Arit - Guia 1 - Potenciacion en Z

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61 
¿Sabías que...? 
 
 
POTENCIACIÓN EN Z 
 
 
 
 
 
Los babilonios ya habían conocido muy bien la tabla de los cuadrados de los números, tal como 
lo prueba la tabla de los cuadrados hallada por los arqueólogos a orillas del Eufrates, en un lugar donde 
existió un templo. Este valioso hallazgo consiste en una tablilla de arcilla (como puede verse en el 
grabado) y cuyo equivalente en cifras actuales aparece al lado. 
 
 
1 2 3 4 5 6 7 8 
1 1 2 3 4 5 6 7 8 
2 2 4 6 8 10 12 14 16 
3 3 6 9 12 15 18 21 24 
4 4 8 12 16 20 24 28 32 
5 5 10 15 20 25 30 35 40 
6 6 12 18 24 30 36 42 48 
 
 
LOS BABILONIOS 
 
Ellos emplearon la potencia cuadrada, sobre todo para efectuar sus multiplicaciones, siguiendo el procedimiento 
que se indica a continuación: 
 
1. La semisuma de los dos factores la elevaban al cuadrado. 
2. La semidiferencia de dichos factores la elevaban al cuadrado. 
3. La diferencia de estos dos cuadrados obtenidos era el resultado final. 
 
Ejemplo: Efectuar el producto 26  18, siguiendo el anterior procedimiento. 
 
1. La semisuma de 26 y 18 es 22, y el cuadrado de 22 es 484. 
2. La semidiferencia de 26 y 18 es 4, y el cuadrado de 4 es 16. 
3. La diferencia de 484 y 16 es 468, que viene a ser el producto de 26 por 18. 
 
(Haga la prueba de multiplicar dos números cualesquiera siguiendo este procedimiento, que de 
preferencia sean ambos pares o impares, para evitarse los decimales) 
 
 
NOTACIÓN DE LA POTENCIACIÓN 
 
Desde muy antiguo buscaron los matemáticos una manera simbólica y simple de indicar la potenciación. En este 
afán, el matemático BHASKARA empleó la inicial de la palabra cuadrado para indicar la segunda potencia (año 1150) y 
la inicial de la palabra volumen para expresar la tercera potencia. 
Es el escocés James Hume (1636) quien adopta la actual notación, pero usando los números romanos para 
exponentes. Ya Descartes (1637) adopta los números actuales como exponentes. 
 
La tabla babilónica 
de los cuadrados. 
 
 
 
 
 
 
POTENCIACIÓN EN Z 
 
 
 
 
 
 
Así: 
 
 
 
 
 
 
 
 
El exponente natural “n” indica la cantidad de 
veces que se repite la base entera “a” como factor, 
así tenemos: 
 
an = 
  
veces"n"
a a a ........ 
 
 
 
Efectuar: 
 
• (+3)2 = 

veces2
)3()3( ++ = +9 
• (+3)3 = 
  
veces3
)3()3()3( +++ = +27 
• (−3)2 = 

veces2
)3()3( −− = +9 
• (−3)3 = 
  
veces3
)3()3()3( −−− = −27 
 
 
 SIGNOS DE POTENCIACIÓN EN Z . 
 
➢ (+a)Par o Impar = +P 
 
• (+3)2 = +9 
• (+2)3 = +8 
➢ (−a)Par = +P 
 
• (−3)2 = +9 
• (−2)4 = +16 
 
 
➢ (−a)Impar = −P 
 
• (−3)3 = −27 
• (−5)3 = −125 
 
 
 
 
 
• (+2)5 = 
• (+7)3 = 
• (−6)2 = 
• (−3)4 = 
• (-2)5 = 
• (-3)5 = 
• (−7)2 = 
• (−2)8 = 
 
 
 
 
 
 
 
 PRODUCTO DE POTENCIAS DE BASES IGUALES . 
 
Observa: 
 
• (+3)2 (+3)3 = 
  
  
veces5
veces3
)3()3()3(
veces2
)3()3( +++++ = (+3)5 
• (-5)4 (-5)2 = 
  
  
veces6
veces2
)5()5(
veces4
)5()5()5()5( −−−−−− = (-5)6 
 
 
Ahora: 
 
• (-2)2 (-2)6 = 
• (-6)2 (-6)2 = 
• (+4)2 (+4)3 = 
 
 
 
 
 
 
CONCEPTO: Es una operación en la 
que dada una base entera (número 
entero) y un exponente natural, 
hallamos un tercero llamado 
POTENCIA “P”. 
am . an = am+n 
Base Potencia 
Exponente 
an = P a  Z; n  N; P  Z 
n
m
a
a = am−n 
 
 
 63 
 
 COCIENTE DE POTENCIAS DE BASES IGUALES . 
 
Observa: 
 
• 
2
6
)5(
)5(
−
−
 = 

  
veces2
veces6
)5()5(
)5()5()5()5()5()5(
−−
−−−−−−
 
 
2
6
)5(
)5(
−
−
 = 
  
veces4
)5()5()5()5( −−−− = (-5)4 
 
 
Ahora: 
 
• 
3
5
)3(
)3(
−
−
 = 
• 
7
8
)2(
)2(
+
+
 = 
• 
5
7
)5(
)5(
−
−
 = 
• 
8
9
)7(
)7(
+
+
 = 
 
 
OBSERVACIÓN: 
 
am ÷ am = 
m
m
a
a = am-m = a0 
 
Pero: 
m
m
a
a = 1 
 
 a0 = 1 Potencia de exponente cero. 
 
