Matemticafinanciera2daed marzo2023

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Néstor Adrián Le Clech
Laura Mariel Segura
MATEMÁTICA 
FINANCIERA
Segunda edición
corregida y aumentada
 
UNIVERSIDAD NACIONAL DE QUILMES
Rector
Alfredo Alfonso
Vicerrectora
Alejandra Zinni
Néstor Adrián Le Clech
Laura Mariel Segura
Matemática financiera
Segunda edición
corregida y aumentada
Bernal, 2023 
Colección Administración y economía
Dirigida por Fernando Porta
Le Clech, Néstor Adrián 
Matemática financiera / Néstor Adrián Le Clech; Laura 
Mariel Segura. - 1a ed. - Bernal: Universidad Nacional 
de Quilmes, 2023.
Libro digital, PDF - (Administración y economía)
Archivo Digital: descarga
ISBN 978-987-558-838-7
1. Economía. 2. Matemática. 3. Matemática Financiera. 
I. Segura, Laura Mariel. II. Título.
CDD 519.8
Ⓒ Néstor Adrián Le Clech y Laura Mariel Segura, 2023
Ⓒ Universidad Nacional de Quilmes, 2023
Universidad Nacional de Quilmes
Roque Sáenz Peña 352
(B1876BXD) Bernal, Provincia de Buenos Aires
República Argentina
ediciones.unq.edu.ar
editorial@unq.edu.ar
Diseño: Mariana Nemitz
ISBN 978-987-558-838-7
Queda hecho el depósito que establece la Ley Nº 11.273
Índice
Prólogo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
Capítulo I. Introducción, nociones fundamentales y tasas de interés . . . . . . . . . . . . 13
Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
Cómo abordar el estudio de las matemáticas financieras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
¿Qué estudiamos en matemática financiera? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1 . Elementos básicos de las operaciones financieras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1 .1 . Prestación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1 .2 . Tiempo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1 .3 . Ley financiera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1 .4 . Contraprestación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1 .5 . Equivalencia financiera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2 . Tasas de interés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
3 . Tasa de inflación y tasa de interés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
En síntesis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
Test de autoevaluación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
Capítulo II. Interés simple y descuento comercial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
1 . Interés simple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2 . Descuento racional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
3 . Descuento comercial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
4 . Vinculación entre tasa de interés simple y tasa de descuento . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
5 . Equivalencias financieras y operaciones con pagos diferidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
5 .1 . Vencimiento común . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
5 .2 . Vencimiento medio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
5 .3 . Obtención de la TNA (la técnica de interpolación) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
En síntesis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
Test de autoevaluación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
Capítulo III. Interés y descuento compuesto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
1 . Interés compuesto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
2 . Tasa de interés equivalente y tasa anual equivalente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
2 .1 . Nota conceptual . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
3 . Descuento compuesto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
4 . Equivalencias entre las tasas de interés y de descuento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
En síntesis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
Test de autoevaluación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
Capítulo IV. Introducción a rentas. Rentas temporales: constantes, inmediatas, 
vencidas y enteras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
1 . Definición y clasificaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
1 .1 . Clasificación según su espacio temporal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
1 .2 . Clasificación según la secuencia que se observe en el importe 
de sus términos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
1 .3 . Clasificación según la secuencia temporal que se observeen cada período . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
1 .4 . Clasificación según el momento en el que se haga efectivo 
el término de la renta dentro de cada período . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
1 .5 . Clasificación según el momento en el que se haga efectivo 
el primer término . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
1 .6 . Clasificación según si coincide la frecuencia de los períodos en los que 
se hacen efectivos los términos y la frecuencia de capitalización . . . . . . . . . . . 95
2 . Valor actual y valor final de las rentas temporales, constantes, inmediatas, 
vencidas y enteras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
2 .1 . Valor actual . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
2 .2 . Valor final . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
2 .3 . Una relación importante entre el valor actual y el valor final . . . . . . . . . . . . 114
En síntesis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
Test de autoevaluación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
Capítulo V. Rentas temporales, constantes, enteras, diferidas y adelantadas . . . . . 123
1 . Rentas adelantadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
1 .1 . Valor actual de las rentas adelantadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
1 .2 . Valor final de las rentas adelantadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
1 .3 . Relación entre valor actual y valor final de las rentas adelantadas . . . . . . . . 131
2 . Rentas diferidas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
2 .1 . Rentas diferidas y vencidas . Valor actual . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
2 .2 . Rentas diferidas y adelantadas . Valor actual . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
2 .3 . Relación entre valor actual y valor final de las rentas diferidas . . . . . . . . . . 141
En síntesis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
Test de autoevaluación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
Capítulo VI. Rentas perpetuas y rentas fraccionadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
1 . Rentas perpetuas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
1 .1 . Valor actual . Rentas constantes, inmediatas, vencidas y enteras . . . . . . . . . 152
1 .2 . Corrección de las fórmulas para rentas diferidas y rentas adelantadas . . . . 155
2 . Rentas fraccionadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
2 .1 . Valor actual . Rentas constantes, inmediatas, vencidas y fraccionadas . . . . . 162
2 .2 . Valor final . Rentas constantes, inmediatas, vencidas y fraccionadas . . . . . . 167
2 .3 . Corrección de las fórmulas para rentas diferidas y rentas adelantadas . . . . 170
2 .4 . Rentas perpetuas y fraccionadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176
En síntesis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177
Test de autoevaluación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179
Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180
Capítulo VII. Rentas variables en progresión geométrica y aritmética . . . . . . . . . . 183
1 . Rentas en progresión geométrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183
1 .1 . Valor actual . Renta temporal, inmediata, vencida y entera . . . . . . . . . . . . . 185
1 .2 . Valor final . Renta temporal, inmediata, vencida y entera . . . . . . . . . . . . . . . 189
1 .3 . Valor actual . Renta perpetua, inmediata, vencida y entera . . . . . . . . . . . . . 191
2 . Rentas en progresión aritmética . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193
2 .1 . Valor actual . Renta temporal, inmediata, vencida y entera . . . . . . . . . . . . . 195
2 .2 . Valor final . Renta temporal, inmediata, vencida y entera . . . . . . . . . . . . . . . 198
2 .3 . Valor actual . Renta perpetua, inmediata, vencida y entera . . . . . . . . . . . . . 200
3 . Correcciones de las fórmulas para rentas adelantadas, diferidas y fraccionadas . . . 201
3 .1 . Correcciones para el cálculo de las rentas adelantadas y diferidas . . . . . . . 202
3 .2 . Correcciones para el cálculo de las rentas fraccionadas . . . . . . . . . . . . . . . . 206
En síntesis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213
Test de autoevaluación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214
Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215
Capítulo VIII. Introducción a los sistemas de préstamos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219
1 . Conceptos fundamentales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219
1 .1 . Elementos constitutivos de los sistemas de préstamo . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219
1 .2 . Plazo de carencia (o plazo de gracia) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221
1 .3 . Costo financierototal . Tasa efectiva del prestamista y del prestatario . . . . . 222
2 . Préstamos con pago único y vencido de amortización e interés . . . . . . . . . . . . . . . 223
