BOLETIN SEMANA N18 - CICLO 2022-I

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UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO Ciclo 2022-I 
Semana Nº18 (Prohibida su reproducción y venta) 
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UNIVERSIDAD NACIONAL MAYOR DE SAN MARCOS 
Universidad del Perú, DECANA DE AMÉRICA 
CENTRO PREUNIVERSITARIO 
Semana N.º18 
Habilidad Verbal 
SEMANA 18 A 
LA CONTRARGUMENTACIÓN: EL TEXTO DIALÉCTICO 
Es aquel texto que expone dos posiciones contrapuestas sobre un tema específico, 
generándose un debate o controversia en torno al tema objeto de estudio o de reflexión. Un 
ejemplo de este tipo de texto podría ser aquel que expone una posición a favor y otra contraria 
sobre el aborto, el suicidio, la inmigración, el asilo a los sirios o, en nuestra realidad política, 
sobre el indulto a Fujimori; entre otros temas. 
Asimismo, el texto dialéctico puede ser presentado como un texto continuo o discontinuo. Será 
continuo cuando las posiciones enfrentadas se presentan ininterrumpidamente. En este caso, la 
tarea del estudiante es que sea capaz de comprender cabalmente los contenidos del debate en 
el texto y que reconozca las posiciones, la idea principal, los argumentos, el problema de fondo, 
el tema central, etc. 
Por otro lado, será discontinuo cuando el texto sea presentado en dos fragmentos. En este 
caso, se busca que el estudiante sea capaz de comprender cabalmente los contenidos de 
propuestas contrapuestas sobre un tema cualquiera. 
No obstante, las diferencias de forma, en ambos casos se permiten la lectura dinámica y la 
reconstrucción de la tensión implícita de los contenidos del texto. 
EJERCICIO A 
Nicolás Maquiavelo ha recibido mucha atención por sus escritos políticos, empero su 
contribución al ámbito militar ha quedado al margen de toda consideración, a pesar de haber 
realizado innovaciones tras sostener que al existir una correspondencia entre la política y lo 
militar, es indispensable la fundación de nuevos procedimientos para la guerra, los mismos que 
permitan la conservación del poder político. 
En ese sentido, el autor de El príncipe y El arte de la guerra pensaba que los cambios militares 
ocurren cuando las estructuras sociales se transforman: así, el debilitamiento de la organización 
militar medieval (propia de los caballeros) no ocurrió únicamente por el empleo del arma de 
fuego en las batallas, sino también por el ocaso del sistema feudal, volviendo insostenible la 
conservación de un ejército coyuntural y efímero. 
Es decir, el paso de una estructura militar temporal e improvisada a otra permanente y 
profesional, se explica por el ocaso del sistema feudal frente al advenimiento de la economía de 
mercado que ofrecía dinero como pago por los servicios militares prestados por soldados 
entrenados y agrupados en cuerpos de infantería y artillería, haciendo a las nuevas tendencias 
militares más ofensivas que las de antaño. 
En consecuencia, para Maquiavelo la guerra adquiere relevancia en la vida política, en tanto 
ofrece al hombre la oportunidad de lograr su destino en base a la paz, alcanzada mediante la 
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derrota absoluta del enemigo, lo que supone que la guerra deba ser decisiva y corta; esto a su 
vez implica que además del entrenamiento y la disciplina de los hombres, hay que establecer 
lazos de comunión y moral entre ellos (la idea de patriotismo), ya que las bases de una república 
son la justicia y las armas. 
 
Fuente: Extracto del primer capítulo del libro Creadores de la estrategia moderna. Desde 
Maquiavelo a la era nuclear, de Peter Paret. 
 
1. Centralmente, el autor del texto quiere demostrar que Maquiavelo 
 
 A) fue un pensador renacentista. 
 B) fue un humanista cosmopolita. 
 C) es un político muy influyente. 
 D) teorizó sobre aspectos militares. 
 
2. En esencia, la idea principal expuesta por el autor es que 
 
A) la crisis experimentada por el sistema feudal fue provocada por la introducción de la 
artillería en las batallas. 
B) las innovaciones militares impactan inexorablemente en la esfera política de las 
sociedades donde se aplican. 
C) el bienestar de una sociedad descansa en la victoria total sobre el adversario, 
garantizando el poder absoluto. 
D) para Maquiavelo los cambios militares deben ir a la par con los cambios estructurales 
de la sociedad. 
 
EJERCICIO B 
 
 El general Clausewitz en su famoso libro De la guerra sostiene como tesis central de su 
argumento que «la guerra es la continuación de la relación política con la aplicación de otros 
medios»; sin embargo, lejos de su apariencia de axioma, esta sentencia resulta limitada e 
incompleta. Es limitada e incompleta porque apunta únicamente a la parte racional y objetiva de 
la guerra, esto es, la guerra es presentada como una decisión fría y meticulosamente calculada, 
mediante la cual los Estados buscan asegurar sus intereses, dejando a un lado el otro rostro de 
la guerra: el humano e irracional, el subjetivo y pasional, sustentados en los impulsos más 
profundos de la naturaleza humana. 
De este modo, este otro rostro, humano y natural, caracterizado por los impulsos, queda fuera 
de la concepción elaborada por Clausewitz, quien prefiere más bien circunscribir la guerra a lo 
institucional y cultural, que conlleva a la represión de los impulsos mediante la monopolización 
y normalización de la violencia, lo que ciertamente no puede ser, ya que se le está despojando 
al hombre de esa violencia inherente a él. Es decir, concebir la guerra como continuación de la 
política implica pensar al hombre únicamente como un ser artificial (político), cuando también 
somos seres naturales. 
En ese sentido, lo correcto, por ser exacto, sería reconocer la dualidad del hombre en tanto ser 
cultural y ser natural, para así poder tener un entendimiento más cabal de lo que es la guerra; 
esto es, abordarlo en su dialéctica y no desdoblarlo como equivocadamente lo hizo Clausewitz. 
 
Fuente: Extracto del primer capítulo del libro Historia de la guerra, de John Keegan. 
 
 
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1. El argumento esgrimido por el autor en contra de la definición de Clausewitz es 
 
 A) las guerras son desencadenadas por razones psicológicas. 
 B) la guerra como desencadenante de las pasiones humanas. 
 C) la guerra tiene una doble dimensión que debe ser abordada. 
 D) Clausewitz peca de ingenuidad al considerar solo lo cultural. 
 
2. Medularmente, la idea principal del texto es 
 
 A) la guerra es una constante en la especie humana que data desde sus orígenes. 
 B) la dualidad del hombre permite comprender a cabalidad lo que es la guerra. 
 C) las motivaciones que empujan a la especie humana hacia la guerra son diversas. 
 D) la especie humana es tendenciosa a la violencia por su animalidad dialéctica. 
 
 
EJERCICIO C 
 
Texto A 
 No existe hoy un camino jurídico posible para indultar a Alberto Fujimori. La ley peruana 
ha prohibido el indulto (y la obtención de beneficios penitenciarios en la reducción de la pena 
efectiva) para varios delitos graves como el terrorismo, narcotráfico, asesinato agravado y el 
secuestro agravado. Esa ley fue aprobada en el parlamento del periodo presidencial de Alan 
García, con todos los votos fujimoristas. Alberto Fujimori ha sido condenado por los secuestros 
agravados de Samuel Dyer y Gustavo Gorriti. El presidente no puede indultarlo. Asimismo, la 
Comisión Internacional de Derechos Humanos (CIDH) ha establecido que en el caso Barrios 
Altos se produjo graves violaciones a los Derechos Humanos; en tal sentido, no cabe amnistía, 
ni mucho menos indulto. Las penas deben cumplirse. Por otro lado, la única excepción que 
podría admitirse a los dos enunciados anteriores es un indulto por razones humanitarias, no 
obstante, este particular caso en nuestro país está reglamentado y restringido a personas con 
enfermedad terminal o con grave enfermedad que las condiciones carcelarias agraven.Y como 
se ha podido comprobar se probó que el neoplasma que sufre Fujimori no es una enfermedad 
terminal y que las condiciones carcelarias a las que está recluido en la Base Naval son óptimas 
y únicas: tiene un establecimiento penal para su uso exclusivo y una atención médica 
permanente. 
Por lo tanto, no se puede indultar a Fujimori, los teóricos que sostienen que las facultades 
presidenciales son ilimitadas y no sujetas a las restricciones de la ley o de la reglamentación 
que el mismo Ejecutivo aprueba, deben regresar a la facultad de derecho. 
 
