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Noviembre 2007 • 2007ko Azaroa 229
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M
A
31SOBRE LA MATEMÁTICA FINANCIERA
M. Gilsanz (*) y Mikel Fernando Vadillo (**)
Resumen. La operaciones financieras: cálculo de intereses, saldos , vencimientos,... son 
habituales en nuestra vida, aunque casi siempre desde el lado de la víctima porque las 
que realizar las operaciones son las entidades financieras que cobran y siempre obtienen 
beneficios. Este artículo trata de otra disciplina: la Matemática Financiera que utiliza un 
aparato matemático más sofisticado para construir y controlar todo el complejo entra-
mado financiero del mundo moderno.
1. INTRODUCCIÓN
Cuenta Aristóteles en su Política (1259a) como a Tales de Mileto se le reprochaba, por su 
pobreza, lo inútil que era su amor a la sabiduría pues, previendo, gracias a sus conocimien-
tos de Astronomía, que habría una buena cosecha de aceitunas cuando todavía era invierno, 
entregó fianzas, con el poco dinero que tenía, para arrendar todos los molinos de aceite de 
Mileto y Quíos, alquilándolos por muy poco dinero ya que no tenía ningún competidor. 
Cuando llegó el momento oportuno, muchos los buscaban a la vez y apresuradamente, y él 
los realquiló en las condiciones que quiso, y, habiendo reunido mucho dinero, demostró que 
es fácil para los filósofos enriquecerse, si quieren, pero no es eso por lo que se afanan.
Los ejemplo históricos que muestran el aprovechamiento de los conocimientos científicos y 
técnicos para conseguir grandes beneficios son numerosos. podemos citar el industrial, cien-
tífico e inventor prusiano Werner Siemens que reunió su fortuna principalmente en el campo 
de la industrial de la electricidad y que, en la exposición de Berlín de 1879, hizo la primera 
demostración práctica del tren eléctrico, pasando por Bill Gates o quizá el último ejemplo 
conocido del famoso buscador en internet Google, los fundados de esta compañía: Larry Page 
y Sergey Brin, que siendo todavía estudiantes de la Universidad de Stanford diseñaron el algo-
ritmo matemático PageRank que es la base del exitoso buscador. El lector interesado puede 
encontrar una breve explicación de su funcionamiento en [6].
A pesar de su nombre la Matemática Financiera es una disciplina que no ha servido para 
construir grandes fortunas personales, que se conozcan, su objetivo pretende ordenar y regular 
los actuales y muy complejos mercados financieros. Se trata de una disciplina moderna, por 
ejemplo la fórmula de Black-Scholes es de 1973, y fundamentalmente se ocupa de los merca-
dos de derivados, que son productos cuyo precio depende de la cotización en ese momento 
de otro activo, el denominado activo subyacente. Los derivados más conocidos son los futuros 
y las opciones de las que [4], [5] y [9] son referencias clásicas.
La Matemática Financiera es una disciplina que escasamente aparece en los planes de estudio 
de las Facultades de Ciencias o Matemáticas, aunque ya existen algunos masters que se ocu-
pan de ellas, consideramos que los nuevos planes de estudio es una buena oportunidad para 
que aparezca al menos como asignatura optativa porque seguramente su incorporación en el 
curriculum académico de los alumnos, abriría nuevos campos profesionales.
(*)	 Profesor	de	Matemáticas	de	la	U.P.V.
(**)	 Licenciado	en	Matemáticas	por	la	U.P.V.
El artículo es como sigue: comenzaremos explicando el movimiento browniano y el geométrico 
browniano que sirve como modelo aleatorio de evolución de los precios de los distintos pro-
ductos: stocks, valores, índices,.... y haremos alguna simulación numérica utilizando el clásico 
método de Monte Carlo. En el siguiente apartado nos ocupamos de los futuros y opciones para 
llegar a la famosa fórmula de Black-Scholes, esta parte del artículo es más técnica y necesita de 
mayores conocimientos matemáticos por lo que lectores menos avezados pueden saltarla. En el 
último apartado hacemos algunos comentarios que consideraciones interesantes.
Finalizamos esta introducción con un comentario sobre la bibliografía: no daremos referencias 
sobre las herramientas estadística elementales, son tantos los textos y tan parecidos que casi 
cualquiera de ellos puede ayudar al lector con dificultades.
2. UN MODELO ESTOCÁSTICO PARA LA EVOLUCIÓN DE LOS PRECIOS
Todos hemos observado en algún momento un movimiento browniano, son las trayectorias de 
partículas de polvo danzando en un rayo de luz solar, cada partícula gira de acá para allá, se eleva, 
se hunde, se vuelve a elevar..., el movimiento es totalmente aleatoria sin llegar jamás al reposo.
El movimiento browniano toma su nombre del botánico inglés Robert Brown que en 1825 los des-
cribió como el movimiento de una partícula sumergida en un liquido o gas. Brown inicialmente 
colocó bajo el microscopio células sexuales masculinas pertenecientes al polen de una planta y 
el movimiento que observo lo argumento diciendo que era el movimiento vital de los espermato-
zoides. Después Brown observó el mismo movimiento con células recogidas en otras partes de la 
