Teoria Sistemas_de_ecuaciones_lineales_para_alumnos-_2014_k3

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Sistemas de Ecuaciones Lineales Esp. Graciela Abraham de Juárez-Esp. Mabel Rodríguez Anido 
 
 1 
 
 
 
 
 
 
 
 UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA NACIONAL 
 FACULTAD REGIONAL TUCUMÁN 
 
 
 
Sistemas de Ecuaciones 
Lineales 
 
 
NOTAS TEÓRICAS 
 
 
ESP. GRACIELA ABRAHAM DE JUÁREZ 
 ESP. MABEL RODRÍGUEZ ANIDO 
 
AÑO 2014 
 
 
 
 
 
 
Sistemas de Ecuaciones Lineales Esp. Graciela Abraham de Juárez-Esp. Mabel Rodríguez Anido 
 
 1 
Sistemas de ecuaciones lineales 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Si al menos uno de los términos independientes es distinto de cero, el sistema se llama 
no homogéneo. 
Si b i = 0  i = 1,…, m, el sistema se dice homogéneo, es decir: 
 
 
 
 
 
 
 
Definición: Se llama así a un conjunto de ecuaciones lineales consideradas 
simultáneamente. Si S es un sistema lineal de m ecuaciones y n incógnitas, lo 
escribimos: 
 S 











mnmnjmj2m21m1
ininjij2i21i1
2n2nj2j222121
1n1nj1j212111
bxa...xa...xaxa
bxa...xa...xaxa
bxa...xa...xaxa
bxa...xa...xaxa
 
a i j : Son números reales, llamados coeficientes del sistema ( con i = 1,2,3,…m y j 
= 1,2,3,…n). 
 b i : Son números reales, llamados términos independientes del sistema ( con i = 
1,2,3…m). 
 x j : Las incógnitas, son las variables del sistema (con j = 1,2,3,…n). 
 
 
Este sistema se puede escribir, mediante una única ecuación matricial: 
 


















.
......
..............
.........
...
....
...
....
......
21
21
222221
111211
mnmjmm
inijii
nj
nj
aaaa
aaaa
aaaa
aaaa
. 





































m
i
n
j
b
b
b
b
x
x
x
x
....
...
...
...
2
1
2
1
 
Donde: 
Sistemas de Ecuaciones Lineales Esp. Graciela Abraham de Juárez-Esp. Mabel Rodríguez Anido 
 
 2 
A m x n = 


















.
a...a...aa
....
a
...
a
...
a
....
a
.....
a
....
...a
....
...a
....
a
a...a...aa
mnmjm2m1
iniji2i1
2n2j2221
1n1j1211
, 
X n x 1 = 


















n
j
2
1
x
...
x
...
x
x
, ; B m x 1 = 


















m
i
2
1
b
....
b
...
b
b
, 
A’ = se llama matriz ampliada de dimensión m × (n+1) a la matriz que se obtiene al 
añadir a la matriz del sistema o matriz de los coeficientes, la columna de los términos 
independientes, es decir: 
 



















mmnmjm2m1
iniji2i1
22n2j2221
11n1j1211
ba...a...aa
........
bia
...
a
...
a
...
a
........
ba
...
...a
...
...a
....
a
ba...a...aa
'A 
 
¿Puedes comprobar que el sistema se puede escribir A m x n . X n x 1 = B m x 1? 
Es evidente que efectuando el producto de matrices y aplicando la definición 
de igualdad de matrices se obtiene S. 
 
¿Qué significa resolver un sistema? 
 
Resolver el sistema S, significa encontrar todos los conjuntos ordenados de valores 
k1, k2,…, kn, que reemplazados en el sistema, verifican simultáneamente todas las 
ecuaciones. 
En forma equivalente el vector K = 


















m
i
2
1
k
....
k
...
k
k
, 
que verifica la ecuación A . X = B, es solución del sistema S. 
 
Se llama matriz de los coeficientes del 
sistema 
 vector columna 
de las incógnitas 
 
matriz de los términos 
independientes 
 
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 3 
Trabajaremos primero con los sistemas cuadrados y sus métodos de resolución. 
 
