ALG - Guía 3 - División Algebraica III

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 125 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Matemático y médico, nació el 22 de septiembre de 1765 
en Valentano y murió en Módena el 9 de Mayo de 1822. 
 Estudió medicina (además de filosofía y literatura) y 
cuando acabó la carrera se dedicó a estudiar las matemáticas. Sus 
estudios de matemáticas le valieron pronto para tener muy buena 
reputación en el campo matemático y en 1787 accedió al puesto de 
profesor en la Universidad de Módena (ocupando la plaza vacante 
de su profesor Cassiani), donde había estudiado. Consiguió la 
cátedra de análisis de la escuela militar de esa ciudad, pero tuvo 
que abandonar el cargo por negarse a jurar fidelidad a la República 
Cisalpina (compuesta por Lombardía, Emilia, Módena y Bolonia) de 
Napoleón Bonaparte, pero un año más tarde las tropas de Austria le 
devolvieron al puesto académico. Y no sólo eso, fue nombrado 
rector de la Universidad, y catedrático de clínica médica, medicina práctica y matemáticas aplicadas. 
 Paolo Ruffini ha sido conocido a lo largo de los años, dentro del mundo matemático, como el descubridor de la 
regla de Ruffini que hace que se permita encontrar los coeficientes del polinomio que resulta de la división de un 
polinomio cualquiera por el binomio (x - a). Pero esto no ha sido lo único con lo que Ruffini ha colaborado en el 
mundo de las matemáticas, elaboró una demostración de la imposibilidad de la solución general de las ecuaciones 
algebraicas de grado quinto y superiores, aunque no fue del todo exacta su teoría, que sería corregida 
posteriormente por Niels Henrik Abel, matemático noruego. Sabemos que Ruffini tuvo discusiones con otros 
matemáticos de la época como Lagrange, al cual enviaba sus resultados. 
 Entre las obras que escribió P. Ruffini destacan Teoría generale delle equazione generale in cui si dimostra 
imposibile la soluzione algebraica delle equazioni generali di grado superiore al quarto grado (1798), Álgebra e 
suo apéndice (1807), Rifflesioni intorno alla soluzione delle equazioni algebraiche general (1813) y Riflessioni 
critiche sopra il sagio filosofico intorno alla probabilitá del Signore de Laplace (1821). 
 
 
 
 
 
Paolo 
Ruffini 
 
 126 
DIVISIÓN ALGEBRAICA III 
 
 
 
 
 
 
 
 
1. MÉTODO DE RUFFINI 
 Es un caso particular del Método de Horner. Se emplea para dividir un polinomio entre otro de primer 
grado. 
 
Ejemplos: 
 De polinomios de primer grado: 
 2x – 4 ; 7x + 5 ; x – 4 ; 3x + 5 ; x + 1 
 
2. ESQUEMA 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ejemplos: 
Dividir: 
1x4
3x5x12 2
−
++
 
Paso 1 : Igualamos el divisor a cero. 
 4x – 1 = 0 
Paso 2 : Despejamos la variable. 
 4x – 1 = 0 
 
4
1
x = 
Paso 3 : Planteamos el esquema: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Variable del 
Divisor 
Despejada 
Coeficientes del Dividendo 
 El Coeficiente 
Principal del 
Divisor 
Resto 
Siempre 
un 
Espacio 
+ • 
Coeficientes del 
Cociente 
12 5 3 
4
1
x =
12 5 3 
4
1
x =
12 
12 5 3 
4
1
x =
12 
3 
x 
Un polinomio de 
primer grado es 
aquel cuyo mayor 
exponente es igual 
a uno. 
El coeficiente principal es la 
parte constante del término 
de mayor grado. 
Ejemplo: 
P(x) = 2x2 – 5x + 3x4 – 2 + 5x3 
Donde: 3 x4. Es el término 
de mayor 
 grado 
 
