Libro2 Comptenciasmatemticasyactividaddeaprendizaje

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COMPETENCIAS MATEMÁTICAS Y 
ACTIVIDAD MATEMÁTICA DE APRENDIZAJE 
Competencias matemáticas y actividad matemática de 
 aprendizaje / Bernardo García Quiroga ... [et al.]. -- Florencia :
 Universidad de la Amazonía, 2013.
 360 p. : il. ; 24 cm.
 Incluye bibliografía.
 ISBN 978-958-8770-17-8
 1. Matemáticas - Enseñanza superior 2. Matemáticas - Problemas, ejercicios, etc. 3. 
Enseñanza de las matemáticas
4. Métodos de enseñanza I. García Quiroga, Bernardo, 1956-
510.7 cd 21 ed.
A1427244
 CEP-Banco de la República-Biblioteca Luis Ángel Arango
La responsabilidad de los textos contenidos en esta publicación
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incluyendo las lecturas universitarias, sin previa autorización de(l) (os) autor(es).
Competencias matemáticas y actividad matemática de aprendizaje.
© Universidad de la Amazonia
Sede Principal Calle 17 Diagonal 17 con Carrera 3F - Barrio Porvenir
© Autores: Varios Autores
Primera Edición: 300 Ejemplares 
Florencia - Caqueta, Colombia - Septiembre 2013
ISBN: 978-958-8770-17-8
© Universidad de la Amazonía
Sede Principal Calle 17 Diagonal 17 con Carrera 3F - Barrio Porvenir
Teléfono: (098) 4358786
ISBN 978-958-8770-17-8
 
Autores:
Varios Autores
Diagramación:
Artes Gráficas del Valle S.A.S
Primera Edición: 300 Ejemplares 
Florencia - Caqueta, Colombia - Septiembre 2013
Impreso en los talleres gráficos
de Artes Gráficas del Valle S.A.S
Calle 14 No 50 - 96
Tel: 3332742 - 3827503
www.artesgraficasdelvalle.com
Cali - Colombia
COMPETENCIAS MATEMÁTICAS Y 
ACTIVIDAD MATEMÁTICA DE APRENDIZAJE 
BERNARDO GARCÍA QUIROGA, ARNULFO CORONADO, LEONARDO 
MONTEALEGRE QUINTANA, ALBEIRO GIRALDO OSPINA, BLAN-
CA ADRIANA TOVAR PIZA, SAMUEL MORALES PARRA, DAWSON 
DIDIER CORTÉS JOVEN.
NUESTRO RECONOCIMIENTO
Al Departamento de Ciencia y Tecnología (Colciencias),
a la Universidad de la Amazonia, 
a la Gobernación del Caquetá,
al Consejo Departamental de Ciencia, Tecnología e Innovación 
CODECYT+ I, CAQUETÁ,
a la Caja de Compensación Familiar del Caquetá (COMFACA),
a los estudiantes de la Maestría Ciencias dela Educación , Énfasis en Didác-
tica de las Matemáticas,primera cohorte,
al doctor Horacio Solar Bezmalinovic líder del grupo de investigación Com-
petencias Matemáticas (COMMAT, Chile),
a los profesores de matemáticas y Directivos de las Instituciones 
Educativas participantes:
Su apoyo a nuestra actividad investigativa es esencial para la formación 
y consolidación de la comunidad regional de profesores e investigadores en 
Educación Matemática.
CONTENIDO 
Prólogo ............................................................................................. 13
DESARROLLO DE COMPETENCIAS MATEMÁTICAS: 
APROXIMACIÓN A SU COMPLEJIDAD ................................................... 21
Competencias Matemáticas: conceptualización, retos y ............................ 25
perspectivas. ............................................................................................. 25
¿Cuáles son los aspectos del desarrollo humano que están 
presentes en la competencia matemática? ................................................... 27
¿Cuál es la estructura de la competencia matemática? .............................. 29
¿Cuáles son sus componentes? ................................................................... 29
¿Cómo se articulan los componentes de la competencia 
matemática con la actividad matemática de aprendizaje? .......................... 33
Modelo teórico a priori para caracterizar las competencias
matemáticas del estudiante ......................................................................... 44
Significado para Educación Matemática .................................................... 50
CARACTERIZACIÓN DE LAS COMPETENCIAS MATEMÁTICAS 
DEL ESTUDIANTE
COMPETENCIA MATEMÁTICA REPRESENTAR ASOCIADA AL 
OBJETO MATEMÁTICO FUNCIÓN LINEAL .............................................. 55
Los Sistemas Semióticos de Representación .............................................. 58
La Competencia Matemática Representar. ................................................ 63
Aspectos Asociados A La Competencia Matemática ................................. 66
Aspecto Afectivo ........................................................................................ 69
La tendencia de acción ................................................................................ 70
Procesos Asociados a Los Aspectos de La Competencia 
Matemática Representar .............................................................................. 71
Indicadores Asociados a Los Componentes de La Competencia 
Matemática Representar ............................................................................. 74
Complejidad de Las Tareas ......................................................................... 79
Aplicación Y Resultados Del Modelo Teórico A Priori .............................. 81
COMPETENCIA MATEMATICA MODELIZAR:
EL CASO DE LA FUNCIÓN CUADRÁTICA .......................................... 105
Función cuadrática ...................................................................................... 119
Fenomenología de la función cuadrática .................................................... 123
Modelo teórico a priori de la Competencia 
Matemática Modelizar (CMM) ................................................................... 128
Sub-procesos matemáticos presentes en las 
fases de modelización ................................................................................. 128
Tareas y actividad matemática .................................................................... 131
Niveles de Complejidad .............................................................................. 133
El Componente metacognitivo de la CMM ................................................ 136
Componente de interacción social .............................................................. 138
Propuesta de un modelo de competencia 
matemática modelizar (MCMM) ................................................................ 140
Discusión de resultados y conclusiones ...................................................... 153
COMPETENCIA MATEMÁTICA PENSAR Y RAZONAR: 
EL CASO DE LA RAZÓN Y LA PROPORCIÓN ..................................... 161
Competencia Matemática Pensar Y Razonar .............................................. 163
Objeto Matemático Razón y Proporción ..................................................... 173
El concepto matemático de razón ............................................................... 175
Razones o fracciones ................................................................................... 176
Sistemas de Representación ........................................................................ 177
Fenomenología de La Razón y Proporción ................................................. 177
En La Cotidianidad ..................................................................................... 178
En La Matemática ..................................................................................... 179
Teorema De Thales ..................................................................................... 179
El Modelo Teórico A Priori ......................................................................... 180
El Aspecto Afectivo .................................................................................... 182
La Tendencia De Acción ............................................................................. 183
Procesos Asociados a los Aspectos de la 
Competencia Matemática Pensar Y Razonar .............................................. 183
Procesos asociados al aspecto cognitivo ..................................................... 184
Proceso asociado al aspecto afectivo .......................................................... 185
Proceso asociado a la tendencia de acción ..................................................185
Descriptores Asociados a los Componentes de La .................................... 186
Competencia Matemática Pensar y Razonar ............................................... 186
Tarea y Actividad Matemàtica .................................................................... 187
Complejidad en Las Tareas Matemáticas .................................................... 189
Aplicación del Modelo Teórico a Priori y 
Caracterización de la Competencia Matemática Pensar y Razonar ........... 191
Primeras Conclusiones ................................................................................ 204
COMPETENCIA MATEMÁTICA PLANTEAR Y RESOLVER 
PROBLEMAS: EL CASO DE LA MEDIANA
COMPETENCIA MATEMÁTICA PLANTEAR Y RESOLVER 
PROBLEMAS Y EL APRENDIZAJE DEL OBJETO
MATEMÁTICO LA MEDIANA ............................................................... 215
Sistemas de representación numérico y algebraico. ................................... 230
Modelo Teórico a Priori de la investigación ............................................... 235
Secuencias Didácticas ................................................................................. 237
Caracterización de la competencia Matemática ......................................... 243
Conclusiones ............................................................................................. 253
COMPETENCIA MATEMÁTICA COMUNICAR Y 
APRENDIZAJE DE LOS OBJETOS MATEMÁTICOS 
TRIÁNGULO Y CIRCUNFERENCIA ...................................................... 267
Concepción De Competencia Matemática ................................................. 270
PARA EL CASO DEL TRIÁNGULO: ....................................................... 270
REPRESENTACIÓN SEMIÓTICA GRÁFICA ......................................... 274
ASPECTO AFECTIVO: ............................................................................. 278
ASPECTO DE TENDENCIA DE ACCIÓN .............................................. 278
PARA EL CASO DE LA CIRCUNFERENCIA: ........................................ 278
Aspecto afectivo .......................................................................................... 281
Aspecto de tendencia de acción: ................................................................. 282
Procesos Matemáticos Asociados al Aspecto Cognitivo De La Cmc ......... 283
Para El Caso de La Circunferencia ............................................................. 283
Proceso asociado al aspecto afectivo .......................................................... 287
Proceso asociado al aspecto de tendencia de acción ................................... 288
Capacidades Asociadas A La Competencia Matemática ........................... 288
Comunicar ............................................................................................. 288
Descriptores Y Actuaciones Asociadas A La Competencia ....................... 290
Matemática Comunicar ............................................................................... 290
Tareas, Situaciones Matemáticas y Niveles de Complejidad ...................... 290
Situación Matemática .................................................................................. 291
Modelo Teórico A Priori (Mtap) ............................................................... 292
Actividades de Intervención En El Aula ..................................................... 299
Tarea 1: Trazado y Clasificacion De Triángulos ......................................... 300
Tarea 2: Trazado y Clasificacion De Triángulos ......................................... 302
Tarea 3: Clasificacion de Triángulos ........................................................... 303
Descriptores de los Aspectos Afectivos y 
Tendencia de Accion de La Cmc ................................................................ 305
Para El Caso De La Circunferencia: ........................................................... 305
Aplicación Del Modelo Teórico A Priori 
(Mtap) y Caracterización de La Cmc .......................................................... 306
Descriptores para evaluar el nivel de complejidad de la 
competencia matemática comunicar: oral – escrita .................................... 308
Análisis de información .............................................................................. 310
Descriptores de los aspectos afectivos y tendencia a la ............................ 327
acción de la CMC ........................................................................................ 327
Procesos asociados al aspecto cognitivo ..................................................... 334
Procesos asociados al aspecto afectivo y ................................................... 337
tendencia de acción ..................................................................................... 337
Balance de los procesos afectivos y de tendencia de acción ..................... 340
Balance General del Proceso y Resultados de 
La Intervencion en El Aula ......................................................................... 340
RECONOCIMIENTO ESPECIAL ............................................................ 345
BIBLIOGRAFÍA......................................................................................... 347
SOBRE LOS AUTORES ............................................................................ 357
PRÓLOGO
En agosto del 2012 recibo una invitación para asistir al “I Encuentro Inter-
nacional de Matemáticas y Física: Conocimiento e Investigación Aplicados a la 
Educación” durante los días 12, 13 y 14 de septiembre en la ciudad de Florencia 
Caquetá, Colombia. Evento organizado por el Programa de Licenciatura en 
Matemáticas y Física de la Universidad de la Amazonia. Ante mi sorpresa 
conocían los trabajos sobre competencias matemáticas que estaba desarrollando, 
y me decido a ir rumbo a Florencia a conocer a este grupo conformado por 
académicos y profesores que también estaban trabajando sobre el tema de 
competencias matemáticas.
