ART-Comportamiento_Asintotico

Vista previa del material en texto

COMPORTAMIENTO ASINTÓTICO
DE LAS SOLUCIONES
DE UNA ECUACIÓN DIFERENCIAL
Cipri Santiago Zaragoza
Departamento de Matemáticas
Febrero de 2004
CASO DE COEFICIENTES VARIABLES
Sea x0 = A (t)x con A 2 C (]�;+1[ ;Mn (R)) ;�1 � � < +1:
* Se dice que x0 = A (t)x es convergente sii 8x solución se tiene que jx (t)j !
t!+1
0
* Se dice que x0 = A (t)x es acotado sii 8x solución 9M; c > 0 / jx (t)j � c; 8t �M
Caracterización:
Sea � (t) una m.f. de x0 = A (t)x. Entonces:
i) x0 = A (t)x es convergente , k� (t)k !
t!+1
0
ii) x0 = A (t)x es acotado , 9M; c > 0 // k� (t)k � c; 8t �M
CASO DE COEFICIENTES CONSTANTES
Sea x0 = Ax con A 2Mn (R) y supongamos que A = PJP�1. Entonces:
x0 = Ax acotado ,


eJt

 acotado
Notaciones: � 2 � (A)
m (�) =multiplicidad de �
� (�) = m (�) + 1� dimker (A� �I)
� = m�ax fRe� /� 2 � (A)g
Caracterización:
a) � < 0) x0 = Ax convergente
b) � = 0 y 8 � 2 � (A) con Re� = 0; � (�) = 1) x0 = Ax acotado
c) En otro caso, x0 = Ax no es ni convergente ni acotado
CASO DE COEFICIENTES PERIÓDICOS
Sea x0 = A (t)x con A 2 CT (R;Mn (R)) ; T > 0:
Notación: � = m�ax fj�j / � es multiplicador característico de x0 = A (t)xg
Caracterización:
a) � < 1) x0 = A (t)x convergente
b) � > 1) x0 = A (t)x acotado
Consecuencia:
Si
TR
0
trA (s) ds > 0) x0 = A (t)x no acotado
1
CASO DE COEFICIENTES PERTURBADOS
Sea x0 = (A+B (t))x con A 2Mn (R) y B 2 C (]�;+1[ ;Mn (R)) :
Caracterización:
a) Si B cumple
(H1) lim
t!+1
kB (t)k = 0
(H2) kB (t)k 2 L1 (�;+1), 8� > �
y x0 = Ax es convergente) x0 = (A+B (t))x es convergente
b) Si B cumple (H2) y x0 = Ax es acotado ) x0 = (A+B (t))x es acotado
2