2 .1 . Pago único con ley financiera de interés simple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224
2 .2 . Pago único con ley financiera de interés compuesto . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227
2 .3 . Tasa efectiva del prestatario y tasa efectiva del prestamista . . . . . . . . . . . . . 229
3 . Préstamo con pago único y vencido de amortización y pago periódico 
de intereses (In fine o Sistema americano clásico) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233
3 .1 . Tasa efectiva del prestatario y tasa efectiva del prestamista . . . . . . . . . . . . . 237
4 . Sistema americano con constitución de fondo de amortización 
(con tasas de interés fijas) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243
4 .1 . Estructura y cálculo de la cuota pura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243
4 .2 . Amortización, intereses y saldos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244
En síntesis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247
Test de autoevaluación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249
Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 250
Capítulo IX. Sistema francés y sistema alemán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253
1 . Sistema francés (con tasa de interés fija) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253
1 .1 . Estructura y cálculo de la cuota pura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254
1 .2 . Amortización, intereses y saldos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256
1 .3 . Sistema francés con tasa de interés variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261
2 . Sistema alemán (con tasa de interés fija) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 265
2 .1 . Estructura y cálculo de la cuota pura y el saldo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 265
2 .2 . Amortización e intereses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 267
2 .3 . Sistema alemán con tasa de interés variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 270
3 . Gastos de concesión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272
3 .1 . Inclusión de los gastos de concesión en la cuota . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 274
3 .2 . TAE, tasa efectiva del prestatario y tasa efectiva del prestamista . . . . . . . . . 278
4 . Una nota comparativa entre el sistema americano, el francés y el alemán . . . . . . 282
En síntesis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 286
Test de autoevaluación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 288
Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 289
Capítulo X. Técnicas para la evaluación de inversiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293
1 . Plazo de recupero (payback) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294
2 . Tasa contable de ganancia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 296
3 . Plazo de recupero ajustado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 297
4 . Valor actual neto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 300
5 . Tasa interna de retorno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303
6 . Tasa interna de retorno modificada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 305
7 . Índice de rentabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 308
8 . Modificación para proyectos con valor residual . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 309
En síntesis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 316
Test de autoevaluación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 318
Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 319
Capítulo XI. Bonos y obligaciones negociables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323
1 . Definiciones y conceptos fundamentales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323
1 .1 . Amortización de capital . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 326
1 .2 . Pago de intereses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 328
2 . Valuación de bonos y obligaciones negociables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 329
2 .1 . La relación entre la tasa de interés y el precio de mercado del bono . . . . . . 330
2 .3 . Valuación de títulos que se amortizan en pagos periódicos de capital . . . . . 333
2 .4 . Valor técnico (VTt) y paridad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 336
3 . Rendimiento y volatilidad de bonos y obligaciones negociables . . . . . . . . . . . . . . . 338
3 .1 . Rendimiento de bonos y obligaciones negociables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 338
3 .2 . Volatilidad de bonos y obligaciones negociables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 340
En síntesis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 346
Test de autoevaluación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 347
Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 348
Capítulo XII. Depreciaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 351
1 . Definiciones, variables y ecuaciones generales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 352
2 . Método de línea recta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 355
3 . Método de unidades producidas o unidades de servicio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 357
4 . Método de doble saldo decreciente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 360
5 . Método de suma de dígitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 363
6 . Método de saldos decrecientes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 365
En síntesis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 367
Test de autoevaluación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 369
Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 371
Referencias bibliográficas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 373
Anexos de cApítulos
Anexo del capítulo I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 377
Anexo del capítulo II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 381
Anexo del capítulo IV . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 385
Anexo del capítulo VI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 391
Anexo del capítulo VII . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 395
Anexo del capítulo IX . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 403
Resolución de ejeRcicios
Ejercicios del capítulo I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 413
Ejercicios del capítulo II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 421
Ejercicios del capítulo III . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 435
Ejercicios del capítulo IV . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 449
Ejercicios del capítulo V . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 469
Ejercicios del capítulo VI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 485
Ejercicios del capítulo VII . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 505
Ejercicios del capítulo VIII . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 521
Ejercicios del capítulo IX . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 535
Ejercicios del capítulo X . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 555
Ejercicios del capítulo XI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 577
Ejercicios del capítulo XII . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 589
listAdo de fóRmulAs
Capítulo I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 603
Capítulo II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 603
Capítulo III . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 605
Capítulo IV . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 605
Capítulo V . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 606
Capítulo VI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 608
Capítulo VII . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 611
Capítulo VIII . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 613
Capítulo IX . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 615
Capítulo X . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 617
Capítulo XI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 619
Capítulo XII . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 621
11
Prólogo
Las matemáticas financieras constituyen una herramienta fundamental para 
resolver operaciones financieras de diversa índole porque nos ayudan a to-
mar decisiones con fundamentos sólidos, tanto en los ámbitos empresarial y 
profesional como en la vida cotidiana . Son indispensables para analizar pro-
yectos de inversión y operaciones de financiamiento de naturaleza tan amplia 
como evaluar la utilización de instrumentos financieros, contratos, hipotecas 
y préstamos o determinar los mercados en los que un negocio puede obtener 
la mayor rentabilidad. También en situaciones cotidianas como decidir qué 
tarjeta de crédito posee los mejores beneficios o qué comercio ofrece la mejor 
financiación .
En ese sentido, los conocimientos inherentes al estudio de las matemáticas 
financieras también representan un insumo básico e imprescindible para el 
aprendizaje de asignaturas como contabilidad, costos, evaluación de proyectos 
de inversión, organización industrial y todas las referentes al campo de la admi-
nistración y las finanzas . De allí derivan la importancia y la necesidad de que en 
la enseñanza se utilice una pedagogía que permita que el estudiante incorpore 
