Clase N01

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SEMESTRE ACADÉMICO 2020-I
UNIVERSIDAD NACIONAL MAYOR DE
SAN MARCOS
ESCUELA DE ESTUDIOS GENERALES
Área de Ingeniería
EQUIPO DE LOS DOCENTES DE CÁLCULO I
ASIGNATURA
CÁLCULO I
2020-1
UNIDAD DIDÁCTICA 1
TEMA DE SESIÓN: RELACIONES
APRENDIZAJES ESPERADOS:
• Al finalizar la semana, el estudiante discute e interpreta la gráfica de una relación de R en R.
CAPACIDAD GENERAL:
CAPACIDAD ESPECÍFICA:
• Al finalizar el curso, el estudiante aplica el análisis de funciones y el cálculo diferencial de una variable, para resolver 
problemas relacionados a su carrera profesional, apoyándose estratégicamente en herramientas matemáticas con 
responsabilidad y trabajo en equipo.
• Resuelve situaciones problemáticas de contexto real referidas a analizar cambios discontinuos o regularidades, entre valores 
o expresiones; traduciéndolas a expresiones algebraicas que pueden incluir la regla de formación de funciones que mejor se 
ajusten al comportamiento del fenómeno observado.
SEMANA 1
CONCEPTOS BÁSICOS
1. PAR ORDENADO
Es un conjunto que consta de dos elementos ordenados y se denota por 𝑎, 𝑏 , donde
𝑎: primer componente
𝑏: segundo componente
TEOREMA (Igualdad de pares ordenados)
2. PRODUCTO CARTESIANO
Dados dos conjuntos no vacíos 𝐴 y 𝐵, el producto cartesiano de 𝐴 y 𝐵 es el conjunto formado por 
todos los pares ordenados.
Representación simbólica:
𝑎, 𝑏 = 𝑐, 𝑑 ⟺ 𝑎 = 𝑐 ∧ 𝑏 = 𝑑
𝐴 × 𝐵 = Τ𝑎, 𝑏 𝑎 ∈ 𝐴 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵
Ejemplo de producto cartesiano:
Sean: 𝐴 = 1, 3, 5 y 𝐵 = 2, 4 , entonces
𝐴 × 𝐵 = 1, 2 , 1, 4 , 3, 2 , 3, 4 , 5, 2 , 5, 4
Nota: Si los conjuntos 𝐴 y 𝐵 son finitos, entonces
𝑛 𝐴 × 𝐵 = 𝑛 𝐴 ∙ 𝑛(𝐵)
Donde, 𝑛(𝐴): es el número de elementos del conjunto 𝐴.
𝑛(𝐵): es el número de elementos del conjunto 𝐵.
Propiedades del producto cartesiano
1) 𝐴 × 𝐵 ≠ 𝐵 × 𝐴
2) 𝐴 × ∅ ≠ ∅ × 𝐴 = ∅
3) 𝐴 × 𝐵 ∪ 𝐶 = 𝐴 × 𝐵 ∪ 𝐴 × 𝐶
4) 𝐴 × 𝐵 ∩ 𝐶 = 𝐴 × 𝐵 ∩ 𝐴 × 𝐶
RELACIONES
1. DEFINICIÓN
Sean 𝐴 y 𝐵 dos conjuntos. Una relación 𝑅 de 𝐴 en 𝐵 es un subconjunto de 𝐴 × 𝐵;
es decir, 𝑅 ⊂ 𝐴 × 𝐵.
Notación:
EJEMPLO: Sean: 𝐴 = 2, 4 y 𝐵 = 1, 3, 5 , entonces
𝐴 × 𝐵 = 2, 1 , 2, 3 , 2, 5 , 4, 1 , 4, 3 , 4, 5
Son algunas relaciones de 𝐴 en 𝐵
1) 𝑅1 = 2, 1 3) 𝑅3 = 2, 3 , 4, 1 , 4, 5
2) 𝑅2 = 2, 1 , 2, 5 4) 𝑅4 = 𝐴 × 𝐵
Observación: Sea la relación, 𝑅: 𝐴 ⟶ 𝐵
1. En la relación 𝑅, 𝐴 es el conjunto de partida y 𝐵 es el conjunto de llegada.
