m n p1 2 3P(x) (x – r ) (x – r ) (x – r ) 0= =
Entonces:
r1 es una raíz de multiplicidadm
r2 es una raíz de multiplicidad n
r3 es una raíz de multiplicidad p
* Teorema de Cardano - Viette
n–1
1 2 3 n
n
a
r r r ... r –
a
=+ + + + "Suma de raíces"
n–2
1 2 1 3 n–1 n
n
a
r .r r .r ... r .r
a
+ + + = "Suma de productos Binarios"
  
n 0
1 2 3 n
n
a
r .r .r .....r (–1)
a
= "Producto de raíces"
* Si los coeficientes de la ecuación son racionales entonces si una raíz es a b+ ,
la otra es a – b .
* Si los coeficientes de la ecuación son reales, entonces si una raíz es i + ,
entonces la otra es – i  .
* n n–1 n–2(x) n n–1 n–2 0P a x a x a x ... a 0= =+ + + + por cada cambio de signo es una
raíz positiva.
* n n–1(–x) n n–1 0P a (–x) a (–x) ... a 0= =+ + + por cada cambio de signo es una raíz
negativa, o, menos en una cantidad par.
Álgebra
SAN MARCOS 36
ESQUEMA - FORMULARIO
Definiciones:
1.
2.
3.
4. < < < <
5. < >
Sea: { a ; b ; c } IR
“a” es no positivo a 0
“a” es no negativo a 0
a b a < b a = b
a b c a b b c
a b b a


TEOREMAS FUNDAMENTALES
T1:
T2: > >
T3: >
T4: >
T5: < >
a 0 ; a IR , n Z+
a b a ± m b ± m
a b m > 0 am > bm 
 a/m > b/m
a b m < 0 am < bm
 a/m < b/m
a b 1/a 1/b
( a y b tienen el mismo signo)
2n 



Importante:
 + + > >
Sea:
ax bx c 0 ; a 0
 x IR
2
 b – 4ac2
Álgebra
37 SAN MARCOS
ESQUEMA - FORMULARIO
Inecuación....
 Polinomial
 De primer grado
 De segundo grado
 De grado superior
 Fraccionaria
 Irracional
 Exponencial
 Logarítmica
 Trigonométrica
C
B
A
ax b 0+
ax bx c 02+ +
a 0
grado mayor
o igual a 3
P(x) 0Q(x)
n P(x) 0
log x 4 22 – <
b
 
 bP(x) Q(x)
Sen x Cosx 0,52 + >
>
<
>
<
>
<
>
<
>
<
Se aplica el criterio de los 
puntos críticos.
Importante:
Si: P(x) Q(x) 0
Q(x) Si: b 1 b
x by x y
Si: 0 b 1 bx by x y
 > > >
 < < < >
S1: Si:
 
 P(x) P(x) 0
S2: Elevamos a un exponente igual
 al indice y resolvemos.
Luego el C.S. es: S1 S2
2n
A
B
C
Álgebra
SAN MARCOS 38
ESQUEMA - FORMULARIO
corte en "y"
corte en "x"GRÁFICA DE
UNA FUNCIÓN
Intersección con los
ejes coordenados.
Extensión de la Función
x=0
y=0
Dominio y Rango
discusión
de la curva
Funciones
Dos pares ordenados no
pueden tener el mismo
primer elemento.
Si: (a;b) (a;c) f
 b c
DOMINIO Domf={x A/ y B (x;y) f}    
RANGO Ranf={y B/ x A (x;y) f}    
Álgebra
Definición
a; si : a 0
a
–a; si : a 0



= • |a|  0
• |a| = |–a|
• |ab| = |a||b|
• a a ; b 0b b
=
Ecuaciones con
valor absoluto
|x| = 0 x = 0;
x a a 0 x a x –a   = = =
|x| = |a| x = a x = –a |x|  a (a  0)  –a  x  a
|x|  a x  a x  –a
|x|  |y| (x + y)(x – y)  0
Inecuaciones con
valor absoluto
• a2 = |a|2
• 2a a=
• |a + b|  |a| + |b|
 a;b 
Propiedades
39 SAN MARCOS
ESQUEMA - FORMULARIO
BINOMIO DE NEWTON
En el desarrollo de:
N° de términos n 1= +
(x a)+ n
En el desarrollo de:
Coeficientes se obtendrá
si: x a 1
(x a)+ n
= =
En el desarrollo de:
(x+a)n
de izquierda a derecha:
T =c x ak+1
n
k
n–k k
En el desarrollo de: (x+a)n
(x a)+ n = c x an n–k k
k=0
n x; a 0
n Z
c c c ... c 2+ + + + = nn n n n 0 1 2 n
n 1
 2
+
n 1
 2
+ + 1
Si “n” par
Si “n” impar
T T 1c = +n
2
1er Tc =
=2do Tc
(p+q)n(n+1)
 2
En el desarrollo de:
 (x a )p q n+
T =c x ak+1 n k n–kk
“K 1” el lugar+
x
y = x
y
F(x) x
Dom(F) [0;
Ran(F) [0;
=
=
=
x
y=x2
y
x
y=x3y
F(x) x (n par)
Dom(F) 
Ran(F) [0;
= n =
=
=
 IR
F(x) x (n impar)
Dom(F) 
Ran(F) 
= n =
=
=
IR
IR
1. Función constante 2. Función lineal
4. Función raíz cuadrada 5. Función potencia elemental
Funciones especiales
x
y = |x|
y
F(x) |x|=
Dom(F) 
Ran(F) [0;
=
=
IR
3. Función valor absoluto
pendiente
Álgebra
SAN MARCOS 40
ESQUEMA - FORMULARIO
1. Definición
x
a log b x a b = =
2. Antilogaritmo
a a log b x b antilog x = =
3. Consecuencias
(a,b , a 1) 
a log 1 0 = ; a log a 1 = ;
alog b a b = ;
a a log b log c b c = =
4. Propiedades
a a alog (xy) log x + log y = ;
a a a
b log log b – log c 
c
 
 
 