FUENTE: Texto editado del artículo de opinión de Rosa María Palacios «¿Indulto a Fujimori?», publicado 
el 24 de abril de 2017. http://rosamariapalacios.pe/2017/04/24/indulto-a-fujimori/. 
 
Texto B 
 
 La condena por lesa humanidad al ex presidente Fujimori fue un invento político y mediático 
que no existió en la sentencia. La acusación fue por delito de homicidio calificado y en el juicio 
no se debatió el tema de lesa humanidad, en ese sentido, la ausencia de acusación por lesa 
humanidad hacía imposible una condena por este delito internacional. Por otro lado, en el 
fundamento 711 de la parte considerativa de la sentencia, la sala reconoció que el principio de 
legalidad le impedía tipificar los hechos como delito de lesa humanidad. 
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 Hay dos tipos de indulto: ordinario y humanitario. El indulto ordinario es una potestad del 
presidente de perdonar la pena, lo que lo hace una gracia, y como tal, puede ser condicionada 
a cumplir ciertos requisitos, como no estar condenado por delito de secuestro por ejemplo. El 
indulto humanitario, por su parte, no es un perdón, es una exigencia para el Estado, es decir, se 
trata de un mecanismo del derecho de los derechos humanos para terminar con penas 
inhumanas o crueles. Su prohibición forma parte de la Constitución en resguardo de normas 
internacionales sobre derechos humanos que regulan la ejecución de la pena privativa de la 
libertad; en se sentido, la cárcel se vuelve inconstitucional cuando por enfermedad o ancianidad 
ya no solo quita la libertad ambulatoria, sino la salud y la vida. 
 En consecuencia, es incorrecto que solo a los enfermos terminales se les deba 
dar indulto humanitario, tal criterio responde a una equivocada comprensión del decreto 
supremo que crea la Comisión de Indultos y Derecho de Gracia por Razones Humanitarias y 
Conmutación de Penas. No puede un decreto supremo, por jerarquía normativa, limitar la 
potestad constitucional de indulto, menos siendo el indulto humanitario un mecanismo para que 
el Estado peruano cumpla con la prohibición de penas inhumanas o crueles. Finalmente, el 
presidente de la República no tiene razón jurídica para no otorgar el indulto humanitario 
a Alberto Fujimori, pero sí una exigencia constitucional de hacerlo. 
 
FUENTE: Texto editado del artículo de opinión de César Nakazaki «Indulto a Fujimori: ¿exigencia o 
perdón?», publicado el 25 de mayo de 2017. http://elcomercio.pe/opinion/colaboradores/exigencia-
perdon-cesar-nakazaki-425872. 
 
1. El tema central sobre el cual se contraponen sendos argumentos es 
 
 A) la sentencia en contra de Alberto Fujimori. 
 B) el indulto al expresidente Alberto Fujimori. 
 C) la legitimidad de la gracia presidencial. 
 D) la legalidad del indulto de Alberto Fujimori. 
 
2. El autor del texto B se esfuerza en señalar que 
 
 A) el indulto humanitario es un deber constitucional del presidente de la República. 
 B) la sentencia de Alberto Fujimori fue rechazada por la Comisión de Indultos. 
 C) el neoplasma a la lengua que sufre Fujimori es una razón para que sea indultado. 
 D) el indulto humanitario a favor de Fujimori es imposible debido a su condena. 
 
 
EJERCICIO D 
 
A pesar de que muchos defensores de un cierre de fronteras en Europa sostienen que darles 
entrada a los refugiados provocará más gastos para el continente, varios analistas indican las 
ventajas económicas que representan estas personas para Europa, de allí que países como 
Alemania se muestre tan favorable a acoger a miles de refugiados que llegan desde África, Asia 
y Medio Oriente. «Muchos de los que vienen ahora se convertirán en nuevos ciudadanos de 
nuestro país. Tenemos que hacer de la integración nuestra prioridad absoluta desde el 
principio», sostuvo la canciller de Alemania Ángela Merkel. 
En medio de la crisis de refugiados que se vive en Europa, Berlín se ha mostrado a favor del 
ofrecimiento de asilo y la repartición de cuotas de personas entre los países miembros del 
bloque. Las razones de esa postura pueden encontrarse en las palabras de la propia Merkel, 
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http://elcomercio.pe/opinion/colaboradores/exigencia-perdon-cesar-nakazaki-425872
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quien, aunque justificó su actitud bajo la premisa de la solidaridad, reconoció que si la acogida 
«se hace bien, entraña más oportunidades que riesgos». 
Asimismo, de acuerdo con el especialista Stephan Siebert, investigador en inmigración del 
Instituto de Población y Desarrollo de Berlín, en los últimos años hubo una discusión muy 
importante sobre las necesidades de mano de obra. Ahora Alemania se ha hecho la idea de que 
necesitamos inmigración. Si se combinan bien estas dos situaciones se puede crear una 
situación win-win (en la que todos ganan). Con una población alemana que se reduce, las 
empresas no pueden ocupar muchos trabajos y los trabajadores especializados son cada vez 
más extraños, en ese sentido, es un hecho que se pone en peligro la futura prosperidad del país 
germano, que podría salvarse con el asilo brindado a los sirios, que huyen de su país. 
Por otra parte, el rechazo se ha centrado, en particular, en los estados árabes del Consejo de 
Cooperación del Golfo (Arabia Saudita, Bahrain, Kuwait, Qatar, Omar y la UAE) que han 
mantenido cerradas sus puertas a los refugiados, no obstante, en medio de las críticas, es 
importante recordar que los estados del Golfo no se han mantenido impertérritos sin hacer 
nada ante los refugiados sirios; por el contrario, han sido muy generosos al inicio. Las 
recaudaciones caritativas individuales han alcanzado los cientos de miles de dólares y cuando 
les preguntaron a los trabajadores de empresas nacionales (por ejemplo, Qatar Petroleum) si 
querían separar parte de su sueldo cada mes para los refugiados, muchos lo hicieron. En 
suma, los estados del Golfo han llegado a proporcionar un total de US$900 millones a través de 
organizaciones caritativas y donaciones individuales. 
Sin embargo, a medida que ha avanzado la guerra en Siria, proporcionar recursos a los 
refugiados que viven en campos se ha convertido en una acción inadecuada, es decir, 
proporcionar alimentos y refugio a personas que viven en campos fue una solución para el 
problema de ayer, pero ciertamente no es sostenible. De esta manera se plantea el problema 
de fondo: buscar un lugar para vivir a cientos de miles de personas, lo que implica hacer a un 
lado el factor sentimental y colocar en su lugar razones de índole económica y políticas, que 
persiguen la estabilidad de dichos países. Asimismo, el influjo de miles de sirios al mismo tiempo 
podría amenazar un muy delicado equilibrio demográfico necesario para que los países del Golfo 
puedan funcionar. 
 
