Clase N13

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SEMESTRE ACADÉMICO 2020-I
UNIVERSIDAD NACIONAL MAYOR DE
SAN MARCOS
ESCUELA DE ESTUDIOS GENERALES
Área de Ingeniería
EQUIPO DE LOS DOCENTES DE CÁLCULO I
ASIGNATURA
CÁLCULO I
2020-1
1
UNIDAD IV SEMANA 13 SESIÓN 1
TEMA: VALORES EXTREMOS DE UNA FUNCIÓN
COMPETENCIA
Resuelve problemas de contexto real con la utilización de estrategias y
procedimientos matemáticos para las aplicaciones de la derivada de una
función.
CRITERIO/CAPACIDAD
Al finalizar la sesión, El estudiante calcula intervalos de crecimientos y
decrecimientos de una función, puntos críticos y puntos de inflexión
aplicando los criterios de la primera y segunda derivada.
FUNCIÓN CRECIENTE FUNCIÓN DECRECIENTE
Una función 𝑓 se llama creciente
sobre un intervalo 𝐼 si
𝑥1 < 𝑥2 ⟺ 𝑓 𝑥1 < 𝑓 𝑥2 en 𝐼
Se llama decreciente sobre 𝐼 si
𝑥1 < 𝑥2 ⟺ 𝑓 𝑥1 > 𝑓 𝑥2 en 𝐼
x
y
X1
f (x1)
X2
f (x2)
y = f(x)
x
y
X1
f (x2)
X2
f (x1)
y = f(x)
crece
cr
ec
e
crece
d
ecrece
FUNCIONES MONÓTONAS 
Ejemplo
A partir de la siguiente grafica:
a) Halle el intervalo en donde la función 𝑓(𝑥) es creciente.
b) Halle el intervalo en donde la función 𝑓(𝑥) es decreciente.
Solución
a) 𝑓 es creciente en el intervalo 0,+∞
b) 𝑓 es decreciente en el intervalo −∞, 0
Punto Crítico (PC)
Un punto crítico de una función 𝑓 es un número 𝑥 = 𝑐 en el dominio de 𝑓 tal que 
𝑓′(𝑐) = 0 o 𝑓’(𝑐) no existe.
f´(c)=0 Tangente horizontal
c c
f´(c) no está definido
Ejemplo:
Halle los puntos críticos de 𝑓 𝑥 = 𝑥3/5 4 − 𝑥
Solución
Paso 1: Dom(𝑓) = ℝ
Paso 2: derivando la función
𝑓′ 𝑥 =
3
5
𝑥−2/5 4 − 𝑥 + 𝑥3/5 −1
=
3(4 − 𝑥)
5𝑥2/5
− 𝑥
3
5 =
3 4 − 𝑥 − 5𝑥
5𝑥2/5
=
12 − 8𝑥
5𝑥2/5
Paso 3: Así que 𝑓’(𝑥) = 0 si 12 − 8𝑥 = 0; es decir 𝑥 =
3
2
y 
𝑓’(𝑥) no existe cuando 𝑥 = 0. Por tanto, los PC son 
3
2
y 0.
constante
f´(x)0 f´(x)=0 f´(x)0
X
Y
0
Teorema de Monotonía
Sea una función 𝒚 = 𝒇(𝒙) continua y diferenciable en un intervalo 𝑰.
Si 𝒇′ 𝒙 > 𝟎, ∀𝒙 ∈ 𝑰, entonces 𝒇 es creciente en 𝑰.
Si 𝒇′ 𝒙 < 𝟎, ∀𝒙 ∈ 𝑰, entonces 𝒇 es decreciente en 𝑰.
En la gráfica 𝑓’ puede
decirnos dónde una
función es creciente o
decreciente.
Ejemplo 1
Determine los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función: 
𝑓 𝑥 = 3𝑥4 − 4𝑥3 − 12𝑥2 + 5
Solución
a) Dom(𝑓) = ℝ
b) 𝑓′(𝑥) = 12𝑥3 − 12𝑥2 − 24𝑥 = 12𝑥(𝑥 − 2)(𝑥 + 1)
c) Puntos críticos: 𝑥 = −1, 𝑥 = 0 y 𝑥 = 2.
d) Averiguando dónde 𝑓′ > 0 y donde 𝑓′ < 0.
