ALG - Guía 1 - División Algebraica I

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105 
 
 
 106 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 No sabemos dónde tuvo su origen exactamente el 
Método de “División Larga”. Pero parece lo más probable que 
fuera en la India, puesto que allí se utilizaba ya en el Siglo 
XII como mínimo y de la India parecer ser que se extendió a 
China y a Arabia. De los árabes pasó a Italia durante los 
siglos XIV y XV. Los árabes, y a través de ellos más tarde 
los europeos, adoptaron la mayor parte de sus artificios 
aritméticos de los hindúes, y por lo tanto es, muy probable 
que también provenga de la India el método de “división 
larga” conocido como el “método de la galera”, por su 
semejanza con un barco con las velas desplegadas. Para 
ilustrar este método, supongamos la división de 44977 por 
382; en la figura aparece hecha esta división por el método 
moderno, y por el método de la galera. Este segundo se 
parece mucho al primero excepto en que el dividendo 
aparece en el medio, ya que las restas se hacen cancelando 
los dígitos y poniendo las diferencias encima de los 
minuendos y no debajo. Así pues, el resto final 283 aparece 
en la parte superior derecha y no en la parte inferior. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 El proceso reproducido en la figura es fácil de seguir si tenemos en cuenta que los dígitos de un substraendo 
dado, como el 2674, o de una diferencia dada, como la 2957, no figuran todos ellos necesariamente en la misma 
fila, y que los substraendos aparecen escritos por debajo de la línea central y las diferencias por encima; por otra 
parte, la posición en una columna es importante, pero no la posición en una fila. El cálculo de raíces de números 
probablemente siguió un esquema análogo al de la “galera”, ligado en la época posterior al teorema binomial en la 
forma del “triángulo de Pascal”, pero los matemáticos hindúes no daban nunca explicaciones de sus cálculos ni 
demostraciones de sus reglas; es posible que las influencias china o babilónica jugaran un papel importante en el 
proceso de evolución del cálculo de raíces. Se oye decir a veces que “la prueba de los nueves” es un invento hindú, 
pero parece que los griegos ya conocían esta propiedad mucho antes, aunque no la usaron de una manera general, y 
que este método se popularizó solamente con los árabes hacia el siglo XI. 
 
 
División 
Hindú 
44977 382 
382 
667 
382 
2957 
2674 
283 
117 
 2 
2 1 1 
1 9 8 
1 6 7 5 3 
4 4 9 7 7 
3 8 2 2 4 
3 8 7 
2 6 1 
382 117 
División por el Método de la Galera, del Siglo XVI, 
procedente de un manuscrito no publicado de un 
monje veneciano. El título de la obra es “Opus 
Aritmética D. Honorati veneti monachj coenobij S. 
Lauretig”, Biblioteca de Mr. Plimpton. 
 
 
 107 
DIVISIÓN ALGEBRAICA I 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Es una operación que consiste en hallar una expresión denominada cociente dada otras dos denominadas 
dividendo y divisor. 
 
 En el esquema: Donde: 
D : Dividendo 
d : Divisor 
q : Cociente 
r : Resto o Residuo 
 
 Siempre se cumple: 
 D = dq + r 
 
 Llamada identidad fundamental de la división. 
 
 Ejemplo: 
25 7 Dividendo = 25 59 9 D = 59 
21 3 Divisor = 7 54 6 d = 9 
 4 Cociente = 3 5 q = 6 
 Resto = 4 r = 5 
 
 Según la identidad fundamental de la división: Luego: 59 = 9 . 6 + 5 
25 = 7 . 3 + 4 
 
 
AHORA TU! 
 17 3 D = 31 5 D = 
 d = d = 
 q = q = 
 r = r = 
 
 Luego ¿qué se cumple? Luego: 
 17 = 31 = 
 
 
 
D d 
r q 
 
Sabías 
que 
A la Identidad 
Fundamental de la 
división también se le 
conoce como Algoritmo 
de Euclides quien fue un 
matemático griego que 
vivió hace más de ¡2 mil 
años! 
 
Con números 
¡Es fácil! 
Pero con 
polinomios 
¿cómo se 
opera? 
 