= ;
a a a
1 colog b log – log b 
b
 
 
 
= = ;
c
a a log b = c log b ;
n
m
aa
m log b log b 
n
= ;
c
a
c
log b
 log b 
log a
= ;
a b a log b . log c log c =
5. Ecuación exponencial
x
aa b x log b = =
6. Ecuación logaritmica
a a log f(x) log g(x) f(x) g(x) = =
7. Inecuación exponencial
7.1.
x
c cx
x
c c
log a log b,si: c>1
a b
log a log b,si: 0<c<1
   

7.2.
x
c cx
x
c c
log a log b,si: c>1
a b
log a log b,si: 0<c<1
   

8. Inecuación logaritmica
a a
Si a>1; f(x)>g(x)>0
log f(x) log g(x)
Si 0<a<1; 0<f(x)<g(x)

 

Álgebra
41 SAN MARCOS
ESQUEMA - FORMULARIO
NÚMEROS COMPLEJOS C
NÚMEROS REALES IR
NÚMEROS IMAGINARIOS II
formado por
z a bi= +
Eje real
Eje imaginario
Tenemos:
z = a bi+
|z|
DEFINICIONES
Dado el complejo: z a bi
Complejo conjugado: a bi
Complejo opuesto: z* a bi
= +
=
= –
z –
–
b
a
i = i
i = 1
i = i
i = 1
i = i
i = 1
1 
2 
3 
4 
5 
6 
–
–
–
POTENCIAS DE “i”
i i i N = 4k+r = rRepresentación gráfica
Módulo de “z”
Argumento de “z”
|z|cos
|z|sen
Forma Trigonométrica de “z”: z iS )+|z|(Cos en=
z |z|cis=
Resultado importantesTeoremas
T1: |z| | | |z*|
T2: |z| z.
T3: 
= =
=
z
z2
(Cos + iSen ) Cos(n ) + iSen(n ) n =
de De Moivre
(1 i) = 2i2
(1 i) = –4+ 4
1 i
1 i
+
–
= i
|z| = a + b22
i 1= –
Álgebra
SAN MARCOS 42
ESQUEMA - FORMULARIO
1.
2.
3.
5.
4.
Geometría
43 SAN MARCOS
ESQUEMA - FORMULARIO
Mediana relativa a la hipotenusa
Si BM es la mediana relativa a la
hipotenusa  BM = AM = MC
T. de la Bisectriz T. de la Mediatriz
T. de los Puntos Medios
Geometría
SAN MARCOS 44
ESQUEMA - FORMULARIO
1. ABCD es un paralelogramo
 
2. Si ABCD es un paralelogramo
3. Si ABCD es un paralelogramo
 
4. Si ABCD es un paralelogramo
 
5. Si ABCD es un cuadrado
6. Si ABCD es un cuadrado
Geometría
45 SAN MARCOS
ESQUEMA - FORMULARIO
Geometría
SAN MARCOS 46
ESQUEMA - FORMULARIO
Geometría
47 SAN MARCOS
ESQUEMA - FORMULARIO
Geometría
SAN MARCOS 48
ESQUEMA - FORMULARIO
a
b
x
y
=
(1)
(2)
(3)
(4)
a
b
x
y
=
x = ab2
x =
ab
a + b
a
b
x
a
b
x
En todo trapecio 
(M y N puntos de tangencia)
2 1 1
x a b
= +
(5)
a b
yx
A
N
C
M
B
D
x
b
a
yx
a
b
(6)
z p
x
n
m
y
m.n.p = x.y.z
(7)
a
x b
y
cz
x.y.z = a.b.c
Geometría
49 SAN MARCOS
ESQUEMA - FORMULARIO
(1)
a2 = c.m h2 = m.n
a.b= c.h a2 + b2 = c2
b2 = c.n
(2)
1 1 1
x R r
 
(3)
 
2x a b 
 
a b m n  
 a b m n  
(4)
x 2 R r
3 3 32 2 2a b c 
3h abc
Geometría
SAN MARCOS 50
ESQUEMA - FORMULARIO

ABCA mn 

ABCA p.r 
a b cp
2
 

ABC
abcA
4R


S ab
T mn


ABCAS
4


A
B
C
S
Geometría
51 SAN MARCOS
ESQUEMA - FORMULARIO
• Círculo: • Sector Circular
 

2
2
S R
dS
4


 

2RS
360
• Corona Circular
 




Geometría
SAN MARCOS 52
ESQUEMA - FORMULARIO
Teorema de Euler
 C V A 2   
Donde:
C: N.° caras
V: N.° vértices
A: N.° aristas
Ángulo diedro
Notación:
diedro AB (d–AB)
Elementos:
* Arista: AB *Caras: P y Q
*  Plano: MON
 m(diedro AB) = m MON = 
Diedro recto o
planos
perpendiculares
P Q
Si: MN AB MN P
MN Q

   


 


Tetraedro regular
C = 4; V = 4; A = 6
2
TA a 3 ; 
3aV 2
12

a 6h
3

Hexaedro regular
C = 6; V = 8; A = 12
 2TA 6 a ; 3V a
d a 3
Octaedro regular
C = 8; V = 6; A = 12
2
TA 2a 3 ;
3a 2V
3

D a 2
Geometría
53 SAN MARCOS
ESQUEMA - FORMULARIO
h
B
O
ap
g g
h
r
g
r B
h
B
B
B
h
Fórmulas
1. V B.h
2. L
Perímetro de
A .h
 la base
 
  
 
3. T LA A 2B 
Fórmulas
1. 2V r g 
2. LA 2 rg 
3. TA 2 r(gr) 
Cílindro recto
Prisma recto
Pirámide regular Cono recto
Fórmulas
1.
Bh
V
3

2. L
semiperímetro
A .Ap
 de la base
 
  
 