los conceptos de la mejor manera, para luego poder emplearlos acertadamente 
en las áreas correspondientes .
En relación con el último punto diremos que, en ocasiones, los profesores 
universitarios realizan obras relativas a las materias que profesan y en muchos 
casos logran obtener trabajos de verdadera excelencia . No obstante, algunas 
veces las obras encuentran una didáctica pobre, que torna poco accesible la 
temática para el alumno y así dificulta su acercamiento a los conocimientos 
pretendidos . Nosotros creemos que las matemáticas financieras representan 
uno de esos casos .
En consecuencia, el libro que presentamos y que hemos titulado Matemá-
tica financiera tiene como objetivo introducir al lector en el uso y la aplica-
ción de las matemáticas financieras a partir de un enfoque teórico pero funda-
mentalmente práctico que, a diferencia de lo que sucede con otros manuales 
de estudio, utiliza un gran número de ejemplos y ejercicios resueltos (estos 
últimos completamente desarrollados y explicados paso a paso) . Además, es-
tablece una dinámica de aprendizaje que permite asimilar los conocimientos 
a partir de situaciones “reales” que podrían ser parte de la vida cotidiana de 
cualquier persona o empresa . Por consiguiente, a partir de la didáctica pro-
puesta, las operaciones financieras ya no serán entendidas solo como una rama 
de la matemática aplicada en un sentido abstracto, sino que se incorporarán 
como parte del conocimiento propio que hace a los saberes de la denominada 
“cultura general” .
NÉSTOR ADRIÁN LE CLECH | LAURA MARIEL SEGURA12
En lo que se refiere a este último punto, podemos afirmar que, en esencia, 
las aplicaciones matemáticas que se utilizan en los cálculos financieros más 
comunes son extremadamente sencillas . Los lectores comprobarán que, para 
conocer el tema, no requerirán más conocimiento que el necesario para operar 
con ecuaciones simples más una de las propiedades básicas de los logaritmos 
que usamos para despejar un exponente . En tal sentido, aquellos que ya posean 
un conocimiento básico de las álgebras, estarán en condiciones de adquirir la 
capacidad de manejar las aplicaciones matemáticas para el análisis financiero 
más común, el que, por otra parte, resulta ser el más utilizado . No obstante, 
a nuestro entender, la dificultad en el estudio de los tópicos de esta disciplina 
no radica particularmente en problemas con la aplicación de las técnicas ma-
temáticas sino en la dificultad para interpretar y razonar de qué forma se las 
debe utilizar .
El libro Matemática financiera consta de 12 capítulos, entre los que po-
demos identificar cuatro temáticas perfectamente definidas . Los tres primeros 
son de carácter introductorio y en ellos se desarrollan los conceptos de interés 
y descuento, sean estos de carácter simple o compuesto . Los cuatro capítulos 
que siguen corresponden a la presentación de las nociones básicas y al análisis 
de los diversos tipos de rentas (enteras y fraccionadas, vencidas y adelantadas, 
inmediatas y diferidas, temporales y perpetuas, constantes y variables) . En los 
capítulos VIII y IX, que corresponden a la tercera parte del libro, se presentan 
los conceptos fundamentales propios de las operaciones de préstamo y de los 
distintos sistemas de préstamos que se utilizan comúnmente en las operaciones 
financieras (sistema americano, sistema francés y sistema alemán) .
Los tres últimos capítulos introducen temas avanzados . Así, en el capítulo 
X se analizan las técnicas de evaluación de inversiones, entre las que se inclui-
rán tanto las técnicas más importantes basadas en criterios contables como las 
técnicas más representativas basadas en principios financieros . El capítulo XI 
se ocupará de los bonos y las obligaciones negociables, intentando brindar al 
lector de las herramientas fundamentales para el análisis . Finalmente, el capí-
tulo XII abordará el tema de las depreciaciones, un tema sumamente útil para 
varias asignaturas y que pocas veces se trata en obras de este estilo . 
De esta forma, la obra pretende abarcar un abanico importante de temas y 
brindar un enfoque “amistoso” y didáctico que profundice en puntos esencia-
les sobre los que, dada nuestra experiencia en el dictado de la materia, pode-
mos afirmar serán ejes cruciales para el entendimiento posterior de la temática 
abordada .
Después de esta breve descripción de las características y el contenido de 
este libro consideramos que, antes de finalizar, es importante mencionar que 
los conocimientos que se adquieren en el estudio de las matemáticas financie-
ras son acumulativos . Esto quiere decir que la incorporación de conceptos se 
produce en forma gradual y que como esos conceptos se hallan estrechamente 
vinculados entre sí, resulta muy difícil comprender un tema sin haber compren-
dido verdaderamente los anteriores . Es por eso que para avanzar en el proceso 
de aprendizaje se recomienda enfáticamente que se estudien e incorporen a con-
ciencia los conceptos para luego realizar los ejercicios pertinentes a cada tema . 
En este punto radica la clave del estudio de las matemáticas financieras, y enten-
der esto es el primer paso para emprender un camino exitoso en el aprendizaje .
13
Capítulo I 
Introducción, nociones fundamentales 
y tasas de interés
En este primer capítulo nos introduciremos en el estudio de la materia . Para 
ello comenzaremos con algunos comentarios que nos servirán de guía para el 
abordaje del estudio que pretendemos y daremos algunos ejemplos para ubicar 
al lector en el tipo de situaciones que se estudian con la matemática financiera .
Después de esta introducción preliminar presentaremos las nociones fun-
damentales del cálculo financiero, las que sentarán las bases conceptuales que 
darán sustento al resto de la materia .
Finalmente presentaremos y definiremos las distintas tasas de interés, uno 
de los componentes esenciales del cálculo financiero .
Introducción
Cómo abordar el estudio de las matemáticas financieras
Bajo el título matemática financiera se encuadra una serie de herramientas ma-
temáticas de uso cotidiano, no solo de las empresas, sino también de los indivi-
duos . Esto tiene la ventaja de permitir la posibilidad de asociar los conocimientos 
adquiridos en esta materia con circunstancias que pueden resultar familiares, lo 
que representa una gran ventaja de la cual se debe hacer uso siempre .
El mejor método para comprender los problemas es “teatralizarlos”, es de-
cir imaginar y entender las interrelaciones que se producen en una operación 
financiera, y evitar el impulso inicial de abordar el tema desde un enfoque 
puramente matemático . Una parte importante del estudio de esta materia ra-
dica en la ejercitación y a lo largo de la obra iremos analizando y realizando 
distintos ejercicios con el objetivo de afianzar los conocimientos conceptuales 
presentados en cada punto . Sin embargo, conviene que al realizar los ejercicios 
se comprenda muy bien la dinámica de la operación financiera que se intenta 
resolver, puesto que muy a menudo se observa un impulso a dar una lectura 
rápida a los temas y comenzar con la ejercitación .
Las principales fallas no se deben a la falta de conocimientos matemáticos 
sino a errores conceptuales o de interpretación . En cualquier caso, es preciso 
tener presente que lo que se intenta medir es el resultado de operaciones fi-nancieras en las que intervienen personas, o las condiciones sobre la base de 
las cuales se efectúan tratos entre ellas, siempre que esto pueda ser modelado 
NÉSTOR ADRIÁN LE CLECH | LAURA MARIEL SEGURA14
en términos matemáticos . Por ende, las matemáticas representan una herra-
mienta de aplicación como resultado de haber entendido el problema por re-
solver . La ventaja de las fórmulas que aprenderemos a lo largo de esta obra es 
la de resumir modelos funcionales de resolución, que surgen de interrelaciones 
financieras de uso común . Sin embargo, esto no debe suponer un esquema de 
aprendizaje de bajo nivel conceptual, sino todo lo contrario .
Por ello, y dada la experiencia adquirida, nos permitimos recomendar que 
se preste mucha atención a las cuestiones conceptuales porque son tan impor-
tantes como la ejercitación práctica .
No obstante, antes de introducirnos en la materia presentaremos una breve 
prueba de conocimientos algebraicos para que los lectores sepan si ya poseen 
esos conocimientos mínimos o todavía deben adquirirlos .
A continuación presentamos siete pruebas en las que se pide que se despeje 
cada una de las incógnitas indicadas .1
Prueba 1 . Despejar VA, i y t
VF = VA * (1 + i * t)
VF = VA*(1+ i)n
(1+ im)
m
= (1+ im)
m 
VA = C *
1 (1+ im )
n
im
C =
VF * im
(1+ im )
n 1
VF = C *
1+ im( )
n
1
im
VF = C1 +
h
im
*
1+ im( ) 1
im
h* n
im
n
Prueba 2 . Despejar VA, i y n
VF = VA * (1 + i * t)
VF = VA*(1+ i)n
(1+ im)
m
= (1+ im)
m 
VA = C *
1 (1+ im )
n
im
C =
VF * im
(1+ im )
n 1
VF = C *
1+ im( )
n
1
im
VF = C1 +
h
im
*
1+ im( ) 1
im
h* n
im
n
Prueba 3 . Despejar im y m
VF = VA * (1 + i * t)
VF = VA*(1+ i)n
(1+ im)
m
= (1+ im)
m 
VA = C *
1 (1+ im )
n
im
C =
VF * im
(1+ im )
n 1
VF = C *
1+ im( )
n
1
im
VF = C1 +
h
im
*
1+ im( ) 1
im
h* n
im
n
Prueba 4. Despejar C y n
VF = VA * (1 + i * t)
VF = VA*(1+ i)n
(1+ im)
m
= (1+ im)
m 
VA = C *
1 (1+ im )
n
im
C =
VF * im
(1+ im )
n 1
VF = C *
1+ im( )
n
1
im
VF = C1 +
h
im
*
1+ im( ) 1
im
h* n
im
n
Prueba 5. Despejar VF y n
VF = VA * (1 + i * t)
VF = VA*(1+ i)n
(1+ im)
m
= (1+ im)
m 
VA = C *
1 (1+ im )
n
im
C =
VF * im
(1+ im )
n 1
VF = C *
1+ im( )
n
1
im
VF = C1 +
h
im
*
1+ im( ) 1
im
h* n
im
n
Prueba 6. Despejar h
 