Es así como conocí a Bernardo, Arnulfo, y a todo el grupo de investigación 
Desarrollo Institucional Integrado (DII) de la Universidad de la Amazonia. Al 
ir conociendo sus trabajos que se presentaban en el I Encuentro internacional, 
pude apreciar cómo nuestro grupo de investigación Competencias Matemáticas 
(COMMAT) y el grupo de investigación DII habían recorrido caminos similares 
para entender la naturaleza de las competencias matemáticas. En aquel entonces, 
recuerdo haber estado en la presentación de varias de las investigaciones que son 
presentadas en este libro, y es una verdadera alegría poder evidenciar que aque-
llas experiencias en el aula en que se indagaba por el desarrollo de competencias 
matemáticas como Representar, Modelizar, Pensar y Razonar, Plantear y Resol-
ver problemas y Comunicar, con sus respectivos objetos matemáticos, llegaron a 
plasmarse en un libro.
Por ello es que quiero iniciar este prólogo del libro “Competencias Matemá-
ticas y Actividad Matemática de Aprendizaje”, felicitando a los profesores e 
investigadores que se atrevieron a realizar esta investigación, por tres razones: 
la primera razón es por el tesón y prolijidad con que han estudiado la noción de 
competencia matemática; en un libro anterior de estos mismos autores (García, 
Coronado, Montealegre, Tovar, Giraldo, Morales y Cortés 2012) se realiza un 
Varios autores
14
estudio acabado sobre las competencias matemáticas y se dan los fundamentos 
para lo que serán los planteamientos de este libro. La segunda razón es por haber 
caracterizado un modelo de competencia, denominado Modelo Teórico a Priori, 
para estudiar el desarrollo de competencias en los estudiantes. La tercera razón, 
y quizás la más importante, es porque este libro presenta evidencias del aprendi-
zaje de los estudiantes y el desarrollo de las competencias, ello es particularmente 
relevante porque a la fecha existe una carencia de investigaciones y experiencias 
que tengan evidencia sobre el desarrollo de competencias matemáticasen los 
estudiantes, y en este libro, por medio de diferentes experiencias, se describe el 
desarrollo en los estudiantes de diferentes competencias matemáticas. Ello es sin 
duda un aporte a la comunidad de Educación Matemática, tanto desde el punto de 
vista de la docencia como de la investigación. 
La lectura del libro para mí ha sido de gran interés, en lo personal, porque me 
encuentro con que el Modelo de Competencia Matemática (MCM) que se generó 
a raíz de mi tesis doctoral (Solar 2009), permitió el desarrollo del Modelo Teórico 
a Priori que permite caracterizar las competencias matemáticas en el estudiante. 
Los componentes del MCM y de qué manera se utiliza elz Modelo Teórico a Prio-
ri, se pueden encontrar en el primer capítulo del libro, así que prefiero detenerme 
en explicar los orígenes del MCM. Entre los años 2005 y 2006 en una revisión 
de la literatura sobre competencias matemáticas, pude darme cuenta de que no 
existía una variada literatura de libros sobre la importancia de desarrollar compe-
tencias matemáticas en el aula, pero a su vez, había una carencia de investigacio-
nes que mostraran experiencias concretas. En aquella búsqueda me encontré con 
el libro” Principios y Estándares para la Educación Matemática”, del National 
Council of Teachers of Matemathics (NCTM, 2003), propuesta curricular de esta 
reconocida sociedad de profesores de EEUU, cuya problemática dio origen a lo 
que sería la línea de competencia matemática que estamos actualmente desarro-
llando. Permítanme citar la introducción del capítulo de aquel libro en que se 
describen los estándares (NCTM; 2003, pag 31):
¿Qué contenidos y procesos matemáticos deberían conocer y ser capaces de usar los 
estudiantes a medida que progresan en su escolarización? …Principios y Estándares 
presenta la propuesta del NCTM sobre lo que debería valorarse en la enseñanza de 
las matemáticas. Se requieren unos estándares ambiciosos para lograr una sociedad 
que tenga la capacidad de pensar y razonar matemáticamente, y una base útil de 
conocimientos y destrezas matemáticas. 
Los diez Estándares que se presentan en este capítulo describen un conjunto co-
herente de conocimientos y competencias matemáticas; una base comprensiva re-
comendada para todos los estudiantes, en vez de un menú a partir del cual tomar 
decisiones curriculares. Son descripciones de lo que la enseñanza matemática debe-
ría lograr que los estudiantes conozcan y hagan. Especifican la comprensión, el co-
nocimiento y las destrezas que deberían adquirir los alumnos, desde Prekindergar-
ten al nivel 12. Los Estándares de Contenidos (Números y operaciones, Álgebra, 
Geometría, Medida y Análisis de datos y Probabilidad) describen explícitamente 
15
CompetenCias matemátiCas y aCtividad matemátiCa de aprendizaje 
los contenidos que deberían aprender. Los Estándares de proceso (Resolución de 
problemas, Razonamiento y demostración; Comunicación, Conexiones y Repre-
sentación) ponen de relieve las formas de adquisición y uso de dichos contenidos.
Esta relevancia que se le atribuyen a los procesos matemáticos, el detalle en 
describirlos en cada nivel educativo y la manera de diferenciarlos de los conteni-
dos, permite concluir que esta propuesta curricular dio un gran paso para mostrar 
cómo desarrollar procesos matemáticos. Pero a su vez dejó una pregunta abierta 
que sirvió de inspiración para idear el modelo de competencia matemática: ¿De 
qué manera se puede articular los contenidos con los procesos? Esta pregunta 
asentó las bases para caracterizar el Modelo de Competencia Matemática, en que 
se consideró como premisa de que las competencias matemáticas se desarrollan 
en un objeto matemático específico; por ejemplo, los procesos involucrados 
en modelar en el estudio de funciones lineales, pueden ser diferentes que en el 
estudio de cuadriláteros. 
Por ello es necesario un estudio profundo del objeto matemático para llegar a 
encontrar los procesos involucrados en una competencia matemática. Este punto 
de vista está fuertemente arraigado en este libro, en que se realiza un estudio aca-
bado de objetos matemáticos tales como la función lineal y cuadrática, razón y 
proporción, la mediana, el triángulo y la circunferencia, que sirven de base para 
promover los procesos en juego en las competencias de representar y modelizar, 
Pensar y Razonar, Plantear y Resolver problemas y Comunicar, respectivamente. 
Finalmente, quiero invitar a los lectores a adentrarse en el modelo teórico a 
priori que propone este libro, su lectura me dio una visión de cómo investigar so-
bre el aprendizaje de las competencias y, sin duda, me servirá de inspiración para 
futuros estudios sobre el desarrollo de competencias en los estudiantes. 
Horacio Solar
Concepción, Agosto 2013. (Chile)
INTRODUCCIÓN
Este libro es un avance del proyecto de investigación “Desarrollo de Com-
petencias Matemáticas en estudiantes de educación básica y media del departa-
mento del Caquetá” adelantado por el grupo de investigación “Desarrollo Insti-
tucional Integrado” de la Universidad de la Amazonia. El avance se corresponde 
con el final de la primera fase, la cual se centró en caracterizar las competencias 
matemáticas de los estudiantes de las instituciones educativas que participaron de 
la investigación durante los últimos cuatro años.
Asumir este foco de investigación implicó el estudio de las siguientes cinco 
competencias matemáticas articuladas al aprendizaje de unos objetos matemáti-
cos específicos: 
• Competencia matemática Representar y objeto matemático función lineal
• Competencia matemática Modelizar y objeto matemático función cuadrá-
tica
• Competencia matemática Pensar y Razonar y objeto matemático Razón y 
proporción.
