Arit - Guía 6 - Sustracción en (Q)

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EL PROBLEMA DE LOS CINCUENTA DINARES 
 
Un mercader narró la siguiente historia, preste una 
vez 100 dinares, 50 a un jeque de Medina y otros 
50 a un judío de el Cairo. El Medianés pagó la 
deuda en cuatro partes, del siguiente modo: 20, 15, 
10 y 5. 
Es decir 
 
Pagó 20 y quedó debiendo 30 
Pagó 15 quedó debiendo 15 
Pagó 10 quedó debiendo 5 
Pagó 5 quedó debiendo 0 
Suman 50 Suman 50 
 
Fíjese amigo mío, que tanto la suma de las cuantías 
pagadas como la de los saldos deudores, son iguales 
a 50. 
El judío Cairota pagó igualmente los 50 dinares en 
cuatro plazos del siguiente modo: 
 
Pagó 20 y quedó debiendo 30 
Pagó 18 quedó debiendo 12 
Pagó 3 quedó debiendo 9 
Pagó 9 quedó debiendo 0 
Suman 50 Suman 51 
 
Conviene observar ahora que en la primera suma es 
50, como en el caso anterior, mientras la otra da un 
total de 51. aparentemente esto no debería 
suceder. 
 
No sé explicar esta diferencia de 1 que se observa 
en la segunda forma de pago. Ya sé que no quede 
perjudicado, pues recibí el total de la deuda, pero 
¿Cómo justificar el que esta segunda sea igual a 51 
y no a 50 como en el primer caso? 
 
A lo que él matemático Beremiz respondió; en las 
cuentas de pago, los saldos deudores no tienen 
relación ninguna con el total de la deuda. 
Admitamos que la deuda de 50 fuera pagada en 3 
plazos, el primero de 10; el segundo de 5 y el 
tercero de 35. 
La cuenta con los saldos sería. 
 
Pagó 10 y quedó debiendo 40 
Pagó 5 quedó debiendo 35 
Pagó 35 quedó debiendo 0 
Suman 50 Suman 75 
 
En este ejemplo, la 
primera suma sigue 
siendo 50, mientras 
que la suma de los 
saldos es como veis 75, 
sólo por casualidad 
dará 50. El mercader 
quedó satisfecho con 
la explicación de 
Beremiz. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
SUSTRACCIÓN EN EL CONJUNTO (Q) 
Fracciones Homogéneas 
(Igual denominador) 
Fracciones Heterogéneas 
(Diferente denominador) 
 
 86 
SUSTRACCIÓN EN Q 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
I. SUSTRACCIÓN DE FRACCIONES HOMOGÉNEAS 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
En cuántas …………………………………… se ha dividido la 
torta, en ……………………………………… 
Luego si consumimos 3 porciones nos queda. 
 
 
 
 
 
 
 
Luego: 
6
3
6
36
6
3
6
6
=
−
=− 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 =
−
=−
9
5
9
8
 
 
 =
−
=−
5
3
5
7
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
II. SUSTRACCIÓN DE FRACCIONES HETEROGÉNEAS 
 
Observa los siguientes ejemplos: 
 
 
 
 
 
 
4
2
 
6
4
 
 
¿Cómo son estas fracciones? 
 
Son _________________________ 
 
 
Ahora restemos: 
4
2
6
4
− 
 
 
 MÉTODO 1: 
Se procede de igual forma que en la suma. 
 
6
1
24
4
)4(6
)2(6)4(4
4
2
6
4
==
−
=− 
 
 
 
 
 
Uy, que 
rico 
¡Qué fácil, 
verdad! 
 
 87 
 MÉTODO 2: 
 
Paso 1: M.C.M. de los denominadores 
 
6 - 4 2 
3 - 2 2 M.C.M.(6, 4) = 2 x 2 x 3 = 12 
3 - 1 3 
1 - 1 
 
Paso 2: 
 
6
1
12
2
12
)2(3)4(2
4
2
6
4
==
−
=− 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
a) =−
10
2
4
3
 
 
b) =−
2
1
7
5
 
 
c) =−
5
3
2 
 
d) =−
7
6
8 
 
e) =−
5
2
3
7
1
4 
 
f) =−
4
3
2
2
1
5 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1. Colocar (V) ó (F) según corresponda: 
 
a) En la sustracción homogénea se 
coloca el mismo denominador. 
 
b) En la sustracción se puede aplicar 
la propiedad conmutativa. 
 
2. Para restar fracciones homogéneas restamos 
los ______________ y conservamos el mismo 
_________________ . 
 
☺ Completar con signos >; <; = según 
corresponda: 
 
3. 





−
2
1
2
2
1
3 





−
3
1
3
2
 
 
4. 





−
3
2
6
5
 





−
3
2
5
1
 
 
5. 





−
9
3
7
2
 





−
7
2
5
1
 
 
☺ Resolver: 
 
6. =−
11
7
11
9
 
 
7. =−
5
3
2
15
 
 
8. =−
11
6
9
8
 
 
9. =−
2
1
11
3
 
 
10. =− 34
8
27
81
16
 
 
11. =−
4
1
2
9
4
 
 
12. =−
5
3
2
4
1
3 
 
13. =−
3
1
2
2
3
5 
 
 
x x 
  
  
¡Ahora Práctica tú! 
¡Usando el método que tú 
prefieras! 
 
 
I II III IV V VI VII VIII IX X L C D 
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 50 100 500 
Números Romanos 
 
EEJJEERRCCIICCIIOOSS DDEE 
AAPPLLIICCAACCIIÓÓNN 
( ) 
( ) 
 
 88 
14. =+−
2
7
3
2
9
4
 
 
15. =−+−
2
1
3
2
8
1
7
5
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1. Colocar (V) ó (F) según corresponda: 
 
a) 
4
6
6
2
6
2
4
6
−=− ( ) 
b) 





−+=−





+
2
1
4
1
4
3
2
1
4
1
4
3
 ( ) 
c) 
35
5
35
14
7
1
5
2
−=− ( ) 
 
2. Colocar (V) o (F) según corresponda: 
 
a) En la sustracción se puede aplicar 
la propiedad conmutativa. 
 
b) En la sustracción se puede aplicar 
la propiedad asociativa 
 
c) En la sustracción no se puede 
aplicar la propiedad conmutativa 
 
 
☺ Completar con signos >; <; = según 
corresponda: 
 
3. 





−
5
1
6
1
 





−
8
9
8
7
 
 
4. 





−
3
2
7
6
 





−
5
3
3
4
 
 
5. 





−
6
1
1
3
1
2 





−
7
3
2
3
4
3 
 
☺ Resolver: 
 
6. =−
108
57
108
63
 
 
7. =−
3
2
9
7
 
 
8. =−
7
2
11
13
 
 
9. =−
9
1
11
5
 
 
10. =− 3
27
8
2
5
 
 
11. =−
9
16
81
2564 
 
12. =−
5
1
4
3
2
5 
 
13. =−
3
1
2
7
3
6 
 
14. =+−+−
5
1
4
3
1
2
7
1
5
1
 
 
15. =−+−
3
5
2
2
3
5
2
3
1
2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resolver: 
E = 
23
13
9
6
7
15 +− 
 
 
 
 
 
 
 
✓ PROPIEDAD CONMUTATIVA: 
 
 
✓ PROPIEDAD ASOCIATIVA: 
 
 
TTAARREEAA DDOOMMIICCIILLIIAARRIIAA 
NNºº 66 
( ) 
( ) 
( )