 
 108 
 
Recordemos 
LEY DE SIGNOS 
)(
)(
)(
+=
+
+
 (–)
)(
(–)
=
+
 
)(
(–)
(–)
+= (–)
(–)
)(
=
+
 
 
Ejemplos: 
4
6
24
= 7
4
28
−=
−
 10
2
20
= 3
9
27
−=
−
 
5
7
35
=
−
−
 8
2
16
−=
−
 8
8
64
=
−
−
 7
7
49
−=
−
 
 
 
AHORA TU! 
=
3
12
 =
−
6
36
 =
8
72
 =
−
6
54
 
=
−
−
5
25
 =
− 7
42
 =
−
−
9
81
 =
− 3
36
 
 
 
LEYES DE EXPONENTES 
 
nm
n
m
b
b
b −= 
 
Ejemplos: 
325
2
5
xx
x
x
== − 538
3
8
xx
x
x
== − 
141024
10
24
bb
b
b
== − 181735
17
35
bb
b
b
== − 
 
 
AHORA TU! 
=
3
7
x
x
 =
12
30
m
m
 
=
8
10
x
x
 =
18
27
b
b
 
 
 
 
 
Ten presente: 
La división de signos 
iguales da (+). 
La división de signos 
diferentes da (–). 
 Observa que: 
3
12 es lo mismo 
que escribir 312 
es decir toda 
fracción indica 
una división. 
 
Recuerda siempre 
que la división entre 
cero no esta 
definida por ejemplo 
las siguientes 
divisiones no se 
pueden realizar: 0
4
;
0
24
;
0
7
;
0
5
−
−
−
−
Ahora que ya 
recordamos 
estudiemos 
como se dividen 
los polinomios. 
 
 
 109 
En la Región de 
Mesopotamia, lo que 
actualmente es Irak se 
han encontrado tablillas 
para dividir utilizadas 
por los Babilonios del 
2000 al 600 a.C. 
1. DIVISIÓN ENTRE MONOMIOS 
 Para dividir monomios: la parte constante se divide de acuerdo a la Ley de Signos y la parte variable 
según la Ley de Exponentes. 
 
Ejemplos: 
538
3
8
x7x7
x5
x35
== − 347
4
7
x6x6
x8
x48
−=−=
− − 
3710
7
10
x4x4
x6
x24
==
−
− − 4812
8
12
x9x9
x4
x36
−=−=
−
− 
533825
32
85
yx7yx7
yx9
yx63
== −− 3471048
74
108
yx5yx5
yx12
yx60
−=−=
− −− 
73512710
57
1210
yx7yx7
yx8
yx56
==
−
− −− yx11yx11yx11
yx5
yx55 81823513
25
313
−=−=−=
−
−− 
 
AHORA TU! 
=
3
5
x5
x25
 =
−
10
12
x8
x80
 
=
−
−
5
10
x7
x56
 =
− 10
15
x9
x81
 
=
42
75
yx7
yx28
 =
−
56
510
yx4
yx28
 
=
−
−
27
710
yx35
yx35
 =
− 64
125
yx6
yx30
 
 
2. DIVISIÓN DE UN POLINOMIO ENTRE UN MONOMIO 
 Para este caso debemos utilizar la propiedad distributiva: 
m
c
m
b
m
a
m
cba
++=
++
 
Ejemplos: 
 
2
4
2
8
2
2
2
482
++=
++
 
 
3
12
3
9
3
3
3
1293
++=
++
 
 
6
24
6
12
6
2412
−=
−
 
 
5
35
5
25
5
15
5
352515
+−=
+−
 
 72
3
10
3
4
3
5
3
1045
x6x4x2
x2
x12
x2
x8
x2
x4
x2
x12x8x4
++=++=
++
 
 
Todo número 
diferente de cero 
elevado a la cero 
es 1. Ejemplo: 
5º = 1; 4º = 1; (-2)º = 1; 
0º : indefinido 
Sabías 
que 
 
 
 110 
 853
5
13
5
10
5
8
5
13108
x7x2x5
x7
x49
x7
x14
x7
x35
x7
x49x14x35
+−=+−=
+−
 