FUENTE: Textos editados de la nota de prensa «¿Por qué Alemania defiende la acogida de refugiados?», publicado 
el 18 de setiembre de 2015 en el portal de Telesur. https://www.telesurtv.net/news/Acoger-refugiados-podria-
afectar-realmente-la-economia-europea-20150910-0027.html. Y del artículo de opinión de Michael Stephens 
«Crisis de migrantes: las razones de los Estados del Golfo para no dejar entrar arefugiados sirios», publicado en 
el portal de la BBC, el 8 de setiembre de 2015. 
http://www.bbc.com/mundo/noticias/2015/09/150907_crisis_migrantes_estados_golfo_razones_ac. 
 
 
 
1. El tema central del texto dialéctico es 
 
 A) el asilo humanitario a los sirios en África y Europa. 
 B) políticas a favor y en contra de las migraciones. 
 C) el impacto en los países que brindan asilo a los sirios. 
 D) las causas de la inmigración de sirios por el orbe. 
 
 
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https://www.telesurtv.net/news/Acoger-refugiados-podria-afectar-realmente-la-economia-europea-20150910-0027.html
https://www.telesurtv.net/news/Acoger-refugiados-podria-afectar-realmente-la-economia-europea-20150910-0027.html
http://www.bbc.com/mundo/noticias/2015/09/150907_crisis_migrantes_estados_golfo_razones_ac
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2. A pesar de las discrepancias de punto de vista respecto al asilo que se le puede brindar a 
los sirios, ambas posturas del texto coinciden en 
 
 A) que son voces disidentes que no han alcanzado mayor eco en sus regiones. 
 B) expresar una idea compartida unánimemente por todos sus ciudadanos. 
 C) velar por sus intereses y hacer sostenible el bienestar de sus ciudadanos. 
 D) haber pensado en la situación nefasta que están atravesando cientos de sirios. 
 
 
COMPRENSIÓN DE LECTURA 
 
TEXTO 1 
 
 La verdad, en el sentido de hallazgo, se encuentra en el diálogo que debe existir entre el 
docente y su discente, hecho que supone que el aprendizaje es, más que un resultado, un 
proceso dinámico. Esto es, concebir el aprendizaje como proceso basado en el diálogo de estos 
dos actores implica dos cuestiones fundamentales que involucran a ambos por igual: un sentido 
alto de humildad por parte del profesor y una perspectiva distinta a la convencional por parte de 
su estudiante, lo que supone a su vez una actitud tolerante y respetuosa del primero, y el 
compromiso de asumir un rol activo que contribuya en la construcción del conocimiento por parte 
del segundo. 
 En ese sentido, apostar por el diálogo en el proceso educativo entre el docente y su 
estudiante, favorece a ambos por igual, en tanto hace posible que la relación entre ellos sea 
horizontal, permitiendo que este goce de libertades como el hecho de que pueda sorprenderse 
y pueda expresar con espontaneidad su curiosidad, la misma que debe ser percibida y aceptada 
por aquel. 
 Así, se sientan las bases de una educación democrática sustentada en el acto de proponer 
el rigor académico y el fomento de la libertad, es decir, la actitud dialogante del profesor no 
implica que este caiga en la improvisación por falta de propuestas para con sus estudiantes; por 
lo contrario, el profesor debe reflejar una actitud de respeto y tolerancia (actitud democrática) a 
la libertad de preguntar de sus estudiantes, como también una actitud reflexiva que le permita 
repensar su propuesta y refrescarla. 
 Caso contrario, estaría cayendo en la «castración de la curiosidad», o sea, en la falta del 
principio democrático del proceso de aprendizaje, advertido cuando el profesor proyecta 
autoritarismo dentro del aula cada vez que vuelve a su estudiante un oyente pasivo en un 
contexto donde el diálogo está ausente. 
 En ese sentido, una honesta práctica docente se basa, sobre todo, en la enseñanza a 
preguntar, es decir, en entrenar al estudiante en su curiosidad por saber, por aprender, por 
actuar, por crear: por vivir. En no atentar contra la existencia humana. 
 
FUENTE: Editado de la primera parte del libro Por una pedagogía de la pregunta. Crítica a una educación 
basada en respuestas a preguntas inexistentes, de Paulo Freire, publicado por Siglo XXI en 2013. 
 
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1. La mejor síntesis del texto es 
 
A) la actitud dialogante del profesor implica un cambio en el rol social del educador 
durante el proceso de aprendizaje, haciendo posible condiciones favorables al 
establecimiento de una educación más democrática que excluye el autoritarismo. 
B) el proceso de aprendizaje implica el planteamiento de preguntas de manera libre y 
espontánea, como también la capacidad de realizar pesquisas en busca de las 
respuestas, en un constante diálogo e intercambio de ideas con los profesores. 
C) la actitud dialogante de los docentes es la única forma de poder hallar la verdad en 
tanto esta se descubre mediante la formulación de preguntas por parte de los 
estudiantes y el monitoreo y guiado de los profesores en el proceso de aprendizaje. 
D) la actitud dialogante del profesor muestra que el aprendizaje es un proceso dinámico 
a la vez que fomenta un papel más activo por parte de su estudiante, quien se siente 
con libertad de poder expresarse dado que aprende en un contexto democrático. 
 
2. La expresión HONESTA PRÁCTICA DOCENTE connota una actitud 
 
 A) pedagógica. B) política. C) moral. D) existencial. 
 
 
3. De acuerdo con el texto, es compatible señalar que el diálogo que debe establecer el 
docente con su discente 
 
A) propicia un rol más activo por parte del educando en el proceso de aprendizaje. 
B) es una estrategia del educador para solapar su falta de preparación académica. 
C) es una didáctica de clases empleada para amenizar las enseñanzas en el aula. 
D) es mellado por la apatía de los estudiantes debido la incapacidad de asombrarse. 
 
4. De acuerdo con el texto, podemos inferir que la castración de la curiosidad 
 
A) hace imposible cualquier tipo de aprendizaje. 
B) es el resultado de castigos draconianos infligidos. 
C) tiene por víctimas generaciones de estudiantes. 
D) se da al imponerse el autoritarismo del docente. 
 
5. Si los profesores desdeñaran la actitud dialogante como práctica docente, posiblemente 
 
A) la calidad de la educación en países como el Perú se vería muy afectada. 
B) sería inadmisible poder concebir el aprendizaje como un proceso dinámico. 
C) los estudiantes protestarían por la deficiente educación que se les imparte. 
D) los profesores podrían evidenciar plausibles manifestaciones de erudición. 
 
 
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SEMANA 14 B 
 
TEXTO 1 
 
 Entre 1700 y 1708 no arribaron a América ningún navío de la armada hispana. A dichos 
años se les considera como los albores del intenso y sistemático contrabando comercial y los 
de esplendor del comercio interregional. Este tráfico desarrollado en el Pacífico se centraba en 
el puerto del Callao, el punto de arranque del comercio sudamericano; es decir, todos los puertos 
del Pacífico, desde Centro América hasta los confines de Chile, estaban articulados al puerto 
chalaco, ya sea para proveerse o enviar mercaderías. En el siguiente cuadro, elaborado por 
Moreyra y Paz-Soldán, se aprecia que entre 1700 y 1704, del Callao zarparon 241 navíos con 
destinos hacia el sur y el norte del continente. 
 
