ALG - Guía 5 - Factorización

Vista previa del material en texto

105 
FACTORIZACIÓN 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Al multiplicar polinomios operamos con factores. 
Obteniendo como resultado otro polinomio llamado 
producto. 
 
 
(x + 2)(x2 – 2x + 4) = x3 + 8 
 
 
 
 
 
 
 
 Si operamos en sentido contrario, tendremos 
que: 
 A partir del polinomio producto, hallamos la 
multiplicación indicada de factores; a este 
procedimiento le llamamos factorización de un 
polinomio es decir: 
 
x3 + 8 = (x + 2) (x2 – 2x + 4) 
 
 
 
 
 Estos factores deben ser factores primos. 
 
 
FACTOR PRIMO 
 Es aquel polinomio de grado diferente de cero, 
que es divisible por si mismo y por la unidad. 
 
Ejemplo: 
x + 1 : 1, x + 1 
x – 2 : 1, x – 2 
x2 + 1 : 1, x2 + 1 
 
 
 
Factores Producto 
Polinomio Multiplicación 
Indicada de Factores 
 
(a + b)(a2 – ab + b2) = a3 + b3 
Multiplicación 
Indicada 
Suma 
de 
Cubos 
 La factorización nos ayuda a 
simplificar cálculos engorrosos y permite 
resolver ecuaciones e inecuaciones. 
 La palabra primo proviene de primitivo, 
primario y factorización proviene de factor. 
 
 106 
MÉTODOS DE FACTORIZACIÓN 
 MÉTODO DEL FACTOR COMÚN 
 Este método consiste en aplicar en sentido 
contrario la propiedad distributiva de la 
multiplicación respecto a la adición. 
 
 Es decir, si esta propiedad se expresa así: 
a(b + c) = ab + ac 
 En sentido contrario tendríamos: 
ab + ac = a(b + c) 
 Donde a recibe el nombre de Factor Común. 
 
A. FACTOR COMÚN MONOMIO 
 En este caso, todos los términos del 
polinomio dado tienen un factor común con las 
características de un monomio. 
Ejemplo: 
Factorizar: 
 ax + bx + cx 
x es un factor común a todos los términos 
entonces: 
ax + bx + cx = x(a + b + c) 
 
Ejemplo: 
Factorizar: 
 x6y3 – x4y5 + x2y7 
El factor común es x2y3 es decir la letra x e 
y con su menor exponente: 
x6y3 – x4y5 + x2y7 = x2y3( ) 
 
¿Qué se escribe dentro del paréntesis? 
 Para esto dividimos cada término del 
polinomio original entre el factor común x2y3 
con lo cual la expresión factorizada será: 
x6y3 – x4y5 + x2y7 = x2y3(x4 – x2y2 + y4) 
 
Ejemplo: 
Factorizar: 
 xn+3 + xn+2 + 2xn+1 
El factor común es xn+1 + 
xn+3 + xn+2 + 2xn+1 
= xn+1(x2 + x + 2) 
B. FACTOR COMÚN POLINOMIO 
 Al extraer este factor común, procedemos 
en la misma forma que el factor común 
monomio, cuidando que el polinomio común este 
dentro de un signo de colección. (Paréntesis, 
llave, corchete). 
 
Ejemplo: 
Factorizar: 
 (x + y)a + (x + y)b – 2(x + y) 
(x + y) esta como factor en cada uno de los 
términos luego: 
(x + y)a + (x + y)b – 2(x + y) 
= (x + y)(a + b - 2) 
 
Factorizar: 
 a(x – y - z) – b(-x + y + z) 
Aparentemente no hay factor común pero; si 
factorizamos el signo a 
–x + y + z = -(x – y - z) entonces: 
a(x – y - z) – b [-(x – y - z)] 
a(x – y - z) + b(x – y - z) 
(x – y - z) (a + b) 
 
Factorizar: 
 a2xn+2(b + c)2 + a3xn+1(b + c)3 
a2xn+1(b + c)2 esta como factor común: 
= a2xn+1(b + c)2 [x + a(b + c)] 
= a2xn+1(b + c)2 [x + ab + ac] 
 
 
 Un polinomio de grado cero es 
una constante como: 2, 4, 7, -8, …. 
etc. 
 Entonces cualquiera de estas 
constantes no se considera factor 
primo. 
Factor Común 
 
 107 
 
 
 
 
 Factorizar: 
1. ax + bx 
2. x2a + x2b 
3. a2x + ay 
4. a2 + a 
5. x2y – y – zy 
6. 7abc – 35abc2 
7. 2a4b – 4ab4 – 6a4b4 
8. 5a4b4 + 25a8b3 – 30a9b4 
9. (m + n - 1)x2 + (m + n - 1)x – (m + n - 1) 
10. (a2 + b2)3a + (a2 + b2)5c + (a2 + b2)2 
11. (m2 + n)(x - y) – (m2 + n)(2x + 5y) 
12. (x + y)3 – (x + y)4z 
13. (x + y)(a + b) + (x + y)(m + n) 
14. (x + y + z + w)a5 – (x + y + z + w)(b + c) 
15. (a + b + 1)2 – (a + b + 1)(x - 2) + (a + b + 1) 
 
 
 
TAREA DOMICILIARIA Nº 5 
 
 
 Factorizar: 
1. m3y + m3t 
2. a3x – a2y 
3. a3 + a2 + a 
4. a2b + b 
5. x2 + 2x 
6. 6m2n – mn2 
7. 5xyz3 – 3xy3z + 2x3yz 
8. 6a8 + 12a6 – 18a4 + 24a2 
9. (a + b)m2 + (a + b)n 
10. (x + y)a3 + (x + y)b2 
11. (a + 2b)x4 + (2b + a)y3 
12. (m2 + n2)x2 + (m2 + n2)y2 
13. (a + b + 1)2 – (a + b + 1)(x - 2) + (a + b + 1) 
14. (x4 - t)3y2 – (x4 – t)(y - 1) + (x4 - t)(y - 2) 
15. (y2 + y + 7)2c2 – (y2 + y + 7)(c - 3) + y
2
 + y + 7
 
 
EJERCICIOS DE APLICACIÓN