 5429
3
8
3
7
3
5
3
12
3
87512
xx6x4x3
x9
x9
x9
x54
x9
x36
x9
x27
x9
x9x54x36x27
−−−=−−−=
−−−
 
 x4x12)x4(x12
x2
x8
x2
x24
x2
x8x24 44
4
5
4
8
4
58
+−=−−−=
−
−
−
=
−
−
 
 12765
3
1310
3
78
3
131078
yx2yx3
yx8
yx16
yx8
yx24
yx8
yx16yx24
+=+=
+
 
 
AHORA TU! 
 =+=
+
3
927
 
 =++=
++
4
8416
 
 =+=
−+
–
6
24612
 
 =+=
−+
–
x7
x28x21x14
8
151012
 
 =
−−
9
11109
x9
x54x27x18
 
 =
−+−
34
78731015
yx10
yx40yx30yx20
 
 =
−
−−
1042
147720105
zyx7
zyx56zyx35
 
 =
−
+
54
9988
yx8
yx32yx64
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Por inscripciones que datan desde 
3000 a.C. sabemos que los egipcios 
tenían la costumbre de expresar 
todas las fracciones con numerador 
uno, por ejemplo escribieron: 
12
1
= ; 
20
1
= 
Mientras que 2/5 y 5/6 
respectivamente como: 
15
1
3
1
+=
3
1
2
1
+=,
 
Según el resto existen 2 clases 
de división: La división exacta 
cuando el resto es 
idénticamente nulo y la 
división inexacta cuando el 
resto no es nulo. 
Ejemplo: 
 12 3 
12 4 
 0 
 15 6 
12 2 
 3 
 
 
División 
Exacta 
Resto 
División 
Inexacta 
Resto 
Sabías 
que 
 
 
 111 
 
 
 
 
1. Al dividir: 12x3y entre 4xy 
Se obtiene: mxn 
Hallar: 
n
1m + 
 
a) 2 b) 1 c) 3 
d) 4 e) 5 
 
2. Luego de dividir: -36x3y2z4 entre 3x2yz3 
Se obtiene: mxnypzq 
Calcular: 
qpn
m
++
 
 
a) 12 b) -4 c) 3 
d) -2 e) 1 
 
3. Si: 2
p4
3n
xy4
ymx
yx12
= 
Calcular: m + n – p 
 
a) 6 b) 7 c) 9d) 3 e) 1 
 
4. Luego de dividir: 16x3 + 8x2 entre 2x 
Calcular la suma de coeficientes del cociente. 
 
a) 4 b) 8 c) 2 
d) 12 e) 24 
 
5. Calcular el cociente en: 
24
12758
yx8
yx16yx32 +
 
Dar por respuesta GR(x) + GR(y) de este 
cociente. 
 
a) 12 b) 7 c) 3 
d) 14 e) 6 
 
6. Si de: 
33
51078
yx3
yx12yx15 −
 se obtiene un 
cociente. Calcular el grado. 
 
a) 7 b) 5 c) 4 
d) 3 e) 2 
 
7. Simplificar: 
yx10
yx20
xy5
yx15
M
5
27
4
53
−= 
 
a) x2y b) 3x2y c) -2x2y 
d) –x2y e) xy2 
 
8. Reducir: 
107
128
3
34
54
78
72
96
yx8
yx32
yx3
yx12
yx3
yx6
yx4
yx8
+−
−
+ 
 
a) x4y2 b) 0 c) xy2 
d) 2x3y2 e) 1 
 
9. Simplificar: 
64
85
3
34
65
10n
33
75
yx
yx
yx7
yx28
yx6
yx12
yx5
yx25
M
−
+
−
= 
 
a) 1 b) 3x2y4 c) 3xy2 
d) xy2 e) xy 
 
10. Reducir: 
5
97
3
75
x8
x16x24
x5
x15x20
G
−
+
+
+
= 
 
a) x2 + y4 b) x2 + x4 c) x2 
d) x4 e) 0 
 
 
EJERCICIOS DE APLICACIÓN 
 
 
 112 
11. Simplificar: 
36
481010
23
9735
yx9
yx36yx72
yx8
yx64yx32 −
+
−
 
 
a) x2y + x4y7 b) 0 c) 4x2y 
d) x4y7 e) –x2y 
 
12. Reducir: 
7
81311
3
497
x5
x10x40x20
x4
x8x32x16
M
++
++
= 
 
a) x4 + x6 + x b) 1 c) 3x4 
d) 4x4 e) 8x6 
 
13. Reducir: 
42
65
yx9
yx27
M = 
Si: x3y2 = 3 
 
a) 3 b) 1 c) 27 
d) 9 e) 15 
 
14. Hallar el valor de: 
5
8
3
7
3
5
x16
x64
x7
x28
x9
x36
N ++= 
Si: x2 + x4 + x3 = 1 
 
a) 1 b) 2 c) 3 
d) 4 e) 5 
 
15. Calcular el valor de: 
3
75
x5
x55x50
L
+
= 
Si: x2 = 2 y x4 = 4 
 
a) 50 b) 44 c) 14 
d) 64 e) 94 
 
 
 