Puerto de destino (número 
de buques) 
1701 1702 1703 1704 Total 
Valparaíso 16 13 11 16 56 
Panamá 10 6 8 11 35 
Guayaquil 6 4 7 6 23 
Concepción 11 6 4 8 29 
Pisco 13 7 7 0 27 
Huacho 5 2 2 0 9 
Realejo y Sonsonate 3 1 4 2 10 
Chiloé 2 1 0 0 3 
Valdivia 1 1 1 1 4 
Coquimbo 1 3 2 2 8 
Arica 2 2 5 1 10 
Nazca 3 1 0 0 4 
Casma 1 0 0 1 2 
Guañape 1 0 0 0 1 
Saña 1 1 1 0 3 
Trujillo 2 6 3 2 13 
Chancay 0 1 0 0 1 
A. Francia 0 0 0 3 3 
Totales 78 55 55 53 241 
 
A los puertos de Chile se remitían artículos europeos como ropa, azúcar y pabilo; de los mismos 
se recibía trigo, sebo y esclavos (estos entraban por Buenos Aires). A Guayaquil se mandaban 
licores, harinas y azúcar; mientras se recibía de ellos cacao, madera, cascarilla y suelas. A 
Panamá se embarcaba harina, azúcar, ropa y pabilo; y se recibía cacao y maderas. 
Pero esto es solo una cara de la moneda, la otra es el contrabando,tolerado en parte por las 
autoridades virreinales. Mediante Real Cédula de 1701, el Rey de España consiente que navíos 
extranjeros ingresen a puertos coloniales, afín de proveerse de lo necesario para que puedan 
continuar su derrotero. Esto fue aprovechado inescrupulosamente por muchas embarcaciones 
extranjeras que, valiéndose de la regia licencia, comercializaban sus mercaderías afectando a 
los comerciantes de Lima. Ejemplo de ello son los navíos con bandera francesa «Saint Sprit», 
«Saint Joseph» y «Barón de Breteuil», que en 1704 fondearon en el Callao munidos de la 
licencia del monarca español de la dinastía Borbón. 
Fragmento del segundo capítulo del libro Historia social y económica de la colonia, de Virgilio Roel Pineda, 
publicado por G. Herrera Editores en 1985. 
https://www.nytimes.com/es/2017/04/29/matar-periodistas-exicoveracruz/?mcid=recirc&subid=cur 
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https://www.nytimes.com/es/2017/04/29/matar-periodistas-exicoveracruz/?mcid=recirc&subid=cur
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1. El tema central del texto es 
 
A) las razones del debilitamiento del monopolio comercial con la que la metrópoli española 
coaccionaba a sus colonias americanas en el Pacífico. 
B) las causas del comercio interregional y el contrabando comercial en las colonias 
americanas de la monarquía española a inicios del siglo XVIII. 
C) los embates mercantiles de contrabandistas franceses que operaban impunemente en 
los puertos de las colonias españolas durante el virreinato. 
D) la trascendencia del puerto del Callao en el siglo XVIII para el comercio interregional y 
metropolitano, y los desafíos que tuvo que encarar. 
 
2. El sinónimo contextual del término CONSIENTE es 
 
 A) autoriza. B) tolera. C) acata. D) agracia. 
 
3. En relación a los puertos de destino de los navíos que zarparon del Callao, es incompatible 
señalar que 
 
A) el de Valparaíso resultó ser el más importante entre el resto de todos los puertos. 
B) en los cuatro años registrados, el de Pisco se ubica en el 4to lugar de arribos. 
C) en 1703, seis de ellos no registraron actividad comercial con el puerto chalaco. 
D) el de Chancay se ubica en el último lugar de todos por registrar tan solo un arribo. 
 
4. De lo dicho sobre la Real Cédula de 1701, firmada por el Rey de España, podemos deducir 
que 
 
A) expresa un espíritu humanitario considerando lo arduo de la navegación. 
B) recibió insoslayables críticas por parte de los comerciantes de las colonias. 
C) incitó al Tribunal del Consulado a castigar impíamente a los contrabandistas. 
D) el monopolio comercial español se vio de pronto amainado con los borbones. 
 
5. Si el Rey de España no hubiera firmado la Real Cédula de 1701, posiblemente 
 
A) la creación del virreinato del Río de la Plata no hubiera tenido razón de ser. 
B) hubiera sido defenestrado por el rey de Francia por traición a la casa dinástica. 
C) el comercio interregional sería la principal característica comercial en esos años. 
D) los reinos rivales de España recurrirían a los servicios de piratas y corsarios. 
 
 
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TEXTO 2 
 
 El efecto lingüístico producido por la llegada de un nuevo medio de comunicación es doble: 
pone en marcha cambios en el carácter formal de las lenguas que lo utilizan y les ofrece nuevas 
oportunidades. Es el primero de ambos el que ha atraído la mayor parte de la publicidad relativa 
al tipo de lenguaje utilizado en Internet y en la tecnología afín, como los teléfonos móviles. 
Algunos observadores se han mostrado horrorizados por la falta de respeto a las reglas 
tradicionales del lenguaje escrito, que consideran una muestra inquietante del deterioro de los 
valores. A menudo se cita la manera de escribir los mensajes como un problema específico; se 
dice que los niños del mañana no serán capaces de escribir correctamente. No obstante, el 
hecho de que los jóvenes reduzcan las palabras utilizando técnicas jeroglíficas (salu2, d+), 
palabras formadas por iniciales (tq por «te quiero») o una ortografía diferente (bsos, klor) resulta 
escasamente novedoso o trascendente. En inglés las palabras formadas por iniciales se han 
utilizado desde hace generaciones (asap de «as soon as possible», fyi de «for your 
information»), y hace tiempo que existen libros de pasatiempos con jeroglíficos. La lista más 
exhaustiva de abreviaturas utilizadas en mensajes de texto no contiene más de unos cuantos 
cientos de formas, y pocas de ellas se emplean habitualmente. Al ser una respuesta práctica a 
la limitación de 160 caracteres de los mensajes económicos enviados entre teléfonos móviles, 
existen pocas razones para su uso fuera de este medio. Quedan despojados de su función de 
identidad grupal cuando aparecen fuera de la tecnología en la que nacieron. Por supuesto que 
debemos vigilar si los chicos empiezan a usar sus abreviaturas en lugares en los que no tiene 
sentido hacerlo, como en los trabajos escolares. Pero en eso consiste la labor del docente. Uno 
de los principios de la enseñanza moderna de lenguas, ya se trate de la materna o de una 
extranjera, es inculcar a los niños el sentido de la responsabilidad y de la adecuación lingüística. 
Y los niños deben aprender, si es que han perdido la intuición para saberlo por sí solos, que las 
abreviaturas utilizadas en los mensajes de texto cumplen su función cuando el espacio es 
ajustado y la rapidez es importante, pero no en otros contextos. 
 Lo mismo puede decirse de las variaciones que tanto adultos como niños introducen en la 
escritura de sus correos electrónicos. Un buen número de personas utiliza un sistema 
extremadamente reducido, sin prácticamente ningún contraste tipográfico. Tres son sus 
principales rasgos. La importancia concedida al uso de mayúsculas varía mucho; como, en su 
mayor parte, Internet es insensible a su utilización, se ha desarrollado un uso aleatorio de las 
mismas o su supresión absoluta. Hay una fuerte tendencia a la utilización de minúsculas en 
todas partes. Tanto en e-mails como en chats o mundos virtuales, triunfa el principio de 
«economía de pulsaciones» y pueden encontrarse oraciones incompletas sin ninguna 
mayúscula que indique el comienzo de la frase o los nombres propios. Del mismo modo, la 
puntuación también tiende al minimalismo está completamente ausente de algunos e-mails o 
conversaciones de chats. También en este caso se aprecian muchas variaciones en función de 
la personalidad: algunos usuarios del correo electrónico se muestran escrupulosos a la hora de 
mantener la puntuación tradicional, otros la utilizan cuando es necesario para evitar la 
ambigüedad, y algunos otros no la utilizan en absoluto, ya sea como consecuencia de la 
velocidad del mecanografiado o porque no son conscientes de la ambigüedad que se puede 
producir como resultado. El tercer rasgo es la ortografía diferente. Cuando se utiliza el inglés, la 
ortografía americana es más empleada que la británica, en parte por razones históricas (los 
orígenes de Internet) y en parte por razones de economía, ya que la mayoría de las palabras 
que cuentan con dos formas diferentes, en inglés británico y en inglés americano, poseen un 
carácter menos en esta última variedad (color vs colour, program vs programme, etc.). El 
desprecio por las reglas ortográficas, muy penalizado en la escritura tradicional, se permite sin 
problemas en el contexto de una conversación. Como ya se mencionó, los errores ortográficos 
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en un correo electrónico se atribuirán a la poca destreza mecanográfica y no (aunque también 
podría ser) a una educación deficiente. 
 