3. T LA A B 
Fórmulas
1.
2r h
V
3


2. LA rg 
3. TA r(g r) 
2 2 2 Ap h ap   2 2 2 g h r  
Geometría
SAN MARCOS 54
ESQUEMA - FORMULARIO
Esfera Fórmulas:
1.   3
4
V R
3
2.   2TA 4 R
Polígonos regulares En todo polígono
equiángulo:
Fórmulas
iSm 180 (n 2)  
eSm 360 
N°Diagonales: ND
D
n(n 3)
N
2

 
Fórmulas
c
c
:medidadelángulocentral
360
n


 
i1
180 (n 2)
m
n
 

e1
360
m
n


Fórmulas
(n 2)
180
n

  
360
n

 
Geometría
55 SAN MARCOS
ESQUEMA - FORMULARIO
Circunferencia 
R
L 2 R=
Círculo
A R= 2
Longitud de Arco
R
R
R
0 < < 2
SECTOR CIRCULAR
R
Sistema
Sexagesimal
Unidad (1°)
1°<>60’
1’<>60’’
m
Sistema
Centesimal
Unidad (1g) 
= 400g
1 <>100
1 <>100
g m
m s
S
C
R
Sistema
Radial
S
C
R
S
9
C R
10= =
20
Unidad (1 rad) 
=2 rad
223,1416 7 
SISTEMAS ANGULARES
=360°
 S C R
180 200 
= =
=2 rad
+ 3 2 10
m m
m
Trigonometría
SAN MARCOS 56
ESQUEMA - FORMULARIO
Área de Sector Circular
R
R
S
-
-
S = 1 LR
2
L
-
-
L
S= L
2
2
R
R
S
-
-
2
21S . R= 
Trigonometría
57 SAN MARCOS
ESQUEMA - FORMULARIO
60º
2 k k 3
k
Razones Recíprocas
Sen A Csc A = 1
Cos A Sec A = 1
Tan A Cot A = 1
Razones
complementarias
Sen A = Cos C
Tan A = Cot C
Sec A = Csc C
m A m C 90   =
Teorema de Pitágoras
 ABC (recto en B)
a2 + c2 = b2
=
=
=
=
=
=
Cateto OpuestoSen A
Hipotenusa
Cateto AdyacenteCos A
Hipotenusa
CatetoOpuestoTan A
Cateto Adyacente
Cateto AdyacenteCot A
CatetoOpuesto
HipotenusaSec A
Cateto Adyacente
HipotenusaCsc A
Cateto Opuesto
Trigonometría
SAN MARCOS 58
ESQUEMA - FORMULARIO
Datos generales
• Lado (a)
• Ángulo (  )
Relación
fundamental
 lo que quiero R.T.lo que tengo  
Razones
Trigonométricas
C.O. C.A.Sen Cos
H H
C.O.Tan
C.A.
= =
=
Área de región
triangular
abS Sen
2
=
Cálculo de Sen 
 
2SSen
ab
 =
Primer caso Segundo caso Tercer caso
Trigonometría
59 SAN MARCOS
ESQUEMA - FORMULARIO
1 2 1 2x x y y,
2 2
  
 
 
P
A
B
mk
nk
mA nBP
m n


3. 4.
G: Baricentro
A B CG
3
 
a a a; a 0   
a a; a 0  
2a a
5. 6.
   2 22 1 2 1D x x y y   
1. 2.
Trigonometría
SAN MARCOS 60
ESQUEMA - FORMULARIO
ECUACIÓN DE LA RECTA
D. Rectas perpendiculares
= –1 2m m 1
1 2L L 
C. Rectas paralelas
1 2m m=
1 2L //L
E. Ecuaciones
1. Forma General.
 L: Ax + By + C = 0
2. L: y = mx + b
A Pendiente de la recta
m Tan =
2 1
2 1
y – y
m
x – x
=
B. Ángulo de inclinación de la
recta
Trigonometría
61 SAN MARCOS
ESQUEMA - FORMULARIO
a = a; a > 0
a = –a; a < 0
0 = 0
m C = 90ºn, n 
x
su lado final
coincide con los 
semi ejes.
Sen
Csc
Tan
Cot
Para
Todas
Cos
Sec
x: abscisa
y: ordenada
r: radio vector
r = x + y ; r > 02 2
y
(x,y)
r
x

Sen Csc 
Cos Sec 
Tan Cot 
Trigonometría
SAN MARCOS 62
ESQUEMA - FORMULARIO
R.T.(90 )= CoR.T.( )
R.T(270 )= 
 
 
0º <
R.T.(180º )= R.T.( )
R.T(360º )= 
 
 
0º < 
Sen(– ) = –Sen
Tan(– ) = –Tan
Cos(– )= Cos
Si: 
Cos Cos 0
Tan Tan 0
Cot Cot 0
Sec Sec 0
+ =
+ =
+ =
+ =
+ =
Si: 2
Sen Sen 0
Tan Tan 0
Cot Cot 0
Csc Csc 0
+ =
+ =
+ =
+ =
+ =
R.T.(360ºK + )= R.T.( )
R.T(2K + )= 
0º < K Z
Cot(– ) = –Cot
Csc(– ) = –Csc
Sec(– )= Sec
R.T. (2n) R.T.(0)=
Trigonometría
63 SAN MARCOS
ESQUEMA - FORMULARIO
Trigonometría
SAN MARCOS 64
ESQUEMA - FORMULARIO
I.
 P
it
ag
ó
ri
ca
s
I.
 R
e
cí
p
ro
ca
s
I.
 p
o
r 
D
iv
is
ió
n
Id
e
n
ti
d
ad
e
s 
A
u
xi
li
ar
e
s
Se
n
x 
 C
os
x 
 1
2
2
+
=
Se
n
x 
 1
 
 C
os
x
2
2
=
–
Co
s
x 
 1
 
 S
en
x
2
2
=
–
1 
Ta
n
x 
 S
ec
x 
+
 
=
2
2
Ta
n
x 
 S
ec
x 
 1
2
2
=
–
1 
 S
ec
x 
 T
an
x
=
–
2
2
1 
 C
ot
x 
 C
sc
x
+
=
2
2
Co
t
x 
 C
sc
x
1
2
2
=
 –
 
