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IVB / GEOMETRÍA / 1º 124 Bernhard Riemann ( 1826 - 1866), matemático alemán que elaboró un sistema de Geometría que contribuyó al desarrollo de la Física teórica moderna. Nació en Breselenz y estudió en las universidades de Gotinga y Berlín. Su tesis doctoral Foundations for a General Theory of Functions of a Complex Variable (Fundamentos para una teoría general de funciones de variables complejas), presentaba en 1851, ontituyó una extraordinaria aportación a la teoría de funciones. Desde 1857 hasta su muerte fue profesor de matemáticas en la Universidda de Gotinga. La importancia de la Geometría de Riemann radica en el uso y extensión de la Geometría Euclídea y de la Geometría de superficies, que conduce a muchas Geometrías diferenciales generalizadas. El efecto más importante de estas investigaciones fue que logró una aplicación geométrica para algunas abstracciones del análisis de tensores, que conducía a algunos de los conceptos que utilizó más tarde Albert Einstein al desarrollar su teoría de la relatividad. La Geometría de Riemann también es necesaria para tratar la electricidad y el magnetismo enn la estructura de la relatividad general. IVB / GEOMETRÍA / 1º 125 Sabemos que la Mediatriz de un segmento, es la línea recta perpendicular a dicho segmento en su punto medio. M : Punto medio de AB L : Recta mediatriz de AB PROPIEDAD DE LA MEDIATRIZ Todo punto perteneciente a la recta mediatriz ( L ) equidista (se encuentra a igual distancia) de los extremos del segmento AB. Entonces en el gráfico anterior : AP = PB AQ = QB AR = RB PROPIEDAD DEL TRIÁNGULO ISÓSCELES Es una aplicación del Teorema de la Mediatriz. 1º Sea ABC isósceles. 2º Trazamos la altura BH (siendo H punto medio de AC ) 3º ABH = CBH 4º Se cumple : BH AC 5º BH es un segmento de mediatriz, cualquier punto de BH equidista de los extremos de la base A y C. Se cumple : • BH AC • = • = • PA = PC La Mediatriz de un triángulo isósceles es a la vez Bisectriz, Mediana y Altura del mismo triángulo isósceles, todo lo anterior se demuestra por congruencia de triángulos. Ejemplo : De la figura hallar “a + b” R B M A Q P L A C H B P 3 a 5 b IVB / GEOMETRÍA / 1º 126 1. Hallar “a” a) 46 b) 7 c) 5 d) 8 e) N.A. 2. Hallar “a + b” a) 12 b) 18 c) 15 d) 8 e) N.A. 3. Hallar “x” a) 4 b) 5 c) 6 d) 7 e) N.A. 4. Hallar “a + b” a) 4 b) 8 c) 6 d) 10 e) N.A. 5. Hallar “x” a) 13 b) 15 c) 18 d) 16 e) N.A. 6. Hallar “x” a) 4 b) 5 c) 8 d) 6 e) N.A. 7. Hallar el valor de “” a) 12º b) 10º c) 15º d) 11º e) N.A. 8. Hallar “x” a) 8 b) 5 c) 4 d) 6 e) N.A. 9. Hallar “x” a) 7 b) 8 c) 6 d) 9 e) N.A. 10. Hallar “y - x” a) 22º b) 18º c) 16º d) 20º e) N.A. 5 a - 1 13 b a 5 4 3 x 5 5 2a - 3 2b + 1 X 7 20 60º 3 x 3 3 3 2 8 x - 3 5 x 5 13 37º 53º y x IVB / GEOMETRÍA / 1º 127 11. Hallar “a + b” a) 15 b) 11 c) 12 d) 10 e) N.A. 12. Hallar “x” a) 5 b) 3 c) 6 d) 4 e) N.A. 13. Hallar “x” a) 7 b) 9 c) 10 d) 8 e) N.A. 14. Hallar “x” a) 3 b) 5 c) 4 d) 8 e) N.A. 15. Hallar “ + ” a) 40º b) 50º c) 30º d) 35º e) N.A. 1. Hallar “a + b” a) 15 b) 18 c) 19 d) 12 e) N.A. 2. Hallar “ - ” a) 37º b) 16º c) 15º d) 20º e) N.A. 3. Hallar “x” a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) N.A. 4. Hallar “x” a) 18 b) 10 c) 25 d) 20 e) N.A. 5. Del problema anterior, hallar “x + y” a) 25 b) 28 c) 20 d) 33 e) N.A. 10 x 7 53º 53º 8 4 x 5 a 4 x 5 a a a a 20º 20º 53º 4 5 x 60º y 20 x 10 3 5 a b 10 3 25 7 a + 4 2b + 1 IVB / GEOMETRÍA / 1º 128 6. Hallar “2” a) 40º b) 60º c) 50º d) 55º e) N.A. 7. Hallar “2x” a) 10 b) 16 c) 12 d) 15 e) N.A. 8. Hallar “x” a) 12 b) 10 c) 6 d) 8 e) N.A. 9. Hallar “3a + 2b - c” a) 15 b) 12 c) 16 d) 20 e) N.A. 10. Hallar “a” a) 15 b) 17 c) 20 d) 21 e) N.A. 11. Hallar “2” a) 100º b) 74º c) 90º d) 106º e) N.A. 12. Hallar “a + b” a) 9 b) 8 c) 12 d) 10 e) N.A. 13. Hallar 4 ba + a) 2 b) 5 c) 4 d) 6 e) N.A. 14. Hallar el valor de “” a) 30º b) 20º c) 40º d) 50º e) N.A. 15. Hallar “x” a) 16 b) 25 c) 19 d) 22 e) N.A. 30º 5 5 4 3 8 8 30º x 45º 45º 4 x 4 a 4 b c a 45º 7 25 53º 10 a b 4 30º 3 x 9 7 48 a b 8
Desafio PASSEI DIRETO
Gael Alberto Pérez Lopez
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