Coeficiente 
Principal 
Observa que en 
este ejemplo el 
divisor es: 
4x – 1  El coef. 
Principal es 4. 
Multiplicamos: 
 
 127 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Luego: 
 
 
  Q(x) = 3x + 2 
 R(x) = 5 
 
 
 
 
 
 
 Dividir: 
1x2
0x7x2x2x4
1x2
x2x7x2x4 234234
+
++++
=
+
+++
 
Paso 1 : Igualamos el divisor a cero. 
 2x + 1 = 0 
Paso 2 : Despejamos la variable. 
 2x + 1 = 0 
 
2
1
x −= 
Paso 3 : Planteamos el esquema: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
12 5 3 
4
1
x =
12 
3 
Sumamos: 
8 
+ 
12 5 3 
4
1
x =
12 
3 
Multiplicamos: 
8 
2 
x 
12 5 3 
4
1
x =
12 
3 
Sumamos: 
8 
2 
5 
+ 
12 5 3 
4
1
x =
12 
3 
8 
2 
5 
3 2 
4  
Coef. del Cociente 
4 2 0 
2
1
x −=
2 7 4 2 0 
2
1
x −=
2 7 
4 
Multiplicamos: 
4 2 0 
2
1
x −=
2 7 
4 
-2 
En este ejemplo el 
divisor es 2x + 1 
 El coeficiente 
principal es 2. 
Sumamos: 
4 2 0 
2
1
x −=
2 7 
4 
-2 
0 
+ 
Multiplicamos: 
4 2 0 
2
1
x −=
2 7 
4 
-2 
0 
0 
x 
Sumamos: 
4 2 0 
2
1
x −=
2 7 
4 
-2 
0 
0 
+ 
2 
 
 128 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
  Q(x) = 2x3 + 0x2 + 1 . x + 3 
 Q(x) = 2x3 + x + 3 
 R(x) = -3 
 
 
 
 
Abreviando: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Dividir: 
2x
14xx12x8 23
−
−−−
 Aquí divisor es: 
x – 2 = 1 . x – 2 
 Coef. Principal = 1 
 
 Q(x) = 8x2 + 4x + 7 
 R(x)  0 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Multiplicamos: 
4 2 0 
2
1
x −=
2 7 
4 
-2 0 -1 
0 2 
x 
Sumamos: 
4 2 0 
2
1
x −=
2 7 
4 
-2 0 -1 
0 2 
+ 
6 
Multiplicamos: 
4 2 0 
2
1
x −=
2 7 
4 
-2 0 -1 
0 2 6 
x 
-3 
Sumamos: 
4 2 0 
2
1
x −=
2 7 
4 
-2 0 -1 
0 2 6 
-3 
-3 
+ 
4 2 0 
2
1
x −=
2 7 
4 
-2 0 -1 
0 2 6 
-3 
-3 
2 0 1 3 
 2 
Coef. del Cociente 
4 2 0 
2
1
x −=
2 7 
4 
-2 0 -1 
0 2 6 
-3 
-3 
2 0 1 3 
 2 
+ + + + 
x 
8 -12 -14 -1 
8 
16 8 
4 7 
14 
0 
x – 2 = 0 
x = 2 
 1 
8 4 7 
+ + 
En 1799 Ruffini publicó el 
Libro “Teoría General de las 
Funciones” en el cual 
aparecen la regla que lleva su 
nombre. Con prioridad se han 
encontrado documentos 
antiguos de matemáticos 
chinos y árabes donde 
aparecen aplicaciones de la 
regla atribuida a Ruffini. 
Sabías 
que 
Ahora tu 
 
 129 
 
 
 Dividir: 
1x2
7x3x10 2
−
+−
   Q(x) = 
 R(x) = 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Dividir: 
1x3
8x5x21 2
−
++
   Q(x) = 
 R(x) = 
 
 
 
 
 
 
 