VF = VA * (1 + i * t)
VF = VA*(1+ i)n
(1+ im)
m
= (1+ im)
m 
VA = C *
1 (1+ im )
n
im
C =
VF * im
(1+ im )
n 1
VF = C *
1+ im( )
n
1
im
VF = C1 +
h
im
*
1+ im( ) 1
im
h* n
im
n
Prueba 7. Despejar n .
 
VF = VA * (1 + i * t)
VF = VA*(1+ i)n
(1+ im)
m
= (1+ im)
m 
VA = C *
1 (1+ im )
n
im
C =
VF * im
(1+ im )
n 1
VF = C *
1+ im( )
n
1
im
VF = C1 +
h
im
*
1+ im( ) 1
im
h* n
im
n
 
El lector que haya conseguido resolver con éxito cada una de las pruebas podrá es-
tar seguro de que se encuentra en condiciones de abordar la materia sin problema 
alguno, puesto que posee los conocimientos matemáticos necesarios para el fin .
1 Les anticipamos que en la prueba 4 no es posible despejar im; más adelante conoceremos una 
técnica (interpolación) para poder aproximar su valor .
CAP ÍTULO I . INTRODUCCIÓN, NOCIONES FUNDAMENTALES Y TASAS DE INTERÉS 15
¿Qué estudiamos en matemática financiera?
Los conocimientos sobre matemática financiera son fundamentales para des-
empeñarse en una economía basada en el crédito (no nos referimos solo al 
crédito y los depósitos bancarios sino además a todas las operaciones que im-
plican pagos diferidos, como por ejemplo las compras y las ventas que implican 
pagos en cuotas) .
De eso se trata la materia, de evaluar operaciones temporales que poseen 
una valuación dineraria que denominamos tasa de interés; ese será el precio 
del dinero en relación con el tiempo . Nunca más acertado el dicho que versa 
“el tiempo es dinero” .
En matemática financiera se estudian problemas de decisiones intertempo-
rales . Aquí vamos a ver algunas técnicas para evaluar qué decisión es mejor en 
cada momento, de acuerdo con el propio interés, que en términos financieros 
será siempre el de maximizar la suma de dinero disponible .
Ahora bien, ¿por qué una persona (o una empresa) podría estar dispuesta 
a pagar un precio (interés) por disponer de dinero en el día? Se trata esen-
cialmente de lo que denominamos costo de oportunidad . Un individuo (o una 
empresa) que deba realizar un gasto puede no disponer de los fondos necesa-
rios para hacerlo en el día y decidir financiarlo; en esos casos debe existir un 
equilibrio entre los beneficios que brinda el hecho de disponer del dinero en el 
día y los costos del financiamiento .
A continuación veremos tres ejemplos ilustrativos que servirán de guía res-
pecto de la forma en la que se debe encarar la resolución de los problemas de 
tipo financiero y esto nos introducirá en la materia .
Compra a crédito y costo de oportunidad. El mes pasado compré una licuadora 
y la pagué en dos cuotas, la primera al retirar el artefacto y la otra a los 30 días . 
El precio de contado era de $100 pero como la pagaría en dos cuotas me cobra-
ban $110 (sumando las dos cuotas) . Yo podía pagar cuotas de $55 por mes pero 
no había ahorrado lo suficiente para pagar los $100 de una vez (de contado) . 
Como todavía no sabía matemática financiera no hice mayores cálculos pero, 
objetivamente, estaba realizando una operación intertemporal . Si en aquel en-
tonces hubiera sabido matemática financiera hubiera razonado lo siguiente: el 
comerciante me cobró más cara la licuadora que le compré en cuotas porque 
me prestó $45 por 30 días, es decir, yo pagué $55 cuando me llevé una licuado-
ra que valía $100 . Los otros $45 que completaban el precio fueron pagados un 
mes después . Los intereses que me cobró el comerciante fueron de $10 (esto es 
$45 que completaban el precio de contado más $10 que completan la segunda 
cuota de $55) . Esto quiere decir que me cobró una tasa de interés mensual de 
más del 22%, que surge de realizar el siguiente cálculo: me prestó $45 por 30 
días y me cobró $10; entonces resuelvo así: 10/45 = 0,22 o 22% .
Después encontré dos razones para creer que había hecho un pésimo ne-
gocio: 1) el banco estaba dando préstamos personales al 2% mensual por lo que 
había hecho un mal negocio al comprar la licuadora en cuotas (me hubiera 
convenido pedir prestado el dinero al banco y comprar la licuadora al conta-
do, con lo que me hubiera ahorrado –más o menos– el 20% sobre el costo del 
financiamiento), y 2) a lo largo de esos 30 días usé una sola vez la licuadora y 
un licuado en el bar de la esquina costaba $4 (un licuado excelente), por lo que 
NÉSTOR ADRIÁN LE CLECH | LAURA MARIEL SEGURA16
los servicios que me brindó el artefacto tenían para mí un valor muy inferior 
a los $10 que había pagado por ellos .
Obsérvese aquí que el servicio que me brindó la operación financiera fue 
el de disponer de la licuadora un mes antes . Si hubiera esperado esos 30 días 
habría podido tomar mi licuado en el bar y finalmente comprar la máquina de 
contado por un valor de $100 .
En estos últimos dos casos nos referimos al costo de oportunidad y para 
poder medir ese costo se debe poseer alguna referencia, es decir, alguna “opor-
tunidad” alternativa . En el punto 1 la alternativa era el financiamiento bancario 
y en ese caso comparábamos el costo de oportunidad en términos de la tasa de 
interés . En el segundo caso el costo de oportunidad guardaba relación con los 
intereses pagados y los servicios brindados . Yo pagué $10 por tener la licuadora 
en el día pero en términos monetarios los servicios que me brindó la máquina 
fueron menores que los servicios que hubiera podido adquirir en otro lugar, 
puesto que en el bar habría podido obtener dos licuados y medio por esos $10; 
en otras palabras, había pagado $10 pesos por un solo licuado .
¿Compro o alquilo? Si en vez de comprar una licuadora se compra una casa 
la evaluación del costo de oportunidad es más clara aún, es decir, el valor de 
los servicios brindados por una casapor unidad de tiempo está tasado en el 
mercado a través del precio de los alquileres . Generalmente la unidad de tiem-
po que se toma para los alquileres es el mes . En este caso podemos hacer una 
comparación simple: imaginemos que alquilamos una casa tasada en $100 .000 
y pagamos un alquiler de $500 . Con ello estamos pagando un interés del 0,5% 
mensual . Si el banco nos ofrece esa misma tasa o una superior por un plazo 
fijo mensual ¿nos conviene alquilar? La respuesta es sí . Le pido al lector que 
imagine que posee la suma necesaria para comprar la casa (los $100 .000) pero 
en vez de comprar la casa la invierte en un plazo fijo mensual al 0,6%; así ob-
tendría $600 por mes, con los beneficios pagaría el alquiler “además de que 
evitaría asumir el costo producido por el deterioro del inmueble . . .” y todavía 
le quedarían $100 más . Por supuesto que en este ejemplo hay otras cuestiones 
para tener en cuenta, como la variación de los precios de las viviendas, por 
ejemplo, pero se trata de evaluar un costo de oportunidad y para hacerlo es 
necesario tener un punto de comparación .
De cualquier modo, el lector dispone de una suma de dinero y debe evaluar 
todas las posibilidades y escoger aquella que le asegure que ganará la mayor 
cantidad de dinero posible . Cada opción significa un costo de oportunidad por-
que al escoger una de las opciones se asume el costo de oportunidad de no 
poder escoger otra .
¿Invierto? Otro ejemplo de beneficio mutuo en el crédito es el de una empresa 
que necesita capital adelantado para comprar una máquina destinada a aumen-
tar la rentabilidad esperada de la firma . En este caso los servicios obtenidos de 
la máquina por unidad de tiempo estarían representados por la rentabilidad 
adicional lograda como consecuencia de la incorporación de la máquina a la 
estructura productiva de la firma, que se espera que sea mayor que la tasa de 
interés pagada por el préstamo .
En este caso el lector habrá escuchado a muchos empresarios decir: “¡Con 
estas tasas es imposible invertir!” . Eso no significa que efectivamente sea im-
CAP ÍTULO I . INTRODUCCIÓN, NOCIONES FUNDAMENTALES Y TASAS DE INTERÉS 17
posible hacerlo, sino que la rentabilidad esperada por la inversión es menor 
que la tasa de interés que le cobran al empresario por financiar esa inversión 
o que la diferencia entre la tasa de interés pagada y la rentabilidad obtenida no 
cubre las expectativas de ganancias esperadas .
1. Elementos básicos de las operaciones financieras
En primer lugar debemos definir lo que entendemos por capital financiero:
El capital financiero es el valor monetario de los activos que posee una 
persona o entidad . 
Una vez definido el capital financiero podemos pasar a definir lo que entende-
mos por operación financiera:
Una operación financiera es un acto mediante el cual se produce un in-
tercambio de capitales financieros que estarán disponibles en diferentes 
momentos del tiempo . 
Así, mediante una operación financiera se realiza un intercambio de dispo-
nibilidad dineraria entre los sujetos que participan en la operación .
En los tres ejemplos anteriores se describieron situaciones muy comunes que 
entrañan operaciones financieras y a lo largo del libro se irán dando a conocer 
las distintas herramientas que pueden dar respuesta a varias de las preguntas 
planteadas o a las que puedan surgir .
Cada situación puede representar circunstancias muy distintas y a partir de 
su análisis e interpretación surgirán formas variadas de dar respuesta a las incóg-
nitas que se produzcan . Sin embargo, todas las operaciones financieras poseen 
cuatro elementos esenciales y una condición fundamental, a saber: prestación, 
tiempo de duración, ley financiera, contraprestación y equivalencia financiera .
Para explicar esto retomaremos el ejemplo de adquisición de la licuadora . 
En ese ejemplo el vendedor me ofrecía dos posibilidades de pago para adquirir 
el artefacto, que eran 1) pagar en efectivo y 2) pagar a plazos . La primera op-
ción solo suponía una operación comercial que concluía en el mismo acto de 
adquisición mientras que la segunda implicaba una operación financiera .
Obsérvese que el vendedor me estaba ofreciendo dos servicios, el primero 
de los cuales era el servicio de venta de la licuadora (operación comercial); el 