 
 
 
 
 Mediante matriz inversa 
Nosotros vimos que un sistema se puede escribir matricialmente 
  A . X = B. 
Si A es cuadrada y  A  0, entonces  A – 1. 
Multiplicando ambos miembros de  por A – 1; 
 tenemos A – 1 . A . X = A – 1 . B 
 I . X = A – 1 . B 
 X = A – 1 . B que es la solución del sistema 
 
 
Ejemplo: Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones 
 
En este caso A es la matriz de los coeficientes y B es la matriz de los términos 
independientes. 
 
¿Es inversible la matriz A? 
 
Aquí se hace necesario recordar los métodos de resolución para determinar la 
inversa de una matriz. 
¿Qué métodos conoces para determinarla? 
Pueden obtenerla por el método de la matriz adjunta y el de Gauss-Jordan. 
Usando los conocimientos adquiridos, ¿te animas a calcularla? 
 
Elegir un método .Van a obtener que: 
Los Sistemas cuadrados son los que tienen igual número de ecuaciones que de variables 
Métodos de resolución para sistemas cuadrados n x n 
Mediante matriz inversa Regla de Cramer 
 
 
 
 
 
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 4 
 
 Una vez determinada la inversa, remplazan en X = A – 1 . B y llegan a la solución 




























































9
5
17
c
b
a
1
2
1
.
116
104
2211
c
b
a
 
 Sistemas Cramerianos- Regla de Cramer 
 
Sea el sistema A . X = B; cuadrado, si el determinante de la matriz de 
los coeficientes 
 A  0; el sistema tiene solución única y cada incógnita es igual al 
cociente de dos determinantes, en el denominador el determinante del 
sistema  A = , y en el numerador el determinante que resulta del 
anterior al reemplazar la columna de los coeficientes de la incógnita 
considerada, por la columna de los términos independientes. 
Es decir x j = 
Δ
 xΔ j
, siendo 
 j ( jota-ésima columna) 
 j x = 


















.
a...b.....a
....
.....
...
....
...
...
....
....
.....
a
....
...b
....
...
....
a
a...b...a
nnnn1
2n221
1n111
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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 5 
Ejemplo: Resuelva el siguiente sistema aplicando 
la Regla de Cramer 
 








4 z 3 y 4 x 5
1 z 2 y 2 x 
10 z 2 -y x 
3
2
 A = 









 
345
223
212
 
= A = - 7 
x = 

 x
= 
7
344
221
2110


 = 
7
7


= 1 
 y = 

 y 
= 
7
345
213
2102


 = 
7
14


= 2 
z = 

 z 
= 
7
445
123
1012

 = 
7
21

 = -3 
 ¿El ejercicio está completamente resuelto? ¡NO! 
Debes verificar la solución obtenida 
 
 
 
Teorema 1: Dos sistemas S y S, son equivalentes, si tienen el mismo conjunto solución. 
Teorema 2: Dos sistemas de ecuaciones lineales S y S son equivalentes, si se obtiene 
uno del otro, a partir de un número finito de operaciones elementales de ecuaciones. 
 
 
En el tema matrices vimos que: 
Las operaciones elementales de filas de una 
 matriz son: 
1) Intercambio de dos filas entre sí. 
2) Adición de una fila a otra. 
3) Multiplicación de una fila por una 
 constante no nula. 
 
 El vectorsolución es: 
X= 










 3
2
1
 
 
 
Por analogía: 
Las operaciones elementales de 
ecuaciones son: 
1) Intercambio de dos ecuaciones 
entre sí. 
2) Adición de una ecuación a otra. 
3) Multiplicación de una ecuación 
por una constante no nula 
 Entonces
 
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Vamos a ver sistemas de ecuaciones lineales, de distinto número de ecuaciones que de 
incógnitas, y que al aumentar el número de ecuaciones (mayor que tres) encontrar las 
soluciones es más complicado y en estos casos es conveniente, saber de antemano si el 
sistema admite o no solución y que tipo de solución, es decir hacer un análisis del sistema, 
que es lo que proporciona el siguiente teorema: 
 