 TAREA DOMICILIARIA Nº 1 
 
1. Luego de dividir: 20x5y3 entre 5x2y 
Se obtiene: mxnyp 
Calcular: 
n
pm +
 
 
a) 3 b) 1 c) 2 
d) 4 e) 6 
 
2. En la división de: 48x7y10z12 entre 12x3y5z8 
Se obtiene: axbyczd 
Hallar: 
a
c)db( +
 
 
a) 5 b) 10 c) 16 
d) 4 e) 8 
 
3. Si: 45
5b
c8
yx9
yx9
yax
= 
Calcular: 
b
ca −
 
 
a) 24 b) 72 c) 26 
d) 14 e) 28 
 
4. En la división: 
2
75
x4
x36x24 +
 calcular la suma 
de coeficientes del cociente. 
 
a) 6 b) 9 c) 3 
d) 15 e) 8 
 
 
5. En la división: 
914
21151316
yx7
yx42yx49 −
 
Luego de obtener el cociente. 
Calcular: GR(x) – GR(y) 
 
a) 2 b) -10 c) 10 
d) 12 e) 14 
 
 
 
 113 
 
6. Al dividir: 
38
1491013
yx8
yx48yx64 +
 se obtiene un 
polinomio homogéneo. Calcular el grado de 
homogeneidad. 
 
a) 5 b) 7 c) 2 
d) 8 e) 12 
 
7. Simplificar: 
57
1210
2
85
yx12
yx72
yx6
yx42
M += 
 
a) 13x3y7 b) 7x3y7 c) 6x3y7 
d) 1 e) 0 
 
8. Simplificar: 
1520
1825
1710
2015
yx14
yx28
yx7
yx14
+
−
 
 
a) 3x5y3 b) 0 c) -2x5y3 
d) 1 e) 2 
 
9. Reducir: 
3318
3725
138
1715
yx13
yx39
yx5
yx75
G = 
 
a) 3 b) 1 c) 2 
d) 15 e) 5 
 
10. Simplificar: 
12
1519
7
1014
x8
x48x40
x7
x42x35
N
−
+
+−
= 
 
 
a) 1 b) 0 c) 2 
d) x7 + x3 e) x7 – x3 
 
11. Reducir: 
76
10678
410
710412
yx12
yx96yx36
yx9
yx54yx45
M
−
−
−
= 
 
a) 5x2 – 6y3 b) 2x2 + 2y3 c) -3x2 + 8y3 
d) 1 e) 0 
 
12. Reducir: 
12
1815
4
107
x8
x72x40
x7
x63x35
N
−
−
= 
 
a) 1 b) 5x3 – 9x6 c) 2 
d) x3 e) x6 
 
13. Simplificar: 
112412
202719
yyx7
zyx28
J = 
Si: x7y3z9 = 2 
 
a) 2 b) 4 c) 8 
d) 16 e) 1 
 
14. Hallar el valor de: 
191425
273742
zyx3
zyx39
R = 
Si: x17y23z8 = 4 
 
a) 52 b) 4 c) 1 
d) 13 e) 2 
 
15. Calcular el valor de: 
3
5109
x4
x32x24x28
P
+−
= 
Si: 7x6 + 8x2 = 6x7 
 
a) x3 b) 2 c) x2 
d) 1 e) 0 
 
 
 
 
 
 114 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 ALGORTIMO : Regla o proceso para calcular. 
 
 
 IDENTIDAD : Igualdad que se verifica para cualquier valor de la variable. 
 
 
 BABILONIOS : Personas que vivieron entre los ríos Tigres y Eufrates región 
conocida como Mesopotamia en el período 2 000 al 600 a.C.