segundo era un servicio de financiamiento de la compra (operación financiera) 
y este es el servicio que nos interesa analizar .
A continuación desglosaremos la operación en cada uno de sus elementos .
1.1. Prestación
La prestación es el servicio financiero que se brinda, de ahí que se utilice la 
palabra préstamo, puesto que el monto del préstamo solicitado es la prestación 
recibida .
NÉSTOR ADRIÁN LE CLECH | LAURA MARIEL SEGURA18
Recuérdese que en nuestro ejemplo el vendedor de la licuadora nos ofrecía 
pagar la máquina en dos cuotas de $55 . De contado la licuadora valía $100 . 
Entonces le pagábamos $55 en ese momento y el resto en 30 días . Por lo tanto, 
el vendedor nos financiaba $45 a 30 días . Esos $45 son la prestación.
1.2. Tiempo
El tiempo es un componente esencial de toda operación financiera . Si no hay 
tiempo no habrá operación porque el pago en efectivo de los $100 por la licua-
dora es un acto instantáneo que supone una operación comercial y por lo tanto 
no es una operación financiera .
El tiempo puede ser expresado en días, meses, trimestres, semestres o años 
y hasta es posible que en ciertas operaciones a perpetuidad sea indefinido; sin 
embargo, esas operaciones siempre deberán incluir un espacio temporal .
Dado que los diferentes documentos financieros pueden referirse a uni-
dades de tiempo distintas, se requiere la aplicación de una convención . Por 
ejemplo, hay documentos en los que el plazo se refiere a días, otros en los que 
se refiere a meses, otros en los que se refiere a años, etcétera .
Cuando se trabaja con una frecuencia mensual o superior en general no hay 
problemas; sin importar cuántos días posee cada mes en el año hay doce meses 
o cuatro trimestres o tres cuatrimestres o dos semestres . El problema puede 
surgir cuando el tiempo se indica en días, lo que por otro lado, en términos de 
exactitud matemática y equidad, sería lo correcto .
Sin embargo, como no todos los meses tienen la misma cantidad de días, 
se aplican ciertas convenciones . En primer lugar hay dos grandes divisiones: lo 
que se conoce como año comercial, utilizado comúnmente en los países más 
desarrollados, y año civil,2 que es el sistema utilizado habitualmente en la Ar-
gentina . En este último caso incluso se tiene en cuenta cuándo se produce un 
año bisiesto, circunstancia en la cual el año se considera de 366 días y el mes 
de febrero de 29 días .
Año comercial Año civil
360 días 365 días (366)
Contiene 12 meses de 30 días cada uno En este caso se computan los días exactos 
que posee cada mes del año
El sistema de cómputo de días debe estar expresamente definido en cada con-
trato o en la legislación vigente para que se puedan calcular los intereses que 
habrá que pagar por la operación financiera .
Ahora bien, hay que tener especial cuidado cuando se producen combi-
naciones o se especifican las condiciones pactadas . Por ejemplo, veamos los 
siguientes casos:
 − Se pactó un año civil para una operación de dos meses que se expresó 
2 En el Anexo del capítulo, punto A .1 .1 se presenta una tabla que resulta de suma utilidad para 
calcular la cantidad de días entre dos fechas para un año civil .
CAP ÍTULO I . INTRODUCCIÓN, NOCIONES FUNDAMENTALES Y TASAS DE INTERÉS 19
como 60/365 . ¿Será incorrecto? Para averiguarlo debemos saber cuáles 
son los meses incluidos . Si fueran enero y febrero tendríamos 59 días; lo 
correcto sería 59/365 para un año no bisiesto y 60/366 para un año bisiesto .
 − Se pactó un año civil para una operación a 60 días que se expresó como 
60/365 . Ahora es correcto porque no se está haciendo referencia a meses 
de modo que no es necesario identificarlos; se trata de una operaciónen días .
 − Se pactó un año comercial y una operación a 60 días que se expresó como 
60/360 . Es correcto . Ya no importa a qué meses se refiere ni en qué fecha 
del mes se está; cada mes es exactamente igual a 30 días . Sería igualmente 
correcto que en vez de decir 60 días se hubiera dicho dos meses .
 − Se pactó un año comercial para una operación de dos meses que iba del 1º 
de enero al 28 de febrero y se expresó como 59/360 . Es incorrecto . Haber 
pactado un año comercial supone contabilizar los meses de 30 días sin im-
portar la cantidad de días que cada mes posee realmente .
Por último, es importante conocer la frecuencia de la operación, que definire-
mos con la letra m . La frecuencia es la cantidad de períodos comprendidos en 
un año . Así, por ejemplo, si la operación fuera pactada con períodos mensuales 
sabríamos que en un año hay 12 meses y entonces la frecuencia de una ope-
ración mensual sería m = 12 . Este concepto resulta de suma importancia en 
las operaciones de interés compuesto y por ello volveremos sobre el tema en 
el capítulo III .
1.3. Ley financiera
La ley financiera no es otra cosa que la modelización matemática del acuerdo 
entre las partes involucradas, es la fórmula matemática que conjuga la forma 
en la que se produce la operación en su relación entre el tiempo y la tasa de 
interés . En otras palabras, la ley financiera describe, en una ecuación, la diná-
mica matemática del acuerdo al conjugar la forma de interacción del tiempo y 
el precio pagado por el servicio en torno a la prestación y la contraprestación .
Recuérdese que el precio de una prestación financiera es el interés pagado, 
expresado por la tasa de interés aplicada . Así, la ley financiera formula la in-
terrelación de dos variables, 1) el tiempo y 2) el precio pagado por el servicio, 
que no es otra cosa que la tasa de interés .
Dentro de las leyes financieras se pueden distinguir las leyes de capitaliza-
ción (o diferimiento) y las de actualización (o descuento) .
En el ejemplo de la licuadora acordamos recibir prestados $45 por un lapso 
de 30 días y también acordamos pagar un interés de $10 sobre ellos . En ese 
caso la operación financiera se basó en una ley financiera de interés simple que 
veremos en el capítulo siguiente .
Como se puede observar en la figura 1 .1 .1, las operaciones de capitalización 
parten de un valor original (C0) y se desplazan a lo largo del tiempo (t) hasta 
llegar a un valor final (Cn) .
Por otra parte, como se muestra en la figura 1 .1 .2, en las operaciones de 
actualización (o descuento) se recorre el camino inverso de modo tal que el 
cálculo se origina en un valor futuro (Cn) que se actualiza a través del tiempo 
(t) hasta hallar su valor presente (C0) .
NÉSTOR ADRIÁN LE CLECH | LAURA MARIEL SEGURA20
Figura 1.1.1
Figura 1.1.2
Entre las leyes financieras de capitalización encontramos dos, a saber, la de ca-
pitalización simple, cuya característica esencial es la de no capitalizar intere-
ses, y la que denominamos de capitalización compuesta, que se caracteriza por 
producir la capitalización de los intereses . En la figura 1 .1 .3 se muestra el tipo 
de función con la que operan las leyes financieras de capitalización simple y 
compuesta .
Por otro lado hay tres leyes de actualización (descuento), en la que in-
cluimos el descuento racional y el descuento comercial, que se basan en las 
operaciones de interés y descuento simple, respectivamente . La tercera es el 
descuento compuesto . En la figura 1 .1 .4 puede observarse la dinámica funcio-
nal de este tipo de ley financiera .
Una vez definida la ley financiera bajo la cual operará la ecuación, debemos 
obtener, o especificar, el factor financiero . El factor financiero no es otra cosa 
que el “puente matemático” que nos llevará de t0 a tn en las operaciones de 
capitalización o de tn a t0 en las operaciones de actualización y que hará que C0 
se convierta en Cn en las operaciones de capitalización, y recorrerá el camino 
inverso en las operaciones de actualización . En otras palabras, el factor finan-
ciero es la modelización matemática que describe la evolución de la operación 
financiera a través del tiempo, sobre la base de una tasa de interés . El factor 
financiero será entonces una función del tiempo y de la tasa de interés, f(t, i) .
Como se especificó en las figuras 1 .1 .3 y 1 .1 .4 el factor financiero cumplirá 
invariablemente las siguientes condiciones: a) será siempre un valor positivo, 
f(t, i) > 0, b) en las operaciones de capitalización será siempre mayor que 1, 
f(t, i) > 1, c) en las operaciones de descuento será siempre menor que 1, f(t, i) < 1 y 
d) nunca será igual a 1, puesto que de ser así no habría una operación finan-
ciera (Ff ≠ 1) . 
Por último las leyes financieras pueden clasificarse en función de las di-
ferentes modalidades de las operaciones financieras, a partir de las cuales 
es posible distinguir dos tipos: a) operaciones financieras simples, que son 
aquellas que finalizan por medio de un solo pago, y b) operaciones financieras 
complejas, que son operaciones en las que el pago al que se está obligado no 
es único sino el resultado de una sucesión de pagos que transcurren a lo largo 
del tiempo .
Actualización simple $
Tiempo
C0
Cn
tnt0
Actualización compuesta
Tiempo
Figura 1.2.4.a Figura 1.2.4.b
0 < f (t, i) < 1 0 < f (t, i) < 1 
Capitalización simple
Tiempo
Capitalización compuesta
Tiempo
Figura 1.2.3.a Figura 1.2.3.b
f (t, i) > 1 f (t, i) > 1
C0 Cn
Capitalización
t
Actualización
t
C0 Cn
tnt0
$
C0
Cn
$
C0
Cn
$
C0
Cn
tnt0 tnt0
Capitalización simple$
Tiempo
100
110
Figura 1.2.5 a Figura 1.2.5 b
Actualización simple $
Tiempo
100
110
=10 =10
0 < f (t, i) < 1 f (t, i) > 1
tnt0 tnt0
I D 
Actualización simple $
Tiempo
C0
Cn
tnt0
Actualización compuesta
Tiempo
Figura 1.2.4.a Figura 1.2.4.b
0 < f (t, i) < 1 0 < f (t, i) < 1 
Capitalización simple
Tiempo
Capitalización compuesta
Tiempo
Figura 1.2.3.a Figura 1.2.3.b
f (t, i) > 1 f (t, i) > 1
C0 Cn
Capitalización
t
Actualización
t
C0 Cn
tnt0
$
C0
Cn
$
C0
Cn
$
C0
Cn
tnt0 tnt0
Capitalización simple$
Tiempo
100
110
Figura 1.2.5 a Figura 1.2.5 b
Actualización simple $
Tiempo
100
110
=10 =10
0 < f (t, i) < 1 f (t, i) > 1
tnt0 tnt0
I D 
CAP ÍTULO I . INTRODUCCIÓN, NOCIONES FUNDAMENTALES Y TASAS DE INTERÉS 21
Figura 1.1.3 
 