 Dividir: 
1x5
5x4x3x10 23
−
−++
   Q(x) = 
 R(x) = 
 
 
 
 
 
 
 
 Dividir: 
3x2
7x5x13x10 23
−
+−−
   Q(x) = 
 R(x) = 
 
 
 
 
 
 
 
 Dividir: 
2x
6x11x7 2
+
−+
   Q(x) = 
 R(x) = 
 
 
 
 
 
EJERCICIOS DE APLICACIÓN 
10 -3 7 2x – 1 = 0 
2x= 1 
 2 
2
1
x =
Resto 
Coef. del 
Cociente 
21 5 8 3x – 1 = 0 
3x= 1 
 3 
3
1
x =
10 3 4 5x – 1 = 0 
5x= 1 
 5 
5
1
x =
-5 
1 
5 
10 -13 -5 2x – 3 = 0 
2x= 3 
 2 
2
3
x =
7 
-2 
15 
7 11 -6 
x + 2 = 0 
x = -2 
 2 
 Desde 1814 Ruffini fue 
rector de la Universidad 
de Módena (Itlaia), a la 
vez que trata a sus 
pacientes de una 
Epidemia de Tifus, el 
mismo contrae la 
enfermedad de la que 
muere unos años más 
tarde. 
 
Sabías 
que 
 
 130 
 
 
I. Efectuar las siguientes divisiones por el 
Método de Ruffini e indicar por respuesta el 
cociente: 
1. 
1x2
6xx2 2
+
+−
 
 
a) x + 1 b) x – 1 c) x - 2 
d) x + 3 e) 2x + 1 
 
2. 
1x3
5x7x3 2
−
−−
 
 
a) x – 2 b) x + 3 c) 2x - 1 
d) 2x + 1 e) x + 7 
 
3. 
2x5
1x11x10 2
−
−+
 
 
a) 2x – 3 b) 3x – 2 c) 3x + 2 
d) 2x + 3 e) 2x + 5 
 
4. 
3x
9x9x4 2
−
−−
 
 
a) 4x – 3 b) 4x + 3 c) 3x + 4 
d) 3x – 4 e) -4x + 4 
 
5. 
3x
6x19x7 2
+
−+
 
 
a) -7x – 2 b) 2x + 7 c) -7x + 2 
d) 2x – 7 e) 7x – 2 
 
II. Efectuar las siguientes divisiones por el 
método de Ruffini: 
6. 
1x
5xxx 23
−
−+−
 
Indicar la suma de coeficientes del cociente. 
 
a) 0 b) 4 c) -2 
d) 3 e) 2 
 
7. 
1x
5x2x3x2 34
+
−++
 
Dar por respuesta el mayor coeficiente del 
cociente. 
 
a) 2 b) 3 c) 1 
d) -2 e) 4 
8. 
2x5
x612x10x15 45
−
−+−
 
Indicar el término independiente del cociente. 
 
a) 5 b) -2 c) -4 
d) -3 e) 1 
 
9. 
x32
18x8x24x12 45
+
+++
 
Señalar el menor coeficiente del cociente. 
 
a) 8 b) 4 c) 3 
d) -4 e) -1 
 
10. En la siguiente división: 
2x
bx3x2
+
++
 
Se obtiene por resto: 3 
Hallar: b 
 
a) 7 b) -5 c)3 
d) 5 e) -3 
 
11. En la división: 
2x3
mx9x4x6 2
−
−+−
 el resto es -4 
Hallar: m 
 
a) 0 b) 3 c) -10 
d) 1 e) -1 
 
12. La siguiente división: 
3x7
bx29x14 2
+
+−
 es 
exacta. 
Hallar: “b” 
 
a) 7 b) -35 c) -15 
d) 14 e) -7 
 
13. La siguiente división: 
1x3
x15bx2x6 34
−
++−
 es 
exacta. 
Hallar: “b” 
 
a) -5 b) 5 c) 3 
d) -3 e) -4 
 
14. La siguiente división: 
1x5
2bxx2x10 23
−
++−
 
tiene residuo 3. 
Hallar la suma de coeficientes del cociente. 
 
