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APLICACIÓN DEL MATHEMATICA EN LA DIDACTICA DE 
MATEMATICAS FINANCIERAS 
 
Manuel A. Gómez Suárez 
Josefina Martínez Barbeito 
José Antonio Seijas Macías* 
 
Dpto. de Economía Aplicada II 
Universidade da Coruña 
 
 
Abstract 
 
 El programa de la asignatura de Análisis y Cálculo de las Operaciones Financieras 
impartida en el tercer curso de la diplomatura de Estudios Empresariales de la universidad 
coruñesa, se articula fundamentalmente en torno a dos grandes bloques: Análisis de las 
operaciones de préstamo y estudio de los empréstitos. Ambos bloques poseen un contenido 
eminentemente práctico, siendo de gran utilidad de la incorporación del programa 
mathematica para su estudio. En el presente curso nos hemos centrado en la utilización de 
dicho programa para la resolución de ejercicios de empréstitos. Se han considerado los 
empréstitos con características comerciales. En todos los casos los problemas planteados se 
han centrado en: cálculo de la anualidad comercial constante que amortizaba el empréstito, 
determinación de los tantos efectivos del obligacionista y del emisor, y rendimiento de una 
obligación amortizada en cada período. La resolución de dichos problemas se ha considerado 
en su forma tradicional, y se ha mostrado su implementación en el programa mathematica, 
incidiendo en las estrategias a seguir a la hora de resolución del problema planteado. 
 
 
 
1. Introducción. 
 
El objetivo principal que nos ha guiado en este trabajo es presentar nuestra experiencia de 
utilización de la informática dentro de la asignatura de “Análisis y Cálculo de las 
operaciones financieras” impartida en la diplomatura de ciencias empresariales de la 
Universidad de A Coruña. 
 
 
• Dirección contacto: F. Cc. Económicas – Campus da Zapateira, s/n - 15071 A Coruña 
Tfno: +34-981-167000 – Fax: +34-981-167070 – Email: jasm@udc.es 
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El programa de dicha asignatura se divide en tres apartados clásicos de la matemática 
financiera. En el primer trimestre y parte del segundo trimestre se consideran los conceptos 
de Rentas y Operaciones de Amortización (Préstamos); ambos grupos de operaciones van a 
constituir el primer parcial de la asignatura donde se repasan los conceptos adquiridos en el 
curso anterior y se introduce al alumno en la casuística de las operaciones de amortización. 
El segundo parcial se dedica integramente a analizar en profundidad las operaciones de 
empréstitos y constituye la parte principal de la asignatura. 
 
En este segundo trimestre el exceso de formulación al que se ven enfrentados los alumnos 
nos ha llevado a considerar la posibilidad de que la asignatura pudiera enfocarse desde un 
punto de vista más práctico; sin obligar al alumno a tener que aprender de memoria gran 
cantidad de información, cuya utilidad siempre parece incierta, y centrar nuestros objetivos 
en el aprendizaje de la resolución de problemas prácticas utilizando para ello las 
herramientas informáticas. 
 
A la hora de elegir el sistema de apoyo informático a utilizar se plantearon varias dudas: las 
primeras se dirigían a la elección del medio concreto a utilizar, por un lado estaban los 
programas de hojas de cálculo, cuya utilización en operaciones financieras es muy habitual 
puesto que nos permiten representar todos los cálculos mediante el uso de tablas, lo que 
aproxima la representación informática con la expresión habitual de este tipo de problemas 
en la realización manual de los mismos. Por otro lado, los programas de cálculo numérico y 
cálculo simbólico están adquiriendo cada vez una mayor penetración en el mercado, puesto 
que añaden a su versatilidad de uso, un mayor grado de precisión en los cálculos. Aun 
siendo conscientes de que la elección de estos últimos dificultaba al alumno la compresión 
gráfica de los ejercicios, puesto que las habituales tablas de la hojas de cálculo se 
representan en este tipo de programas mediante matrices y vectores; optamos por esta 
opción, puesto que creemos que producirá una mayor capacidad de adaptación del alumno 
al entorno informático puesto que su aprendizaje requiere un grado mayor de compresión de 
las estructuras de la información. 
 
La disponibilidad del programa de cálculo simbólico Mathematica versión para Windows 
2.1. delimitó el uso de dicha plataforma como medio de introducción a la aplicación 
informática de la matemática financiera. 
 