_______ -1_____0________2_______
Intervalo 𝒇′(𝒙) 𝒇
𝑥 < −1 - Decreciente
−1 < 𝑥 < 0 + Creciente
0 < 𝑥 < 2 - Decreciente
𝑥 > 2 + Creciente
Ejemplo 2
Halle dónde la función 𝑓 𝑥 =
5
𝑥
+
𝑥
5
es creciente y dónde es decreciente. 
Solución
a) Dom 𝑓 = ℝ− {0}
b) 𝑓′(𝑥) =
(𝑥−5)(𝑥+5)
5𝑥2
c) Puntos críticos: 𝑥 = −5 y 𝑥 = 5 (𝑥 = 0 no es PC, 
pues 0 ∉ 𝐷𝑜𝑚(𝑓))
d) Análisis de los signos de 𝑓′
______ -5_____0______5_______
Intervalo 𝒇′(𝒙) 𝒇
−∞,−5 + Creciente
−5,0 - Decreciente
0, 5 - Decreciente
5, +∞ + Creciente
VALORES EXTREMOS DE UNA FUNCIÓN
Definición 1: Sea 𝑐 un número en el dominio 𝐷 de una función 𝑓. Entonces:
 𝑓(𝑐) es el valor máximo absoluto de 𝑓 sobre 𝐷 si 𝑓(𝑐) ≥ 𝑓 (𝑥) para toda 𝑥 en 𝐷.
 𝑓(𝑐) es el valor mínimo absoluto de 𝑓 sobre 𝐷 si 𝑓(𝑐) ≤ 𝑓 (𝑥) para toda 𝑥 en 𝐷.
Los valores máximo y mínimo de 𝑓 se llaman valores extremos de 𝑓.
• Mínimo absoluto 𝑓(𝑎),
• Máximo absoluto 𝑓(𝑑),
• Mínimos locales 𝑓(𝑐), 𝑓(𝑒),
• Máximos locales 𝑓(𝑏), 𝑓(𝑑)
𝑓(4) = 5 es un mínimo local
𝑓(12) = 3 es un mínimo local y el 
mínimo absoluto
𝑓(8) = 7 es un máximo local
𝑓(1) = 8 es un máximo absoluto
Definición 2: El número 𝑓(𝑐) es un
 valor máximo local de 𝑓 si 𝑓(𝑐) ≥ 𝑓 (𝑥) cuando 𝑥 está cerca de 𝑐.
 valor mínimo local de 𝑓 si 𝑓(𝑐) ≤ 𝑓 (𝑥) cuando 𝑥 está cerca de 𝑐.
En la gráfica de la función 𝑓(𝑥) = 𝑥3, que se muestra en la siguiente figura, se ve que no tiene valor 
máximo absoluto ni valor mínimo absoluto. De hecho, tampoco posee valores extremos locales.
No hay mínimo ni máximo
Ejemplo 2
La gráfica de la función 𝑓 𝑥 = 3𝑥4 − 16𝑥3 + 18𝑥2, −1 ≤ 𝑥 ≤ 4 se muestra en la siguiente figura.
Observación:
o 𝑓(1) = 5 es un máximo local
o 𝑓(−1) = 37 es un máximo absoluto (pero 
no es un máximo local porque se presenta 
en un punto extremo)
o 𝑓(0) = 0 es un mínimo local
o 𝑓 3 = −27 es un mínimo tanto local como 
absoluto
o En 𝑥 = 4, 𝑓 no tiene valor máximo local ni 
máximo absoluto.
Teorema del valor extremo
Si 𝑓 es continua sobre un intervalo cerrado 𝑎, 𝑏 , entonces 𝑓 alcanza un valor 
máximo absoluto 𝑓(𝑐) y un valor mínimo absoluto 𝑓(𝑑) en algunos números 𝑐 y 𝑑
en 𝑎, 𝑏 .