planta y formuló una hipótesis nueva sobre el movimiento vital, se trata de la Urmolekül, la molé-
cula básica de la vida que está contenida en toda materia viviente, una teoría que tuvo mucha 
importancia para los biólogos de la época. Pero el problema grave se le planteó cuando descubrió 
este movimiento perpetuo en las raspaduras de rocas sumergidas en el agua, ¿acaso la materia 
inanimada contiene también la Urmolekül vital ? Llegado a este punto, prudentemente Brown se 
abstuvo de realizar más hipótesis y dejo sin explicar la naturaleza del movimiento browniano.
Posteriormente el movimiento browniano apareció en el centro de la controversia entre los 
atomistas y los energicistas que dominó Física a finales del siglo XIX. Los dos grandes defenso-
res de la teoría atomista: Clerk Maxwell y Ludwig Boltzmann desarrollaron modelos de gases 
y de su comportamiento, en los que cada gas estaba compuesto por átomos o moléculas en 
constante movimiento relacionado con la temperatura del gas. Sin embargo, destacados cien-
tíficos de la época como Ernst Mach y Wilhelm Ostwald rechazan la hipótesis atomista basada 
en átomos y movimientos invisibles. Hay historiadores que defienden que este rechazo fue 
uno los motivos de la depresión que acabo en el suicidio de Boltzmann en 1906.
Algunos años después de la controversia comentada, el joven Albert Einstein que conocía la 
polémica pero ignoraba el movimiento browniano, explicó la termodinámica partiendo del 
movimiento de las moléculas entre 1902-1903, y en 1905 ya en colaboración con físicos 
experimentales pudo confirmar que las propiedades cualitativas del movimiento browniano y 
las magnitudes de los caminos recorridos por las partículas correspondían con los resultados 
de la teoría, lo que acabo con la resistencia a la teoría atomista.
La definición matemática de movimiento browniano la dió el matemático americano Norbert 
Wiener en 1918 y es la siguiente:
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SIGMA Nº 31 • SIGMA 31 zk. 
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Definición 2.1. Un proceso de Wiener o movimiento browniano Wt en un proceso 
continuo con las propiedades
(a) W0 = 0.
(b) �Para todo t ≥ 0, Wt ~ (0,t), es decir, Wt es una variable normalmente distribuida de 
media 0 y varianza t.
(c) �Todos los incrementos ∆Wt = Wt + ∆t – Wt son independientes, es decir, para todo 
0 ≤ t1 < t2 < t3 < t4 los desplazamientos Wt2 – Wt1 y Wt4 – Wt3 son independientes.
(d) Wt depende continuamente de t.
Resulta bastante sencillo simular numéricamente movimientos brownianos. El algoritmo es el 
siguiente:
Valores iniciales: W0 = 0, t0 = 0, ∆t,
 para j = 1; 2; …
 tj = tj-1 + ∆t
 ~ (0,1)
 Wj = Wj-1 + √∆t
donde es un número aleatorio con distribución normal de media cero y varianza uno. El algo-
ritmo para generar este tipo de números está explicado en el capítulo 2 de la referencia [8] y en 
MATLAB está implementado en el comando randn que se puede consultar en el capítulo 20 de 
la referencia[3]. En la figura 1 hemos dibujado tres trayectorias del movimiento browniano.
En 1900 el matemático francés Bachelier en su tesis doctoral [1] utilizó el movimiento brow-
niano como modelo para estudiar las variaciones en los precios de los stocks, si bien, el movi-
miento de Wiener tiene dos importantes inconvenientes para esta aplicación:
1. �Si los precios siguieran este modelo podrían tomar valores negativos.
2. �El movimiento browniano verifican que para 0 ≤ s < t el incremento de la variable 
Wt – Ws ~ (0, (t – s)) sin considerar si s y t son grandes o pequeños, sólo cuenta su 
diferencia. Una hipótesis que parece poco razonable para los precios de los stocks y 
materias primas.
Para evitar estas dificultades se define el movimiento browniano geométrico (GBM: Geometric 
Browniano Motion).
Figura 1. Tres trayectorias brownianas
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SIGMA Nº 31 • SIGMA 31 zk. 
Definición 2.2. Un movimiento browniano geométrico St de parámetros m y s es un 
proceso continuo tal para todo t y ∆t no negativos la variable aleatoria
∆St + ∆t – St 
es independiente de los valores de la variable anteriores a t y además existen dos parámetros 
m y s tales que
log
 (
∆St + ∆t
St ) ~ (m∆t, ∆ts2)
El parámetro s es la volatilidad.
Ahora el logaritmo de la razón de los precios puede ser negativa pero no los precios de los 
stocks, y además es el logaritmo de la razón de los precios quien tiene la misma distribución 
y no sus diferencias absolutas.
Veamos ahora como aparece los GBSs en los modelos estocásticos relacionados con la evolución 
de los precios de los stocks. Sea ∆t una cantidad pequeña y positiva y supongamos que en cada 
paso de tiempo el precio del stock puede subir un valor u > 1 con probabilidad p, esto significa 
que si valía S pasa a costar uS o puede descender un factor d < 1 con probabilidad 1 – p donde
 u = es√∆t
(2.1) d = e-s√∆t
 p = 1/2 (1 + m/s √∆t )
con m y s parámetros conocidos. En realidad tomamos estas expresiones para que los resul-
tados sean más evidentes.
Si realizamos n pasos y definimos
Yi =
 