1 
 C
sc
x 
 C
ot
x
=
–
2
2
Se
nx
 C
sc
x 
 1
=
Se
nx
 
 
 1
 
 
 
 
Cs
cx
=
Cs
cx
 
 
 1
 
 
 
 
Se
nx
=
Co
sx
 S
ec
x 
 1
=
Co
sx
 
 
1
 
 
 
 
 S
ec
x
=
Se
cx
 
 
 1
 
 
 
 
 C
os
x
=
Ta
nx
 
 
 1
 
 
 
 
Co
tx
=
Co
tx
 
 
 1
 
 
 
 
Ta
nx
=
Ta
nx
 
 S
en
x
 
 
 
 
 C
os
x
=
Co
tx
 
 C
os
x
 
 
 
 
Se
nx
=
Se
nx
 
 T
an
xC
os
x
=
Co
sx
 
 C
ot
xS
en
x
=
Se
n
x+
Co
s
 
 1
2S
en
xC
os
4
2
=
– 
4
2
x
x
(S
en
x
Co
s
 
 1
2S
en
xC
os
=
 

x)
x
2
Se
nx
1
Co
sx
1 
 C
os
x
Se
nx
=
Se
n
x+
Co
s
 
 1
3S
en
xC
os
6
2
=
– 
6
2
x
x
1
Se
cx
T
an
x
Se
cx
 
 T
an
x
=
Se
c
x+
Co
s
 
 S
ec
xC
os
2
2
=
2
2
x
x
(1
Se
nx
+
Co
s
 
 2
(1
Se
nx
)(
1
Co
s
=



x)
x)
2
Ta
nx
 +
 C
ot
 
 S
ec
xC
sc
=
x
x 
 
 1
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 S
en
xC
os
x
=
Co
sx
1
Se
nx
1 
 S
en
x
Co
sx
=
1
Cs
cx
C
ot
x
Cs
cx
 
Co
tx
=
ID
EN
T
ID
A
D
ES
 T
R
IG
O
N
O
M
É
T
R
IC
A
S
Trigonometría
65 SAN MARCOS
ESQUEMA - FORMULARIO
Sen(x y) SenxCosy CosxSeny
Cos(x y) CosxCosy SenxSeny
Tanx TanyTan(x y)
1 TanxTany
 




=
=
=
Si x y z (2n –1) ; n Z
2
TanxTany TanxTanz TanyTanz 1
Cotx Coty Cotz CotzCotyCotz
 + +
+ + +
+ +
=
=
Si x y z n ; n Z
CotxCoty CotxCotz CotyCotz 1
Tanx Tany Tanz TanxTanyTanz
 + +
+ +
+ +
=
=
=
Trigonometría
SAN MARCOS 66
ESQUEMA - FORMULARIO
Cos + Cot=
 
Seno del doble
 
Coseno del doble
 
Tangente del doble:
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Seno de la mitad 
1
2
 
Ángulos doble y 
Ángulos mitad I 
 
Coseno de la mitad 
1
2
 
Fórmula racionalizada 
 
 
 
Tangente de la mitad 
 
 
 
 
 
 
=
Tan
2
Sen2 = 2Sen Cos
Sen 2 = 4Sen Cos2 2 2
Sen2 = Cos Sen2 2–
Cos2 = 2Cos 12 –
Cos2 = 1 2Sen– 2
Tan2 =
 2Tan
1–Tan 
Sen2 =
 2Tan
1+Tan 
Cos2 =
 1 – Tan
1+Tan
2
2 
a b
a b
+ 
– 
x b=
x
a
b
a>b
2Tan
1+Tan2
Sen 
 2
(1 Cos )– Cos 
 2
(1 Cos )+
Cot 
 2
Tan 
 2
Csc – Cot
1 + Cos2 = 2Cos2
1 – Cos2 = 2Sen2
1 – Cos

Trigonometría
67 SAN MARCOS
ESQUEMA - FORMULARIO
 Ángulo mitad Ángulo triple
 
xCot Cscx Cotx
2
xTan Cscx – Cotx
2
=
=
+
  
   
3Sen3x 3Senx – 4Sen x
Sen3x Senx 2Cos2x 1
Sen3x 4SenxSen 60 – x Sen 60 x

 
   
 
Identidad Auxiliar
x xCot Tan 2Cscx
2 2
x xCot – Tan 2Cotx
2 2
=
=
+
 
 
   
3Cos3x 4Cos x – 3Cosx
Cos3x Cosx 2Cos2x – 1
Cos3x 4CosxCos 60 – x Cos 60 x


   +
 
1 CosxxCot
2 1 – Cosx
1 – CosxxTan
2 1 Cosx


+
+
=
=
 
   
3
2
Tan3x TanxTan 60 – x Tan 60 x
3Tanx – Tan xTan3x
1 – 3Tan x
   

'
' 36°
Trigonometría
SAN MARCOS 68
ESQUEMA - FORMULARIO
I. Suna o diferencia a producto
Observación:
A B A – BCosB – CosA 2Sen Sen
2 2
= +
II. Producto a suma o diferencia
Observación:
2SenxSeny=Cos(x–y)–Cos(x+y)
2SenxCosy Sen(x y) Sen(x – y)
2CosxSeny Sen(x y) – Sen(x – y)
x y
2CosxCosy Cos(x y) Cos(x – y)
–2SenxSeny Cos(x y) – Cos(x – y)


 


=
=
=
=
+ +
+
+ +
+
A B A – BSenA SenB 2Sen Cos
2 2
A B A – BSenA – SenB 2Cos Sen
2 2 A B
A B A – BCosA CosB 2Cos Cos
2 2
A B A – BCosA – CosB –2Sen Sen
2 2
 



 




=
=
=
=
+
+
++
+
Propiedades
Sen(x – 120 ) Senx Sen(x 120 ) 0
Cos(x – 120 ) Cosx Cos(x 120 ) 0
 
 
=
=
+ + +
+ + +
2 2 2
2 2 2
3Sen (x – 120 ) Sen x Sen (x 120 )
2
3Cos (x –120 ) Cos x Cos (x 120 )
2
 