a) 3 b) 2 c) 1 
d) 0 e) 4 
15. La siguiente división: 
1x
11x4bxx3 34
−
+−+
 
tiene resto 7. Hallar: “b” 
 
 
 131 
a) 2 b) -3 c) -5 
d) 7 e) -7 
 
 
 
TAREA DOMICILIARIA Nº 3 
 
 
I. Efectuar las siguientes divisiones por el Método 
de Ruffini e indicar por respuesta el cociente: 
1. 
1x2
1xx2 2
−
++
 
 
a) 4x b) 3x – 1 c) 2x + 1 
d) x – 1 e) x + 1 
 
2. 
1x5
1x9x5 2
+
+−
 
 
a) x – 2 b) x + 1 c) x - 3 
d) x + 4 e) 3x + 2 
 
3. 
4x3
3x17x15 2
−
+−
 
 
a) x + 3 b) 3x – 5 c) 5x + 1 
d) x – 5 e) 5x - 1 
 
4. 
5x
3xx25x5 2
−
++−
 
 
a) 3x – 5 b) x + 5 c) x - 5 
d) 5x + 1 e) 5x – 1 
 
5. 
2x
1x11x4 2
+
−+
 
 
a) 4x + 3 b) 4x – 3 c) 3x - 4 
d) 3x + 4 e) -3x - 4 
 
II. Efectuar las siguientes divisiones por el 
Método Ruffini: 
6. 
1x
5x5xx 23
−
++−
 
Dar la suma de coeficientes del cociente. 
 
a) 0 b) -1 c) 7 
d) 6 e) 5 
 
7. 
1x
5x2x3x3 34
+
+−+
 
Dar por respuesta el mayor coeficiente del 
cociente. 
 
a) -2 b) 3 c) -4 
d) 5 e) 1 
8. 
3x4
8x6x12x8 45
−
−−+
 
Indicar el término independiente del cociente. 
 
a) 3 b) 4 c) -5 
d) -7 e) 8 
 
9. 
x52
7x6x5x15 45
+
−+−
 
Indicar el menor coeficiente del cociente. 
 
a) 3 b) -1 c) -2 
d) 4 e) -7 
 
10. Hallar “b” en la siguiente división: 
5x
bx7x2
+
++
 
Si el resto que se obtiene es 4. 
 
a) 15 b) 1 c) 7 
d) 10 e) 14 
 
11. Hallar “b” en la siguiente división: 
3x4
bx15x8x20 2
−
+−−
 
Si el resto es 7. 
 
a) 14 b) 13 c) 15 
d) 10 e) 11 
 
12. La siguiente división: 
2x3
bx4x15 2
+
++
 es exacta 
Hallar: “b” 
 
a) -2 b) -7 c) -6 
d) -5 e) -4 
 
13. La siguiente división: 
1x2
bx5x8x10 34
−
+−−
 es 
exacta. 
Hallar: “b” 
 
a) -4 b) -5 c) -2 
d) -6 e) -7 
 
14. La siguiente división: 
1x4
12x3bxx12 23
−
+−+
 
tiene residuo 7. 
Hallar la suma de coeficientes del cociente. 
 
a) 8 b) 5 c) 4 
d) -3 e) -2 
 
15. La siguiente división: 
1x
7x2bxx5 34
−
+++
 
tiene resto 9. 
Hallar: “b” 
 
a) 4 b) -3 c) 8 
d) -2 e) -5 
 
 
 
 
 132 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 DESPEJAR : Proceso mediante el cual la incógnita se traslada a un miembro de la 
igualdad y los números al otro miembro. 
 
 
 
 TÉRMINO ALGEBRAICO : Expresión que une parte constante y parte variable mediante la 
multiplicación.