Actualización simple $
Tiempo
C0
Cn
tnt0
Actualización compuesta
Tiempo
Figura 1.2.4.a Figura 1.2.4.b
0 < f (t, i) < 1 0 < f (t, i) < 1 
Capitalización simple
Tiempo
Capitalización compuesta
Tiempo
Figura 1.2.3.a Figura 1.2.3.b
f (t, i) > 1 f (t, i) > 1
C0 Cn
Capitalización
t
Actualización
t
C0 Cn
tnt0
$
C0
Cn
$
C0
Cn
$
C0
Cn
tnt0 tnt0
Capitalización simple$
Tiempo
100
110
Figura 1.2.5 a Figura 1.2.5 b
Actualización simple $
Tiempo
100
110
=10 =10
0 < f (t, i) < 1 f (t, i) > 1
tnt0 tnt0
I D 
Figura 1.1.4
Actualización simple $
Tiempo
C0
Cn
tnt0
Actualización compuesta
Tiempo
Figura 1.2.4.a Figura 1.2.4.b
0 < f (t, i) < 1 0 < f (t, i) < 1 
Capitalización simple
Tiempo
Capitalización compuesta
Tiempo
Figura 1.2.3.a Figura 1.2.3.b
f (t, i) > 1 f (t, i) > 1
C0 Cn
Capitalización
t
Actualización
t
C0 Cn
tnt0
$
C0
Cn
$
C0
Cn
$
C0
Cn
tnt0 tnt0
Capitalización simple$
Tiempo
100
110
Figura 1.2.5 a Figura 1.2.5 b
Actualización simple $
Tiempo
100
110
=10 =10
0 < f (t, i) < 1 f (t, i) > 1
tnt0 tnt0
I D 
1.4. Contraprestación
Como habíamos mencionado, las operaciones financieras constituyen un servi-
cio de uso (o alquiler) del dinero que hemos denominado prestación por cuanto 
una vez vencido el plazo acordado de uso el dinero debe ser restituido . Por ello, 
la contraprestación es el acto que involucra la devolución que se realiza de la 
prestación recibida .
En nuestro ejemplo implica la devolución de los $55, que pagamos a los 30 
días . Esta operación se divide a su vez en dos partes, a saber, 1) la devolucióndel principal o amortización del capital inicial, es decir los $45 que nos financió 
el vendedor, y 2) el interés pagado, o sea los $10 que nos costó el servicio de 
préstamo .
1.5. Equivalencia financiera
Esta es una condición muy importante presente en las operaciones financie-
ras . El concepto de equivalencia financiera está estrechamente ligado con el 
concepto de costo de oportunidad entre consumo presente y consumo futuro 
o, en otras palabras, en la relación tiempo-dinero . La comprensión clara del 
concepto de equivalencia financiera es la clave para interpretar y solucionar 
cualquier problema .
NÉSTOR ADRIÁN LE CLECH | LAURA MARIEL SEGURA22
Se trata de entender el valor del dinero a través del tiempo (o entre dos 
puntos temporales) . Por ejemplo, si depositamos $100 en una cuenta durante 
un año, y nos pagan un interés del 10%, al finalizar el año tendremos $110 . Esto 
significa que ese 10% ha cubierto el costo de oportunidad de prescindir del di-
nero por ese lapso, lo que a su vez significa que en términos financieros resulta 
equivalente disponer de los $100 hoy (gastarlos) o disponer de $110 dentro 
de un año (gastarlos un año después); ambas sumas son equivalentes dado ese 
costo de oportunidad retribuido con el 10% de interés a lo largo de un año .
En la figura 1 .1 .5 se grafican dos operaciones financieras, una de capitaliza-
ción, a la que se le aplica un interés (I) de $10 sobre un capital inicial de $100, 
en t0, para alcanzar un valor de 110 en tn, y otra de actualización, a la que se 
le ha aplicado un descuento (D) de $10 para pasar de $110 en tn a otro capi-
tal de $100 en t0 . Ahora bien, dado que t0 y tn son equivalentes entre las dos 
operaciones, existe una equivalencia financiera entre ambas . Esa equivalencia 
financiera estará dada por la relación entre el tiempo y el interés captados por 
el factor financiero .
En general diremos que dos capitales (o más capitales), C0 y Cn, que ven-
cen en los momentos t0 y tn, respectivamente, son equivalentes cuando al ser 
valorados en un mismo momento del tiempo (t) alcanzan el mismo valor . En 
el ejemplo ilustrado en la figura 1 .1 .5 puede verse que ambos capitales poseen 
un valor de $100 en t0, y de $110 en tn, y en general, si valoramos estos dos 
capitales en cualquier momento del tiempo, por ejemplo en un momento in-
termedio entre t0 y tn, hallaremos que ambos obtendrán la misma valuación, lo 
que se debe a que se mueven sobre la misma recta de la ecuación . Sin embargo, 
es preciso ser muy cuidadoso con ello porque si se produjera algún cambio en 
la pendiente de la ecuación se constataría también un cambio en la recta de la 
ecuación y con ello se estaría perdiendo la condición de equivalencia financie-
ra . Esto puede ocurrir por un cambio en la tasa de interés a la que se evalúa 
la operación, por un cambio en las fechas o por ambas situaciones en forma 
simultánea .
Volveremos sobre este tema a lo largo de la obra, por lo que seguramente se 
irá comprendiendo mejor el concepto . No obstante, en este punto es fundamen-
tal subrayar la importancia conceptual que posee la condición de equivalencia 
financiera para la interpretación y la solución de los problemas financieros .
Actualización simple $
Tiempo
C0
Cn
tnt0
Actualización compuesta
Tiempo
Figura 1.2.4.a Figura 1.2.4.b
0 < f (t, i) < 1 0 < f (t, i) < 1 
Capitalización simple
Tiempo
Capitalización compuesta
Tiempo
Figura 1.2.3.a Figura 1.2.3.b
f (t, i) > 1 f (t, i) > 1
C0 Cn
Capitalización
t
Actualización
t
C0 Cn
tnt0
$
C0
Cn
$
C0
Cn
$
C0
Cn
tnt0 tnt0
Capitalización simple$
Tiempo
100
110
Figura 1.2.5 a Figura 1.2.5 b
Actualización simple $
Tiempo
100
110
=10 =10
0 < f (t, i) < 1 f (t, i) > 1
tnt0 tnt0
I D 
Figura 1.1.5
CAP ÍTULO I . INTRODUCCIÓN, NOCIONES FUNDAMENTALES Y TASAS DE INTERÉS 23
2. Tasas de interés
Como ya se ha mencionado, la tasa de interés debe ser entendida como el pre-
cio del dinero por unidad monetaria por período de tiempo . Para comprender 
mejor este concepto debemos recordar que las operaciones financieras no son 
otra cosa que un servicio . Cuando un banco presta dinero a las personas les 
está brindando un servicio financiero de crédito sobre el que aplicará lo que se 
conoce como tasa activa.3 En esencia se trata de un servicio porque no están 
comprando dinero para consumo sino solicitando un permiso de uso temporal, 
dado que una vez finalizado el plazo acordado de uso deberán reintegrarlo . Por 
ejemplo, en una operación de crédito la tasa de interés es el precio pagado por 
el préstamo recibido . Por otro lado, cuando una persona deposita dinero en un 
banco es esa persona la que le presta al banco . En una operación de depósito 
bancario la tasa de interés es el precio que se recibe por parte del banco y se 
denomina tasa pasiva .
Visto de ese modo, el servicio es el de brindar la posibilidad de uso del di-
nero y, como tal, la unidad de medida es la unidad monetaria; en consecuencia, 
el precio del servicio por unidad monetaria estará expresado por la unidad de 
tiempo y esta es la tasa de interés o precio del dinero . Por ejemplo, cuando se 
cobra el 2% mensual el precio indica que por cada unidad monetaria el servicio 
tendrá un costo mensual de 0,02 unidades monetarias .
A pesar de que la tasa de interés expresa siempre el precio (o coste) del 
dinero o su rentabilidad aparece expresada de diferentes maneras .
En todas las operaciones financieras, sean efectuadas bajo una ley financie-
ra simple o compuesta, la primera tasa que se presenta es la tasa nominal anual 
(TNA) . Esta es una tasa de referencia que se utiliza para calcular las correspon-
dientes tasas efectivas aplicadas . En tal sentido es una tasa de referencia para 
el cálculo de la operación financiera .
La segunda tasa en importancia es la tasa efectiva (o proporcional),4 que 
resulta de especial utilidad en las operaciones de interés compuesto . Una vez 
conocida la frecuencia de la operación es posible calcularla y esta es la tasa que 
efectivamente se aplica en cada período de capitalización, la que se calcula a 
partir de la TNA mediante la siguiente formulación:
 