1. ¿Cómo se entiende el acrónimo inglés ASAP? 
 
A) Como si fuese algo posible 
B) Tanto mejor si se pudiera 
C) Si es posible,es mejor 
D) Lo más pronto posible 
 
2. ¿Cuál es el tema central del texto? 
 
A) Las versátiles técnicas jeroglíficas usadas en Internet 
B) Internet, el chat, el e-mail y su importancia en la vida 
C) Consecuencias del tipo de lenguaje usado en Internet 
D) La importancia de las abreviaturas en las computadoras 
 
3. En virtud de lo que señala el autor, un usuario de Internet preferirá escribir 
 
A) etcétera y no la forma etc. B) postgrado y no posgrado. 
C) atmósfera y no atmosfera. D) periodo y no período. 
 
4. En Internet se prefiere el empleo de los vocablos americanos por 
 
A) las enormes variaciones en la personalidad. 
B) el criterio de la economía de las pulsaciones. 
C) la tendencia al minimalismo en la puntuación. 
D) el deseo de eliminar todo tipo de ambigüedad. 
 
5. El empleo de un emoticón para representar un estado de ánimo 
 
A) sirve para reemplazar a toda forma lingüística en el mundo virtual de Internet. 
B) resalta que la cibercharla y los mensajes electrónicos están libres de emotividad. 
C) demuestra que la puntuación tradicional es un recurso innecesario para Internet. 
D) revela la forma práctica en que Internet satisface sus necesidades comunicativas. 
 
 
TEXTO 1A 
 
La perspectiva egocéntrica es el enfoque que posibilita el surgimiento y sustenta ideas como las 
del lenguaje privado al dar fundamento a perspectivas filosóficas (cartesianismo, empirismo, 
positivismo lógico) que albergan, de alguna u otra forma, la noción de lo lingüísticamente 
privado. Su ejemplificación paradigmática es la doctrina de la privacidad de las sensaciones. 
Según esta perspectiva, el significado de las palabras se puede conocer únicamente vía la 
experiencia personal (propio caso). El hablante puede lograr aquel conocimiento debido a que 
conoce el objeto al cual la palabra hace referencia, que es aquello que le otorga su significado. 
Este objeto, en el caso de la doctrina de la privacidad de las sensaciones, es la experiencia 
privada, la sensación que, gracias a la introspección, el hablante conoce directamente. 
 Por otro lado, para el enfoque egocéntrico las sensaciones son objetos privados. Esta 
privacidad se manifiesta de una doble manera: como objetos ontológicamente privados y como 
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objetos epistémicamente privados. Son ontológicamente privados en el sentido en que su 
posesión es privada, es decir, cada cual posee sus propias sensaciones de las cuales otro no 
puede ser participe o dueño. Asimismo, son epistémicamente privados porque tal privacidad 
estriba en el carácter privado de su conocimiento. Solo su poseedor puede conocerlas. Esta es 
establecida por el filósofo egocéntrico sobre la base de dos hechos: a) únicamente yo puedo 
saber si tengo verdaderamente determinada sensación y b) Los otros no pueden saber si yo 
tengo verdaderamente determinada sensación. 
 
Robles, R. (2014). «Wittgenstein y Ayer: lenguaje privado y memoria» en Mutatis Mutandis: 
Revista Internacional de Filosofía, n.o 3, pp. 29-47. Santiago: Universidad de Chile (Texto 
editado). 
 
 
TEXTO 1B 
 
En la tradición filosófica se ha mantenido la idea de que, si algo pertenece al ámbito privado de 
una persona, es inaccesible para cualquier otra, esto es, solo esa persona tiene conocimiento 
de aquello que pertenece a su ámbito privado. Dicho de otro modo, si una sensación pertenece 
al ámbito privado de X, únicamente X sabe si le está aconteciendo dicha sensación en un 
determinado momento. Wittgenstein se opone radicalmente a esto; por eso realiza una crítica a 
la idea de que solo el propietario de las sensaciones sabe que tiene una determinada sensación. 
Al respecto él dice: usar el concepto saber en el contexto del ámbito privado «[…] es en cierto 
modo falso […]». Es falso porque no hay respuesta a la pregunta de qué sé cuando digo, por 
ejemplo, «sé que tengo dolor». Yo no sé nada cuando tengo dolor, yo sólo lo tengo. Por el 
contrario, sí hay respuesta a la pregunta de qué se sabe en juegos de lenguaje como los 
siguientes: a un profesor que ha enseñado a leer a su alumno y que ha visto grandes progresos 
en él, se le pregunta ¿qué sabe su alumno? El profesor contestará: «¡pues leer!». Pero, 
nuevamente, ¿hay respuesta a la pregunta acerca de qué se sabe cuando se dice, por ejemplo 
«sé que tengo dolor»? […] No hay respuesta a esta pregunta, pues las sensaciones no se saben, 
se tienen. 
 
Otárola, E. (2002). «Wittgenstein vs. Ayer. Acerca del lenguaje privado» en Saga: Revista de 
Estudiantes de Filosofía. n.o 6, pp. 55-63. Bogotá: Universidad Nacional de Colombia (Texto 
editado). 
 
1. Podemos establecer que ambos textos plantean puntos contrarios con respecto a 
 
A) si una persona puede saber que tiene una determinada sensación cuando esta la 
experimenta únicamente en el ámbito privado. 
B) los sólidos planteamientos experienciales de Wittgenstein y los defensores de la 
perspectiva egocéntrica en el lenguaje privado. 
C) si es posible elaborar aproximaciones acerca de la experiencia no sensorial dentro de 
la doctrina de la privacidad de las sensaciones. 
D) la incapacidad que pueden tener los humanos para sentir dolor o experimentar 
sensaciones en condiciones sensoriales específicas. 
 
 
 
 
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2. En el Texto 1A, el término ALBERGAN se puede entender como ________mientras que 
en el Texto 1B, GRANDES es opuesto a ________. 
 
A) guarecen; grandiosos 
B) asilan; humildes 
C) alojan; insignificantes 
D) aposentan; diminutos 
 
3. Es válido inferir de la postura del Texto 1B que para Wittgenstein 
 
A) solo una persona en el ámbito privado es capaz de sentir verdaderamente algo. 
B) uno puede saber, por ejemplo, si alguien ha aprendido a manejar una bicicleta. 
C) el conocimiento de una sensación como el dolor proviene del ámbito personal. 
D) es imposible aprender a saber cómo nos sentimos, salvo ciertas excepciones. 
 
4. No se condice con la posición del Texto 1A que según la perspectiva egocéntrica 
 
A) cada individuo posee sensaciones determinadas que nadie más puede poseer. 
B) podemos conocer el significado de las palabras solo mediante el propio caso. 
C) solo yo soy capaz de saber que, en efecto, tengo una sensación determinada. 
D) la postura de un lenguaje privado imposibilita la privacidad de las sensaciones. 
 
5. Si se demostrara que el cerebro humano es incapaz de procesar conscientemente la 
capacidad de sentir dolor o reflexionar acerca de esta sensación, entonces 
 
A) la postura del texto 1B se vería fortalecida ante tal hallazgo. 
B) quedarían sepultadas las posturas cartesianas y empiristas. 
C) se refrendaría la doctrina de la privacidad de sensaciones. 
D) ello llevaría a Wittgenstein a replantear su tesis esencial. 
 