• Competencia matemática Plantear y Resolver problemas y objeto matemá-
tico la Mediana.
• Competencia matemática Comunicar y objetos matemáticos Triángulo y 
Circunferencia. 
El desarrollo de este proceso condujo al grupo de investigación a planificar 
un trabajo continuo de intervención didáctica en el aula en torno a situaciones 
de enseñanza y aprendizaje focalizadas en el desarrollo de las competencias ma-
temáticas del estudiante. Este proceso, de naturaleza compleja y prolongada, se 
Varios autores
18
instaló en el marco de tres problemas centrales que sintetizaron esta primera fase 
del proceso investigativo: 
• ¿Cuáles son los aspectos del desarrollo humano que se evidencian en la 
competencia matemática?
• ¿Cuál es la estructura de la competencia matemática? ¿cuáles son sus com-
ponentes?
• ¿Cómo se articulan los componentes de la competencia matemática con la 
actividad matemática de aprendizaje del estudiante?
Por la transversalidad conceptual de estos problemas en la investigación, cada 
uno de ellos se aborda en el primer capítulo del libro y constituyen el marco ge-
neral para la caracterización de las competencias matemáticas investigadas.
El primer problema se aborda desde los referentes teóricos de D’Amore, Go-
dino y Fandiño (2008), quienes reconocen en una competencia matemática tres 
aspectos:
 
• El cognitivo: conocimiento de la disciplina;
• El afectivo: disposición, voluntad, deseo de responder a una determinada 
solicitud (externa o interna) y
• La tendencia de acción: persistencia, continuidad, dedicación. (p, 44)
El segundo problema asume el referente conceptual de Solar (2009), quien 
plantea un Modelo de Competencia Matemática. Según el autor, una competencia 
matemática se compone de: las tareas matemáticas, los procesos matemáticos 
y los niveles de complejidad. Estos componentes y la propuesta de modelo de 
competencia fueron esenciales en nuestra investigación para la caracterización 
del aspecto cognitivo de las competencias matemáticas.
El tercer problema lo relacionamos directamente con conceptos claves en el 
desarrollo de competencias matemáticas y estratégicos en nuestra investigación. 
Desde Rico y Lupiañez (2008), se estudió una perspectiva curricular que relacio-
na contenidosy procesos matemáticos y, una perspectiva didáctica que relacio-
na expectativas de aprendizaje a corto plazo (los objetivos) con expectativas de 
aprendizaje a largo plazo (las competencias). Bishop (2005) aporta la importan-
cia de compartir y desarrollar el significado matemático como propósito central 
de la clase. Sfard (2008), contribuye a resignificar el aprendizaje desde la metá-
fora de la participación y la capacidad discursiva del estudiante para comunicar 
matemáticas en su comunidad de aprendizaje (la clase). Tobón, Pimienta y García 
(2010), aportan el concepto de secuencia didáctica y enriquecen el concepto de 
competencia. Valero y Skovmose (2012), amplían el panorama conceptual y la 
19
CompetenCias matemátiCas y aCtividad matemátiCa de aprendizaje 
perspectiva didáctica y curricular desde la visión sociopolítica de la educación 
matemática.
La segunda parte del libro se presenta en el capítulo 2, en él se desarrolla la 
caracterización de cada una de las cinco competencias matemáticas enunciadas. 
Esta caracterización se focalizó en: 
• El aspecto cognitivo de la competencia: se formulan tareas matemáticas 
específicas, se planifican unos procesos matemáticos asociados a cada 
competencia y se asumen los niveles de complejidad planteados por la 
prueba PISA (Reproducción, Conexión y Reflexión). El estudiante, enton-
ces, en su actividad matemática de aprendizaje, resuelve tareas y desarrolla 
procesos matemáticos de complejidad creciente para evidenciar la movili-
zación y el progreso de sus competencias matemáticas. 
• El aspecto afectivo: se asumen de este aspecto los procesos de disposición, 
voluntad y deseo de usar socialmente su competencia matemática. 
• El aspecto de tendencia de acción: se asumen los procesos de persistencia 
y continuidad como objetos de valoración de la competencia. 
Consideramos que este segundo capítulo es un aporte específico y concreto 
a problemas que caracterizan la cotidianidad del profesor de matemáticas: ¿qué 
son las competencias matemáticas? ¿Cómo progresan las competencias matemá-
ticas? ¿De qué manera se relacionan los contenidos con las competencias mate-
máticas? (Solar, 2009, p. 13). 
Estos problemas se inscriben en el proceso complejo y prolongado del de-
sarrollo de competencias matemáticas del estudiante. Contribuir a estudiar esta 
complejidad y a construir soluciones alternativas, no solo es un reto y un deber 
científico de la comunidad internacional de Educación Matemática; es además, 
contribuir a desarrollar y consolidar esta nueva línea de investigación y sobre 
todo, representa un esfuerzo intelectual para proponer caminos alternativos de 
construcción de un discurso potente para resignificar el concepto de competencia, 
instalarlo en un enfoque de naturaleza sociocultural que asuma las matemáti-
cas como un fenómeno cultural y la competencia matemática como “la reflexión 
sobre el empleo y uso de las matemáticas en la sociedad” (García, Acevedo y 
Jurado, 2003, p. 13).
De esta manera, el grupo de investigación espera que este aporte a la Educa-
ción Matemática colombiana genere nuevas investigaciones y nuevos procesos 
que contribuyan a que nuestro estudiante no solo sea competente con las mate-
máticas como estudiante sino también y muy especialmente, como ciudadano. 
CAPÍTULO I
DESARROLLO DE COMPETENCIAS 
MATEMÁTICAS: APROXIMACIÓN A SU 
COMPLEJIDAD 
DESARROLLO DE COMPETENCIAS MATEMÁTICAS: 
APROXIMACIÓN A SU COMPLEJIDAD
¿Qué sería una competencia sin el deseo,
sin la voluntad y sin el gusto de hacer uso de ella?
(Bruno D’Amore, 2008)
El término competencia está cargado de una alta complejidad: no solo su eti-
mología, que lo hace polisémico, también su carga ideológica, atribuida espe-
cialmente a sus orígenes por fuera del campo educativo y en el marco de un 
Saber – Hacer eficientista al servicio de tendencias económicas globalizantes y 
de influencia neoliberal.
No obstante, es esta misma complejidad del término la que, en el campo de 
la Educación, la Pedagogía, la Didáctica y el Currículo, permite asumirlo como 
un objeto de estudio nuevo, complejo y potente para la investigación y, en conse-
cuencia, para ayudar a generar nuevas perspectivas teóricas y metodológicas que 
orienten una propuesta didáctica que apenas comienza a construirse en educación 
matemática: enseñar para el desarrollo de competencias matemáticas en el es-
tudiante.
Aunque el propósito de este libro es presentar unos primeros resultados de 
investigación en Competencias Matemáticas, es necesario hacer unas precisiones 
sobre algunos aspectos de la complejidad que subyace al concepto de competen-
cia. Para un mayor conocimiento de este aspecto, recomendamos al lector ver 
García et al (2012).
Para García, Acevedo y Jurado (2003), el concepto de competencia es muy 
ambiguo y sus sentidos deben asumirse desde dos dimensiones que implican vi-
siones políticas divergentes sobre la educación: 
Varios autores
24
• la competencia asociada con la educación para la eficacia y las demandas 
del mercado, en donde el saber – hacer que se reclama debe entronizarse 
con la tendencia de la economía mundial hacia la globalización y los mo-
delos neoliberales; y
• la competencia asociada con la educación integral y la formación de su-
jetos críticos, en donde el saber – hacer que se invoca ha de vincularse 
con los contextos socio – culturales y el sentido ético humanístico en las 
decisiones sobre los usos del conocimiento y la cualificación de las condi-
ciones de vida de las personas. (p. 12)
Nuestro grupo de investigación adhiere a la postura socio – cultural sobre las 
competencias, asume que es mucho más que un Saber – Hacer y, por tanto, su 
dimensión teórica se instala más en el concepto de Formación que en el de Ins-
trucción: involucra aspectos cognitivos, afectivos, volitivos, éticos y de tendencia 
de acción que implica una pragmática de uso social de la misma competencia. 
En esencia, de eso se trata este libro: a partir de un proceso de conceptualización 
sobre las complejidades del desarrollo de las competencias matemáticas del es-
tudiante, se construye la caracterización del proceso de movilización de compe-
tencias de los estudiantes focalizado en su actividad matemática de aprendizaje. 
Continuando con las precisiones, nos interesa presentar algunas planteadas 
por el Dr. Carlos Vasco en el 11° Congreso de la Asociación Colombiana de Ma-
temática Educativa (ASOCOLME), Octubre de 2010, respecto a la concepción 
de competencia: 
• Sobre la etimología de “competencia”: del latín “competere” que se puede 
entender como competir.
• También proviene de “cum-petere”: “dirigirse con”, tender hacia una meta 
conjuntamente con otros. El Dr. Vasco afirma que “puede acentuarse en lo 
competitivo o en lo cooperativo”
Asume además una postura que, a nuestro juicio, ilumina un poco la opción 
teórica del maestro y del investigador:
Prefiero pensar que la palabra “competencia” en el ámbito educativo no viene 
de competir, sino de “ser competente”. Ya veremos que no es lo mismo que “ser 
experto”…pero si es lo contrario de ser incompetente… 
Desde la perspectiva socio – cultural que comparte nuestro grupo de inves-
tigación, asumimos las matemáticas como un fenómeno cultural, histórico, que 
postula un conocimiento construido y compartido social y culturalmente; además, 
socialmente útil. Esta utilidad social de las matemáticas es clave que el maestro la 
comprenda y la asuma para promover desde sus prácticas de enseñanza una prag-
mática de uso, aprendizajes situados y solución de problemas contextualizados.