 
Teorema de Rouché- Frobeniüs: Sea el sistema  A m x n . X n x 1 = B m x 1 
La condición necesaria y suficiente para que un sistema de ecuaciones lineales , tenga 
solución es que la matriz de los coeficientes y la matriz ampliada, tengan igual rango. El 
sistema es compatible  r(A) = r(A ). 
Consecuencias: a) El sistema es incompatible  r(A)  r(A ). 
 b) Si r(A) = r(A ) = número de incógnitas; la solución es única 
 (Compatible determinado). 
 c) Si r(A) = r(A ) < número de incógnitas; el sistema tiene infinitas 
soluciones (Compatible indeterminado). 
Consecuencias: 
Si S es un sistema lineal homogéneo A m x n . X n x 1 = N m x 1 (N: matriz nula) 
entonces r (A) = r (A ), luego el sistema homogéneo siempre es compatible. 
i) Si r(A) = r(A ) = n; compatible determinado y tiene solución única, que es la trivial. 
ii) Si r(A) = r(A ) < n; el sistema es compatible indeterminado. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A continuación se proporcionan cuatro ejercicios con el propósito de favorecer la 
interiorización de los conocimientos. 
 
Ejercicio 1: 
Observe los tres sistemas siguientes, compare las ecuaciones y responda a las preguntas: 
a) ¿Qué tipos de soluciones tienen? 
b) ¿Qué representa cada ecuación? 
c) Interprete geométricamente las soluciones. 
Observación: Cuando el sistema tiene infinitas soluciones, es decir es compatible 
indeterminado, se habla de grado de indeterminación. 
El grado de indeterminación es igual a la diferencia entre el número de incógnitas y el 
valor del rango. Si tengo “n” incógnitas y el valor del rango es “r” (con r menor que n), el 
grado de indeterminación es “n-r”. 
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 7 
 
A)
x y
x y
 
 



7
5
 B)





142y2x
7yx
 C)





132y2x
7yx
 
Ejercicio 2: 
Escriba matricialmente los siguientes Sistemas de Ecuaciones. 
 
2 3 4
3 2
1
x y z
y z
x y z
  
 
  





 
x y z w
x z w
x y z
   
  
  





3
2 1
3 2 6 4
 
Ejercicio 3: 
Analice el siguiente sistema aplicando el Teorema de Rouché – Frobeniüs. 
 








24zy2x3
5zyx2
11zyx
 
Ejercicio 4: 
Resuelva el siguiente Sistema empleando la Regla de Cramer y diga qué interpretación 
geométrica tienen las soluciones. 
 
x y z
x y z
x z
  
  
 





3 0
0
0
 
Ejercicio 5: 
Un Ingeniero supervisa la producción de tres tipos de automóviles. Se requieren tres 
clases de materiales: metal, caucho y plástico para la producción. La cantidad necesaria 
para producir cada automóvil es: 
 Metal (Kg./auto) Plástico(Kg./auto) Caucho (Kg./auto) 
1 1.500 25 100 
2 1.700 33 120 
3 1.900 42 160 
 
Si se dispone de un total de 106 Tn. de metal; 2,17 Tn. de plástico y 8,2 Tn. de caucho 
diariamente. ¿Cuántos automóviles se pueden producir por día? Resuelva utilizando 
Matriz Inversa. 
Observación: Con este planteo se pretende que lleguen al sistema: 
 
1500 1700 1900 106 000
25 33 42 2170
100 120 160 8 200
. . . .
.
.
x y z
x y z
x y z
  
  
  





 
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 8 
Recordemos que en el tema matrices se estudió el concepto de rango de una matriz y los 
métodos para calcularlo. ¿Cuáles eran esos métodos? 
 
 
 
 
 
Vamos a ver ahora dos métodos, que se corresponden con las definiciones de rango y 
que nos permiten analizar y resolver el sistema. Ellos son el método de eliminación de 
Gauss y el método de Gauss – Jordan, que ya hemos visto en matrices. 
Métodos de resolución 
 
Los métodos de resolución de Gauss – Jordan y de eliminación de Gauss, nos permiten no 
sólo, decidir si el sistema es compatible o no, sino también la resolución efectiva de él, en el 
caso de compatibilidad. Es decir determinar el conjunto solución. 
 