 
SECCIÓN C 
 
READING 1 
 
Etymologically, “procrastination” is derived from the Latin verb procrastinare — to put off until 
tomorrow. But it’s more than just voluntarily delaying. Procrastination is also derived from the 
ancient Greek word akrasia — doing something against our better judgment. 
When we procrastinate, we’re not only aware that we’re avoiding the task in question, but also 
that doing so is probably a bad idea. And yet, we do it anyway. 
“This is why we say that procrastination is essentially irrational,” said Dr. Fuschia Sirois, professor 
of psychology gat the University of Sheffield. “It doesn’t make sense to do something you know 
is going to have negative consequences.” 
She added: “People engage in this irrational cycle of chronic procrastination because of an 
inability to manage negative moods around a task.” 
 
Lieberman, Ch. (2019). «Why You Procastinate». In The New York Times. Retrieved from 
<https://www.nytimes.com/2019/03/25/smarter-living/why-you-procrastinate-it-has-nothing-to-
do-with-self-control.html> 
 
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1. What is the topic of the reading? 
 
 A) The psychology behind procrastination 
 B) The etymological origin of procrastination 
 C) The irrational essence of procrastination 
 D) The causes of procrastination in youth 
 
2. The word TASK connotes 
 
 A) instruction. B) obligation. C) permission. D) project. 
 
3. It is incompatible to affirm that procrastination is 
 
 A) a process of involuntary postponement of certain tasks. 
 B) related to the inability to manage negative mood states. 
 C) comes from a word that means ‘to put off until tomorrow’. 
 D) the act of delaying something requiring urgent attention. 
 
4. It is possible to infer that procrastinators use ____________ to postpone important tasks. 
 
 A) a strategy B) a defense C) an protection D) an excuse 
 
5. If a student decided to clean his house, instead of doing a very important pending task, 
 
 A) it would clearly be an act of procrastination. 
 B) he would be ordering his priorities properly. 
 C) he will finish his homework on time anyway. 
 D) his decision will not have negative effects. 
 
 
Passage 2 
 
Nanotechnology is a relatively new branch of science which involves manipulation of properties 
of matter at nanoscale. The premise of nanotechnology lies in the fact that the properties of an 
element or compound can be manipulated easily when it exists in its nanoform (diameter of 1-
100nm). As nanotechnology is a rising field, there is a lot of interest amongst the scholars 
regarding the subject. For this reason, Nanotechnology is a journal dedicated to research in this 
field. This is a peer-reviewed scientific journal published by IOP Publishing. It covers research in 
all areas of nanotechnology. Since 2009, the Editor-in-Chief has been Mark Reed of Yale 
University, USA. In this way, Nanotechnology is a huge corpus of nanotechnology related 
information; here it is highlighted cutting edge developments in nanotechnology and its 
applications such as micro-fabrication, nano-medicine, nano-electronics, molecular biology and 
nano-engineering. Hence, Nanotechnology caters to this new field of research and engender 
scientific curiosity amongst their readers. 
 
Wang, E., & Wang, A. (12th June, 2018). «Nanoparticles and their applications in cell and molecular 
biology». From https://www.ncbi.nlm.nih.gov/pmc/articles/PMC3865110/ 
 
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VOCABULARY 
 
a lot of: expr. un montón de, muchos 
amongst: prep. entre, en el medio de, dentro de 
branch: n. rama, bifurcación; v. (-ed) bifurcar, separar 
cater to: v. (-ed) complacer, atender, satisfacer 
compound: n. compuesto, mezcla, recinto; adj. Complejo, compuesto; v. (-ed) agravar, calcular 
corpus: n. corpus, recopilatorio, cadáver 
cover: v. (-ed) cubrir, abarcar, incluir 
cut: v. (cut, cut) cortar, rebanar, reducer, hacer una incision; n. incision, corte, tajo 
development: n. desarrollo, progreso, acontecimiento 
easily: adv. fácilmente, con facilidad, sin dudas, indudablemente, 
edge: n. borde, canto, filo, acantilado; agudeza; v. (-ed) alejarse lentamente, moverse 
gradualmente 
engender: v. (-ed) engendrar, generar, procrear, ocasionar 
fact: n. hecho, realidad, información 
field: n. campo, área, terreno; adj. de campo 
hence: adv. así que, por tanto, por consiguiente, de ahí, a partir de 
here: adv. aquí, acá, en este caso 
highlight: v. (-ed) resaltar, recalcar, seleccionar; n. lo más destacado, parte más memorable 
huge: adj. enorme, gigante, importante 
involve: v. (-ed) suponer, significar, implicar 
journal: n. revista, semanario, periódico, diario 
lie: v. (-ed) mentir; v. (lay, lain) tumbarse, echarse, extenderse, radicar, consistir; n. mentira 
matter: n. material, material, asunto, tema, problema 
new: adj. nuevo(a), 
peer-reviewed: revisado por pares 
premise: n. premise, suposición, suposición, argumento 
reader: n. lector 
reason: n. razón, motive, causa 
regard: v. observar, contemplar, 
relate: v. (-ed) relacionar, relatar, contar 
relatively: adv. relativamente 
research: n. investigación; v. (-ed) investigar 
rising field: campo ascendente 
scholar: n. académico, erudito, estudiante 
since: prep. desde; adv. desde entonces; conj. desde que, porque, dado que, ya que 
subject: n. tema, materia, asignatura, sujeto 
such as: loc. adv. tal como 
way: n. forma, manera, modo, método, camino, dirección, vía 
 
 
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1. What is the subject? 
 
A) The science of nanotechnology 
B) The properties of nanotechnology 
C) The journal called Nanotechnology 
D) The relatively new branch of science 
 
2. The phrase NEW BRANCH OF SCIENCE implies 
 
A) a difference between nanotechnology and other sciences. 
B) nanotechnology is a new field of knowledge to investigate. 
C) science is, after all, the explanation of the nature of matter. 
D) the notion of nanotechnology is revolutionary only in medicine. 
 
3. It can be inferred from the reading that the main idea of the passage is 
 
A) nanotechnology implies manipulation of properties of matter at nanoscale. 
B) the revolution of nanotechnology means the progress of science in general. 
C) the study of nanotechnology will solve many modern problems in the society. 
D) Nanotechnology is a huge collection of nanotechnology related information. 
 
4. According to the passage, the word HIGHLIGHT is closest in meaning to 
 
 A) convey. B) progress. C) emphasize. D) motivate. 
 
5. If the scientists had not been discovered the nanoform until now, then 
 
A) scientific journals could not have existed until now. 
B) the manipulation of matter would be impossible now. 
C) the scientific revolution would never have existed. 
D) nanomedicine could not have been conceived yet. 
 