En la figura siguiente se ilustra el teorema del valor extremo
Método del intervalo cerrado
Para hallar los valores máximo y mínimo absolutos de una función continua 
f sobre un intervalo cerrado 𝑎, 𝑏 :
1. Encuentre los valores de f en los puntos críticos de f en 𝑎, 𝑏 .
2. Halle los valores de f en los puntos extremos del intervalo.
3. El más grande de los valores de los pasos 1 y 2 es el valor máximo 
absoluto; el más pequeño, el valor mínimo absoluto.
Ejemplo
Encuentre los valores absolutos máximo y mínimo de la función
𝑓 𝑥 = 𝑥3 − 3𝑥2 + 1, −
1
2
≤ 𝑥 ≤ 4
Solución
Por el teorema del intervalo cerrado se tiene que:
1. 𝑓′ 𝑥 = 3𝑥2 − 6𝑥 = 3𝑥 𝑥 − 2
Puntos críticos (PC): 𝑥 = 0 y 𝑥 = 2.
Los valores de 𝑓 en estos PC son:
𝑓(0) = 1 y 𝑓 2 = −3
2. Los valores de 𝑓 en los puntos extremos del intervalo son
𝑓(−
1
2
) =
1
8
y 𝑓 4 = 17
3. Comparando estos cuatro números, vemos que:
El valor máximo absoluto es 𝑓 4 = 17 y
El valor mínimo absoluto es 𝑓 2 = −3.
Sea 𝑐 un punto crítico de una función 𝑓 definida en una vecindad 𝑉𝛿 𝑐 , 
𝑉𝛿 𝑐 = 𝑐 − 𝛿; 𝑐 + 𝛿 , tal que: 𝑓 es continua en 𝑉𝛿 𝑐 y 𝑓 es derivable en 
𝑉𝛿 𝑐 , excepto tal vez en 𝑐. Entonces 𝑓(𝑐) puede clasificarse así:
 Si 𝑓′ 𝑥 > 0, ∀ 𝑥 ∈ 𝑐 − 𝛿; 𝑐 y 𝑓′ 𝑥 < 0, ∀ 𝑥 ∈ 𝑐; 𝑐 + 𝛿 , entonces 𝒇(𝒄)
es un valor máximo local de 𝒇.
 Si 𝑓′ 𝑥 < 0, ∀ 𝑥 ∈ 𝑐 − 𝛿; 𝑐 y 𝑓′ 𝑥 > 0, ∀ 𝑥 ∈ 𝑐; 𝑐 + 𝛿 , entonces 𝒇(𝒄)
es un valor mínimo local de 𝒇.
 Si 𝑓′ 𝑥 > 0, ∀ 𝑥 ∈ 𝑐 − 𝛿; 𝑐 y 𝑓′ 𝑥 > 0, ∀ 𝑥 ∈ 𝑐; 𝑐 + 𝛿 o 
si 𝑓′ 𝑥 < 0, ∀ 𝑥 ∈ 𝑐 − 𝛿; 𝑐 y 𝑓′ 𝑥 < 0, ∀ 𝑥 ∈ 𝑐; 𝑐 + 𝛿 , entonces 𝒇(𝒄)
no es un valor máximo o un mínimo local de 𝒇.
I. Criterio de la primera derivada para extremos relativos
TEOREMAS
Interpretación geométrica de la primera derivada
Ejemplo:
Halle los extremos relativos de la función 
𝑓 𝑥 = 𝑥4 − 4𝑥3 + 10.
Solución:
Paso 1: 𝐷𝑜𝑚(𝑓) = ℝ
Paso 2: derivando la función
𝑓′ 𝑥 = 4𝑥3 − 12𝑥2 = 4𝑥2 𝑥 − 3
Paso 3: hallando los puntos críticos (PC)
𝑓′ 𝑥 = 0
4𝑥2 𝑥 − 3 = 0 ⟹ 𝑥 = 0, 𝑥 = 3
Entonces, los PC son: 𝑥 = 0, 𝑥 = 3.
Paso 4: aplicando el criterio de la primera 
derivada.
Paso 5: Graficando
Sea 𝑓 una función para la cual existe la segunda derivada de 𝑓 sobre un 
intervalo 𝑎, 𝑏 que contiene al punto crítico 𝑥 = 𝑐 (es decir 𝑓′ 𝑐 = 0):
 Si 𝑓′′(𝑐) > 0, entonces 𝑓(𝑐) es un mínimo relativo.