{ 1, cuando el precio sube en el paso i 0, cuando el precio baja en el paso i
Y = ∑ ni =1 Yi dará el número de veces que ha subido y, n – Y, las que ha bajado. Y es una varia-
ble aleatoria binomial de parámetros n y p (Y ~ B(n, p)) por lo que su esperanza y su varianza 
valen
E[Y] = np
Var[Y] = np(1 – p)
El precio del stock en el tiempo t = n∆t será
St = S0 u
Y · d n-Y = S0 d 
n · (u/d)Y
por lo que
St
S0 
= d
 
n ·( ud )
Y
y tomando logaritmos resulta que
(2.2) log
 
( StS0 ) = n log (d) + Y log (
u
d ) = 
-ts
√∆t 
+ 2s √∆t · Y
Para demostrar que los precios de los stocks siguen una movimiento GBS, calcularemos la 
esperanza y la varianza de la expresión (2.2). En primer lugar la esperanza es
(2.3) E [log
 
( StS0 )] = 
-ts
√∆t 
+ 2s √∆t · E [Y]
 
=
 
-ts
√∆t 
+ 2s √∆tnp = mt
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y la varianza
(2.4) Var [log
 
( StS0 )] = 4s2∆t · Var [Y] = 4s2 tp (1 – p) ≈ s2t
si p ≈ 1/2
En conclusión, cuando ∆t es muy pequeño la variable aleatoria log(St / S0), por el teorema 
central del límite, sigue una distribución normal de media mt y varianza s2 t que es lo que 
caracteriza al movimiento BGS.
Evidentemente la evolución del precio de cada stock dependerá de los valores de los paráme-
tros m y s que deberemos ajustar, la volatilidad s caracteriza cada producto y más adelante 
demostraremos que
(2.5) m = r – s2/2
donde r es el tipo de interés compuesto.
En las figuras 2, 3 y 4 hemos realizado una simulación numérica usando el método de Monte 
Carlo con S0 = 100 r = 0,06, ∆t = 0,1 y tres volatilidades diferentes s = 0,2; 0,4; 0,8 respec-
tivamente. Si observamos la escala vertical de las tres gráficas veremos que, para volatilida-
des mayores, aumentan las soluciones posibles. En la siguiente tabla hemos realizado 1.000 
ensayos por el método de Monte Carlo y calculado la media en T = 5, que será el precio más 
probable del stock en cada caso.
s Media en T = 5 con 1000 ensayos Tiempo de ejecución en segundos
0,2 136,3596 0,40
0,4 138,7258 0,36
0,8 139,1764 0,40
Figura 2
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SIGMA Nº 31 • SIGMA 31 zk. 
Figura 3
De estos experimentos resulta evidente que la volatilidad es una medida del riesgo. Las fluc-
tuaciones en el precio dependen directamente de su valor por lo que es un parámetro que 
caracteriza cada tipo de stock y conviene ajustarlo adecuadamente.
Una técnica clásica es la siguiente: supongamos que conocemos los precios del stock "n" días con-
secutivos, el precio inicial es S0 y en los días sucesivos S1; …, Sn, entonces la variable aleatoria
Xk = log ( SkSk-1), k = 1,…, n
seguirá una distribución normal con varianza s2⁄252. Hemos tomado el año como unidad de 
tiempo con 252 días laborables. Entonces su media es
X =
 