 
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Inicio
CP
CP>250
DE=CPx0 15, DE=CPx0 08,
PF=CP-DE
PF,DE
FIN
Si No
¿Eres 
cliente 
frecuente?
Si No
PF=CP-DE-10%CP
Habilidad Lógico Matemática 
 
EJERCICIOS 
1. Una tienda de ropa tiene una promoción de verano: todas las prendas tendrán un 
descuento, además si eres cliente frecuente en dicha tienda, tienes un 10% de descuento 
adicional; el descuento depende del precio de la prenda. Brenda compró 2 prendas una de S/ 
200 y otra de S/320, mientras que Ana compro 1 prenda de S/ 280. Si cada una pagó lo que 
compró por separado, el descuento y el precio final a pagar en dicha tienda se obtiene usando 
el siguiente algoritmo. ¿Cuánto pagarán entre las dos, si Ana es cliente frecuente? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 A) S/ 694 B) S/ 636 C) S/ 666 D) S/ 662 
 
2. Las habitaciones de la casa de Romel están enumeradas con números enteros positivos, 
tal como muestra la figura. El hijo de Romel entra por la puerta principal, indica con la 
flecha, pasa por algunas habitaciones y sale de la casa por una de las puertas A, B, C, D 
o E. Si los números de las habitaciones por las que pasa son siempre crecientes, ¿por cuál 
puerta sale de la casa? 
A) C 
B) D 
C) A 
D) B 
Descripción Tipo
Costo de la prenda en soles Real
Descuento que se obtendrá en soles Real
Precio final en soles Real
Nombre de la variable
CP
DE
PF
4 3 1 2 4
6
9
12
9
9
9 9
6 5 10
65 7 8
85
12 14 6 10
A B C D E
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3. María, conversando con Juana, le comenta lo siguiente: «Ayer jugué a las cartas, pero no 
te voy a decir si perdí o gané dinero. Lo tienes que averiguar con las pistas que te doy: 
 
• Mis ganancias o pérdidas se obtienen sumando los números de las siete cartas. 
• Una vez colocadosen fila, cada número de las cartas y su simétrico respecto al centro 
suman 9. 
• El número de la segunda carta es el número de la primera carta menos uno, mientras 
que el número de la tercera carta es el número de la segunda carta menos uno. 
• El producto del número de la primera carta por el número de la tercera carta es 24. 
• El número de la cuarta carta es igual a la suma del número de la segunda carta más el 
número de la tercera carta». 
María le pide a Juana que le diga si ganó o perdió dinero y cuánto dinero fue. ¿Cuál fue la 
respuesta verdadera de Juana? 
 
 A) Ganó; S/ 36 B) Perdió; S/ 4 C) Ganó; S/ 24 D) Perdió; S/ 36 
 
4. En una fiesta patronal, se encuentran presentes: 1 abuelo, 2 abuelas, 3 padres, 3 madres, 
4 hijos, 2 hijas, 2 tíos, 1 tia,1 cuñado, 1 cuñada, 2 nietos,1 nieta, 1 yerno, 1 nuera, 2 parejas 
de esposos, 1 suegro, 2 suegras, 3 hermanos, 1 hermana, 2 sobrinos y 1 sobrina. Si el 
precio de la entrada por persona a la fiesta costó S/ 15, ¿cuál es el gasto mínimo que 
realizó la familia por las entradas? 
 
 A) S/ 105 B) S/ 120 C) S/ 150 D) S/ 135 
 
5. Los hermanos Fernando y Mathías juegan a colocar monedas en los casilleros de un 
tablero de ajedrez, una moneda por casilla; si en cada jugada se debe colocar 1, 2 o 3 
monedas y gana el juego quien coloque la última moneda en el tablero, ¿cuál de ellos 
ganará el juego siguiendo una adecuada estrategia? 
 
 A) El primero en jugar 
 B) El segundo en jugar 
 C) Se produce un empate 
 D) Cualquiera de ellos 
 
6. Se define el operador @ en los números reales, mediante la regla: 
𝑎@𝑏 = (𝑎 − 1)(𝑏+1). 
Calcule el valor de n de la ecuación: 
(5@𝑛)@1 = (9@𝑛). 
 
 A) 1 B) 2 C) -2 D) -1 
 
 
 
 
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7. Se tiene el siguiente patrón alfabético: 
 ABBCCCDDDD..., 
donde A ocupa un lugar, B ocupa dos lugares, C ocupa tres lugares, D ocupa cuatro 
lugares. Si el patrón continúa, según la secuencia indicada, ¿en qué lugar estará la novena 
M? 
 
A) Septuagésimo octavo 
B) Septuagésimo séptimo 
C) Octogésimo séptimo 
D) Octogésimo octavo 
 
8. En la figura mostrada, calcule el número de triángulos y el número de cuadriláteros que 
poseen al menos un asterisco (*) en su interior. ¿Cuál es el promedio aritmético de estas 
dos cantidades? 
 
 
 A) 63 B) 48 C) 52 D) 50 
 
 
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EJERCICIOS PROPUESTOS 
1. Karla ingresa el número N = 21 en el siguiente diagrama de flujo y quiere saber el número 
de veces que se imprimió Domingo. 
 
 A) 4 B) 2 C) 1 D) 3 
 
2. Una liebre y una tortuga compitieron en una carrera de 20 km a lo largo de un camino recto. 
La liebre, que es diez veces más rápida que la tortuga, comenzó en dirección perpendicular 
a la ruta. Después de un rato se dio cuenta de su error y corrió directamente en línea recta 
al punto final, llegando a la meta al mismo tiempo que la tortuga. ¿Cuál es la distancia 
recorrida entre el punto donde la liebre se percató de su error y el punto final? 
 A) 105 km B) 100 km C) 101 km D) 95 km 
3. El matrimonio Ana y Benito solo tuvo tres hijos: Carlos, Doris y Elena; además Ana y Benito 
son padres de la madre de Félix, quien es hijo de la hermana de Doris. Si Gelma es la 
hermana de Félix y su bisabuelo materno se llama Martín, quien es hijo único y tiene un 
solo hijo, ¿quién es la madre de la madre de la única bisnieta de Martín? 
 
 A) Ana B) Gelma C) Doris D) Elena 
4. Un padre vive con sus cuatro hijos. Ellos siempre deciden todos los asuntos por votación, 
y cada miembro de la familia tiene tantos votos como su edad. El padre tiene 42 años y los 
hijos tienen 13, 10, 8 y 5 años, por lo que el padre siempre gana. Si todos cumplen años 
el mismo día, ¿cuántos años pasarán, como mínimo, para que los hijos puedan ganar una 
votación si el padre vota en contra? 
 A) 4 B) 2 C) 5 D) 3 
 
 
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5. Colocamos doce fichas, cada ficha es de color blanca por una cara y negra por la otra, 
como se ve en la figura. Si una jugada consiste en voltear 3 fichas, ¿cuál es el menor 
número de jugadas para que todas las fichas muestren el mismo color? 
 
 
 A) 3 B) 5 C) 6 D) 4 
 
6. En el conjunto de los números reales, se define el operador matemático <> como sigue: 
 
x y
x y
x + y + 2
x + y + 2
xy <> yx = 
x
. 
 Halle el valor de 3 <> 3. 
 
 A) 30 B)15 C)27 D)36 
 
7. En la figura mostrada, halle el número total de cuadriláteros que se pueda contar. 
 
 
 
 A) 18 B) 19 C) 20 D) 21 
 
8. En la siguiente cuadricula, determine el número de cuadriláteros que no son cuadrados. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 A) 1848 B) 1248 C) 1596 D) 1356 
 
 
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Aritmética 
 
TEORÍA DE PROBABILIDAD 
 
La Teoría de Probabilidad tiene como objetivo el estudio de las leyes que gobiernan los 
fenómenos aleatorios, es decir, trata con las propiedades de los fenómenos aleatorios que 
dependen esencialmente de la noción de aleatoriedad y no de otros aspectos del fenómeno 
considerado. 
 
Caracterización de un fenómeno aleatorio 
 
Tiene los siguientes rasgos: 
 
1. Se podrían repetir indefinidamente las observaciones bajo condiciones esencialmente 
invariables. 
 
2. Se es capaz de describir todos los posibles resultados de una observación, aun cuando no 
sea posible establecer lo que será un resultado particular. 
 
3. Los resultados individuales de las observaciones repetidas pueden ocurrir de manera 
accidental. 
 
Espacio Muestral : Es el conjunto de todos los resultados posibles que se pueden obtener 
de una sola observación realizada, o más brevemente del experimento aleatorio. 
 
Evento o Suceso (A): Es cualquier subconjunto del espacio muestral. 
 