 
=
=
+ + +
+ + +
4 4 4
4 4 4
9Sen (x – 120 ) Sen x Sen (x 120 ) 
8
9Cos (x –120 ) Cos x Cos (x 120 )
8
  
  
+ + +
+ + +
Si x y z 180°
yx zSenx Seny Senz 4Cos Cos Cos
2 2 2
yx zCosx Cosy Cosz 4Sen Sen Sen 1
2 2 2
+ +
+ +
+ + +
=
=
=
Trigonometría
69 SAN MARCOS
ESQUEMA- FORMULARIO
Propiedades
I) 
f
ArcSen(–x) –ArcSenx
ArcCos(–x) – ArcCosx
ArcTan(–x) –ArcTanx
x D
ArcC ot(–x) – ArcCotx
ArcSec(–x) – ArcSecx
ArcCsc(–x) –ArcCscx

 
 
 



=
=
=
=
=
=
II) 
f
Sen(ArcSenx) x
Cos(ArcCosx) x
Tan(ArcTanx) x
x D
C ot(ArcCotx) x
Sec(ArcSecx) x
Csc(ArcCscx) x



 




=
=
=
=
=
=
III) 
f
ArcSen(Seny) y
ArcCos(Cosy) y
ArcTan(Tany) y
y D
ArcC ot(Coty) y
ArcSec(Secy) y
ArcCsc(Cscy) y



 




=
=
=
=
=
=
Función Función Dominio (x) Rango (y)
Inversa Directa
ArcSenx = y Seny = x [–1; 1] – ;2 2
  
  
ArcCosx = y Cosy = x [–1; 1] 0;  
ArcTanx = y Tany = x R – ;2 2
 
ArcCotx = y Coty = x R 0;
ArcSecx = y Secy = x R – –1; 1  0; – 2  
ArcCscx = y Cscy = x R – –1; 1  – ; – 02 2
  
  
Trigonometría
SAN MARCOS 70
ESQUEMA - FORMULARIO
TEMA 10
R.T. (2K ) R.T.(0)
R.T. (4K 1) R.T.
2 2
R.T. (2K –1) R.T.( )
3R.T. (4K –1) R.T.
2 2

  
 
 
 
  
 
 
=
=
=
=
+
Solución general
K
G
Sen a
K (–1) Vp( )
 Vp ArcSen(a)

  
=
=
=
+
Signos de la RT
Reducción al primer
cuadrante (I)
R.T.(90° ó 270° )
= CoR.T.( )
R.T.(180° ó 360° )
= R.T.( ) 
 0 90
 
 
 
 
    
Solución general
G
Cos a
2K Vp( )
 Vp ArcCos(a)

   
=
=
=
( x Z) 
Reducción al primer
cuadrante (II)
 R.T.(360°k+ )=R.T.( ) 
 R.T.(2K + )=R.T.( ) 
 
  
Solución general
G
Tan a
K Vp( )
Vp ArcTan(a)

  
=
=
=
+
Ángulos cuadrantales
(4K 1)
2


(2K 1) 
(4K 1)
2


2K
x
y
Trigonometría
71 SAN MARCOS
ESQUEMA - FORMULARIO
b a
bSenA
bCosA c - bCosAH BA
C
c
 Ley de Cosenos
ABC : se cumple
2 2 2a b c 2bcCosA  
2 2 2b a c 2acCosB  
2 2 2c a b 2abCosC  
 Ley de Cosenos
ABC : se cumple
2 2 2b c aCosA
2bc
 
2 2 2a c bCosB
2ac
 
2 2 2a b cCosC
2ab
 
 Ley de Proyecciones
ABC : se cumple
 + bCosA = c
aCosC + cCosA = b
bCosc + cCosB = a
Ley de Senos
ABC : se cumple
a b c 2R
SenA SenB SenC
= = =
R: circunradio
Ley de Senos
ABC : se cumple
a = 2R SenA
b = 2R SenB
c = 2R SenC
Ley de Senos
ABC : se cumple
aSenA
2R
= bSenB AB2R

=
cSenC
2R
= R: circunradio
Ley de Senos
R: circunradio
Ley de Senos
Trigonometría
aCosB
SAN MARCOS 72
ESQUEMA - FORMULARIO
Movimiento Rectilíneo Uniforme
d v.t.=
Observación
– Observar bien las unidades y aplicar el factor de conversación
 
 
 
Km 5 m=
h 18 s
; si es necesario
– Tener en cuenta que la fórmula del tiempo de encuentro
y tiempo de alcance son sólo para MRU.
– Para el tiempo de encuentro y de alcance tener en cuenta que los
movimientos son simultáneos.
Encuentro:
e
1 2
dt
V V
=
Alcance:
a
1 2
dt
V – V
=
Física
73 SAN MARCOS
ESQUEMA - FORMULARIO
Observación
– Observar bien si el movimiento es acelerado o desacelerado para colocar el
signo (+); (–), respectivamente en las fórmulas.
– No importa si el movimiento es horizontal, vertical, oblicuo; si es trayectoria
recta y aceleración constante entonces será un MRUV.
– Tener en cuenta las unidades; generalmente las unidades son en el sistema
internacional (S.I.)
Movimiento Rectilíneo Uniformemente Variado
 Cambio de velocidada
Tiempo
fV Va
t


f iV V at 
i fV Vd t
2
 
  
 
2
i
1
d Vt at
2
  2 2f iV V 2ad 
Física
SAN MARCOS 74
ESQUEMA - FORMULARIO
Propiedades movimiento completo (subida y bajada)
Elementos y ecuaciones del MVCL
Donde:
• v0: velocidad inicial (m/s).
• vF: velocidad final (m/s).
• g: aceleración de la
gravedad (m/s2).
• h: altura (m).
• t: tiempo (s).
• En el punto "c" (altura máxima) la velocidad es cero.
C(V 0)
• En un mismo nivel la rapidez de subida es igual que
la rapidez de bajada.
B D(V V ) ; A E(V V )
• Entre dos niveles el tiempo de subida es igual que el
tiempo de bajada.
AB DEt t ; BC CDt t ; AC CEt t
Nota: * se deduce del punto "3"
i
sub baj
2
i
máx
V
t t
g
V
H
2g
 

