ARIT - Guia 2 - Adición en el conjunto Z

Vista previa del material en texto

43 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
LA OPERACIÓN DE SUMAR 
 
La suma es la primera operación cuya necesidad siente el hombre; los dedos 
de las manos y las piedrecillas le bastaron en un comienzo, pero cuando 
irrumpe en el campo del comercio necesita fijar sus compras y sus ventas. 
 
 
 COMO SUMABAN LOS EGIPCIOS Y LOS CALDEO – ASIRIOS 
 
Los egipcios y los caldeo-asirios efectuaron la suma haciendo huellas en la 
arena, donde colocaban unas bolitas; cada una de esas bolitas en la huella de 
la derecha representaba un objeto; cada bolita en la siguiente huella (hacia 
la izquierda) representaba diez objetos; en la siguiente huella representaba 
cien objetos; en la cuarta, mil objetos, etc. 
 
 En el esquema que se da a continuación están los cuatro momentos de la suma de 647 + 285: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
OPERACIONES EN 
Z 
 
Adición en Z 
 
a + b = suma 
 
Propiedades: 
1) a + b = b +a 
2) (a + b) + c = a + (b + c) 
3) a + 0 = a 
4) a + (-a) = 
 
 
Sustracción en Z 
 
M – S = D 
Equivale a: 
M + (-S) = D 
(-S) opuesto de S 
 
Propiedad: 
M = S + D 
 
Multiplicación 
en Z 
 
a . b = producto 
 
Propiedades: 
1) a . b = b . a 
2) (a . b) . c = a . (b . c) 
3) a . 





a
1
 = 1 
 
División en Z 
 
* División entera exacta 
 
 D d D = d . q 
 q 
 
* División entera inexacta 
 
 D d 
 R q D = dq + R 
 
Propiedad: 
d  0 
PRIMER MOMENTO 
El número 647 
SEGUNDO MOMENTO 
Se le agrega 285, 
separando con rayas. 
TERCER MOMENTO 
Se dejan 2 en la columna 
de la derecha y separa 
una bolita a la 2da 
CUARTO MOMENTO 
Se dejan 3 bolitas en la 
2a y se pasa una a la 
3era columna 
 
 44 
 
 COMO SUMABA PITÁGORAS 
Para sumar se valió del ábaco, el cual era una tabla de ocho columnas; la primera 
columna de la derecha representaba las UNIDADES; la siguiente de la izquierda 
representaba las DECENAS, la siguiente las CENTENAS, luego los MILLARES, 
etc. 
 
o Encima de la raya horizontal de la 
tabla había en cada columna cuatro 
piedrecillas (cálculi), cada una de las 
cuales representaba una unidad de su 
respectivo orden (nosotros las hemos 
representado por bolitas claras). 
Debajo de la raza horizontal había en 
cada columna dos piedrecillas 
(nosotros las hemos representado por 
bolitas oscuras), cada una de las cuales representaba cinco unidades de su 
respectivo orden. La suma se efectuaba en la forma que casi todos nosotros 
hemos conocido en la escuela, al aprender a sumar en el ábaco. 
La figura de la izquierda representa un ábaco de operar, y la de la 
derecha representa el número 630,509. 
 
 
 
 COMO SUMABAN LOS HINDUES 
Después d dar un problema de suma en su famoso 
LILAVATI, BRASKARA lo efectuaba de la siguiente 
manera (1150 d.C.): 
 
Sea por ejemplo: 4 + 8 + 215 + 56 + 869 
 
Los sumandos se colocaban así: 
 
 
 
4, 8, 5, 6, 9 ……………….. Suma de las unidades 3 2 
 1, 5, 6 ……………….. Suma de las decenas 1 2 
 2, 8 ……………….. Suma de las centenas 1 0 
 Suma total 1 1 5 2 
 
 
 
 
 LA LUCHA ENTRE ABACISTAS Y ALGORITMOS 
De la observación cuidadosa del ábaco y de la manera de operar con él se puede apreciar que en el ábaco 
estaban ya latentes los principios de la numeración decimal. Los partidarios del cálculo mediante las cifras 
escritas (algorítmicos) lucharon tenazmente por implantarlo y por desterrar el uso del ábaco (abacistas), 
pero estos últimos se resistían. Recién en el siglo XII triunfó la corriente renovadora del nuevo método 
de cálculo mediante las cifras escritas. 
 