El método de Gauss Jordan, consiste en trabajar con la matriz ampliada del sistema y 
lograr el número máximo de vectores canónicos columnas distintos. Primero en las 
columnas de A y determinar el r(A). Luego se observa si se puede obtener un vector 
canónico distinto a los ya logrados, en la columna de términos independientes y calcular el 
r (A’). Finalmente se comparan los rangos y se analizan las soluciones en caso de existir. 
Ejemplo: Analice y resuelva los siguientes sistemas por Gauss – Jordan 
a) 








3- z -y 2 x 
1 z -y -2x 
2 z y x 
 












3121
1112
2111
 (1)  












5210
3330
2111
 (2) 












5210
18900
7301
 
(3)










 5210
2100
7301
(4)  










1010
2100
1001
 
 r(A) = 3 
 r(A ) = 3 
Como r(A) = r(A ) = 3, el sistema es compatible determinado. 
La solución única es: x = 1 ; y = 2; z = 1 ¡No olvides verificar la solución! 
Un método consiste en llevar la matriz a la forma escalonada y contar el número de 
filas no nulas, que nos informa el valor del rango y el segundo método de Gauss- 
Jordán que consiste en lograr el número máximo de vectores canónicos columna 
distintos y ese número es el valor del rango. 
 
¿Qué operaciones 
elementales realizaste? 
1) f2 + (-2)f1 , f3 + (-1) f1 
2) f1 + (-1)f3 , f2 + 3 f3 
3) (-1/9) f2 
4) f1 + (-3)f2 , f3 + 2 f2 
 
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Como los rangos son distintos el sistema es 
incompatible, no tiene solución 
b)








1- w2 - z -y 2 x - 
0 w7 z 2 -y 42x 
1 w3 z y 2 x 
 
Recuerda que debes escribir las operaciones elementales que realizas en tus apuntes. 
 













12121
07242
13121













01200
21000
10521













20200
21000
10521
 
 











10100
21000
10521
  












10100
21000
40021
 
 Sistema compatible indeterminado, tiene infinitas soluciones 
 








1 z 
2- w
4- y 2 x 
 ; 











1 z 
2- w
y y 
4-y 2 x 
 Conjunto solución 
Soluciones particulares X1 = ( -4, 0, 1, -2) ; X2 = ( -6, 1, 1, -2) 
c) 











1 z 3 -y 2 x 
3 zy x 
1 z 2 -y 2x 
1- z 3-y x 
 
 















1321
3111
1212
1311














2010
4400
3410
1311












 
2010
00
40
331
11
10
0
 
 













2010
00
0
1
11
300
000
 
 r(A) = 3 
 r(A ) = 4 
 
 
 
 
 
Método de eliminación de Gauss 
 
 r(A) = r(A) =3<4 
 
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El método de eliminación de Gauss consiste en realizar operaciones elementales sobre las 
filas de la matriz de los coeficientes y la ampliada hasta poder determinar las soluciones del 
sistema. Supongamos tener el sistema 
 








3333232131
2323222121
13132121
b xa xa xa
b xa xa xa
b xa xa xa11
 
La idea de Gauss es la siguiente, si el coeficiente de x1, a11  0, deja la primera ecuación 
como está y elimina x1 de las restantes, el sistema quedará: 
 








3 33 3 22 3 
2 33 2 22 2 
13132121
b xa xa 0 
b xa xa 0 
b xa xa xa11













3 3 3 2 3 
2 3 2 2 2 
1132 11 1
baa0
baa0
baaa
 
 
Luego si el coeficiente de la segunda incógnita a22  0, deja la segunda ecuación como está 
y elimina x2 de la tercera ecuación, quedando el sistema equivalente 
 








3 33 3 
2 33 2 22 2 
13132121
b xa 0 0 
b xa xa 0 
b xa xa xa11
  












3 3 3 
2 3 2 2 2 
1132 11 1
ba00
baa0
baaa
 
De la tercera ecuación, se obtiene el valor de x3, se lo reemplaza en la segunda y se obtiene 
x2. Con x2 y x3 va a la primera ecuación y se obtiene x1. 
Este procedimiento equivale a llevar la matriz de los coeficientes a una forma triangular 
escalonada. 
¿Recuerdan que era forma escalonada de una matriz? 
Si tenemos un sistema de m ecuaciones y n incógnitas 
 











mnmnjmj22m11m
ininjij22i11i
2nn2jj2222121
1nn1jj1212111
bxa...xa...xaxa
bxa...xa...xaxa
bxa...xa...xaxa
bxa...xa...xaxa
 