25
CompetenCias matemátiCas y aCtividad matemátiCa de aprendizaje 
En esta dirección teórica, asumimos los aportes de Vasco (2010), en el sentido 
de que enseñar para el desarrollo de competencias se inscribe en la etimología 
de “cum – petere”, pues este desarrollo no solo es individual, sino también y 
muy especialmente, social y cultural. Por ello, es el maestro quien debe poner 
el énfasis en lo cooperativo,en la interacción entre los sujetos que aprenden y 
menos, mucho menos, en lo competitivo. No es suficiente para una educación 
matemática de calidad, que el estudiante sea competente con las matemáticas 
solo como estudiante, es indispensable que lo sea también como ciudadano, en 
contextos extraescolares. Esto no será posible si no comprende la utilidad social 
de las matemáticas.
En su conferencia el Dr. Vasco plantea una interesante disyuntiva frente a las 
alternativas de las competencias en lo educativo: rechazar los discursos asociados 
al concepto de competencia, entre otras causas, por su carga ideológica; o, a cam-
bio, construir como comunidad académica un “concepto potente de competencia 
y configurar un discurso propio pedagógicamente productivo sobre las compe-
tencias. Yo prefiero trabajar en lo segundo”.
Desde luego que nuestro grupo de investigación también asumió esa opción, 
es más, este libro es un producto de esa alternativa: investigar para nutrir el debate 
académico y construir colectivamente un camino pedagógico, didáctico y curri-
cular que oriente una enseñanza para el desarrollo de competencias matemáticas.
COMPETENCIAS MATEMÁTICAS: CONCEPTUALIZACIÓN, RETOS Y 
PERSPECTIVAS.
El propósito de este apartado es argumentar en torno a las principales concep-
ciones que influyeron en la investigación, especialmente en la discusión sobre los 
aspectos del desarrollo humano presentes en las competencias matemáticas, en 
sus componentes y su articulación didáctica y curricular. 
Es esencial que el profesor asuma postura teórica respecto a las diversas con-
cepciones de competencia matemática, ello marcará su rol frente a problemas 
cotidianos de aula como:
¿Cómo lograr en el estudiante una inclinación cultural favorable hacia las 
matemáticas? 
¿Qué hacer en clase para que aprender matemáticas sea socialmente útil para 
los estudiantes?
¿Cómo transformar las tareas matemáticas en propuestas significativas de tra-
bajo en la cotidianidad del estudiante?
¿Qué competencias matemáticas promover y contribuir a movilizar en clase?
¿Cuál es la(s) perspectiva(s) didáctica y la(s) perspectiva(s) curricular que se 
asumen para el desarrollo de competencias matemáticas del estudiante?
Varios autores
26
¿Cómo se asume la actividad matemática de aprendizaje? y ¿cómo se articula 
esta con el desarrollo de los procesos matemáticos?
Estos son problemas complejos, retos y perspectivas en educación matemá-
tica muy actuales para el maestro, las instituciones educativas y el Ministerio 
de Educación Nacional (MEN). Su solución se instala más en la investigación 
y el trabajo de comunidades académicas y menos en los decretos y resoluciones 
administrativas. 
En nuestra investigación, estos problemas se asumieron desde dos considera-
ciones teóricas en educación matemática, ambas inscritas en la perspectiva socio-
cultural y política: 
• “¿Cómo los significados de las matemáticas escolares y las competencias 
que ellas pretenden promover se constituyen en un campo de práctica 
social” (Valero y Skovmose, 2012, p. XII) que articule las tareas matemá-
ticas y la actividad matemática de aprendizaje con problemas de contextos 
escolares y extraescolares?
• ¿Cómo situar en el centro de la clase de matemáticas “la necesidad de com-
partir y desarrollar el significado matemático? (Bishop, 2005, p. 23) 
Es desde esta óptica que abordamos el proceso de conceptualización en com-
petencias matemáticas. No se trata de hacer un registro antecedente al respecto, 
para ello recomendamos al lector ver García et al (2012). A cambio, se trató de 
desarrollar un amplio proceso de conceptualización que permitiera asumir un cor-
pus teórico y metodológico para intervenir en el aula de matemáticas y contribuir 
al complejo y prolongado proceso de desarrollo de competencias matemáticas 
del estudiante. 
Entonces, el proceso de conceptualización sobre el desarrollo de las compe-
tencias matemáticas, se instaló en el marco de tres problemas específicos para 
nuestra investigación:
• ¿Cuáles son los aspectos del desarrollo humano que están presentes en la 
competencia matemática?
• ¿Cuál es la estructura de la competencia matemática? ¿cuáles son sus com-
ponentes?
• ¿Cómo se articulan los componentes de la competencia matemática con la 
actividad matemática de aprendizaje del estudiante?
A continuación se abordan cada uno de estos problemas.
27
CompetenCias matemátiCas y aCtividad matemátiCa de aprendizaje 
¿CUÁLES SON LOS ASPECTOS DEL DESARROLLO HUMANO QUE ESTÁN 
PRESENTES EN LA COMPETENCIA MATEMÁTICA?
Este problema se considera esencial para el profesor de matemáticas, además de 
relacionarse directamente con la concepción de competencias, su estudio y com-
prensión tiene implicaciones didácticas y curriculares evidentes para el proceso 
de enseñanza y para la actividad matemática de aprendizaje. 
Para estudiar este problema, el referente teórico base fue D’Amore, Díaz Go-
dino y Fandiño (2008). Nuestros planteamientos sobre este problema giran en 
torno a desarrollar su idea de que en una competencia matemática se evidencian 
tres aspectos: 
• el cognitivo: conocimiento de la disciplina
• el afectivo: disposición, voluntad, deseo de responder a una determinada 
solicitud (externa o interna)
• la tendencia de acción: persistencia, continuidad, dedicación. (p. 44)
Al considerar que en la competencia matemática se evidencian estos tres as-
pectos, los autores instalan el desarrollo de competencias en la formación más 
que en la instrucción del estudiante. Por tanto, es necesario tomar distancia de 
evaluar el desarrollo de la competencia matemática del estudiante focalizando 
el proceso evaluativo en lo cognitivo. Se asume que, además de este aspecto, es 
esencial ayudar a generar una inclinación cultural favorable del estudiante hacia 
las matemáticas, hacia su aprendizaje y uso social. Sin ello, difícilmente se in-
volucrará con gusto y voluntad en el desarrollo de procesos matemáticos y en la 
resolución de problemas por muy contextualizados que sean. Como lo dicen los 
autores “¿Qué sería una competencia sin el deseo, sin la voluntad y sin el gusto 
de hacer uso de ella? (Ibid, p. 21). 
Lo anterior implicó para el grupo de investigación tomar prudente distancia 
del propósito evaluativo de las pruebas masivas en competencias matemáticas 
tanto internacionales como nacionales (PISA, TIMSS, LLECE, SABER, etc.). 
Si bien reconocemos el aporte en los niveles de complejidad asociados a la eva-
luación del aspecto cognitivo de la competencia, consideramos que, en el aula de 
clase, el docente debe contribuir a generar procesos de interacción entre los su-
jetos que contribuyan al desarrollo de aspectos afectivos, volitivos, éticos, meta-
cognitivos y de pragmática de uso de la competencia matemática. Ello permitiría 
no clasificar al estudiante, sino valorar la calidad de su actividad matemática de 
aprendizaje y caracterizar el desarrollo de sus competencias a partir de la mo-
vilización de procesos matemáticos específicos asociados a estas. Esta postura 
didáctica se desarrolla más adelante en este libro al caracterizar las competencias 
matemáticas objetos de estudio en la investigación. Consideramos que es un pri-
Varios autores
28
mer aporte del libro al debate sobre el desarrollo de competencias matemáticas 
en los estudiantes.
Como una consecuencia lógica de los anteriores argumentos, los autores plan-
tean que la competencia matemática es, por tanto, un concepto complejo y diná-
mico: 
• Complejo porque aborda dos componentes: a) Uso (exógeno, externo, 
consciente, intencional y contextualizado) y b) el Dominio (endógeno), 
requiere elaboración cognitiva y creativa. Hace referencia a los contenidos 
matemáticos.
• Dinámico porque además de los aspectos anteriores, comprende factores 
metacognitivos: voluntad, deseo de saber y de usar los conocimientos, de 
aumentar la propia competencia, de valorar la calidad de su aprendizaje. 
(p. 11)
Puede apreciarse que para los autoreses claro que la competencia matemá-
tica se asocia a la capacidad de afrontar problemas y actividades matemáticas 
de aprendizaje significativas y complejas por parte del estudiante, es decir, se 
focaliza en el aprendizaje del estudiante, no en la enseñanza. Como afirma Vasco 
(2010): “…prefiero hablar de enseñanza para el desarrollo de competencias…” 
Esto es muy importante para el profesor de matemáticas: es la calidad de la ac-
tividad matemática de aprendizaje la que determina la calidad de los procesos 
matemáticos que desarrolla el estudiante y, por tanto, de su nivel de complejidad 
e integralidad creciente.
Otra consecuencia didáctica se deriva al postular los autores que la filosofía de 
las matemáticas que subyace a las competencias es de naturaleza pragmática (p. 