2. Si 𝐴 = 𝐵, entonces 𝑅 es una relación en 𝐴.
3. Si 𝑛 𝐴 × 𝐵 = 𝑘 entonces existen 2𝑘 relaciones de 𝐴 en 𝐵.
𝑅: 𝐴 ⟶ 𝐵
𝑅 = Τ(𝑎, 𝑏) 𝑎 ∈ 𝐴 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵
2. DOMINIO Y RANGO DE UNA RELACIÓN
Consideremos una relación 𝑅:𝐴 ⟶ 𝐵
𝑅 = Τ(𝑎, 𝑏) ∈ 𝐴 × 𝐵 𝑎 ∈ 𝐴 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵
El dominio de la relación 𝑹 es:
El rango de la relación 𝑹 es:
EJEMPLO: Sea la relación
𝑅 = 1, 4 , 1, 5 , 2, 3 , 2, 4 , 2, 5
Entonces:
𝐷𝑜𝑚(𝑅) = 1, 2
𝑅𝑎𝑛(𝑅) = 3, 4, 5
𝐷𝑜𝑚 𝑅 = Τ𝑎 ∈ 𝐴 ∃𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑎, 𝑏 ∈ 𝑅
𝑅𝑎𝑛 𝑅 = Τ𝑏 ∈ 𝐵 ∃𝑎 ∈ 𝐴 ∧ 𝑎, 𝑏 ∈ 𝑅
3. PROPIEDADES DE LA RELACIÓN
Sea una relación 𝑅 en 𝐴, es decir, 𝑅: 𝐴 ⟶ 𝐴. Entonces tenemos: 
1) Relación Reflexiva: 𝑅 es reflexiva ⟺ ∀𝑎 ∈ 𝐴, (𝑎, 𝑎) ∈ 𝑅
Ejemplo: Si 𝐴 = 1, 2, 3 , tenemos las relaciones en 𝐴
𝑅1 = 1, 1 , 1, 2 , 2, 2 , 3, 3 , 3, 1 es reflexiva en 𝐴.
𝑅2 = 1, 2 , 1, 3 , 2, 3 , 1, 1 , 3, 3 no es reflexiva en 𝐴 por que falta (2, 2).
2) Relación Simétrica: 𝑅 es simétrica ⟺ ∀(𝑎, 𝑏) ∈ 𝑅 ⟹ 𝑏, 𝑎 ∈ 𝑅
Ejemplo: Si 𝐴 = 2, 3, 5, 7 , tenemos las relaciones en 𝐴
𝑅1 = 5, 3 , 2, 7 , 3, 5 , 7, 2 , 2, 2 es simétrica en 𝐴.
𝑅2 = 5, 3 , 2, 7 , 3, 5 , 2, 2 no es simétrica en 𝐴 ya que existe (2, 7) y no (7, 2).
3) Relación Transitiva:𝑅 es transitiva ⟺ ∀𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ 𝐴, (𝑎, 𝑏) ∈ 𝑅 ∧ (𝑏, 𝑐) ∈ 𝑅 ⟹ (𝑎, 𝑐) ∈ 𝑅
Ejemplo: Si 𝐴 = 1, 3, 5, 7, 9 , tenemos la relación en 𝐴
𝑅 = 1, 3 , 3, 5 , 1, 5 , 9, 7 es transitiva ya que (1, 3) ∈ 𝑅 ∧ (3, 5) ∈ 𝑅 → (1, 5) ∈ 𝑅
4) Relación de Equivalencia:𝑅 es de equivalencia en 𝐴 ⟺ 𝑅 es reflexiva, simétrica y transitiva. 
Ejemplo: Si 𝐴 = 1, 2, 3, 4, 5 , tenemos la relación en 𝐴, dado por
𝑅 = 1, 1 , 2, 2 , 3, 3 , 4, 4 , 5, 5 es una relación de equivalencia por que es reflexiva, 
simétrica y transitiva en 𝐴. 
4. RELACIÓN INVERSA
Sea 𝑅 una relación del conjunto 𝐴 al conjunto 𝐵 definida por
𝑅 = Τ(𝑥, 𝑦) 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵
La relación inversa de 𝑅, denotado por 𝑅−1, se define
Ejemplo:
Sea 𝑅 la relación dada por
𝑅 = 1, 4 , 1, 5 , 2, 4 , 2, 5
Su relación inversa 𝑅−1 es
𝑅−1 = 4, 1 , 5, 1 , 4, 2 , 5, 2
𝑅−1 = Τ(𝑦, 𝑥) (𝑥, 𝑦) ∈ 𝐵
Observación:
1) 𝑅−1 se obtiene con solo invertir el orden de los 
elementos de los pares ordenados de 𝑅.
2) 𝐷𝑜𝑚 𝑅−1 = 𝑅𝑎𝑛(𝑅) y 𝑅𝑎𝑛 𝑅−1 = 𝐷𝑜𝑚(𝑅)
3) La relación inversa de 𝑅−1 es 𝑅.
4. GRÁFICA DE RELACIONES
Sea la relación 𝑅:ℝ ⟶ ℝ
4.1. Grafica de relaciones definidas por ecuaciones