 Se procede de la misma manera. Si el coeficiente de la primera incógnita a11  0, se 
deja la primera ecuación como está y se elimina x1 de las ecuaciones 2 a m. Luego 
observamos si el coeficiente x2, es distinto de cero o de una variable conveniente y la 
eliminamos de las ecuaciones 3 a m. Se trabaja de la misma manera hasta que se hayan 
utilizado las m ecuaciones o porque no tenemos más variables en las ecuaciones restantes. 
Esto matricialmente significa llevar la matriz de los coeficientes y la ampliada a una forma 
escalonada. 
Sistemas de Ecuaciones Lineales Esp. Graciela Abraham de Juárez-Esp. Mabel Rodríguez Anido 
 
 11 
De la tercera ecuación, se obtiene el valor de x3, se lo reemplaza en la segunda y se obtiene 
x2. Con x2 y x3 va a la primera ecuación y se obtiene x1. 
Este procedimiento equivale a llevar la matriz de los coeficientes a una forma triangular 
escalonada. 
¿Recuerdan que era forma escalonada de una matriz? 
Si tenemos un sistema de m ecuaciones y n incógnitas 
 











mnmnjmj22m11m
ininjij22i11i
2nn2jj2222121
1nn1jj1212111
bxa...xa...xaxa
bxa...xa...xaxa
bxa...xa...xaxa
bxa...xa...xaxa
 
 Se procede de la misma manera. Si el coeficiente de la primera incógnita a11  0, se 
deja la primera ecuación como está y se elimina x1 de las ecuaciones 2 a m. Luego 
observamos si el coeficiente x2, es distinto de cero o de una variable conveniente y la 
eliminamos de las ecuaciones 3 a m. Se trabaja de la misma manera hasta que se 
hayan utilizado las m ecuaciones o porque no tenemos más variables en las 
ecuaciones restantes. Esto matricialmente significa llevar la matriz de los 
coeficientes y la ampliada a una forma escalonada. 
 
 
Ejemplo: En el siguiente sistema analizar los rangos y determinar la o las soluciones si 
existen 








2 x x2 x6 x5
1 x x2 x
0 x x2 x3
4321
321
421
 
 










21265
10121
01023











21265
2
2
0103
1011
 










3-3-4-0
3-13-4-0
1011
1
2
 










00000
3-13-4-0
1011 2
 
 r(A) = r(A ) = 2 < 4 número de incógnitas  el sistema tiene 
infinitas soluciones 





3- x x3 x4 - 
1 x x2 x
432
321
 





423
231
 x x4 3- x3 
 x2 -1 x x
 
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 12 
 x 3 = 1 - 
3
4
 x 2 + 
3
1
 x 4 , reemplazando en la primera ecuación tenemos que : 
 x1 = 1 – 2 x2 -1 + 
3
4
 x 2 - 
3
1
 x 4  x1 = -
3
2
 x 2 - 
3
1
 x 4 
El conjunto solución es X = 





 442242 x; x
3
1
 x
3
4
 - 1 ; x; x
3
1
 - x
3
2
 son las infinitas 
soluciones. 
Una solución particular es: X1 = (0, 0, 1, 0) ; X2 = (-1, 1, 0, 1) 
Todas las soluciones deben satisfacer el sistema 
 Para X1 








2 0 .1 2 .0 6 .0 5
1 1 .0 2 0 
0 0 .0 2 .0 3
 ; para X2 








2 1 0 6 5-
1 0 2 1- 
0 1 2 3-
 
 
PROBLEMA DE APLICACIÓN 
 
Se propone usar la siguiente Estrategia de Aprendizaje 
Fase 1: 
La estrategia básica es cerciorarse de que el problema se ha comprendido y se identifica lo 
conocido y lo desconocido. 
Fase 2: 
Ver si se puede simplificar el problema o llevarlo a un problema conocido con el mismo 
tipo de incógnitas y que operaciones hay que realizar. 
Fase 3: 
Se hace un riguroso análisis de los pasos y se realizan las operaciones. 
Fase 4: 
Las estrategias son tratar de resolver el problema de una manera diferente, ver si el 
resultado obtenido es coherente con los datos del problema, etc. 
El proceso de resolución de problemas siguiendo las cuatro fases permite discriminar 
errores y dificultades de diversa índole. Además incentivar en el estudiante el desarrollo de 
Resolución de Problemas. Es una técnica desarrollada por el matemático G. Polya 
con el objetivo de enseñar a los estudiantes a resolver problemas, distinguiendo 
cuatro fases: 
1- Comprender el problema 2- Idear un plan 
3- Ejecutar el plan 4- Verificar los resultados 
 