 Si 𝑓′′ 𝑐 < 0, entonces 𝑓(𝑐) es un máximo relativo.
 Si 𝑓′′ 𝑐 = 0, entonces la prueba falla y 𝑓(𝑐) puede ser o no un extremo 
relativo. En este caso se usa la prueba de la primera derivada.
II. Criterio de la segunda derivada para extremos relativos
Ejemplo 1:
Encontrar los extremos relativos correspondientes a 𝑓 𝑥 = 𝑥4 + 1 usando el 
criterio de la segunda derivada.
Solución: 
Para este ejemplo, el criterio de la segunda derivada falla, y si usamos el primer 
criterio se verifica que 𝑓 0 = 1 es mínimo.
Ejemplo:
Encontrar los extremos relativos 
correspondientes a la función
𝑓 𝑥 = −3𝑥5 + 5𝑥3
Solución:
Paso 1: hallando los puntos críticos de 𝑓:
𝑓´ 𝑥 = 15𝑥2 1 − 𝑥2 = 0 ⇒ 𝑥 = −1,0,1
Paso 2: 𝑓´´ 𝑥 = 30 −2𝑥3 + 𝑥 = 30𝑥 −2𝑥2 + 1
y aplicando el criterio de la segunda derivada, 
tenemos
Como el criterio de la segunda derivada no decideen (0, 0), debemos utilizar el criterio de la primera 
derivada.
Graficando
APLICACIONES DE LA DERIVADA (OPTIMIZACIÓN)
En los diferentes campos del conocimiento y en la realidad cotidiana a
menudo hay interés en los valores máximo y mínimo de una función.
Por ejemplo, una empresa tiene interés natural en maximizar sus ganancias
a la vez que minimiza los costos. Cuando vamos al mercado, observamos que
todas las latas que contienen, por ejemplo,
1
2
litro de gaseosa tienen el mismo
aspecto físico, es decir, son de la misma forma (mismos radio y altura) pero
esto no es coincidencia, puesto que hay dimensiones específicas que
minimizan la cantidad de metal usado y, entonces, reducen los costos de
construcción de la lata a una empresa.
En general, se habla de utilidad (beneficio) máxima(o), mínimo costo,
tiempo mínimo, voltaje máximo, forma óptima, tamaño mínimo, máxima
resistencia y máxima distancia.
Ejemplo 1
En una esquina de la calle existe un terreno vacío que 
tiene la forma de un triángulo rectángulo tal como 
muestra la figura adjunta.
Determine las dimensiones del campo de fulbito de 
área máxima que se pueda construir en dicha 
esquina.
1° Paso. Planteamiento del problema
Solución.
Incógnitas: 𝑥 e 𝑦 que maximiza el área del 
campo.
Dimensiones del campo: 𝑥 e 𝑦 (m)
Área del campo: 𝐴 = 𝑥𝑦 (m2) 
𝑦
𝑥
de la gráfica:
𝑦
𝑥
2° Paso. Determinamos la función objetivo (a maximizar)
𝐴 𝑥 = 30𝑥 −
3
2
𝑥2, 𝑥 > 0
𝐴 = 𝑥𝑦
30
20
=
𝑦
20 − 𝑥
⟹ 𝑦 =
3
2
20 − 𝑥 = 30 −
3
2
𝑥
3° Paso. Maximizamos la función objetivo
𝐴′ 𝑥 = 30 − 3𝑥 = 0
⟹ 𝑥 = 10 (número crítico, candidato)
⟹
Verificamos si 𝑥 = 10 maximiza la función 𝐴
Signo de 
𝐴′ 𝑥 + −
0 𝑥 = 10
⟹ 𝑥 = 10 maximiza el volumen
4° Paso. Respuesta 
Las dimensiones del campo de fulbito de área máxima son de 10 m por 15 m. 
Luego: 𝑦 = 15
Ejemplo 2
El administrador de una embotelladora de jugos naturales desea lanzar al 
mercado una nueva presentación consistente en una lata en forma de un cilindro 
circular recto con capacidad de 128𝜋 cm3. Determine las dimensiones del envase 
a fin de utilizar la menor cantidad de material en su fabricación.