∑ nk =1 Xn
n 
Figura 4
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Sobre la Matemática Financiera
y su varianza
V 2
 
=
 
∑ nk =1 (Xn – X )
2
n – 1 
con lo que se tiene la estimación
(2.6) s ≈ √252 V
3. LOS FUTUROS Y LAS OPCIONES FINANCIERAS
Un contrato de futuros es un acuerdo para comprar o vender una cantidad normalizada de un 
activo, llamado activo subyacente, en una fecha futura y a un precio acordado entre las partes. 
Para validar este compromiso se depositan unas garantías. Si el activo es financiero se trata en 
un contrato de futuros financieros, principalmente son futuros sobre índices bursátiles, dividas 
o tipos de intereses, en el mercado de futuros se negocia a través de una cámara de compensa-
ción que en el mercado español es el MEFF (Mercado Español de Futuros Financieros). Por con-
tra, en los contratos a plazo, denominados forward se negocia privadamente entre las partes.
Una opción financiera da el derecho, pero no la obligación, de comprar o vender algún 
activo a un determinado precio, denominado strike, con una fecha futura de vencimiento. 
Con las opciones call se adquiere el derecho de compra y las�put la opción es de venta. Las 
opciones pueden ser europeas o americanas, el nombre no tiene ningún significado geográ-
fica, las opciones americanas se pueden ejercitar en cualquier momento hasta su fecha de 
vencimiento, mientras que las europeas sólo se puede ejercer en el mismo momento de su 
vencimiento.
La mayoría de las opciones negociadas en los mercados son americanas, pero las opciones 
europeas son generalmente más fáciles de analizar y muchas de sus propiedades son también 
válidas para sus análogas americanas.
Actualmente en los mercados se negocian opciones sobre:
• �Acciones de empresas, en Estados Unidos se negocian opciones sobre las acciones de 
más de 500 empresas, en España sólo son 16.
• Índices de acciones.
• Divisas.
• Contratos de futuros
La cuestión que nos planteamos es cómo determinar el precio de las opciones, lo que se 
denomina la prima de la opción. Supongamos que el precio actual (en euros) del activo sub-
yacente es 100, y que después de un periodo de tiempo conocemos que su precio sube a 200 
o baja a 50 . Supongamos que además de comprar "y" opciones call a "c" euros cada a un 
strike de 150 euros. También podemos adquirir x valores a su precio de mercado que es de 
100 euros. Suponemos que x e y pueden ser positivos, negativos o cero. Esto significa que se 
pueden comprar o vender opciones y valores, por ejemplo, si x es negativo hemos vendido -x 
valores y hemos ingresado -100x euros, además nos comprometemos a devolver -x valores en 
el tiempo 1 al precio de mercado que será de 200 o 50 euros. La venta de valores que no se 
tiene se denomina adoptar una posición en corto.
El precio de la operación es 100x + cy. Si esta cantidad es positiva debemos solicitar un prés-
tamo, y si es negativa depositamos los -(100x + cy) euros en una cuenta.
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El valor de la nuestra cartera en el tiempo 1 es
 
{ 200x + 50y, si el valor ha subido a 200 50x, si el valor ha bajado a 50
porque si el valor ha bajado no ejercemos la opción de compra. Si hacemos que 200x + 50y = 50x, 
es decir, y = -3x nuestra posición es indiferente de la subida o bajada del valor, estamos en idéntica 
situación, el valor de la cartera es 50x.
Esto quiere decir que si x es negativo, vendemos -x valores y compramos y = -3x opciones. En 
cuanto a la ganancia o pérdida de dinero, debemos considerar que si (100x + cy) > 0 debemos 
dinero al banco, y si (100x + cy) < 0 disponemos de dinero en la cuenta, es decir
 ganancia = 50x – (100x + cy) (1 + r)
 = 50x – (100x – 3cx) (1 + r)
 = (1 + r) x (3c – 100 + 50 (1 + r)-1)
donde r es el interés simple. Es decir:
1. Si 3c = 100 + 50 (1 + r)-1 la ganancia es cero.
2. �Si 3c ≠ 100 + 50 (1 + r)-1 podemos garantizar una ganancia positiva si 3c > 100 + 50 (1 + r)-1 
haciendo x > 0 y, al revés, si 3c < 100 + 50 (1 + r)-1 tomando x < 0.
Cuando el precio de la opción evita estrategias de ganancia segura, se dice que se ha esta-
blece un principio de no arbitraje y estos principios son los que establecerán los precios de 
las opciones, en nuestro ejemplo entonces el precio de la opción será
c =
 