1. h = v0t 
1
2 gt
2
2. h = 
3. vF = v0  gt
4. vF
2 = v0
2  2 gh
gravedad (m/s2).
Física
75 SAN MARCOS
ESQUEMA - FORMULARIO
Medida de la interacción entre dos cuerpos
Peso (W)
W mg=
Por contacto
FUERZA
A distancia
Fuerza elástica
F = KxE
Otros:
- Tensión
- Reacción normal
- Fricción
• Primera condición de equilibrio: M 0
 
 =
• Segunda condición de equilibrio: M 0
 
 =
• Mo
F Mo
F
ANTIHORARIO HORARIO
•
•
Física
SAN MARCOS 76
ESQUEMA - FORMULARIO
Las componentes de las fuerzas (eje x) 
en dirección del movimiento, cumplen la
segunda ley.
Donde:
F = R 
Fuerzas
a favor de “a” –
Fuerzas
en contra de “a”
1° Realizar un DCL.
2° Descomponer las fuerzas en las ejes 
del movimiento y del equilibrio.
3° Aplicar la 2da ley de Newton en el 
eje de movimiento.
Dinámica lineal
( ) ( )
Dinámica Circular
1. Segunda Ley de Newton: FRa
m


2. RF ( F a favor de a) – ( F en contra de a) 
 
=
3. La acción de un cuerpo sobre otro, no es unilateral.
4. cp cpF ma
5.
2
2
cp
Va W R
R
= =
Segunda Ley de Newton:
Física
77 SAN MARCOS
ESQUEMA - FORMULARIO
1. FW F r  =
2. Neto FW W= ó
Neto R
( ) : acelerado
W F r
( ) : desacelerado

   

+
=
–
3. De la gráfica, se concluye
0
F
x
A1
A2
A3
x1 x2
WF = A1 – A2 + A3
4. mg
( ) : baja
W mgh
( ) : sube

 

+
=
–
1. 2C
1E mv
2
=
2. P Pe PgE E E= +
3. PgE mgh=
4.
2
Pe
1E kx
2
=
5. Si solo actúan fuerzas conservativas
la energía mecánica se conserva.
Mi MfE E=
ENERGÍA MECÁNICA
Física
SAN MARCOS 78
ESQUEMA - FORMULARIO
 E =  L g Vsumergido
 E = Wreal – Waparente
 E =  L efg

. Vsumergido
efg

= g

– a

Prensa Hidraúlica
A1
F1
A2
F2
h2h1
1 1 2
2 2 1
F A h
F A h
= =
 P =  PHidrostática =  L.g.h
 m
V
 =  w
V
 =
También: HP . h=  . g  =
Fuerza eléctrica
Unidades
610 –=
3m 10–=
2c 10–=
Cuantificación de
la carga
Q n e=
Carga fundamental
19
fQ 1,6 10 C e
–= – =
Ley de Coulomb
1 2
2
K q q
F
d
=
F Eq=
2
9
2
Nmk 9 10
C
=
q1; q2: cargas
d: distancia
Intensidad de
campo eléctrico
2
UnidadKQE :
N / Cd
=
ELECTROSTÁTICA
Frotamiento
Inducción
Contacto
Electrización
Física
79 SAN MARCOS
ESQUEMA - FORMULARIO
1 2 3I I I+ =
En cualquier conexión o nudo la suma
de todas las corrientes que entran
debe ser igual a la suma de todas las
corrientes que salen.
V IR =
En cualquier circuito; la suma algebraica
de los voltajes de las baterias es igual
a la suma de las caidas de potencial
(IR) de cada resistencia del circuito.
PRIMERA LEY DE
KIRCHHOFF
SEGUNDA LEY DE
KIRCHHOFF
Potencia disipada en una resistencia
2
2 VP VI I R
R
= = =
qI
t
=
 
VR
I
=
 
LR
A
=
Si encuentras resistencia en serie. Estos se suman
Si encuentras resistencia en paralelo: como por ejemplo:
R1
R2
R1 R2
R1 + R2
Req =
1
R1
Req =
1
R2
+
Física
SAN MARCOS 80
ESQUEMA - FORMULARIO
Intensidad del campo magnético
0.B
2 D
 

=
Espira circular
La inducción magnética en el centro
es:
o
o
I
B
2R

=
Fuerza magnética
F q vBsen=
Fuerza magnética sobre un
conductor de longitud "L"
F ILBSen=
Flujo magnético
BAcos =
Fuerza electromotriz inducida (  )
en una barra
vBL =
Fuerza electromotriz inducida en
una espira
N
t


–=
Física
81 SAN MARCOS
ESQUEMA - FORMULARIO
 x ASen(wt)=
 V WACos(wt)=
 2a W ASen(wt)= –

mT 2
k
=
 2a w x=
 máxV WA=

2w 2 f
T
= =

1 kf
2 m
=

kw
m
=

2
máxa w A=
Física
SAN MARCOS 82
ESQUEMA - FORMULARIO
ÁTOMO
es
la partícula mínima de un elemento 
que conserva sus propiedades
sus partes son sus partículas fundamentales son
núcleo
núcleo
átomo neutro ion
protones y 
neutrones 
principal-
mente
compacta
carga 
positiva
carga 
negativa
la masa 
del átomo
el volumen
atómico
protón
isótopos isóbaros isótonos
positiva
neutrón
nula
electrón
negativa
zona
extranuclear
zona
extranuclear
solamente a 
loselectrones
casi vacío
contiene
contiene
carga cargacarga
es
es
determina
determina
posee
posee
ubicados en el ubicado en
en un
representación representación
se cumple que
se cumple que
A q+EZ
catión
A q–EZ
anión
AEz #nº = A – Z
#p = Z #e+ –
#p = Z+ #e = –
ejemplo
tipos de núclidos
especie #p+ #e– #n
27 3+Al13
33 2–S16
13
16
10
18
14
17
poseen igual poseen igual poseen igual
número
atómico
número
de masa
número de
neutrones
ejemplo ejemplo ejemplo
12C6
14C6
40Ca20
40Ar18
11B5
14C6
Química
83 SAN MARCOS
ESQUEMA - FORMULARIO
CARACTERÍSTICAS GENERALES DE 
LOS NÚMEROS CUÁNTICOS
Valores
permitidos
Número
cuántico
Determina para el
electrón orbital
Principal
(n)
Secundario 
o 
azimutal
( )l
Magnético
(m )l
Spin
Magnético
(m )s
n = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ...
 