47), por tanto, se distancia de las corrientes realistas centradas en la metáfora de 
la “adquisición” (Sfard, 2008) y en el transfer cognitivo (relación causal), como 
se presenta en la figura 1: 
Figura 1: Competencia matemática como adquisición. 
Una teoría pragmática asume que todo aprendizaje es situado y que la compe-
tencia se moviliza en el uso social; es la situación y la pragmática de uso (en for-
ma simultánea) lo que determina la construcción del conocimiento y el desarrollo 
de competencia matemática del estudiante. El uso y el contexto sociocultural 
dan sentido a los conceptos, por ello, conocimiento y competencia se construyen 
29
CompetenCias matemátiCas y aCtividad matemátiCa de aprendizaje 
simultáneamente en la misma acción en forma complementaria, en una relación 
de recíproca influencia, como se presenta en la figura 2:
Figura 2: Competencia y aprendizaje situado. (D’Amore, et al, 2008, p.47) 
Este aporte es de mucha utilidad teórica y metodológica para la didáctica de 
las matemáticas, además de dar mayor solidez al concepto de utilidad social de 
las matemáticas, caracteriza la naturaleza del aprendizaje articulándolo con el 
contexto socio – cultural del estudiante y a la actividad matemática de este en 
contextos escolares y extraescolares, a condiciones de uso social de la compe-
tencia por parte del sujeto que aprende. Por ello se habla de aprendizaje situado.
En general, puede concluirse entonces, que el desarrollo de la competencia 
matemática se instala en una concepción integral del desarrollo del sujeto que 
aprende matemáticas. Por tanto, la actividad matemática de aprendizaje del es-
tudiante, debe movilizar conocimientos, procesos matemáticos, actuaciones que 
evidencien voluntad, disposición, persistencia e inclinación cultural favorable a 
usar las matemáticas en contextos escolares, extraescolares y sociales. Esta actua-
ción y uso de las matemáticas deben ceñirse a la ética y la responsabilidad social 
y cultural propia de un ciudadano que aprende y hace uso de un bien cultural de 
la humanidad como son las matemáticas. 
Continuando con la conceptualización, se arriba al segundo problema central 
en nuestra investigación: 
¿CUÁL ES LA ESTRUCTURA DE LA COMPETENCIA MATEMÁTICA? 
¿CUÁLES SON SUS COMPONENTES?
Este problema, igual que el anterior, es una de las preguntas que se hace el 
profesor de matemáticas que se propone enseñar para el desarrollo de competen-
cias matemáticas. Conocer la estructura de la competencia matemática es defini-
tivo en la calidad de esa enseñanza.
Varios autores
30
Para el estudio de este problema, el referente central fue la tesis doctoral del 
Dr. Horacio Solar (2009), destacado profesor e investigador chileno en la línea 
de Competencias Matemáticas. El inicia el estudio de este problema con las si-
guientes preguntas: 
…¿de qué manera se adquiere la competencia matemática? y como consecuencia 
las preguntas derivadas: ¿qué son las competencias matemáticas? ¿cómo progresan 
las competencias matemáticas? ¿de qué manera se relacionan los contenidos con las 
competencias matemáticas? (p. 13).
En el proceso de construir respuestas a estos interrogantes, el autor manifiesta 
que “…se concretó el primer objetivo de la investigación que consistía en elabo-
rar un modelo de competencia matemática que fuera útil tanto para planificar una 
secuencia didáctica como para analizar su desarrollo en el aula de matemáticas” 
(p. 13)
Solar parte de Abrantes (2001) y de Niss (1999), al identificar también las 
competencias con los procesos matemáticos tales como comunicar, resolver pro-
blemas, representar, calcular, modelizar entre otros. De esta manera, el trabajo de 
investigación se centró en formular un modelo en el cual las competencias sean 
los procesos matemáticos organizadores del currículo. En ese orden de ideas, 
cada nivel escolar deberá especificar en su propuesta curricular de matemáticas, 
qué competencias asume desarrollar. Esto es posible, pues se asume que las com-
petencias matemáticas, al igual que los procesos matemáticos, son expectativas 
de aprendizaje a largo plazo y, en general, su desarrollo es transversal a los con-
tenidos de las matemáticas escolares.
…las competencias se desarrollan desde un tópico matemático que incorpora tanto 
los procesos que conforman una competencia como los contenidos formulados en 
términos de tareas matemáticas. Las tareas no son las actividades que se presentan 
en una secuencia didáctica, sino que caracterizan “las matemáticas” que se encuen-
tran en las actividades. Las tareas son parte del contenido a tratar, estas cambian de 
una secuencia didáctica a otra y se desarrollan a corto plazo. 
Respecto a la pregunta ¿cómo progresan las competencias matemáticas?, 
el autor la asume en dos nuevos interrogantes: ¿de qué manera se progresa? y 
¿cuáles son las variables a considerar para estudiar el progreso de los estudiantes? 
(p.14)
Resolver estas preguntas, permite al profesor Solar aportar otro elemento 
esencial en su propuesta de modelo de competencia: los niveles de compleji-
dad asociados a la competencia. Estos niveles de complejidad son los que el 
estudiante debe enfrentar cuando resuelve tareas matemáticas. Es decir, es en la 
actividad matemática de aprendizaje que el estudiante evidencia el progreso de su 
competencia. Al resolver tareas con creciente nivel de complejidad, el estudiante 
desarrolla procesos matemáticos, despliega capacidades, usa la competencia ma-
31
CompetenCias matemátiCas y aCtividad matemátiCa de aprendizaje 
temática para resolver problemas contextualizados cada vez más complejos. El 
autor lo expresa así:
Nos sentamos sobre la base de que por medio de la actividad matemática se puede 
estudiar el desarrollo de las competencias; este mismo principio se aplica al progre-
so de una competencia, con el propósito de poder identificar el progreso según el 
tipo de actividades que son capaces de resolver los estudiantes. (p. 14)
Entonces, la actividad matemática de aprendizaje como la asumió nuestra in-
vestigación, es propia del estudiante y su progreso está dado por los diferentes 
niveles de complejidad que se evidencian con el progreso de la competencia del 
estudiante. Este progreso se expresa cuando es evidente que el estudiante pien-
sa, razona, representa, modeliza, comunica, etc. en su actividad matemática de 
aprendizaje; cuando moviliza sus capacidades, demuestra voluntad, persistencia, 
comprensión y una aceptación cultural para hacer uso social de sus competencias 
matemáticas de forma ética y responsable. 
Es necesario precisar que Solar no asume la actividad matemática de aprendi-
zaje del estudiante como un componente de la competencia. Es nuestra investiga-
ción que, apoyados en su investigación, la asume como un componente de nues-
tro modelo teórico a priori de competencia focalizado en el aprendizaje como se 
argumentará más adelante. 
De esta manera, Solar (2009, p.57) presenta uno de sus principales aportes en 
su tesis doctoral: el Modelo de Competencia Matemática (MCM), con el siguien-
te gráfico: 
 
 
 
 
 
Cultura matemática 
Competencias 
Matemáticas Tareas 
Matemáticas 
Procesos 
Matemáticos 
Niveles de 
complejidadFigura 3. Modelo de Competencia Matemática (MCM). (Solar, 2009, p. 57)
Para el autor, una competencia matemática se constituye de tareas matemáti-
cas, procesos matemáticos y niveles de complejidad (p. 68). Esto se puede com-
Varios autores
32
prender mejor cuando se estudia el propósito básico del MCM y sus implicaciones 
didácticas. Este propósito se centra en articular las expectativas de aprendizaje a 
corto plazo (los objetivos específicos), con las expectativas de aprendizaje a largo 
plazo (las competencias). Es decir, el modelo “…es una estructura o estrategia 
articuladora…” entre estas dos expectativas de aprendizaje (p. 55). Específica-
mente, los objetivos son de la clase, de la unidad didáctica, de un conjunto de 
actividades que se desarrollan en el corto plazo. En este proceso, el estudiante 
debe evidenciar que “progresa” en el desarrollo de su competencia. Este pro-
greso se demuestra cuando en su actividad matemática de aprendizaje enfrenta 
tareas matemáticas con nivel creciente de complejidad, cuando pone en juego 
capacidades, aspectos afectivos, volitivos, metacognitivos y de tendencia de ac-
ción específicos. Nosotros incluimos también como evidencia de este progreso, el 
saldo pedagógico del error del estudiante y de su persistencia para identificarlo, 
comprenderlo y superarlo. Esto es esencial para dignificar el aprendizaje de las 
matemáticas escolarizadas.
Aunque más adelante se profundizará en cada uno de los componentes de una 
competencia matemática, es necesario presentar aquí una breve idea de ellos. 
Cultura Matemática: el autor asume que la Alfabetización Matemática (mathe-
mátical literacy) “se logra mediante el desarrollo de competencias matemáticas” 
(p. 54). Entonces, propone como punto de partida para el MCM la noción de 
Alfabetización Matemática, pues la asume como sinónimo de la competencia 
matemática; no obstante, opta por el término del francés “Culture mathematique” 
que, a su juicio, recoge un mejor sentido de la versión dada en lengua castellana 
a la expresión inglesa Mathematical literacy (Alfabetización matemática), como 
se asume en OCDE (2003).
Competencias matemáticas: las asume como procesos que articulan el currí-
culo a distintos niveles. Para ello, deben cumplir los siguientes criterios:
• vincular a una competencia una serie de procesos matemáticos específicos
• contribuir a organizar las actividades matemáticas en función de las com-
petencias que se desarrollan y 
• ser significativas para la actividad matemática escolar. Ello contribuye a 
generar sentido y calidad a la actividad matemática de aprendizaje.