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 13 
estrategias de solución para cada fase, ayudar a que desarrolle sus habilidades de 
pensamiento y construya un pensamiento independiente. 
El objetivo del problema planteado es la integración de conocimientos y la creatividad. 
Problema: Se dan tres aleaciones de plata, cobre y oro con la siguiente composición: 
 PLATA COBRE ORO 
Aleación 1 5% 15% 80% 
Aleación 2 10% 25% 65% 
Aleación 3 15% 30% 55% 
 
¿Cuántos gramos se han de tomar de cada una para obtener 20 gr. de una nueva aleación 
que contenga 12% de plata, 26% de cobre, 62% de oro? 
Se pretende que desglosen el problema de la siguiente manera: 
1era. Fase: identificar lo conocido de lo desconocido. 
Lo conocido es: Porcentaje de plata, cobre y oro de las tres aleaciones 
En aleación 1: 0,05 gr de plata, 0, 15 gr de cobre y 0,8 gr de oro 
En aleación 2: 0,1gr de plata, 0,25gr de cobre, 0,65gr de oro 
En aleación 3: 0,15gr de plata, 0,3 gr decobre, 0,55 gr de oro 
Lo desconocido es: los gramos de cada aleación que van a necesitar para formar la nueva 
aleación. 
Se identifican las incógnitas, llamando: x = gr de la aleación 1 
 y = gr de la aleación 2 
 z = gr de la aleación 3 
Combinando las tres aleaciones se debe obtener 20 gr, de una nueva aleación. Esto conduce 
a plantear en lenguaje simbólico la siguiente ecuación: x + y + z = 20 
2da. Fase: Se determina qué operaciones hay que realizar. En la nueva aleación debe haber: 
 12 x 20/100= 2,4 gr de plata 
 26 x 20/100= 5,2 gr de cobre 
 62 x 20/100= 12,4 gr de oro 
En x gr de la primera aleación se encuentra 5 x/100 gr de plata, 15 x/100 gr de cobre y 80 
x/100 gr de oro. 
En y gr de la segunda aleación se encuentra 10 y/100 gr de plata, 25 y/100 gr de cobre y 65 
x/100 gr de oro. 
En z gr de la tercera aleación se encuentra 15 z/100 gr de plata, 30 z/100 gr de cobre y 55 
z/100 gr de oro. 
3era. Fase: Se escribe el sistema 
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 14 
5 100 10 100 15 100 2
15 100 25 100 30 100 5
80 100 65 100 55 100 12
x y z
x y z
x y z
/ / / ,4
/ / / ,2
/ / / ,4
  
  
  





 
 Que una vez transformado queda 
x y z
x y z
x y z
  
  
  





2 3 48
3 5 6 104
16 13 11 248
 
Resuelto por Gauss - Jordan conduce a las soluciones x = 4, y = 4, z = 12. 
4 ta. Fase: 
Se verifica que los resultados obtenidos son correctos y se interpreta la solución. 
La nueva aleación tiene 4 grs. de la primera aleación, 4 grs. de la segunda aleación y 12 grs. 
de la tercera aleación, de tal modo que se obtiene 4 + 4 + 12 = 20 grs. de la nueva aleación. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Recordemos que la mejor manera de aprender Matemática es “haciendo”. 
 Una antigua frase de Confucio dice: 
“Me lo contaron y lo olvidé, lo vi y lo entendí, lo hice y lo aprendí”. 
¡¡¡ PIÉNSENLO!!! 
 
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 15 
PARA CONCLUIR EL TEMA, se propone un ejercicio integrador para afianzar los 
conocimientos en lo que respecta a los métodos de resolución que se desarrollaron y 
propiciar su aplicación en la práctica. 
¿Cuáles de estos sistemas se pueden resolver por todos los métodos estudiados, sin 
efectuar cálculos? 
 