1° Paso. Planteamiento del problema
Solución.
Incógnitas: 𝑟 e ℎ que minimiza la 
cantidad de material.
Radio del cilindro: 𝑟 (cm)
Altura del cilindro: ℎ (cm)
Volumen del cilindro: 𝑉 = 128𝜋 cm3
Cantidad de material: 𝐶 (cm2 )
𝑟
ℎ
La cantidad de material es equivalente al área superficial total del cilindro.
2° Paso. Determinamos la función objetivo (a minimizar)
⟹ 𝐶 𝑟 = 2𝜋𝑟2 + 2𝜋𝑟
128
𝑟2
Área lateral: 𝐴𝐿 = 2𝜋𝑟ℎ
Área de la base y de la tapa: 2𝜋𝑟2
Luego, la cantidad de material: 
Como: 𝑉 = 128𝜋 = 𝜋𝑟2ℎ ⟹ ℎ =
128
𝑟2
𝐶 𝑟 = 2𝜋 𝑟2 +
128
𝑟
, 𝑟 > 0⟹
𝐶 = 2𝜋𝑟2 + 2𝜋𝑟ℎ
3° Paso. Minimizamos la función objetivo
⟹ 2𝑟3 − 128 = 0𝐶′ 𝑟 = 2𝜋 2𝑟 −
128
𝑟2
= 0
⟹ 𝑟 = 4 (número crítico, candidato)
Verificamos si 𝑥 = 4 minimiza la función 𝐶
Signo de 
𝐶′ 𝑟 +−
0
𝑟 = 4
Luego:
𝑟 = 4 minimiza la función 𝐶
Luego: ℎ = 8
4° Paso. Respuesta 
Se empleará la menor cantidad de material, si el radio y la altura del cilindro 
son de 4 cm y 8 cm respectivamente. 
Ejemplo 3
Los puntos 𝐴 y 𝐵 están situados uno frente a otro y en lados opuestos de un río 
recto de 150 m de ancho. El punto 𝑄 está a 300 m de 𝐵 y en la misma orilla (ver 
figura).
Una compañía de teléfonos necesita tender un cable desde 𝐴 hasta 𝑄. si el costo 
por metro de cable es de 25% más caro bajo el agua que por tierra, ¿Cómo se debe 
tender el cable para que el costo total de instalación se mínimo?
300 m
150 m
1° Paso. Planteamiento del problema
Solución.
Buscaremos: 𝑥, que nos permita 
efectuar la instalación de cable a fin 
de tener un costo mínimo (𝐶).
En el gráfico: 𝑥 (m)
Sea 𝑘 > 0, el costo de instalación por metro lineal en tierra. 
2° Paso. Determinamos la función objetivo (a minimizar)
Entonces el costo de instalación será:
𝐶 = 𝑑 𝐴; 𝑃
5
4
𝑘 + 𝑑 𝑃; 𝑄 𝑘
300
150 
𝑥
300 − 𝑥
=
5
4
𝑘 1502 + 𝑥2 + 300 − 𝑥 𝑘
3° Paso. Minimizamos la función objetivo
5𝑥
4 1502 + 𝑥2
− 1 = 0
= 0
(número crítico, candidato)
𝐶′ 𝑥 = 𝑘
5
4
𝑥
1502 + 𝑥2
− 1
5𝑥 = 4 1502 + 𝑥2
25𝑥2 = 16 1502 + 𝑥2 𝑥 = 200
⟹
⟹
𝐶 𝑥 = 𝑘
5
4
1502 + 𝑥2 + 300 − 𝑥 , 𝑘 > 0⟹
⟹
Verificamos si 𝑥 = 200 minimiza la función 𝐶
Signo de 
𝐶′ 𝑥 +−
𝑥 = 200
Luego:
𝑥 = 200 minimiza el costo.
4° Paso. Respuesta 
Para que el costo de instalación sea 
mínimo, el punto 𝑃 en tierra debe 
estar a 100 m del punto 𝑄. 
300
150 
𝑥 300 − 𝑥