       
K L M N O P Q (Capas)
El nivel 
principal de 
energía
El tamaño 
o volumen
La forma 
geométrica
Su 
orientación 
espacial
no tiene 
significado
l = 0, 1, 2, 3, ...(n – 1)
     
s p d f 
máximo
valor
El subnivel 
de energía
El orbital o 
REEMPE
El sentido 
de rotación
o
m = , ..., 0, ... +l l l
m = + , ..., 0, ... –l l l
En el átomo actual, el nivel de energía queda definido con n, un subnivel se 
define con los valores de n y , un orbital con n, y m y un electrón queda 
definido con n, , m y m .
l l
l
l
l s
– – –
Antihorario Horario
1
m = +1/2s
1
m = –1/2s
Química
SAN MARCOS 84
ESQUEMA - FORMULARIO
CONFIGURACIÓN ELECTRÓNICA
ordenamiento sistemático de los 
electrones en la zona extra nuclear
es el
se basa en
permite
según
ejemplo
otros
16S = Ne 3s 3p 
2 4
23V = Ar 4s 3d 
2 3
según Kernel
principio de aufbau
distribuir a través de los
subniveles
el orden creciente de la
energía relativa (E )R
9F: 1s 2s 2p
52 2
Er: 1 2 3
16S = s 2s
2 2 6 2 42p 3s 3p
23V = s 2s
2 2 6 2 5 2 3 2p 3s 3p 4s 3d
2He:

1s
electrón n l ml ms
1 0 ms
1 ms0
0
0
permite
estableciendo 
que
ejemplos
en un átomo dos 
electrones no pueden 
tener sus 4 números 
cuánticos iguales
principio de exclusión 
de Pauli
Distribuir a través 
de un orbital
permite
para ello
ejemplos
ejemplos
distribuir a través de los
orbitales de un subnivel
a todos los orbitales se 
les deja a medio llenar
antes de llenarlo
a todos los orbitales se 
les deja a medio llenar 
antes de llenarlo
gO:

1s
   
2s 2px 2py 2pz
16S: [Ne]:

3s
  
3px 3py 3pz
Todos sus electrones
apareados
uno o más electrones
desapareados
diamagnético paramagnético
si posee
será será
Química
85 SAN MARCOS
ESQUEMA - FORMULARIO
TABLA PERIÓDICA ACTUAL
es un
en función de
instrumento del ordenamiento
sistemático de los elementos
sus números atómicos crecientes
clasificación
Según las propiedades
de los elementos
por bloques
según la
para
distribución 
electrónica 
final
elementos 
representativos
elementos 
de transición
en subniveles
s y/o p
en subniveles
d y/o f
finalizan
finalizan
Conductividad
eléctrica
como
pueden ser
ejemplos
buena regular mala
metal mateloide no metal
- Fe
- Cu
- Ag
- Pb
- Au
- B
- Si
- Ge
- As
- Sb
- C
- H
- O
- N
- S
en
periodos
horizontalmente
grupos
en columnas
ordena a los elementos
poseen poseen
igual número 
de niveles o 
capas
igual número 
de electrones 
de valencia
presentan
propiedades 
químicas 
diferentes
propiedades 
químicas 
similares
tradicionalmente
existen 7 periodos y
16 grupos
según IUPAC
existen 7 periodos y
18 grupos
Química
SAN MARCOS 86
ESQUEMA - FORMULARIO
pr
op
ie
da
de
s 
su
bm
ic
ro
sc
óp
ic
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lo
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Química
87 SAN MARCOS
ESQUEMA - FORMULARIO
ENLACE QUÍMICO es la fuerza que une átomos de una sustancia
de naturaleza
Electrostática Electromagnética
llamada llamada
Enlace iónico
o electrovalente
Enlace covalente
se da generalmente
entre un metal y un no metal mediante transferencia de electrones
Ejemplos:
MgO, CaF , ...2 excepciones
Estructura de Lewis
[Mg]2+
[Ca]2+
O
F
2+
1–
2
en Compuestos binarios
iónicos
generalmente
 EN 1,7EN: Diferenciade electronegatividad
X = halógeno
BrX , A X
NH C , NH Br ...
2
4 4
 3