im =
TNA
m
im=12=
TNA
m
=
0,12
12
= 0,01
TAE = 1+ im( )
m
1
(1+ im)
m = (1+ im )
m 
im = (1+ im )
m 
m 1
I =VF VA =1.050 1.000=50
i =
VF VA
VA
=
1.050 1.000
1.000
=
5
100
= 0,05
1+ ir =
1+ i( )
1+( )
ir =
1+ i( )
1+( )
1
ir =
1+ a( )
1+ a( )
1 = 0
 
(1 .2 .1)
Así, por ejemplo, si la frecuencia de la operación es mensual, en un año tendrá 
12 meses y la frecuencia será m = 12 . Si la TNA es del 12%, que significa una 
tasa de 0,12 (12/100), la tasa efectiva que se aplicará en cada período de la 
operación financiera será:
3 Las denominaciones tasa activa y tasa pasiva son términos bancarios . La tasa activa se denomi-
na así porque para el banco (o para cualquier institución financiera) representa un activo; por el 
mismo concepto contable se denomina tasa pasiva a la tasa que el banco abona por los depósitos 
puesto que representa un pasivo para la institución financiera .
4 En la Argentina se la suele llamar tasa proporcional; en cambio, en otros países (por ejemplo Es-
paña) se la llama tanto efectivo . También resulta apropiado llamarla tasa efectiva puesto que es la 
tasa que efectivamente se aplica en cada período .
NÉSTOR ADRIÁN LE CLECH | LAURA MARIEL SEGURA24
 
im =
TNA
m
im=12=
TNA
m
=
0,12
12
= 0,01
TAE = 1+ im( )
m
1
(1+ im)
m = (1+ im )
m 
im = (1+ im )
m 
m 1
I =VF VA =1.050 1.000=50
i =
VF VA
VA
=
1.050 1.000
1.000
=
5
100
= 0,05
1+ ir =
1+ i( )
1+( )
ir =
1+ i( )
1+( )
1
ir =
1+ a( )
1+ a( )
1 = 0
De ese modo se obtiene la tasa efectiva mensual del 1%, que será la tasa que se 
aplicará cada mes a la operación .
En tercer lugar tenemos la tasa anual equivalente (TAE), también denomi-
nada tasa efectiva anual (TEA) . Se trata de una tasa de referencia y de compa-
ración que es resultado de producir una equivalencia financiera y se aplica en 
operacionesfinancieras de interés compuesto . Se la calcula a partir de conocer 
la tasa efectiva y la frecuencia de la operación mediante la siguiente formulación:
 
im =
TNA
m
im=12=
TNA
m
=
0,12
12
= 0,01
TAE = 1+ im( )
m
1
(1+ im)
m = (1+ im )
m 
im = (1+ im )
m 
m 1
I =VF VA =1.050 1.000=50
i =
VF VA
VA
=
1.050 1.000
1.000
=
5
100
= 0,05
1+ ir =
1+ i( )
1+( )
ir =
1+ i( )
1+( )
1
ir =
1+ a( )
1+ a( )
1 = 0
 
(1 .2 .2)
Por último, en las operaciones financieras que operan bajo una ley financiera de 
interés compuesto podemos calcular la tasa efectiva equivalente .5 Esa tasa nos 
permite comparar los resultados de varias operaciones con distinta frecuencia 
de capitalización . Al igual que la TAE, las tasas efectivas equivalentes se calculan 
por medio de la producción de una equivalencia financiera como la siguiente:
 
im =
TNA
m
im=12=
TNA
m
=
0,12
12
= 0,01
TAE = 1+ im( )
m
1
(1+ im)
m = (1+ im )
m 
im = (1+ im )
m 
m 1
I =VF VA =1.050 1.000=50
i =
VF VA
VA
=
1.050 1.000
1.000
=
5
100
= 0,05
1+ ir =
1+ i( )
1+( )
ir =
1+ i( )
1+( )
1
ir =
1+ a( )
1+ a( )
1 = 0
Si se despeja una de las incógnitas de interés se obtiene la siguiente formulación:
 
im =
TNA
m
im=12=
TNA
m
=
0,12
12
= 0,01
TAE = 1+ im( )
m
1
(1+ im)
m = (1+ im )
m 
im = (1+ im )
m 
m 1
I =VF VA =1.050 1.000=50
i =
VF VA
VA
=
1.050 1.000
1.000
=
5
100
= 0,05
1+ ir =
1+ i( )
1+( )
ir =
1+ i( )
1+( )
1
ir =
1+ a( )
1+ a( )
1 = 0
 