TARJETA 1 nm  
 










mnmnmm
nn
nn
bxaxaxa
bxaxaxa
bxaxaxa
...
...
...
...
2211
22222121
11212111
 
TARJETA 4 
 





223
1
zyx
wzyx
 
TARJETA 7 











13
03
232
1
zyx
zy
zyx
zyx
 
TARJETA 2 
 








545
723
2
zyx
zyx
zyx
 
0 
TARJETA 5 nn 
 










nnnnnn
nn
nn
bxaxaxa
bxaxaxa
bxaxaxa
...
...
...
...
2211
22222121
11212111
 
TARJETA 8 
 








535
23
12
431
432
421
xxx
xxx
xxx
 
TARJETA 3 











0532
02
043
02
twv
wvu
twvu
twvu
 
0 
TARJETA 6 








087
0223
0
321
321
321
xxx
xxx
xxx
 
0 
TARJETA 9 








0
51
0
32
zx
yx
 
 
 Para responder a la pregunta deben recordar todos los métodos de resolución que se 
vieron, como así también las condiciones para poder aplicar cada método. 
Encuentran que, los métodos de resolución estudiados, son: 
 Regla de Cramer Sistemas n x n 
 Mediante inversión de matrices condición 0 
 
 Método de eliminación de Gauss Sistemas m x n 
 Método de Gauss - Jordan y análisis de rangos. 
 
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 16 
Deben determinar el orden de los sistemas y deducir que los sistemas de distinto 
número de ecuaciones que de incógnitas no pueden resolverse por todos los métodos; no 
pueden aplicar Cramer, ni matriz inversa. Es decir que descartan las tarjetas 1, 4 y 7. 
Además, en la tarjeta 8 el sistema tiene 3 ecuaciones y 4 incógnitas. Por lo tanto, 
descartan la tarjeta 8. 
Con la tarjeta 9, tienen que ordenar el sistema: 





05
032
xz
xy
 que tiene 2 ecuaciones y 
3 incógnitas. Se descarta la tarjeta 9. 
El sistema de la tarjeta 3 es homogéneo y el determinante es cero, por lo que tiene 
infinitas soluciones. También se descarta la tarjeta 3. 
La tarjeta 5 requiere de cálculos y analizar el determinante. Descartan la tarjeta 5. 
En la tarjeta 6, al ser el sistema homogéneo y el determinante distinto de cero, tiene 
solución trivial y por lo tanto no necesita resolverse por ningún método; pero el hecho 
de tener determinante distinto de cero implica que puede resolverse por Cramer, Matriz 
inversa, eliminación de Gauss y por Gauss - Jordan. 
El sistema de la tarjeta 2 también se puede resolver por todos los métodos. Al ser el 
0 se puede aplicar Cramer y Matriz inversa, y no hay restricciones para 
eliminación de Gauss y Gauss - Jordan. Los alumnos arriban a la conclusión que: 
 
 
 
 
 
EN EL MAPA CONCEPTUAL SIGUIENTE SE REFLEJA TODA LA TEORÍA 
ESTUDIADA: 
Los sistemas de las tarjetas 2 y 6 se pueden resolver por todos los 
métodos, sin efectuar cálculos. 
 
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 1 
 
 
 
Sistemas De Ecuaciones Lineales m x n 
A m x n . X n x 1 = Bm x 1 
T. R. F. 
Compatible Incompatible 
Determinado Indeterminado 
Cramer Inversa Eliminación 
de Gauss 
Gauss Jordan 
Interpretación 
Geométrica 
R2: Rectas R3: Planos 
Rectas que 
se cortan en 
un punto. 
Rectas 
coincidentes 
Rectas 
paralelas 
Planos que se 
intersectan en 
un punto. 
Los planos se 
intersectan en 
una recta 
Planos 
paralelos 
 Análisis de 
la 
 Solución 
r (A) = r (A ) 
Inf 
Soluciones 
Solución 
Única 
m = n = 
2 
Solución 
 Única 
Inf. 
Soluciones 
No tiene 
Solución 
 r (A)  r 
(A ) m = n = 
3 
Solución 
Única 
Inf. 
Soluciones 
No tiene 
Solución 
 
 
B0 
Sist. Homogéneo 
B=0 
m = 
2 
n = 3 
R3: Rectas 
Inf. Soluc. 
Planos Paralelos 
No tiene solución