Química
SAN MARCOS 88
ESQUEMA - FORMULARIO
UNIDADES QUÍMICA DE MASA
MoléculaÁtomo
n = =
m
mA
# átomos
NA
n = =
m
M
# átomos
NA
N = 6,023 x 10A
23 m: masa
Unidades fórmula
n = =
m
PF
# unidades
fórmula
P.F.: peso fórmula
Química
89 SAN MARCOS
ESQUEMA - FORMULARIO
Propiedades generales
Teoría cinética molecular
Ecuación general de los
gases
A nivel
submicroscópico
A nivel
macroscópico
– Alta entropía
– Grandes 
 distancias
 intermoleculares
– Alta energía
– Expansión
– Comprensión
– Difusión
– Efusión
Variables de estado
Volumen
Igual a la 
capacidad 
del
recipiente 
que lo 
contiene
Temperatura
es
Presión
es
Un estado de agregación de la materia, en la cual las 
moléculas que lo componen poseen un movimiento caótico.
La energía
cinética 
media de las 
moléculas
choques de 
las moléculas 
del gas con la 
pared del 
recipiente
participan en la
la cual
justifica la Ecuación universalde los gases
PV = RTn
PM = DRT
en condiciones normales (CN)
V =nx22,4Lgas
D = g/Lgas
M
22,4
P=1atm<>760 mm Hg y
T=0ºC <> 273 K
P V
T
1 1
1
P V
T
2 2
2
=
si, además, una variable
de estado es constante
Isotérmico
(T=cte.)
P V =P V1 1 2 2 
Isobárico
(P=cte)
Isocórico
(V=cte)
V
T
1
1
V
T
2
2
=
P
T
1
1
P
T
2
2
=
procesos 
restringidos
WRT=PVM
ESTADO GASEOSO
caracteriza se debe a los
a través de la cual
podemos determinar
Química
SAN MARCOS 90
ESQUEMA - FORMULARIO
SOLUCIONES
Unidades de concentración
Físicas
Químicas
Molaridad
Normalidad
M = = =n
V
10 x %m x D
M
M
V
m
%m = x 100 
msto
msol
%V = x 100 
Vsto
Vsol
D: densidad
Química
91 SAN MARCOS
ESQUEMA - FORMULARIO
Contracción volumétrica (C.V.):
Reactivo limitante(RL):
Reactante que se consume totalmente.
Reactivo en exceso (RE):
Reactante que se consume parcialmente.
Porcentaje de pureza:
cantidadsust.pura%Pureza .100
cantidadmuestra

Rendimiento o ef iciencia de la
reacción (RR)
CRRR .100%
CT

Regla práctica de planteo de
problemas estequioméetricos
Regla: coef x M coef. coef x 22,4 L
coef x NA coef x NA x subíndice
     
Dato: gramos mol vol (CN) moléculas átomo
Química
SAN MARCOS 92
ESQUEMA - FORMULARIO
A. Teoría ácido - base
Química
93 SAN MARCOS
ESQUEMA - FORMULARIO
B. Ácidos y bases: Escala de pH
CÁTODO ( )–
Na
+ 
2C 
CÁTODO: 
ÁNODO:
+1e
–2e– 
NaC (Fundido)
Na 
0
C 02 
Na
+
(Reducción)
(Oxidación)
C
–
( ) ÁNODO +
e – 
Química
SAN MARCOS 94
ESQUEMA - FORMULARIO
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Química
95 SAN MARCOS
ESQUEMA - FORMULARIO
Química
SAN MARCOS 96
ESQUEMA - FORMULARIO
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6
Química
97 SAN MARCOS
ESQUEMA - FORMULARIO
Son compuestos que en su estructura, presentan por lo menos un enlace doble (2
átomos de carbono con hibridación sp2), siendo una sustancia químicamente activa.
El doble enlace carbono-carbono es una unidad estructural y un grupo funcional
importante en la química orgánica, el doble enlace es el punto donde los alquenos
sufren la mayoría de las reacciones.
Ejemplos:
ALQUENOS U OLEFINAS
ALQUINOS O ACETILENICOS
Son hidrocarburos acíclicos insaturados o compuestos que en su estructura
presenta por lo menos un enlace triple. Los átomos de carbono del grupo
funcional (enlace triple) poseen hibridación sp.
átomos de carbono con hibridación sp2)
Química
SAN MARCOS 98
ESQUEMA - FORMULARIO
ALQUENINO
CnH2n + 2 – 2d – 4t
Donde: n: número de carbonos d: número de enlaces dobles; t: número de enlaces
triples. Cuando en la cadena carbonada hay doble y triple enlace simultáneamente, la
numeración de la cadena principal se hace en base al doble enlace y la terminación
usada es enino.
Ejemplo:
Alquino Fórmula global Fórmula 
semidesarrollada
Fórmula 
desarrollada
Etino C H2 2
Propino C H3 4
Butino
CH CH
CH C CH3
C CH H
C CH C
H
H
H
CH C CH2 CH3
 1 inoBut 
CH3 C C CH3
 inoBut 2
C CH C
H
H
C
H
H
H
C C C
H
H
HH C
H
H
C H4 6
(Posee 2 isómeros
de posición)
Química
99 SAN MARCOS
ESQUEMA - FORMULARIO
Burbujeador
Líquido
Tanque 
de petróleo
Horno
Bomba
Bomba
Crudo
reducido
Gasolina
o diesel
Kerosén
Rectificadores
Vapor
Vapor
Bomba Agua
Gasolina
Gas de
refinería
Separador
de gas
Condensador
reflujo
Vapor
Líquido
Co
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Química
SAN MARCOS 100
ESQUEMA - FORMULARIO
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 Hematita Fe2O3 
Limonita  Fe2O3 + 3.H2O 
Magnetita  Fe2O3.FeO 
Siderita  FeCO3 
Pirita  FeS 
Métodos mecánicos 
(concentra el 
mineral) 
Trituración, molienda, pulverizado – Tamización – 
Levigación (oro) Flotación (sulfuros) 
Métodos Químicos 
(mineral 
concentrado) 
Tostación 
Calcinación 
Reducción 
de sulfuro a óxido con corriente de aire 
de CO3= a óxido en ausencia de aire 
 óxidos + C = CO2 + metal 
Electrólisis Húmeda (Na) Seca (Na, K, Mg, Al) 
Pr
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Electrometalúrgicos 
(mineral 
concentrado) Electrotérmicos Hornos de arco voltáico 2800 - 3000°C es una reducción 
 
Química
101 SAN MARCOS
ESQUEMA - FORMULARIO
Química
¡Prepárate para Ingresar!
SAN MARCOS
A la universidad
de San Marcos
Más de
700*
ingresantes
INICIOS CICLO 2016-2
Sistema especializado de tutoría
Motivación constante y preparación exigente
Especialista en preparación preuniversitaria
Nueva aula virtual 
Av. Universitaria 6130 
Calle Juan Castilla 898
 
715-8950 / 715-8951
502-3755
711-7300
* Alumnos ingresantes de Academias Pamer 2015
• 2da Nivelación
• 1ra Nivelación
 17 de Marzo
 29 de Marzo
 05 de Abril
SEMESTRAL
• Regular