 
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2. Empréstitos con características comerciales. 
 
En los empréstitos normales o puros la operación financiera está definida por un prestación 
que entregan los obligacionistas y reciben el prestatario o emisor; y por un contraprestación 
que éste deberá entregar y recibirán los obligacionistas. En base a una ley financiera se 
establece la equivalencia entre ambos compromisos. Cuando en una operación de esta 
naturaleza se establecen condiciones complementarias que alteran o modifican las cuantías 
o los vencimientos de la prestación o de la contraprestación, se dirá que el empréstito 
presenta características comerciales. En este caso, no se verifica la equivalencia financiera 
en base a la ley establecida, y por tanto, como consecuencia las ecuaciones de equivalencia 
y las de la dinámica de la amortización de los empréstitos normales no pueden mantenerse. 
 
En los ejemplos prácticos considerados, nos hemos centrado en el estudio de tres 
parámetros de los empréstitos con características comerciales: 
 
a) Rendimiento medio efectivo del conjunto de los obligacionistas ia : que se basa en la 
igualdad entre la prestación real de los obligacionistas y su contraprestación real. 
b) Rendimiento medio efectivo del deudor ip : Se basa en la igualdad entre la prestación 
real para el emisor y la contraprestación real del mismo. 
c) Tanto de Rendimiento de una obligación: cumple la igualdad entre el precio de 
suscripción pagado por el título y las cantidades recibidas hasta su amortización 
(intereses, reembolso del principal, primas lotes). 
 
La resolución de empréstitos con características comerciales se realiza mediante la 
vinculación de la dinámica de la amortización de dichos empréstitos a la de un empréstito 
teórico o ficticio con la misma dinámica amortizativa, mediante el método de 
normalización, que consiste en obtener unas relaciones funcionales llamadas fórmulas de 
conversión que hacen posible aplicar la equivalencia financiera y la dinámica de los 
empréstitos normales y así obtener la solución de las variables del empréstito comercial. 
 
 Los empréstitos analizados son los siguientes: 
a) Empréstitos con intereses pospagables amortizables con prima de amortización. 
b) Empréstitos con intereses pospagables y lotes. 
c) Empréstitos con intereses pospagables y gastos de administración. 
d) Empréstitos con intereses fraccionados pospagables. 
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e) Empréstitos complejos con intereses pospagables. 
f) Empréstitos con intereses prepagables o anticipados. 
g) Empréstitos con pago de intereses acumulados. 
 
A nivel teórico se introduce al alumno en la resolución de este tipo de problemas, mediante 
la determinación de la estructura de la anualidad correspondiente. A modo de ejemplo, 
consideremos los empréstitos complejos con intereses pospagables, que se aquellos donde 
intervienen varias características comerciales. 
 
Sean: N1, número de títulos emitidos, C, valor nominal de cada título; V, precio de emisión 
de cada título; Gi, gastos iniciales a cargo del emisor, n, duración de la emisión (en años). 
Supongamos las siguientes características comerciales: Abono de cupón semestral i(2) , 
abono de prima de amortización constante por título P, abono de un lote anual L a repartir 
por partes iguales entre los h primeros títulos que se amorticen en cada período, 
amortización seca, gastos de administración de g por uno sobre todas las cantidades 
pagadas. Anualidad comercial constante. 
 
La resoluciónde un problema de este tipo se aborda en cuatro apartados: 
a) Cálculo de la anualidad comercial constante. 
b) Cálculo del número de títulos vivos y amortizados en cada período. 
c) Tanto efectivo del emisor y tanto efectivo del obligacionista. 
d) Tanto de rendimiento de un título. 
 
El resultado de los apartados a) y c) es una variable única para toda la duración del 
empréstito, mientras que el apartado b) y d) nos proporciona como resultado un vector cuyo 
orden viene determinado por el número de períodos de amortización del empréstito, que en 
el caso de ser amortización anual coincide con el número de años de duración de la emisión. 
 
 
3. Introducción del uso del MATHEMATICA. 
 
La utilización del MATHEMATICA en este asignatura busca dos objetivos: por un lado 
acercar al alumno a una herramienta informática de cálculo simbólico y numérico cuyas 
posibilidades son muy amplias a la hora de su utilización por parte del alumno de economía 
matemática; por otro lado facilitar la resolución del cálculo en problemas de empréstitos, 
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donde en algunos casos creemos que la complejidad de los mismos puede alejar al alumno 
del verdadero objetivo de la asignatura, que no es otro sino comprender de una forma 
teórica la resolución de los supuestos planteados. 
 