(1 .2 .3)
en donde
im = la tasa efectiva desconocida y m = la frecuencia de esa operación .
im’ = la tasa efectiva conocida y m’ = su frecuencia .
3. Tasa de inflación y tasa de interés
Hasta ahora hemos analizado las operaciones sin tener en cuenta el efecto de 
la inflación y hemos utilizado la tasa de interés nominal . La inflación posee un 
efecto directo sobre el valor real del dinero porque disminuye su poder adqui-
sitivo y, como consecuencia de ello, el valor real (la capacidad de compra) del 
dinero disminuye cuando hay inflación .6
En este punto nos interesa conocer el resultado de una operación teniendo 
en cuenta el efecto de la inflación . En esencia, la tasa de interés que nos impor-
ta para conocer la rentabilidad de un negocio es la real y no la nominal, aunque 
todos los cálculos suelen realizarse a través de la tasa nominal .
Supóngase que una persona coloca $1 .000 en el banco a un año y pasado 
ese lapso retira $1 .050 . Intuitivamente se sabe que el banco pagó una tasa de 
5 Analizaremos este tema con mayor profundidad en el capítulo III .
6 Recordemos que la inflación es un aumento de los precios de los bienes y servicios disponibles en 
una economía . En el caso contrario, cuando se verifica una reducción de los precios, este fenómeno 
se denomina deflación .
CAP ÍTULO I . INTRODUCCIÓN, NOCIONES FUNDAMENTALES Y TASAS DE INTERÉS 25
interés anual del 5% . Para darse cuenta de eso no hace falta cursar una materia 
universitaria pero, aun así, vale la pena formalizar la expresión matemática 
porque de ese modo se van a entender mejor los temas que veremos .
Vamos a llamar monto o cuantía inicial (VA) al dinero depositado y monto 
o cuantía final (VF) al dinero cobrado una vez transcurrido el año de depósito . 
Estas variables son el valor actual y el valor final .
Primero podemos calcular el interés recibido (I), que será igual al valor 
depositado menos el valor retirado al finalizar la operación (esto es contrapres-
tación menos prestación), tal y como se resuelve a continuación:
 
im =
TNA
m
im=12=
TNA
m
=
0,12
12
= 0,01
TAE = 1+ im( )
m
1
(1+ im)
m = (1+ im )
m 
im = (1+ im )
m 
m 1
I =VF VA =1.050 1.000=50
i =
VF VA
VA
=
1.050 1.000
1.000
=
5
100
= 0,05
1+ ir =
1+ i( )
1+( )
ir =
1+ i( )
1+( )
1
ir =
1+ a( )
1+ a( )
1 = 0
Estos $50 representan la cantidad de dinero ganada por depositar el dinero en 
el banco durante un año . Constituyen el monto total de intereses cobrados . Esa 
cantidad de dinero recibe el nombre de variación absoluta . En tal sentido ve-
mos que VF y VA son cantidades de dinero, es decir, se denominan en unidades 
monetarias (en este caso pesos) . En cambio, i es una tasa de variación por lo 
que se denomina en porcentaje .
La tasa de interés cobrada (i) va a ser igual al monto obtenido menos el 
monto depositado, dividido el monto depositado .
Ahora vamos a averiguar cuál es la tasa de interés cobrada . Vamos a ver 
cuánto representan esos $50 en relación con el total del capital inmovilizado 
durante un año (monto inicial) . Entonces, la expresión matemática sería:
 
im =
TNA
m
im=12=
TNA
m
=
0,12
12
= 0,01
TAE = 1+ im( )
m
1
(1+ im)
m = (1+ im )
m 
im = (1+ im )
m 
m 1
I =VF VA =1.050 1.000=50
i =
VF VA
VA
=
1.050 1.000
1.000
=
5
100
= 0,05
1+ ir =
1+ i( )
1+( )
ir =
1+ i( )
1+( )
1
ir =
1+ a( )
1+ a( )
1 = 0
Esto se expresa normalmente como el 5%, porcentaje que se denomina varia-
ción relativa .
En caso de que no haya habido inflación ese interés del 5% será un me-
recido premio para la persona que se privó de utilizar el dinero durante un 
año . En cambio, de haber habido inflación, parte del premio se habrá licuado . 
Supóngase que la inflación haya sido del 10% . En ese caso el negocio realizado 
habrá sido pésimo . Pero, ¿cómo se puede hacer para medir hasta qué punto ha 
sido malo el negocio?
Desarrollemos un poco más este concepto de tasa de interés real . En primer 
lugar se debe entender que si introducimos el efecto de la inflación en la opera-
ción financiera el resultado en términos de poder adquisitivo del dinero puede 
cambiar y como la utilidad del dinero es, en última instancia, la de adquirir 
otros bienes, nos interesa conocer la capacidad real de compra de la suma de 
dinero de que disponemos .
Definamos las siguientes variables:
 i = tasa de interés nominal
 ir = tasa de interés real
 π = tasa de inflación
En caso de que no haya habido inflación en la economía, es decir que π = 0, 
entonces i = ir .
NÉSTOR ADRIÁN LE CLECH | LAURA MARIEL SEGURA26
Ahora desarrollemos la ecuación que iguala los montos resultantes por cada 
unidad monetaria en relación con la tasa de interés respectiva teniendo en 
cuenta la inflación . Esto equivale a desarrollar matemáticamente el efecto pro-
ducido sobre una unidad monetaria por cada una de las variables que la afectan, 
a saber, la tasa de interés nominal, la tasa de interés real y la tasa de inflación .
 
im =
TNA
m
im=12=
TNA
m
=
0,12
12
= 0,01
TAE = 1+ im( )
m
1
(1+ im)
m = (1+ im )
m 
im = (1+ im )
m 
m 1
I =VF VA =1.050 1.000=50
i =
VF VA
VA
=
1.050 1.000
1.000
=
5
100
= 0,05
1+ ir =
1+ i( )
1+( )
ir =
1+ i( )
1+( )
1
ir =
1+ a( )
1+ a( )
1 = 0
Si despejamos la ecuación anterior tenemos:
 
im =
TNA
m
im=12=
TNA
m
=
0,12
12
= 0,01
TAE = 1+ im( )
m
1
(1+ im)
m = (1+ im )
m 
im = (1+ im )
m 
m 1
I =VF VA =1.050 1.000=50
i =
VF VA
VA
=
1.050 1.000
1.000
=
5
100
= 0,05
1+ ir =
1+ i( )
1+( )
ir =
1+ i( )
1+( )
1
ir =
1+ a( )
1+ a( )
1 = 0
 
(1 .3 .1)
Esta ecuación nos dice que la tasa de interés real será el resultado del efecto de 
la tasa de interés nominal sobre cada unidad monetaria descontado el efecto 
producido por la tasa de inflación . Al final de la ecuación se vuelve a restar 1 
(la unidad monetaria) a fin de dejar expresado el efecto en términos de la tasa 
de interés .7
Existen tres casos posibles:
1) En el primer caso, cuando la tasa de interés nominal es igual a la tasa de 
inflación, supongamos que i = a y π = a (π = i), la tasa de interés real es igual 
a cero . Esto nos indica que el poder adquisitivo del dinero al cabo de todo el 
período de depósito sigue siendo el mismo que al comienzo; no hemos obtenido 
ninguna ganancia real por haber tenido el dinero inmovilizado todo ese tiempo; 
en otras palabras, no hubo recompensa por el sacrificio .
 
im =
TNA
m
im=12=
TNA
m
=
0,12
12
= 0,01
TAE = 1+ im( )
m
1
(1+ im)
m = (1+ im )
m 
im = (1+ im )
m 
m 1
I =VF VA =1.050 1.000=50