100 + 50 (1 + r)-1
3
Consideremos ahora una opción de compra sobre unos valores al precio K en un periodo de 
tiempo t = n∆t con un interés simple r por cada periodo de tiempo ∆t. Como el precio de los 
valores siguen un movimiento BGS, la esperanza de la ganancia en i-ésimo paso en el tiempo 
ti – 1 es
E[ganancia] = (1 + r)-1 [puSi – 1 + (1 – p)dSi – 1] – Si – 1
donde Si indica el precio del valor en ti y u, d y p están definidos en la relaciones (2.1).
Esta esperanza vale cero cuando
(3.1) p =
 
1 + r – d
u – d
que será una condición necesaria para establecer el principio de no arbitraje.
Finalmente el valor de la opción en el tiempo t = 0 es
(1 + r)-n (St – K)
+
donde f + = máx(f, 0), y su esperanza nos dará el precio final de la opción
(3.2) C = E[(1 + r)-n (St – K)
+]
Los argumentos de tipo no arbitraje son muy importantes para calcular las primas de las opcio-
nes financieras, también se obtienen cotas y relaciones entre los precios de distintos tipos de 
opciones.
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Sobre la Matemática Financiera
4. LA FÓRMULA DE BLACK-SCHOLES
Consideremos una opción europea de compra (call) a un precio K en un periodo T. Suponemos 
que el tipo de interés compuesto es r y que los precios del stock siguen una GBM de volatili-
dad s, hallaremos el coste de la opción estableciendo un principio de no arbitraje.
Tomando un n grande para cada intervalo T/n, 2T/n,…, nT/n, el factor de subida teniendo en 
cuenta (2.1) es
(4.1) u = es√T/n ≈ 1 + s√T/n +
 
s2T
2n
y el de bajada
(4.2) d = e-s√T/n ≈ 1 – s√T/n +
 
s2T
2n
Por otra parte, el interés simple en cada intervalo de tiempo es rT/n y usando (3.1) tenemos que
(4.3) p = 
1 + rT/n – d
u – d
 ≈ 
1
2
 +
 