No pretende ser el objetivo de este trabajo realizar un manual sobre el uso del Mathematica, 
para ello recomendamos la lectura de los libros citados en la bibliografía. Nuestro objetivo 
aquí se limita a mostrar como la utilización del programa puede facilitar la comprensión del 
entramado teórico de la asignatura, así como, derivar en una mayor aproximación a una 
herramienta informática cuyos potenciales de cara a su utilización por los alumnos, 
posteriores diplomados y licenciados, de las disciplinas de economía y empresariales es un 
activo que debería potenciarse. 
 
Mathematica es un entorno de cálculo simbólico algebraico complementamente integrado. 
Por totalmente integrado, queremos indicar que en un mismo entorno uno puede realizar 
cálculos, operaciones algebraicas, manipulación de matrices, resolución de ecuaciones, 
construcción de modelos, programación, transformaciones basadas en reglas exactas y 
dibujar gráficos de resultados numéricos. Por simbólico, nos referimos a la posibilidad de 
utilizar, en la mayor parte de estas operaciones, tanto números como símbolos abstractos. 
Este proceso de integración se basa en el hecho de que en Mathematica todo objeto es una 
lista; esto es, una colección de objetos separados por comas y agrupados entre llaves 
{a,b,c}. Una vez que uno comprende esto es cuando realmente se le abren todas las 
posibilidades de este entorno. 
 
La introducción de los alumnos al entorno deberá realizarse de forma progresiva en cuatro 
etapas: 
1. La primera etapa se realiza en el aula normal, el alumno no dispone aun de la aplicación 
informática. Se trata de que el alumno conozca los fundamentos del programa, y se 
familiarice con la sintaxis del mismo. Todo ello desde un punto de vista teórico. 
 
2. En una segunda etapa se introduce al alumno en la lógica de la programación desde un 
punto de vista básico, se le enseñan la base de la programación funcional y se le 
introduce en las estructuras iterativas y lógicas (decisorias) : comandos Do, If, Switch, 
For, etc. 
 
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3. La tercera etapa supone enfrentar al alumno con el ordenador. Se introduce al alumno 
en el manejo del interfaz del Mathematica 2.1 para Windows, de tal forma que se le 
explican los comandos de gestión de archivos, así como los procedimientos de 
construcción de preguntas y análisis de las respuestas obtenidas por el programa. 
 
4. La cuarta etapa considera que el alumno ya esta en disposición de abordar la resolución 
de los problemas tratados en la asignatura mediante la utilización del entorno de 
programación del Mathematica. En esta etapa es cuando el alumno comienza a aplicar 
el programa en la resolución de los ejemplos tratados. 
 
 
El alumno deberá conocer al final de estas cuatro etapas como resolver los problemas de 
empréstitos planteados. Para ello, se dispone básicamente de tres herramientas de 
programación. 
 
a) La obtención de la anualidad comercial constante referente a cada empréstito representa 
un ejemplo de formulación directa, donde una variable se hace depender de forma 
inmediata de los valores de otro conjunto de variables. Por ejemplo el cálculo de la 
anualidad constante en el ejemplo del apartado 2, se obtiene mediante la siguiente 
formulación: 
 
( ) ( )a C P Ci N L hp g
n i
=
+ -
+ -
é
ë
ê
ê
ù
û
ú
ú
+
¬
( )
'
2
1
a
. 
Esta formulación expresada en el entorno de programación del Mathematica sería: 
[ ]( ) )1(**),/()*2*(: gphLinANICPCa +-+-+= ; donde se ha utilizado la 
función A, que calcula el valor actualizado de una renta de 1 unidad monetaria durante n 
años y para un tipo de interés i% para intereses prepagables. Su implementación en el 
entorno del Mathematica es: [ ]A n i i n i_ , _ : ( ( )^ ( )) /= - + -1 1 . 
 