Procesos matemáticos: cada competencia se compone de proceso matemáti-
cos como representar, demostrar, argumentar, analizar, resolver, graficar, calcular, 
modelizar, visualizar, etc. Destacamos una implicación curricular de este compo-
nente: en la concepción tradicional y hegemónica aún, se organiza el currículo 
de matemáticas a partir de los contenidos y se subordinan a ellos los procesos 
matemáticos. En un enfoque por competencias, son los procesos matemáticos 
los organizadores del currículo; los contenidos matemáticos, como elementos del 
33
CompetenCias matemátiCas y aCtividad matemátiCa de aprendizaje 
dominio matemático, se deben “poner al servicio” del desarrollo de los procesos 
matemáticos del sujeto que aprende matemáticas. Esta es otra de las complejida-
des de una enseñanza para el desarrollo de competencias matemáticas. 
Niveles de complejidad: el nivel de complejidad de una competencia matemá-
tica está asociado tanto a la complejidad de las tareas como a la complejidad de 
los procesos matemáticos vinculados con esa competencia. En este componente 
el autor asume los siguientes niveles de complejidad propuestos por PISA (2003, 
2006): reproducción, conexión y reflexión. En nuestra investigación, estos niveles 
se asumieron para valorar y caracterizar el aspecto cognitivo de las competencias 
matemáticas; no obstante, dado que tomamos distancia conceptual y metodoló-
gica de las pruebas masivas (reconociendo su aporte en lo cognitivo), también 
se asumieron criterios e indicadores de evaluación para valorar y caracterizar 
los aspectos afectivos, de tendencia de acción y metacognitivos presentes en las 
competencias de los estudiantes. 
Se puede concluir entonces, que los componentes de una competencia ma-
temática son las tareas matemáticas, los procesos matemáticos y los niveles de 
complejidad. Este aporte de la tesis doctoral de Solar (2009), fue el que permitió 
a nuestro grupo de investigación avanzar de manera más ilustrada y sólida en 
el proceso de formular un modelo teórico a priori, focalizado en la actividad 
matemática de aprendizaje y para el desarrollo de las competencias matemáti-
cas Plantear y resolver problemas, Representar, Modelizar, Pensar y Razonar, 
y Comunicar, en estudiantes de educación básica y media del departamento del 
Caquetá, como se presentará en el siguiente capítulo.
Como consecuencia lógica de los argumentos respecto a los dos problemas 
reconocidos en esta fase de la investigación, se plantea el tercer problema y la 
forma como se abordó.
¿CÓMO SE ARTICULAN LOS COMPONENTES DE LA COMPETENCIA 
MATEMÁTICA CON LA ACTIVIDAD MATEMÁTICA DE APRENDIZAJE?
Este interrogante hace referencia a uno de los problemas más complejos que 
debe enfrentar el profesor para orientar sus prácticas de enseñanza hacia el desa-
rrollo de las competencias matemáticas del estudiante. En esencia, el problema 
se centra en ¿cómo articular las tareas matemáticas, los procesos matemáticos 
y los niveles de complejidad con la actividad matemática de aprendizaje del es-
tudiante?
Como puede entenderse, este problema está directamente relacionado con los 
dos problemas anteriores; del nivel de comprensión que el profesor tenga de ellos 
y de su competencia didáctica y curricular para proponer alternativas de estudio 
y abordaje, dependen en alto grado sus posibilidades de solución y aplicación de 
dichas soluciones en el aula de matemáticas. Pero no basta con esto, es necesario 
Varios autores
34
instalar estas alternativas didácticas y curriculares en desarrollos conceptuales 
potentes en competencias matemáticas. Esta es aún una gran dificultad para el 
desarrollo de la línea de investigación en competencias matemáticas que también 
la sufre nuestro grupo. El campo de investigación es reciente en Educación Ma-
temática, no hay aún experiencias investigativas consolidadas en Iberoamérica, 
menos en Colombia. Pero esta realidad debe asumirse como un circulo virtuoso, 
como un reto investigativo complejo y prolongado que debe asumirse ya. 
De manera específica, estas alternativas deben hacer posible incorporar con-
ceptos y teorías que reconozcan el nuevo rol del estudiante, la importancia de su 
actividad matemática de aprendizaje, máxime cuando la competencia se adscribe 
al aprendizaje, no a la enseñanza, al estudiante, no al profesor; que priorice la 
pragmática de uso social de las competencias y de las matemáticas como bien 
cultural y social de la humanidad. Sobre todo, se requiere que esta forma de com-
prender la complejidad del desarrollo de las competencias matemáticas del estu-
diante contribuya a generar procesos de interacción entre estudiante – estudiante 
y estudiante – profesor; interacciones que se deben enmarcar en dos propósitos:
 
• la clase de matemáticas como escenario privilegiado para compartir y de-
sarrollar el significado matemático sobre la base de la comunicación y la 
negociación cultural entre los sujetos (Bishop, 2005) y
• la metáfora de la participación (Sfard, 2008) que asume al estudiante como 
participante de una comunidad de aprendizaje (la clase) y al aprendizaje 
como un discurso cada vez más calificado de ese participante.
Estos dos propósitos, de clara orientación sociocultural, resignifican al apren-
dizaje; ahora, “…el prerrequisito más importante para el aprendizaje es el deseo 
del estudiante de ser parte de una cierta comunidad”.La actividad matemática de 
aprendizaje no se concibe separada del contexto dentro del cual ocurre, por ello 
es situado, contextual y articulado a lo cultural y a la mediación social. Como 
lo resume la Dra. Sfard, “…aprender matemáticas ahora se concibe como un 
proceso de convertirse en miembro de una comunidad matemática”. Por ello, 
el estudiante debe aprender a comunicarse en el lenguaje de esta comunidad, a 
compartir sus reglas, a ser parte integral del grupo, a ser un participante activo.
Esta opción teórica sociocultural implica una nueva epistemología, una forma 
diferente y contemporánea de ver las matemáticas, su aprendizaje, su enseñanza 
y, desde luego sus opciones teóricas y metodológicas de investigación.
 …la ciencia o las matemáticas no se pueden considerar nunca más como como 
entidades independientes; en cambio, se tienen que considerar como aspectos de 
actividades sociales en curso. Los investigadores no deben insistir más en aislar el 
conocimiento del conjunto de las interacciones sociales” (Sfard, 2008, p. 33) 
35
CompetenCias matemátiCas y aCtividad matemátiCa de aprendizaje 
Los replanteamientos anteriores sobre el aprendizaje de las matemáticas y so-
bre las matemáticas, fueron decisivos a la hora de proponer alternativas al proble-
ma de la articulación de las tareas, los procesos y los niveles de complejidad con 
la actividad matemática de aprendizaje. Esto se demostrará un poco más adelante 
en este capítulo.
Otro aporte teórico y didáctico importante, inscrito en las características ya 
enunciadas, lo asumimos de Tobón, Pimienta y García (2010) desde su enfoque 
socioformativo en competencias. “Las competencias son actuaciones integrales 
ante actividades y problemas del contexto, con idoneidad y compromiso ético, 
integrando el saber ser, el saber hacer y el saber conocer en una perspectiva de 
mejora continua” (p. 11).
Destacamos en esta concepción de competencias, algunos aspectos útiles a 
nuestro propósito de investigación como los siguientes: el primero es una im-
plicación para el aprendizaje que dialoga con nuestra opción sociocultural en 
educación matemática. Se reconoce una lógica contraria para aprender: ya no es 
la lógica clásica de “aprender” los contenidos y luego esperar que el estudian-
te los aplique. La actividad matemática de aprendizaje requiere aquí una lógica 
contraria: el estudiante debe enfrentarse a resolver tareas matemáticas relevantes, 
significativas, contextualizadas y de complejidad creciente. Ello requiere apren-
dizajes situados para contribuir a que situación y pragmática de uso (en forma 
simultánea), contribuyan al desarrollo de los procesos matemáticos y, por tanto, 
de las competencias.
Una segunda implicación instala el proceso de desarrollo de competencias 
matemáticas como parte de la formación humana integral del estudiante, pro-
pósito histórico de la escuela. Esta formación se asume “…a partir del proyecto 
ético de vida de cada persona, dentro de escenarios educativos colaborativos y 
articulados con lo social, lo económico, lo político, lo cultural, el arte, la ciencia 
y la tecnología” (p. 8)
Y una tercera implicación se relaciona con la integración de los saberes del 
sujeto: “…una competencia, entonces, no es solo tener un saber hacer, un saber 
conocer y un saber ser por separado, sino movilizar los diversos saberes (ser, 
hacer y conocer) hacia el logro de una meta determinada en el contexto…”(p. 12)
Una síntesis del aporte de los autores a nuestra investigación se expresa en 
la concepción de las competencias como actuaciones integrales del estudiante 
para identificar, analizar y resolver problemas del contexto integrando el saber 
ser (actitudes y valores), el saber conocer (conceptos y teorías) y el saber hacer 
(habilidades, procedimientos y técnicas). 
Para la caracterización y valoración de los aspectos afectivos, de tendencia de 
acción y metacognitivos presentes en las competencias matemáticas del estudian-
te, se hace uso en el capítulo siguiente de la propuesta de secuencia didáctica de 
Varios autores
36
los autores y se adapta un instrumento de evaluación inspirado en los conceptos 
del enfoque socioformativo.