r √T/n
2s
 – 
s √T/n
4
Teniendo en cuenta (3.2) el precio de la opción es
C = (1 + rT/n)-n E[(S0 ( ud )d n – K)+]
= (1 + rT/n)-n E[(S0 e2s √T/nY · e-s √nT – K)+]
(4.4) = (1 + rT/n)
-n E[(S0 eWT – K)+]
con la variable aleatoria
(4.5) WT = 2s√T/nY – s√nT ,
donde Y es la variable aleatoria binomial que ya definimos anteriormente.
Si calculamos la esperanza de esta nueva variable aleatoria tenemos
 E[WT] = 2s√T/nE[Y] – s√nT
 = 2snp√T/n– s√nT
 = 2s√nT (p – 1/2)
 ≈ (r – s2/2) T
por lo que el parámetro 1 del movimiento BGM es
 m = r – s2/2
como ya comentamos en (2.5)
En cuanto a su varianza
 Var[WT] = (2s√T/n)
2 Var[Y]
 = 4s2 Tp (1 – p)
 = s2 T
porque cuando n es grande p ≈ 1/2
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SIGMA Nº 31 • SIGMA 31 zk. 
Como todas las aproximaciones anteriores son exacta cuando n → ∞, el valor de la opción 
que establece el principio de arbitraje es
C = e-rT E[(S0 e
W
T – K)
+]
donde WT ~ ((r – s 2/2)T), s2 T)
Usando fórmulas clásicas, el valor C se puede también expresar como la fórmula de Black-
Scholer
(4.6) C = S0 F ( ) – Ke
-rT
 F ( – s √T )
donde
 = 
rT + s2T/2 – log (K/S0)
s √T
y F es la función de distribución normal standard.
En el ejemplo del modelo simulado anteriormente, S0 = 100, r = 0,06, si el precio acordado 
en T = 5 en K = 150 la fórmula (4.6) estima los precios de la opciones dependiendo de la 
volatilidad en la tabla siguiente
s C
0,2 13,6241
0,4 31,1232
0,6 47,1120
0,8 60,9145
1,0 72,2350
En la figura 5 hemos representado estos valores y podemos apreciar el crecimiento del precio 
de las opciones con respecto a la volatilidad del valor subyacente. En este ejemplo el cre-
cimiento es casi lineal porque los puntos están muy cerca de la recta de regresión mínimo 
cuadrática y = 73,5066x + 0,8978 que también dibujamos.
Figura 5. Evolución del precio de las opciones
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Sobre la Matemática Financiera
5. ALGUNOS COMENTARIOS PARA TERMINAR
Acabaremos esta breve introducción a la Matemática Financiera con algunos comentarios que 
consideramos de interés:
1. �La fórmula de Black-Scholes determina el precio de la opción cuando el modelo del valor 
subyacente es un GBM. Sin embargo, algunos datos no son adaptables a GBM y se deben 
considerar otros modelos, por ejemplo, en el precio del del barril de crudo (capítulo 10 
de la referencia [7]).
2. �Basta observar brevemente las trayectorias brownianas en la figura 1 para concluir que no son 
diferenciables, es imposible trazar una tangente por casi todos sus puntos, son trayectorias de 
funciones que tanto preocuparon a los matemáticos de finales del siglo XIX, eran funciones 
tan perturbadoras que Charles Hermite en una carta a su colega Thomas J. Stieljes expresó 
que con miedo y horror me apartó de está plaga lamentable de funciones que carecen de 
derivada. Esta situación tiene una importante consecuencia técnica, las funciones son no dife-
renciables y por tanto no podemos utilizar el Análisis clásico, es imprescindible utilizar inte-
grales y ecuaciones diferenciales estocásticas de las que no hemos tratado en este artículo.
3. �Una disciplina aún más moderna es la Computación Financiera que se ocupa de los 
métodos numéricos para aproximar las soluciones de los modelos estocásticos que, en 
general, carecen de soluciones exactas conocidas.
Las referencias [8] y [2] son dos buenas introducciones a esta novedosa disciplina.
Finalizaremos con quien comenzamos: Tales de Mileto, el primero de los famosos siete sabios 
de la Grecia arcaica. Cuenta Platón en su diálogo Teeteto (174, A) que Tales por ir mirando 
las estrellas, se cayó en un pozo, y una criada se burló de él por tratar de investigar los cie-
los cuando no veía lo que tenía a sus pies. Esta anécdota, que parece compensar la narrada 
por Aristóteles, completa el personaje. Debió ser enorme la impresión en sus conciudadanos 
cuando predijo el eclipse en el año 585 a.C. La hazaña de Tales permitió ver en el eclipse 
un fenómeno natural regular y no un milagro divino de oscuros presagios, los eclipses fueron 
motivo de terror en todos los pueblos primitivos. Como escribió el profesor Carlos Garcia 
Gual: "Los sabios como Tales inauguran la tradición científica de proponer explicaciones de 
lo real por causas naturales y agentes materiales, mediante procesos sujetos a causas y normas 
surgidas de su misma conformación física" (Los Siete Sabios (y tres más)).
Sólo se nos ocurre añadir que la Ciencia sigue en lo mismo: buscando explicaciones.
REFERENCIAS
 �L.�Bachelier, 1900: Theorie de la speculation, Annales de l’École Normale Superieure, 
nº. 17, 21 86.
 D.�J.�Higham,�2000: An Introduction to Financial Option Valuation. SIAM.
 D.�J.�Higham�and�N.�J.�Higham,�2000:MATLAB Guide. SIAM.
� John�Hull,�1996: Introducción a los mercados de futuros y opcions. Prentice Hall.
 _____, 2000: Options, Futures and Others Derivatives, 4th edn. Prentice Hall.
 Cleve�B.�Moler,�2004: Numerical Computing with MATLAB. SIAM.
 S.�R.�Ross,�1999: An Introduction to Mathematicl Finance. Cambrige University Press.
 R.�Seydel,�2006: Tools for Computational Finance. Third Edition. Springer.
 P.�Wilmont,�2001: Introduction Quantitative Finance. John Wiley & Sons.
Introductio
 in Analysi
n Infinitoru
m. Leonha
rd Euler
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