 
 
 
 
 
 
 POTENCIA DE POTENCIA . 
 
Observa: 
 
• [(-5)3]2 = (-5)3.2 = [(-5)2]3 = (-5)6 
 
 
Ahora: 
 
• [(-7)3]3 = 
• [(-5)2]4 = 
• [(+2)4]5 = 
 
 
 
 
 
 
 
 POTENCIA DE UN PRODUCTO . 
 
Observa: 
 
• (3  7)2 = (3)2  (7)2 
• [(-3) (+5)]3 = (-3)3  (+5)3 
 
 
Ahora: 
 
• [(-4)  (+2)]3 = 
• [(-5) (+11)]2 = 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
EJERCICIOS DE APLICACIÓN 
 
 
I. Efectuar: 
 
1. (4)2 = 
2. (3)3 = 
3. (−5)3 = 
4. (2)5 = 
 
 
II. Resolver mediante la propiedad: 
 
 
 
 
 
 
(an)m = anm = (am)n 
(a  c)n = an  cn 
¿Sabías que... 
 
(25)2 = (3  2) 25 = 6 25 
 
(35)2 = (4  3) 25 = 12 25 
 
(45)2 = (5  4) 25 = 20 25 
 
(55)2 = (6  5) 25 = 30 25 
 
am . an = am+n 
 
 
5. (3)5  (3)6 = (3) 
 
6. (7)10 (7)2 (7)3 = 7 
 
7. (−2)5 (−2)7 (−2)2 = ( ) 
 
8. (−3)3 (−3)4 (−3)5 = (−3) 
 
 
III. Resolver mediante la propiedad: 
 
 
 
 
 
 
9. 
7
10
)5(
)5(
−
−
 = ( ) 
 
10. 
10
12
)3(
)3(
−
−
 = ( ) 
 
11. 
11
15
)2(
)2(
+
+
 = ( ) 
 
12. 
5
7
)7(
)7(
−
−
 = ( ) 
 
 
IV. Resolver mediante la propiedad: 
 
 
 
 
 
 
13. [(5)3]8 = ( ) 
 
14. [(11)7]9 = ( ) 
 
15. [(−3)10]5 = ( ) 
 
16. [(−13)9]2 = ( ) 
 
 
 
V. Resolver mediante la propiedad: 
 
 
 
 
 
17. (3)3 (−7)3 = ( ) 
 
18. (−5)2 (9)2 = ( ) 
 
19. (−7)5 (11)5 = ( ) 
 
20. (13)8 (−2)8 = ( ) 
 
 
VI. Resolver: 
 
21. (21)3 (15)7 (8)2 = 
22. (63)4 (125)3 (32)2 = 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
TAREA DOMICILIARIA Nº 1 
 
 
I. Efectuar: 
 
1. (-3)3 = 
2. (-7)3 = 
3. (-5)4 = 
4. (-2)9 = 
II. Resolver mediante la propiedad: 
 
 
 
 
 
5. 75 . 716 = ( ) 
 
6. (−23)8 (−23)5 = ( ) 
am . an = am+n 
n
m
a
a = am−n 
(am)n = am.n 
(a  c)n = an  cn 
¿Sabías que... 
 
(

cifras2
11 )2 = 1 2 1 
(

cifras3
111 )2 = 12 3 21 
(

cifras4
1111 )2 = 123 4 321 
(

cifras5
11111 )2 = 1234 5 4321 
 
 
 
 65 
 
7. (16)3 (16)5 = ( ) 
 
8. (−6)2 (−6)3 = ( ) 
 
 
III. Resolver mediante la propiedad: 
 
 
 
 
 
9. 
5
7
)8(
)8(
−
−
 = ( ) 
 
10. 
2
3
)27(
)27(
−
−
 = ( ) 
 
11. 
3
4
)125(
)125(
 = ( ) 
 
12. 
3
6
)7(
)7(
 = ( ) 
 
IV. Resolver mediante la propiedad: 
 
 
 
 
 
13. [(23)4]3 = ( ) 
 
14. [(3)4]5 = ( ) 
 
15. [(−2)3]6 = ( ) 
 
16. [(−7)5]3 = ( ) 
 
 
 
 
V. Resolver mediante la propiedad: 
 
 
 
 
 
17. (−17)3  (−25)3 = ( ) 
 
18. (−5)6  (−9)6 = ( ) 
 
19. (−2)3  (+11)3 = ( ) 
 
20. (13)11  (−19)11 = ( ) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
✓ BASE : 
 
 
✓ EXPONENTE : 
 
✓ POTENCIA : 
 
 
 
 
n
m
a
a = am−n 
(am)n = am.n 
(a  c)n = an  cn 
 
 
 
 
 
10305050301 + 2040604020 = ( 
cifrasn""
111........ )2 
 
Hallar “n”. 
 
a) 4 b) 5 c) 6 
d) 7 e) 8