 
 
 45 
ADICIÓN EN EL CONJUNTO Z 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 ADICIÓN 
 
 
Concepto.- Es la 
operación binaria que, 
dados 2 enteros a y b 
llamados sumandos, hace 
corresponder un tercer 
entero S llamado suma. 
 
 
S = a + b 
 
 
 
 
 
 
 
 
i) S = 15 + 3 
 S = 18 
 
ii) S = 22 + 45 + 18 
 S = 85 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
iii) S = (-15) + (-13) 
 
PROCEDIMIENTO 
Se procede de la misma manera que se suman los 
números positivos con la única diferencia que el 
signo del resultado de la suma será (-). 
 
S = - (15 + 13) = -28 
 
iv) S = (-13) + (-8) 
 S = -(13 + 8) = -21 
 
v) S = (-15) + (-6) + (-9) 
 S = -(15 + 6 + 9) = -30 
 
 
 
 
 
1) S = 15 + 6 + 12 = 
2) S = (-8) + (-9) + (-13) = 
3) S = 42 + 48 + 80 = 
4) S = (-34) + (-12) + (-10) + (-8) = 
5) S = (-15) + (-16) + (-12) = 
6) S = -6 – 7 – 13 – 29 = 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
sumandos suma 
¡¡Qué fácil! 
Ahora sumemos 
números 
negativos. 
Clausura: Si a  Z  b  Z → (a + b)  Z 
 
Conmutativa: Si a  Z  b  Z → (a + b) = (b + a) 
 
Asociativa: Si a, b  c  Z →(a + b) + c = a + (b + c) 
 
Elemento 
Neutro : Si a  Z → a + 0 = a 
 
Inverso 
Aditivo : Si a  Z → (-a )  Z / a + (-a) = 0 
 
 46 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1. Indicar el elemento neutro de la suma. 
 
a) +1 b) -1 c) –a 
d) a e) 0 
 
2. Indicar el inverso aditivo de 5: 
 
a) +5 b) 5 c) -5 
d) 1/5 e) -1/5 
 
 Completa los casilleros vacíos y dar como 
respuesta la mayor de las cifras. 
 
3. 9 8 7 2 + 
 3 4 3 5 
 7 6 2 3 
1 5 2 9 
 
 Rpta. 
 
 
4. 7 8 9 + 
 3 3 5 3 
 6 7 2 
1 5 3 
 
 Rpta. 
 
 
5. 9 9 3 + 
 3 3 6 
 7 2 1 8 
 2 3 
 
 Rpta. 
 
6. 8 9 3 + 
 2 3 1 5 
 6 7 2 
 5 3 1 
 9 3 6 9 
 
 Rpta. 
 
 Completa los casilleros vacíos y dar como 
respuesta la suma de dichos casilleros. 
 
7. 5 7 3 + 
 4 9 2 3 
 5 3 3 
 3 6 
 
 Rpta. 
 
8. 9 9 9 9 + 
 3 3 
 5 5 3 4 
 8 6 
 
 Rpta. 
 
 
9. 3 4 2 1 + 
 5 2 6 
 2 3 9 7 
 7 8 2 
 
 Rpta. 
 
 
10. 5 9 4 + 
 3 6 5 
 2 3 1 
1 6 7 8 9 
 7 5 2 
 
 Rpta. 
 
EJERCICIOS DE APLICACIÓN 
 
 47 
 
11. Carla tiene $20, Sonia tiene $50 más que Carla 
y Gloria $5 más de lo que tiene Sonia. ¿Cuánto 
dinero tienen entre las 3 juntas? 
 
a) $ 75 b) 85 c) 95 
d) 105 e) 115 
 
12. Jesús tenía 20 años cuando nació su hija Betty. 
Actualmente Betty tiene 20 años. ¿Cuánto 
suman las edades actuales de Jesús y Betty? 
 
a) 40 b) 50 c) 30 
d) 60 e) N.A. 
 