Ejemplo: sea 𝑅 = Τ(𝑥, 𝑦) ∈ ℝ × ℝ 𝑥 = 2
Entonces, 𝑅 = Τ(2, 𝑦) 𝑦 ∈ ℝ . Gráfica de 𝑅
𝑅 = Τ(𝑥, 𝑦) ∈ ℝ × ℝ 𝑥 = 𝑘

Ejemplo: sean 𝑅1 = Τ(𝑥, 𝑦) ∈ ℝ × ℝ 𝑦 = 𝑥
2 y 𝑅2 = Τ(𝑥, 𝑦) ∈ ℝ × ℝ 𝑦 = ± 𝑥
Entonces, 𝑅1 = Τ(𝑥, 𝑥
2) 𝑥 ∈ ℝ y 𝑅2 = Τ(𝑥, ± 𝑥) 𝑥 ∈ ℝ0
+
Gráfica de 𝑅1: 𝑦 = 𝑥
2 y Gráfica de 𝑅2: 𝑦 = 𝑥 ∨ 𝑦 = − 𝑥
𝑅 = Τ(𝑥, 𝑦) ∈ ℝ × ℝ 𝑦 = 𝑓(𝑥)

Ejemplo: Sean 𝑅1 = Τ(𝑥, 𝑦) ∈ ℝ × ℝ 𝑥
2 + 𝑦2 = 4 y 𝑅2 = ൗ(𝑥, 𝑦) ∈ ℝ × ℝ
𝑥2
16
+
𝑦2
4
= 1
Gráfica de 𝑅1 Gráfica de 𝑅2
4.2. Grafica de relaciones definidas por inecuaciones

Ejemplo: Sean 𝑅1 = Τ(𝑥, 𝑦) ∈ ℝ × ℝ 𝑦 − 𝑥
3 ≥ 0 y 𝑅2 = Τ(𝑥, 𝑦) ∈ ℝ × ℝ 𝑦
2 − 𝑥 − 2 < 0
Gráfica de 𝑅1: Gráfica de 𝑅2:
Frontera: 𝑦 = 𝑥3 Frontera: 𝑦2 = 𝑥 + 2
𝑅 = Τ(𝑥, 𝑦) ∈ ℝ × ℝ 𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑘
𝑅 = Τ(𝑥, 𝑦) ∈ ℝ × ℝ 𝑦 ≷ 𝑓(𝑥)
Referencias:
1. MÁXIMO MITAC – LUIS TORO. Tópicos de cálculo, volumen I.
2. Venero A.(2008). Matemática Básica. (4ta edición). Perú, Ediciones 
Gemar
3. LARSON RON. Cálculo I.
4. Swokowski E. (2017). Cálculo con Geometría Analítica (2da edición) 
Editorial Iberoamerica