Las perspectivas teóricas de Bishop (2005) y Sfard (2008), desde un enfo-
que sociocultural y comunicacional de la educación matemática, aportan nuevos 
conceptos para resignificar el aprendizaje de las matemáticas y para reconocer la 
necesidad de una nueva epistemología que oriente la enseñanza y la investigación 
en educación matemática. El enfoque socioformativo de Tobón et al (2010), am-
plía la visión de las competencias, genera unas implicaciones didácticas para el 
aprendizaje, la enseñanza para el desarrollo de competencias y la integración de 
los saberes del sujeto en el marco de un concepto integral de formación humana, 
del cual las competencias forman parte.
Para situar la importancia de la articulación de los componentes de la compe-
tencia matemática con la actividad matemática de aprendizaje, fue necesario for-
talecer la visión de las competencias matemáticas, especialmente su dimensión 
sociocultural y política. 
En la dimensión política nos planteamos con Valero y Skovmose (2012), las 
siguientes preguntas: ¿Cuál es el significado de las matemáticas en un entorno 
educativo que no tiene como objetivo educar matemáticos puros sino ciudada-
nos?, ¿cuáles son las competencias, las habilidades y los valores que tal educa-
ción pretende dar a estas personas? (p. 16)
 Para los autores es claro que las competencia matemáticas no son neutras ni se 
desarrollan en sujetos ahistóricos, todo lo contrario, ellas no operan aisladamente 
fuera de la escuela, “sino como parte de unidades integradas que se ensamblan en 
la escolaridad” (p. 16), esto ratifica la implicación didáctica para la enseñanza y el 
aprendizaje de las matemáticas de asumir la interdisciplinariedad entre las áreas 
del currículo escolar como materia de estudio e investigación. Por ello es indis-
pensable que la investigación en educación matemática asuma como problemas 
de investigación los aspectos interdisciplinarios de las matemáticas. Por ejemplo, 
problemas como la relación de la educación matemática con la democracia y 
la necesidad que las aulas de matemática representen formas democráticas de 
interacción; el papel de las matemáticas y las competencias matemáticas en los 
procesos de globalización; la necesidad que “las competencias matemáticas del 
ciudadano le permitan comprender la tecnología y su aplicación en el puesto de 
trabajo y, por consiguiente, ser competitivos en el mundo” (p. 4), entre otros pro-
blemas. Este tipo de investigaciones contribuirá bastante a comprender que “los 
significados de las matemáticas escolares y las competencias que ellas pretenden 
promover se constituyen en un campo de práctica social” (p. XII). 
Sobre la complejidad de la competencia matemática y su desarrollo concep-
tual, Valero y Skovmose plantean la vigencia e interdependencia nacional e in-
ternacional de este problema de investigación; planteamiento que compartimos: 
37
CompetenCias matemátiCas y aCtividad matemátiCa de aprendizaje 
…cualquier definición de competencia matemática está inmersa dentro de una 
red compleja de discursos sobre las funciones de la educación matemática. Tales 
discursos conectan las ideas de la educación matemática desde los ámbitos más 
globales e internacionales de política educativa hasta los de práctica de maestros 
dentro de una escuela determinada. (p. XII).
Ahora, abordar el problema del desarrollo de competencias matemáticas pasa 
también por discutir si este es un problema de naturaleza individual, que se ex-
plica desde las particularidades del sujeto que aprende matemáticas o, como se 
postula, también involucra variables de naturaleza social y cultural que inciden 
en los sujetos, los contextos y en la vida misma de una comunidad de aprendizaje 
como es la clase de matemáticas.
Al respecto Rico y Lupiañez (2008), parten de asumir que la “competenciamatemática es saber matemáticas y hacer cosas con ellas”. Sustentan esta idea 
en las características principales de las competencias matemáticas. Para ellos las 
competencias matemáticas: 
…consisten en utilizar la actividad matemática en contextos tan variados como 
sea posible; ponen especial énfasis en aspectos sociales como la comunicación y 
la argumentación; muestran cómo los estudiantes pueden utilizar lo que han apren-
dido en situaciones usuales de la vida cotidiana; y, se alcanzarán en la medida que 
los conocimientos matemáticos se apliquen de manera espontánea a una amplia 
variedad de situaciones, provenientes de otros campos de conocimiento y de la vida 
cotidiana. (p. 214). 
Para los autores, enseñar matemáticas para el desarrollo de competencias exi-
ge nuevas perspectivas curriculares y didácticas que, considerándolo, trasciendan 
el enfoque funcional para ir más allá de lo cognitivo del sujeto que aprende mate-
máticas. Estas perspectivas sobre lo curricular y lo didáctico de las matemáticas 
escolares deben instalarse en un enfoque integrado que asuma el desarrollo de 
las competencias matemáticas en una dimensión individual y en una dimensión 
social y cultural. 
En la dimensión individual del desarrollo humano, además de resaltar lo cog-
nitivo, también se considera: el conocimiento y dominio de estrategias metacog-
nitivas, una formación centrada en la promoción de la creatividad y en la capaci-
dad para valorar la herencia cultural de las representaciones matemáticas y una 
inclinación cultural favorable al gusto, cultivo y curiosidad por las matemáticas 
y por su aprendizaje.
La dimensión social y cultural asume por finalidad la resolución de problemas 
contextualizados, la argumentación y justificación de las ideas que orientan este 
proceso matemático, el cultivo y movilización de diversas competencias mate-
máticas para interactuar en contextos escolares y extraescolares vinculándolas a 
la comprensión y solución de problemas sociales y culturales de una comunidad 
específica.
Varios autores
38
Podemos afirmar ahora que el problema didáctico del desarrollo de competen-
cias matemáticas del estudiante es de naturaleza individual y de naturaleza social. 
De un lado, lo individual se expresa en adscribir este desarrollo al aprendizaje, 
al sujeto que aprende matemáticas y, en principio, este aprendizaje pasa por mo-
vilizar los marcos cognitivos del sujeto, el desarrollo de procesos y pensamien-
tos matemáticos; igualmente involucra sus intereses afectivos, sus actitudes, su 
voluntad, decisión y persistencia de usar esas competencias en su cotidianidad. 
La naturaleza social y cultural de las matemáticas, así como su condición de 
discurso construido y compartido social y culturalmente, hacen de las matemá-
ticas un “fenómeno cultural” (García, Acevedo y Jurado, 2003) potente y so-
cialmente útil. El desarrollo de competencias matemáticas, como problema de 
investigación de la Educación Matemática y desde una perspectiva sociocultural, 
se sitúa “en la reflexión sobre el empleo y uso de las matemáticas en la socie-
dad” (Ibíd., p. 13); por tanto, la construcción del significado matemático en el 
aula, ha de ser un proceso compartido y validado en esa sociedad sui generis que 
es la clase de matemáticas; y, las competencias asociadas a ese significado, se 
constituyen en un campo de práctica social, en interacción comunicativa entre 
los sujetos. Es esta dimensión sociocultural de la competencia matemática la que 
explica por qué el estudiante no solo debe ser competente con las matemáticas 
como estudiante, sino también como ciudadano. 
Ahora estamos en mejores condiciones didácticas para asumir las alternativas 
de articulación entre las tareas, los procesos y los niveles de complejidad con la 
actividad matemática de aprendizaje del estudiante, como un problema esencial 
para el profesor de matemáticas. 
Una primera idea es comprender cómo se relacionan las tareas matemáticas, 
los procesos y los niveles de complejidad, como componentes de una competen-
cia matemática. Esta relación se evidencia en el marco de un conjunto de activi-
dades de aprendizaje que se articulan todas en una secuencia didáctica. Habla-
mos de actividades de aprendizaje sin pretender desconocer el rol del profesor en 
esta interacción en el aula desde sus prácticas de enseñanza; no obstante, como 
ya se ha dicho, el foco de investigación es la actividad matemática de aprendizaje 
del estudiante, allí convergen todas las demás actividades que se planifiquen en 
la secuencia didáctica, toda vez que la competencia la debe desarrollar es el estu-
diante, no el profesor.
Una secuencia didáctica es un conjunto de pasos ordenados de forma progresi-
va y articulada para desarrollar actividades de aprendizaje, caracterización y eva-
luación. Se requiere la planeación, orientación, monitoreo y acompañamiento del 
profesor, unas finalidades o propósitos de aprendizajes compartidas, unas formas 
horizontales y democráticas de trabajo, que estimulen la interacción y el trabajo 
cooperativo y afiliativo entre profesor y estudiantes. Igualmente, requieren de 
una serie de recursos didácticos y tecnológicos acordes con la naturaleza del con-
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CompetenCias matemátiCas y aCtividad matemátiCa de aprendizaje 
junto de actividades y de los propósitos de las mismas. En el próximo capítulo, 
la caracterización de la competencia matemática Plantear y Resolver Problemas 
asociada al aprendizaje del objeto matemático La Mediana, se hace con la im-
plementación de las secuencias didácticas, por tanto, habrá mayor ilustración y 
ejemplificación sobre conformación y aplicación. 
La complejidad, entonces, de esta articulación, se sitúa en función de las tareas 
matemáticas y los procesos matemáticos considerados en la secuencia didáctica. 
Ya se ha planteado que las tareas hacen referencia a los contenidos matemáticos, 
se asocian al dominio matemático, a las nociones matemáticas que se abordan en 
una clase o actividad matemática. Las tareas matemáticas se diseñan y proponen 
por parte del profesor, se adscriben a su rol en la clase; se asocian a expectativas 
de aprendizaje a corto plazo (objetivos de la clase, de la unidad, del tema, etc.) 
formulados para el desarrollo de procesos matemáticos que ponen en juego capa-
cidades del estudiante. Una característica básica de las tareas es su complejidad 
creciente, es decir, que de manera progresiva, el estudiante requiere desarrollar 
procesos matemáticos de mayor nivel de complejidad para resolverlas, en la me-
dida que avanza en el conocimiento de los contenidos o nociones matemáticas a 
lo largo de su escolaridad.
