Matemáticas Simplificadas 22

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CAPÍTULO 6
 ARITMÉTICA • Potenciación y radicación
87
2 Efectúa −⎛⎝⎜
⎞
⎠⎟
3
4
3
.
Solución
El exponente es impar, por consiguiente, el resultado será negativo.
−⎛⎝⎜
⎞
⎠⎟ = −
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ = −
3
4
3
4
27
64
3 3
3 Desarrolla − +( )4 1 2.
Solución
Se efectúa la operación encerrada en el paréntesis y después se resuelve la potencia para obtener el resultado.
− +( ) = −( ) = =4 1 3 3 92 2 2
EJERCICIO 55
Desarrolla las siguientes expresiones:
 1. (– 4)2
 2. – 56
 3. (6)– 4
 4. (– 1)8
 5. (– 9)3
 6. – 2–5
 7. (– 3)4
 8. 
1
2
2
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
−
 9. −
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
1
4
4
 10. 
1
3
3
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
 11. −
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
−
2
5
3
 12. 
7
3
3
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
 13. 
5
9
5
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
 14. – (1 + 2)2
 15. (3 – 1)2
 16. (5 + 11)3
 17. (0.5 + 3.8)2
 18. 
1
2
2
3
3
+⎛⎝⎜
⎞
⎠⎟
 19. 5
1
4
2
+⎛⎝⎜
⎞
⎠⎟
 20. 
1
10
1
3
+⎛⎝⎜
⎞
⎠⎟
 ⁄ Verifi ca tus resultados en la sección de soluciones correspondiente 
Teoremas
⁄ a a am n m n⋅⋅ == ++
Ejemplo
Demuestra que se cumple 2 2 23 2 3 2⋅ = + .
Solución
Se realiza la potenciación 2 2 8 4 323 2⋅ = =( )( ) y 2 2 323 2 5+ = =
Por lo tanto, se demuestra que 2 2 2 323 2 5⋅ = =
⁄ 
a
a
a
m
n
m n== −− .
 6 CAPÍTULO
 MATEMÁTICAS SIMPLIFICADAS
88
Ejemplo 
Demuestra que se cumple 
3
3
3
5
2
5 2= − .
Solución
Se realiza 
3
3
243
9
27
5
2
= = y 3 3 275 2 3− = = .
Se observa que ambos resultados son iguales, por lo tanto, se cumple que: 
3
3
3
5
2
5 2= −
⁄ a0 == 1
Ejemplo
Demuestra que 7 10 = . 
Solución
Para esta demostración se emplea arbitrariamente que 1
343
343
7
7
7 7
3
3
3 3 0= = = =−
Por consiguiente, 7 10 =
⁄ a am
n m n(( )) == ⋅⋅
Ejemplo
Demuestra que 4 43
2 3 2( ) = ( )( ) . 
Solución
Se realiza 4 64 4 0963
2 2( ) = ( ) = , además 4 4 4 0963 2 6( )( ) = =
Por último: 4 4 096 43
2 3 2( ) = = ( )( )
⁄ a b c a b c
m m m m⋅⋅ ⋅⋅(( )) == ⋅⋅ ⋅⋅
Ejemplo 
Verifi ca que se cumple 2 3 5 2 3 5
2 2 2 2⋅ ⋅( ) = ⋅ ⋅ . 
Solución
Se realiza el producto de 2 3 5 30⋅ ⋅ = y después se eleva 30 9002( ) =
Además: 2 3 5 4 9 25 9002 2 2⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ =
Entonces, se cumple que 2 3 5 2 3 5
2 2 2 2⋅ ⋅( ) = ⋅ ⋅
⁄ 
a
b
a
b
m m
m
⎛⎛
⎝⎝⎜⎜
⎞⎞
⎠⎠⎟⎟
==
Ejemplo 
Demuestra que se cumple 
3
4
3
4
2 2
2
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ = .
Solución
Primero se eleva 
3
4
3
4
3
4
9
16
2
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ =
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ = ; por otro lado, 
3
4
9
16
2
2
=
Entonces, se verifi ca que 
3
4
3
4
9
16
2 2
2
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ = =
 CAPÍTULO 6
 ARITMÉTICA • Potenciación y radicación
89
Ej
em
pl
os
EJEMPLOS
Operaciones
Son aquellas que se realizan con la aplicación de los teoremas de los exponentes.
