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110 FACTORIZACIÓN III MÉTODO DE LAS IDENTIDADES Este método se basa en los productos notables, es decir: si se nos proporciona un polinomio cuya forma conocemos, podemos escribir la multiplicación indicada de factores que le dio origen. A. DIFERENCIA DE CUADRADOS a2 – b2 = (a + b) (a - b) Factorizar: 9x2 - 16 Solución: Extraemos la raíz cuadrada a ambos términos. 416 x3x9x9 22 = == La expresión factorizada será: 9x2 – 16 = (3x + 4)(3x - 4) Factorizar: E = 16x4 - 81 Solución: Escribiendo la diferencia de cuadrados dada como la suma por la diferencia de sus cuadrados. E = 16x4 – 81 4x2 9 E = (4x2 + 9) (4x2 – 9) Los signos (+); (-) en el Siglo XVII para representarlos se usaban las letras P de plus para la suma y M de minus para la resta respectivamente. Al extraer raíz cuadrada de variables, aplicamos exponente fraccionario es decir: n m a n ma = Por ejemplo: 4xx8x 2/8 == 111 El primer factor (4x2 + 9) es primo; el segundo factor obtenido (4x2 - 9) no lo es: E = (4x2 + 9) (4x2 - 9) 2x 3 E = (4x2 + 9) (2x + 3) (2x - 3) B. TRINOMIO CUADRADO PERFECTO a2 ± 2ab + b2 = (a ± b)2 a b 2ab Factorizar: M = 4x2 + 12x + 9 2x 3 2(2x)(3) El polinomio M factorizado se escribe como el cuadrado de la suma de las raíces. M = (2x + 3)2 Factorizar: N = x2 + 10xy + 25y2 x 5y 2(x)(5y) N = (x + 5y)2 Factorizar: P = m16 – 2m8t2 + t4 m8 t2 2(m8)(t2) Si el doble producto de las raíces de los extremos es negativo. La expresión factorizada es el cuadrado de la diferencia de las raíces. P = (m8 – t2)2 C. SUMA Y DIFERENCIA DE CUBOS a3 + b3 = (a + b) (a2 – ab + b2) a3 - b3 = (a - b) (a2 + ab + b2) Factorizar: E = a6 + 125 Solución: ▪ Raíz cúbica del 1º Término 3 6a = a6/3 = a2 ▪ Raíz cúbica del 2º Término 3 125 = 5 ▪ La suma de estas dos raíces cúbicas constituyen el primer factor buscado. E = a6 + 125 = (a2 + 5) ( ) ▪ El factor trinomio se calcula así: – Los términos extremos son los cuadrados de los términos del factor binomio. E = a6 + 125 = (a2 + 5)(a4 + 25) – El término central es el producto de los términos del factor binomio con el signo cambiado. E = (a2 + 5) (a4 – 5a2 + 25) Factorizar: F = 27x9 – 8y6 Solución: ▪ Raíz cúbica del 1º término. 33 933 9 x3x.27x27 == ▪ Raíz cúbica del 2º término. 23 633 6 y2y8y8 == E = (3x3 – 2y2) (9x6 + 6x3y2 + 4y4) CCuuiiddaaddoo:: La expresión (2x + 3) 2 equivale a escribir: (2x + 3)(2x + 3) 112 Factorizar: 1. a4 – b2 2. 25x2 – 9y2 3. 100 – y8 4. 36 – z10 5. x2 – 12x + 36 6. 49a2 – 28a + 4 7. x2 + 25y2 – 10xy 8. m2 + 14mn2 + 49n4 9. 4a16 + 4a8b + b2 10. y15 + 1 11. 8y3 + 1 12. x3y3 + 8 13. m3 – r6 14. 8x18 – 1 15. m30 – 8t3 TAREA DOMICILIARIA Nº 7 Factorizar: 1. 4x2 – y2 2. 36a8 – b2 3. 1 – 25z6 4. 49x4 – 4y2 5. 4x2 – 4x + 1 6. 9t2 + c2 – 6tc 7. 48m3 + 64m6 + 9 8. 100x2 + 20x + 1 9. y4 + 2y2 + 1 10. x3 + 8 11. x21 + 27 12. 125y9 + 1 13. a6 – b9 14. 27 – x45 15. 64x9 - 1 EJERCICIOS DE APLICACIÓN
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