La actividad matemática de aprendizaje, aunque no es asumida como un com-
ponente de la competencia por el autor, si es un concepto central articulado a las 
tareas que el profesor diseña y propone a los estudiantes. La actividad matemática 
de aprendizaje, Solar (2009, p. 69), la adscribe al estudiante, es decir, el estudian-
te desarrolla actividad matemática resolviendo tareas que el profesor diseña y 
propone. Los niveles de complejidad de la actividad matemática están articulados 
a la complejidad creciente de las tareas propuestas y se expresan, finalmente, en 
los niveles de complejidad de los procesos matemáticos que deben desarrollar los 
estudiantes. 
Para Solar, cada competencia matemática se compone de procesos mate-
máticos (2009, p. 56). Estos procesos son consustanciales con la enseñanza y 
aprendizaje de las matemáticas desde siempre: resolución y planteamiento de 
problemas, razonar, comunicar, modelizar, representar, argumentar, demostrar, 
calcular, visualizar, graficar, etc., han estado siempre en los currículos de mate-
máticas (ver, por ejemplo, Lineamientos curriculares de Matemáticas, 1998, p. 
74). No obstante, en el proceso de movilización de competencias matemáticas 
del estudiante, hay una novedad en la forma como se asume este componente: los 
procesos no son subalternos de los contenidos, como tradicionalmenteocurría. Al 
contrario, solo es posible el desarrollo de competencias matemáticas (expectativa 
de aprendizaje a largo plazo) en el marco del desarrollo de procesos matemáticos 
de complejidad creciente. Esta complejidad progresiva evidenciada al resolver 
tareas, debe estar asociada a expectativas de aprendizaje de corto plazo; estos son 
los objetivos de la tarea, de la unidad o del tema, o incluso, del área durante el 
Varios autores
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año escolar. Son estos objetivos los que van “iluminando” el camino e indicando 
la forma como progresan y se movilizan las competencias matemáticas del estu-
diante. Una adecuada comprensión por parte del profesor de matemáticas, de la 
articulación de estas dos expectativas de aprendizaje, será de mucha utilidad en 
el proceso de desarrollo de competencias de los estudiantes. 
Para Solar, tareas y procesos implican desarrollo y crecimiento en la riqueza 
cognitiva del estudiante, se basan en conocimientos y actuaciones. No obstante, 
los procesos matemáticos movilizan diversos conocimientos y una mayor riqueza 
cognitiva, pues se ponen en juego cuando el estudiante aborda tareas complejas 
en situaciones complejas. (Ibid, p. 57). Es decir, el estudiante se involucra en 
procesos matemáticos cuando resuelve tareas matemáticas. Esta relación entre 
tareas, procesos y actividad matemática del estudiante, ha tenido para nuestra 
investigación mucha utilidad didáctica, pues permite generar interacción comu-
nicativa en el aula entre profesor - estudiante y estudiante – estudiante, en el 
complejo proceso de construir el significado matemático compartido para el de-
sarrollo de procesos que contribuyan a elaborar soluciones y a negociar el desa-
rrollo de los significados compartidos entre profesor y estudiante (Bishop, 2005). 
Algunas razones que demuestran la importancia de esa interacción:
• El docente diseña, propone y comunica las tareas matemáticas al estudian-
te, lo orienta y asesora.
• El estudiante hace actividad matemática resolviendo tareas, desarrolla pro-
cesos matemáticos que le permiten comunicar, con argumentos matemáti-
cos, el proceso y el producto de su actividad, la valoración de la calidad de 
estos procesos, de su rol en el grupo, de las dificultades y de los avances. Es 
decir, moviliza procesos de riqueza cognitiva, pero además, de naturaleza 
metacognitiva, afectiva y volitiva. Por ello, es un participante que expresa 
la calidad de su aprendizaje en el marco de su discurso matemático en una 
comunidad con la que se comunica: la clase. (Sfard, 2008)
• Esta interacción en el aula es un elemento sustancial en nuestra investiga-
ción, pues no se trata de clasificar al estudiante a la manera de las pruebas 
masivas. Se trata de desarrollar en la clase interacción entre los sujetos del 
proceso de enseñanza y aprendizaje para movilizar las competencias mate-
máticas del estudiante resolviendo problemas significativos de su contexto 
sociocultural. 
41
CompetenCias matemátiCas y aCtividad matemátiCa de aprendizaje 
La figura 4 ilustra los anteriores planteamientos: 
PROCESOS MATEMÁTICOS 
!
Actividad 
matemática 
de 
aprendizaje 
Tareas 
matemáticas 
Comunicación 
Negociación 
Comunicación 
Negociación 
PROFESOR ESTUDIANTE 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 4. Organización del proceso comunicativo en el aula para compartir y 
desarrollar el significado matemático.
En la figura 4 puede apreciarse que la alternativa didáctica que se propone 
para articular las tareas, los procesos y los niveles de complejidad con la acti-
vidad matemática de aprendizaje tiene un núcleo: la comunicación y la parti-
cipación para compartir y desarrollar el significado matemático. Tratemos de 
explicar la esencia de ese núcleo articulador tomando como referente teórico a 
Bishop (2005) y Sfard (2008) ya citados. 
Lo primero que debe hacer la clase como comunidad de aprendizaje, es acor-
dar la finalidad de la enseñanza de las matemáticas y de la clase de matemáticas. 
Nuestra opción sociocultural nos llevó a adherir a la propuesta de Bishop (2005, 
p. 22, 23) de que esta finalidad se sitúa en el propósito central de “compartir y 
desarrollar el significado matemático” (p.22). Para el autor, esta opción tiene las 
siguientes implicaciones:
Sitúa al profesor con todo el grupo de la clase; enfatiza en la naturaleza dinámica, 
interactiva e interpersonal de la enseñanza, es decir, el profesor sabe que está traba-
jando con seres que aprenden, no meramente, estimulando que se dé el aprendizaje; 
se reconoce la importancia tanto del contenido como del contexto; toma en cuenta 
el conocimiento, las habilidades y sentimientos del estudiante, poniendo énfasis en 
el desarrollo más que en un enfoque teórico del aprendizaje; enfatiza en el desa-
rrollo del significado matemático incluyendo tanto metas cognitivas como metas 
afectivas; reconoce la existencia de muchos métodos y organizaciones de la clase; 
y, es una concepción que permite el desarrollo del profesor a través de la formación 
inicial y la posterior a ella. (p. 22) 
Varios autores
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La idea del significado matemático es la esencia, se busca priorizar la natu-
raleza personal del significado de cualquier concepto matemático; es condición 
previa para luego poder compartir significados en la clase. Si este se conecta con 
lo que el sujeto conoce, tiene mayores posibilidades de ser significativo para él, 
no solo en el campo de las matemáticas, también en el de la vida real. El estu-
diante tendrá significados diferentes a los del profesor, eso es lo que dinamiza y 
enriquece el proceso de compartir y desarrollar significado matemático a través 
de la comunicación y la negociación. Hay tres aspectos fundamentales en esta 
concepción:
• Actividades matemáticas. Se busca enfatizar el involucramiento del estu-
diante con las matemáticas y no la presentación del contenido por parte del 
profesor. 
• Comunicación. Aspecto con el que se busca enfatizar el proceso y el pro-
ducto de compartir significados.
• Negociación. Aspecto con el que se busca enfatizar la asimetría de la rela-
ción profesor/alumno en el desarrollo de significados compartidos. (p. 23)
Sobre las actividades matemáticas es necesario agregar dos cosas: la primera 
es que se hace necesario que el profesor haga una planificación y conversión del 
contenido y el conocimiento matemático en términos de las actividades matemá-
ticas del estudiante, ese es el punto de convergencia; y, la segunda es la necesidad 
de estimular y organizar el trabajo colaborativo, el aprendizaje cooperativo; es 
una forma de trabajo que los estudiantes han llegado a valorar mejor que los 
profesores. 
La comunicación hace alusión a la necesidad de comunicar, discutir, argumen-
tar significados matemáticos en la clase. Comprender y compartir estos significa-
dos es conectar las ideas que en la clase se tienen sobre ellos, charlar sobre ellos, 
exponer las ideas, escribirlas, representarlas en diversas formas de representación 
semiótica (símbolos, gráficos, diagramas, algoritmos, etc.); solo así será posible 
conectarlas con las ideas previas de los estudiantes y compartir sus significados 
entre profesor – estudiantes y entre estudiante – estudiante. Este es el sentido 
de lo que la Dra. Sfard llama la metáfora de la participación: “…aprender ma-
temáticas ahora se concibe como un proceso de convertirse en miembro de una 
comunidad matemática” (2008, p. 29). Por ello, el estudiante debe aprender a 
comunicarse en el lenguaje de esta comunidad, a compartir sus reglas, a ser parte 
integral del grupo, a ser un participante activo. 
Si se acepta que la comunicación tiene que ver con compartir significados, 
entonces, la negociación gira en torno al desarrollo de significados. La nego-
ciación es de tipo cultural, es una interacción orientada por unas metas que los 
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CompetenCias matemátiCas y aCtividad matemátiCa de aprendizaje 
participantes buscan alcanzar. Generalmente, el profesor pretende que las metas 
que se ha