b) El segundo tipo de procedimientos utilizados envuelve el calculo de un vector de 
variables correspondientes cada una de ellas a un período del total de duración del 
empréstito. En el ejemplo anterior el número de amortizados en cada periodo se calcula 
como: 
 7 
M M i
M N
S
s s
n i
= +
=
-
¬
1
1
1
1( ' )
,
'
 
donde Sn i¬ ' representa el valor de una renta unitaria pospagable para un tipo de interés 
i’ y un período de n años. Dicho procedimiento se ha implementado a través de la 
función [ ]S n i i n i_ , _ : ( )^ ( ) / .= + -1 1 
 El tipo de definición anterior es un ejemplo claro de programación recursiva, y 
representa una de las herramientas más poderosas del Mathematica, su definición en el 
entorno de programación es: 
[ ] [ ]
[ ] [ ]
M n i N S n i
M m n i M m n i i
1 1
1 1
, _ , _ : / ,
_ , _ , _ : , , ( ).
=
= - +
 
 
c) Por último el cálculo de los tantos efectivos supone la resolución de una ecuación de orden 
complejo. Así, por ejemplo, el tanto de rendimiento de un título que se amortice en el 
período s, vienen dado por el valor de ir que cumple la ecuación: 
V Ci C P Ci ir
s= + + - +¬
-2 12 2 2( ) ( ) ( )( )( )as ir . 
La resolución de este tipo de ecuación se plantea de forma directa en el Mathematica como: 
[ ][ ]NSolve V C i A s ir C P C i ir s ir== + + - + -2 2 2 1* * * , ( * )( )^ ( ), . Este tipo de 
pregunta nos proporciona un vector con los posibles valores que cumplan la ecuación 
planteada para la variable ir. De dichos valores tomaremos aquellos que sean admisibles, 
esto es números reales positivos y menores que 1. 
 
4. Ejemplo. 
 
El siguiente ejemplo plantea la resolución de un problema concreto a través del entorno de 
programación del Mathematica. Se recoge en este apartado la copia directa del notebook 
realizado en el programa, incluyendo algunos comentario sobre las operaciones realizadas; 
dichos comentarios figuran entre <>. 
 
 
Sea un empréstito con las siguientes características: 
N1=100.000; C=5.000; V=4.900; Gip=10.000.000; i(2)=0,06; P=800; L=1.000.000; h=100; 
g=0,01; n=5. 
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Se pide calcular: 1) Cuantía de la anualidad constante; 2) Cuadro de amortización por 
redondeo; 3) Tanto efectivo emisor; 4) Tanto efectivo obligacionista; 5) Tanto de 
rendimiento de una obligación que se amortiza en el segundo año. 
 
<<prestamo.m <En el package prestamo.m se incluyen algunas de las fórmulas más 
utilizadas como las correspondientes a las rentas prepagables y pospagables comentadas con 
anterioridad> 
 
N1=100000;c=5000;V=4900;Gip=10000000;i2=0.06;P=800;L=1000000;h=100;g=0.01; 
n:=5 <Definición de los valores de las variables a utilizar en el ejercicio> 
 
1. Anualidad comercial constante <Aplicación directa de una fórmula> 
iprima=((1+i2)^2-1)/(c+P-c*i2) c 
0.112364 
Anualidad=((((c+P-c*i2)*N1)/a[n,iprima])+L-h*P)(1+g) 
1.52126 108 
N[Anualidad,15]<Se pide una mayor precisión sobre el resultado anterior> 
1.52125709529303 108 
 
2. Cuadro de Amortización <Modelo de programación recursiva y resultado vectorial> 
M[1]:=N1/S[n,iprima] 
M[s_]:=M[s-1](1+iprima) 
Amortizacion=Table[N[M[x],10],{x,1,n}] 
{15981.72989, 17777.49517, 19775.03918, 21997.03449, 24468.70127} 
AmortizAcum=Table[Sum[M[x],{x,1,j}],{j,1,n}] 
{15981.7, 33759.2, 53534.3, 75531.3, 100000.} 
TitulosVivos=Table[100000-AmortizAcum[[i]],{i,1,n}] 
{84018.3, 66240.8, 46465.7, 24468.7, -7.27596 10 -11 } 
 
3)Tanto Efectivo Emisor <Resolución de una ecuación> 
NSolve[V*N1-Gip==Anualidad*a[n,ip],ip] 
{{ip -> -1.57937 - 0.386349 I}, {ip -> -1.57937 + 0.386349 I}, {ip -> -0.850191 - 
0.730247 I}, {ip -> -0.850191 + 0.730247 I}, {ip -> 0.17606}} 
<El único resultado válido es ip=0.17606>. 
 