13. La suma de 3 números enteros consecutivos es 
90. Hallar el número intermedio. 
 
a) 20 b) 21 c) 30 
d) 31 e) N.A. 
 
14. La suma de 2 números enteros negativos es -28. 
Hallar el mayor sumando que cumple está 
condición. 
 
a) -27 b) -1 c) -14 
d) -15 e) -16 
 
15. Se tienen 51 números enteros consecutivos. Si 
el menor es 20. Hallar el número mayor. 
 
a) 71 b) 52 c) 72 
d) 70 e) 69 
 
 Simplificar: 
 
16. M = +12 + 39 + 42 + 83 = 
 
17. N = 981 + 1293 + 1939 = 
 
18. O = -491 – 490 – 992 = 
 
19. Q = -582 – 583 – 592 = 
 
20. R = -672 – 693 – 963 = 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1. Indicar el inverso aditivo de: 
-53 – 52 
 
a) +1 b) -1 c) +105 
d) -105 e) 0 
 
 Completa los casilleros vacíos en los siguientes 
ejercicios: 
 
2. 2 8 + 
 9 2 5 
 63 7 
 3 6 3 4 
 
 
3. 6 1 9 + 
 7 3 5 3 
 2 6 1 
 8 4 
 
 
4. 1 5 8 + 
 7 6 3 1 
 9 4 5 
 3 4 5 6 7 
 
 
5. 6 9 6 9 + 
 1 3 5 
 7 2 8 
 7 6 4 3 9 
 
 
6. 4 5 + 
 7 2 
 2 3 8 9 
 3 9 3 4 5 
 
TAREA DOMICILIARIA Nº 2 
 
 48 
 
 
7. 5 3 + 
 4 9 3 7 
1 3 3 3 3 
 
 
8. 4 8 9 9 + 
 3 
 9 5 2 1 1 
 
 
9. + 
 7 9 2 5 
 8 9 2 1 
 
 
10. 1 4 9 7 3 + 
 
 1 6 5 7 3 
 
 
11. 1 7 2 1 + 
 4 3 
 3 5 6 
 
 Completar los casilleros vacíos y dar como 
respuesta la cifra mayor 
 
12. 9 9 7 + 
 4 3 8 
 5 6 7 2 
 5 1 3 6 5 
 Rpta. 
 
13. 4 4 5 + 
 3 1 2 
 2 3 8 9 
 Rpta. 
 
 
 
 
 Completar los casilleros vacíos y dar como 
respuesta la suma de dichos casilleros. 
 
14. 5 6 7 + 
 3 7 9 9 
 3 8 4 3 
 6 4 5 9 
 Rpta. 
 
15. 1 5 2 + 
 7 7 3 
 8 9 2 1 
 Rpta. 
 
16. Pepe tiene 12 caramelos y Toto tiene 8 
caramelos más que Pepe y Juan Carlos tiene 5 
caramelos más que Toto. Hallar cuántos 
caramelos tienen entre los 3 juntos. 
 
a) 47 b) 45 c) 50 
d) 57 e) 52 
 
17. La suma de 4 números enteros consecutivos es 
38. Hallar el menor de los números. 
 
a) 7 b) 8 c) 9 
d) 10 e) 11 
 
18. La suma de 2 números enteros negativos es -38. 
Hallar el mayor sumando que cumple está 
condición. 
 
a) -37 b) -1 c) -36 
d) -35 e) -2 
 
19. Se tienen 101 números enteros consecutivos. Si 
el menor es 30. Hallar el mayor. 
 
a) 71 b) 131 c) 130 
d) 129 e) 128 
 
20. La suma de las edades actuales de un padre y su 
hijo es 60 años, hallar la suma de sus edades 
dentro de 15 años. 
 
a) 65 años b) 75 c) 90 
d) 80 e) 70