1 Realiza la simplifi cación de 2 5 2 53 2 2 4⋅( ) ⋅( )− − .
Solución
La operación es una multiplicación, entonces los exponentes se suman:
2 5 2 5 2 5 2 5 2 25 53 2 2 4 3 2 2 4 1 2⋅( ) ⋅( ) = ⋅ = ⋅ = ⋅ =− − + −( ) − + 00
El resultado es 50
2 Simplifi ca la siguiente expresión: 2 3
2 3
5 4
3 3
⋅
⋅
−
− .
Solución
Se aplican los teoremas de exponentes:
2 3
2 3
2 3 2 3 4
1
3
4
3
5 4
3 3
5 3 4 3 2 1⋅
⋅
= ⋅ = ⋅ = ⋅ =
−
−
− − − −( ) −
Por tanto, el resultado de la expresión es 
4
3
3 Simplifi ca la siguiente expresión: 27
9
2
3
.
Solución
En este ejercicio el 27 y el 9 se descomponen en factores primos para después aplicar los teoremas y fi nalmente obtener 
el resultado:
3
3
3
3
3 3 1
3 2
2 3
6
6
6 6 0( )
( )
= = = =−
4 Simplifi ca la siguiente expresión: 6 3
2 9
3 2
3 2
⋅
⋅
.
Solución
Se descomponen 6 y 9 en sus factores primos, se simplifi ca y se obtiene el resultado:
6 3
2 9
2 3 3
2 3
2 3 3
2 3
3 2
3 2
3 2
3 2 2
3 3 2
3 4
⋅
⋅
=
⋅( ) ⋅
⋅ ( )
= ⋅ ⋅
⋅
= 22 3
2 3
2 3 2 3 3
3 5
3 4
3 3 5 4 0 1⋅
⋅
= ⋅ = ⋅ =− −
5 ¿Cuál es el resultado de 1
3
3
2
2 3
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ ⋅
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
−
?
Solución
Se elevan ambas fracciones, se multiplican y posteriormente se dividen para obtener el resultado.
1
3
3
2
2 3
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ ⋅
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ = ⋅ = ⋅
=
− −
−
−
−
1
3
3
2
3
3 2
2
2
3
3
3
2 3 33 2 3 2
1
3
2
8
243
3 2 3 5 3
5
3− − −⋅ = ⋅ = ⋅ =
 6 CAPÍTULO
 MATEMÁTICAS SIMPLIFICADAS
90
6 Simplifi ca la expresión 
1
2
2
3
3
2
2
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥
⎥
−
.
Solución
Se simplifi ca la operación que encierra el corchete y se eleva al exponente –2 para obtener el resultado fi nal.
1
2
2
3
3
2
2
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥
⎥
=
⎡
⎣
−
1
2
2
3
3
3
2
2
⎢⎢
⎢
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥
⎥
= ⋅
⋅
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥ =
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥
−
−
2
22
1 3
2
3
2
3 2
3
2 2
5
−− −
−
−
−=
( )
( )
= = = =
2 2 2
5 2 10
3
2
3
2
1
3
1
2
2
3
10244 4
10
10
4 881
Por tanto, el resultado fi nal es 
1024
81
7 Simplifi ca 2
2 2
4
2 3
2−
− −
−
−
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
.
Solución
En este ejercicio primero se aplica el teorema correspondiente a los números que se encuentran dentro del paréntesis, 
después se realizan las operaciones.
1
2
1
2
1
2
1
2
1
4
1
8
4
2 3
2
4
2
−
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
=
−
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
− −
==
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
=
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
=
− −
1
2
1
8
1
2
1
2
2
2
4
2
4
3
2
3
4
⎛⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
= ( ) = =
−
− −
2
1 2 22 2 4
Por consiguiente, 
2
2 2
4
4
2 3
2−
− −
−
−
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
=
EJERCICIO 56
Simplifi ca las siguientes expresiones, emplea las defi niciones y teoremas de los exponentes:
 1. 5 52 2⋅
 2. 3 35 2− ⋅
 3. 3 3 32 3
2
3⋅ ⋅−
 4. 2 3 2 37 4 5 4⋅( ) ⋅( )− −
 5. 3 5 2 3 55 4 3 7 6⋅( ) ⋅ ⋅ ⋅( )− −
 6. 4 3 2 3
3
2
1
3 1
7
3⋅
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
⋅
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
− −
 7. 4 2 82 3 2⋅ ⋅
 8. 
6
6
7
4
 9. 
5
5
8
10
 10. 
3
3
6
10
−
−
 11. 
5
5
4
4
 12. 
2 3
2 3
7 5
5 4
⋅
⋅
−
−
 13. 
3 4
3 4
5 6
7 8
⋅
⋅
−
−
 14. 
7 3
7 3
5 3
3 5
⋅
⋅