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4)Tanto Efectivo Obligacionista 
NSolve[V*N1==(Anualidad/(1+g))a[n,ia],ia] 
{{ia -> -1.57661 - 0.384454 I}, {ia -> -1.57661 + 0.384454 I}, {ia -> -0.851082 - 
0.726802 I}, {ia -> -0.851082 + 0.726802 I}, {ia -> 0.162772}} 
 <El único resultado válido es ia=0.162772> 
 
5) Tanto rendimiento de una obligación amortizada en el segundo año 
a) No percibe lote 
NSolve[V==c*i2 a[4,is]+(c+P-c*i2)(1+is)^(-4),is] 
{{is -> -2.02848}, {is -> -0.999188 - 1.02846 I}, {is -> -0.999188 + 1.02846 I}, {is -> 
0.0880763}} 
Rendimiento=(1+0.0880763)^2-1 
0.18391 
b) Percibe lote 
NSolve[V==c*i2 a[3,is]+(c+(L/h)-c*i2)(1+is)^(-4),is] 
{{is -> -2.30368}, {is -> -0.993803 - 1.30437 I}, {is -> -0.993803 + 1.30437 I}, {is -> 
0.35251}} 
Rendimiento=(1+0.35251)^2-1 
0.829283 
 
 
5. Conclusiones. 
 
La aplicación de los medios informáticos en la enseñanza universitaria va cobrando cada 
vez mayor extensión según van incrementándose las disponibilidades de mejores equipos 
informáticos, junto a un software más sofisticado y eficiente. En la asignatura de “Análisis y 
Cálculo de las Operaciones Financieras” hemos centrado nuestros esfuerzos en los últimos 
años en intentar acercar al alumno a aquellas herramientas informáticas, que creemos 
pueden contribuir de una forma más eficaz al desarrollo y comprensión de los 
conocimientos impartidos en el plano teórico. 
 
El enfoque de aplicación del programa de cálculo simbólico Mathematica se centra en 
intentar hacer comprender al alumno como este programa puede contribuir a facilitar su 
trabajo desde el punto de vista de reducir al mínimo el coste del cálculo de las complicadas 
operaciones que se introducen en el cálculo de los empréstitos cuando existen características 
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comerciales. Evidentemente, el programa no resuelve los supuestos planteados, pero facilita 
de una forma considerable la construcción y desarrollo de los mismos. 
 
La utilización del Mathematica como herramienta de trabajo en esta asignatura creemos que 
ha conseguido dos objetivos principales: ha contribuido a una mejor comprensión de la 
teoría por parte del alumno, puesto que no le obliga a dedicar parte de su tiempo a la 
resolución del problema matemático propiamente dicho; y en segundo lugar, introduce al 
alumno en un primer contacto con unas ideas de programación que pueden ayudar de una 
forma clara la conceptualización lógica de los conocimientos adquiridos en esta asignatura, 
y en su caso, en otras. 
 
La principal virtud de la utilización del Mathematica reside en que una vez que uno ha 
conseguido un cierto dominio sobre el lenguaje de programación, Mathematica se convierte 
en un entorno poderoso, donde poder realizar el gran desafío que supone la investigación 
económica. 
 
 
 
BIBLIOGRAFIA: 
 
GIL PELAEZ, L. (1989), Matemáticas de las Operaciones Financieras, Ed. AC, Madrid. 
GONZALEZ CATALA, VICENTE T. (1984), Introducción a las Operaciones Financieras, 
Bancarias y Bursátiles, Ed. Tebar-Flores, Madrid. 
GONZALEZ CATALA, VICENTE T. (1995), Análisis de las Operaciones Financieras, 
Bancarias y Bursátiles, Ed. Ciencias Sociales, Madrid. 
VARIAN, HAL, R. (1993), Economics and Financial Modeling with Mathematica, Springer-
Verlag (Telos), Santa Clara, CA. 
VARIAN, HAL, R. (1996), Computational Economics and Finance, Springer-Verlag (Telos), 
Santa Clara, CA. 
WOLFRAN, STEPHEN. (1996), Mathematica, Addison-Wesley, Redwood City, CA.