matematicas 51

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•	 ¿Puedes observar que el valor de ese cociente se parece al valor escrito de los co-
cientes de la tercera columna de la tabla? 
•	 Hasta este momento hemos comparado las longitudes entre objetos que tienen 
la misma forma pero que difieren en su tamaño. Estas figuras son conocidas como 
semejantes si guardan una relación de proporcionalidad entre sus longitudes.
•	 Observa con atención los siguientes triángulos:
D
F
E
2.5 cm
3 cm
1000400
400
C
1000400
400
A B
6 cm
5 cm
•	 ¿Qué es lo congruente en los triángulos los lados o los ángulos?
•	 Establece razones entre los lados del triángulo DEF con los lados del triángulo ABC.
•	 ¿Se puede establecer una proporción entre esas razones? Escribe dicha proporción.
•	 Si se calcula el cociente de las razones ¿dicho valor es el mismo?
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Guía 16 • Postprimaria Rural
Aprendamos
algo nuevo
Semejanza de triángulos
Como observaste, los triángulos anteriores tienen sus ángulos correspondientes con-
gruentes, pero sus lados correspondientes son diferentes. Tienen una relación de pro-
porcionalidad porque se puede obtener una constante proporcional. 
En la figura anterior, el triangulo DEF es semejante al triángulo ABC y lo simbolizamos 
como DEF ~ ABC porque cumple con dos condiciones:
1. Los ángulos correspondientes son congruentes.
2. Los lados correspondientes son proporcionales.
En el ejemplo anterior, el ángulo E es congruente con B ( E B), < D es congruente 
con < A y < F es congruente con < C. Los lados son proporcionales porque todas las 
razones dan el cociente 0,5 o 
1
2
.
DE es a AB como 2,5 es a 5.
EF es a BC como 3 es a 6.
Para determinar cuándo dos triángulos son semejantes se deben verificar las dos con-
diciones anteriores. Además existen unos criterios cuya verificación garantizan la se-
mejanza de los triángulos.
Criterios de semejanza
Primer criterio: (LAL) Lado – Ángulo – Lado
Se toma un ángulo y sus correspondientes lados de un triángulo y se comparan con 
el ángulo correspondiente y sus lados en el otro triángulo. Si se puede establecer una 
proporción con las longitudes de los lados y la medida del ángulo es la misma se pue-
de afirmar que los triángulos son iguales.
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Matemáticas • Grado 8
En la siguiente figura el triángulo DFE es semejante al triangulo ABC ya que los la-
dos DE y EF son proporcionales con AB y BC respectivamente, 
2.5
3
5
6
= como podemos 
verificar 2.5 × 6 = 3 × 5 y los ángulos formado por esos lados son congruentes.
D
F
E
2.5 cm
3 cm
1000
C
1000
A B
6 cm
5 cm
Segundo Criterio: (A-A-A) Ángulo – Ángulo – Ángulo
Si los ángulos de un triángulo se comparan con sus correspondientes ángulos en otro 
triángulo y son congruentes entonces esos triángulos son semejantes.
Para determinar si los triángulos, ACB y DEF son semejantes,
A
B
C40
0 550 400 550D
F
E
dado que solo tenemos información de dos ángulos, entonces intentaremos mostrar 
que los tres ángulos son congruentes, para ello usamos la propiedad de la suma de 
los ángulos interiores de un triángulo, la cual dice que la suma de los ángulos internos 
de cualquier triángulo es igual a 180º. Luego, ¿cuál debe ser el valor del ángulo B, para 
que la suma de los ángulos interiores del triángulo ABC sea igual a 180º? ¿Cuál es el 
valor del ángulo F? En ambos caso nos da 85º.
Con lo anterior tenemos que B F y con ello encontramos que los ángulos co-
rrespondientes de los dos triángulos son congruentes, por lo tanto los triángulos son 
semejantes ABC ~ DEF.
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Guía 16 • Postprimaria Rural