Probabilidades de sucesos en espacios muestrales finitos equiprobables 
 
Sea 
 1 2, ,...,   = n el espacio muestral asociado a un experimento aleatorio, tal que todos los 
sucesos elementales 
i tienen la misma probabilidad de ocurrir, entonces  es un espacio 
muestral finito equiprobable. 
 
 Sea A    
Número de elementos del suceso A n(A)
P(A)
n( )Número de elementos del espacio muestral
  = =
  
 
 
 
 
 
Ejemplo: En una facultad de Matemática hay cinco 5 docentes varones y seis docentes 
mujeres como candidatos para formar una comisión. Si se elige al azar cuatro personas, ¿cuál 
es la probabilidad de formar con ellas una comisión mixta? 
 
(Ω)
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Solución: 
 
A: “Se forma una comisión mixta de 4 miembros” 
 
( )
+ +
= =
5 6 5 6 5 6
1 3 2 2 3 1
11
4
C xC C xC C xC 31
P A
C 33
 
 
Propiedades 
1. 0 P(A) 1 
 
C2. P(A) P(A ) 1,+ = donde 
CA es el sucesor contrario al suceso A. 
3. P(A B) P(A) P(B) P(A B),= + −
 donde A y B son sucesos cualesquiera. 
 
 
Sucesos Mutuamente Excluyentes 
Dos sucesos A y B son mutuamente excluyentes si no pueden ocurrir ambos simultáneamente. 
A B P(A B) 0 P(AUB) P(A) P(B)=  → = → = +
 
 
Ejemplo: La distribución de tipos de sangre de los integrantes de raza blanca de una 
determinada ciudad es aproximadamente la siguiente: 
 
Tipo de sangre A B AB O 
Porcentaje 40% 11% 4% 45% 
 
Tras un accidente automovilístico, un individuo de raza blanca es conducido de emergencia a 
una clínica. Si se le hace un análisis de sangre para establecer el grupo al que pertenece, ¿cuál 
es la probabilidad de que sea del tipo A, o del tipo B o del tipo AB? 
 
Solución 
Tenemos eventos mutuamente excluyentes 
 
( ) ( ) ( ) ( ) 0,40 0,11 0,04 0,55P A BAB P A P B P AB  = + + = + + = 
 
Probabilidad Condicional 
Sean A y B dos sucesos de un mismo espacio muestral  , donde P(B) 0 . La probabilidad de 
que ocurra el suceso A, dado que el suceso B ha ocurrido, que denotaremos por P(A/ B) , está 
definido por 
P(A B)
P(A/B) =
P(B)

 
 
Ejemplo: De los estudiantes que ingresaron este año a la Facultad de Ciencias Matemáticas, el 
76% aprobaron Cálculo I y el 45% aprobaron Matemática Básica. Además, el 30% aprobaron 
Cálculo I y Matemática Básica. Si Camilo es uno de los ingresantes que aprobó Cálculo I, ¿qué 
probabilidad tiene de haber aprobado también Matemática Básica? 
 
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Solución: 
 
Consideremos los siguientes eventos: 
 
C: Aprobaron Calculo I 𝑃(𝐶) = 0,76 
B: Aprobaron Matemática Básica 𝑃(𝐵) = 0,45 
 
𝑃(𝐶 ∩ 𝐵) = 0,30 
 
𝑃(𝐵 𝐶⁄ ) =
𝑃(𝐵 ∩ 𝐶)
𝑃(𝐶)
=
0,30
0,76
=
15
38
 
 
 
 
Regla de la Multiplicación 
 
 
Dados dos sucesos A y B tal que , se tiene 
 
( ) ( ) ( )P A B P A P B / A =
 
 
Ejemplo: Una urna contiene cuatro fichas de color azul y nueve fichas de color blanco. Si se 
extrae dos fichas sucesivamente y sin reemplazo, ¿cuál es la probabilidad de que las dos fichas 
resulten de color azul? 
 
Solución: 
A:” La primera ficha seleccionada es de color azul” 
B:” La segunda ficha seleccionada es de color azul” 
𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) = 𝑃(𝐴)𝑥𝑃(𝐵 𝐴⁄ ) =
4
13
𝑥
3
12
=
1
13
 
 
TEOREMA DE PROBABILIDAD TOTAL 
Si 
 nH es una colección contable de eventos incompatibles para la cual ( )nP H 0 para todo n 
y 
N
n
n 1
P H 1
=
 
= 
  , entonces para todo suceso A se cumple 
( ) ( ) ( )
N
n n
n 1
P A P H P A /H
=
= 
. 
 
Ejemplo: 
 
El terapeuta físico sabe que su equipo de fútbol jugará el 40% de sus partidos en campos con 
pasto artificial en la presente temporada. Si la probabilidad de que un jugador sufra una lesión 
en la rodilla mientras juega en pasto artificial es de 0,42 y en el pasto natural 0.28, ¿cuál es la 
probabilidad de que un jugador elegido aleatoriamente con lesión en la rodilla haya sufrido esta 
mientras jugaba en un campo con pasto natural? 
 
 
P(A) 0
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Solución: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
𝑃(𝑁 𝑅⁄ ) =
𝑃(𝑁 ∩ 𝑅)
𝑃(𝑅)
=
0.168
0.336
=
1
2
 
 
 
SUCESOS INDEPENDIENTES 
 
 Dos sucesos A y B se dicen independientes si se cumple 
 
 
EJERCICIOS DE CLASE N°18 
 
1. Si se pulsan cuatro teclas numéricas de una calculadora y se forma un numeral de cuatro 
cifras, determine la probabilidad que dicho número sea capicúa. 
 
 A) 0.5 B) 0.2 C)0.01 D)0.05 
 
2. En un vivero se detectan tres tipos de plagas El 25% de las plantas tienen la plaga tipo A, 
el 20% la B y el 30% la C. El 12% la A y la B, el 10% la A y la C, el 11% la B y la C y el 5% 
tienen los tres tipos de plagas. Calcule la probabilidad que una planta seleccionada al azar 
tenga al menos una de las enfermedades mencionadas. 
 
 A) 0,50 B) 0,18 C) 0,47 D) 0,64 
 
3. De 100 pacientes que fueron atendidos en el tópico de un hospital, 30 de ellos tienen 
diabetes, 28 arritmia cardiaca y 10 ambas enfermedades. Si se escoge al azar un paciente 
con diabetes, ¿cuál es la probabilidad de que también tenga arritmia? 
 
 A) 3/4 B) 2/5 C) 1/3 D) 3/5 
 
4. Jorge tiene para escoger la montaña rusa y los carros chocones como atracciones. Si la 
probabilidad de que elija un juego o el otro es igual a 0.6, mientras que la probabilidad de 
que elija solo la montaña rusa es igual a 0.4 , determine la probabilidad de solo elija los 
carros chocones. 
 
 A) 
1
2
 B) 
1
3
 C) 
1
4
 D) 
1
5
 
 
 
( ) ( ) ( ) =P A B P A P B
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5. En una oficina el 70% de los empleados son limeños, de los cuales, el 50% son varones y 
de los no limeños, el 80% son mujeres. Si se selecciona al azar un empleado de esta oficina 
y es varón, ¿cuál es la probabilidad que sea limeño? 
 
 A) 40/43 B) 30/43 C) 20/41 D) 35/41 
 
6. Un juego de tiro al blanco consta de tres zonas concéntricas de radios 3cm; 5cm y 10cm. 
Si el tiro cae en la zona central, tiene premio de S/ 500; si cae en la zona intermedia, un 
premio de S/100; si cae en la zona alejada, S/ 5 y si cae fuera de estas zonas, repite el tiro. 
Si cada lanzamiento cuesta S/ 10, ¿cuál es la probabilidad de que al realizar 2 tiros se 
pierda S/10? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 A) 
3
4
 B) 
27
64
 C) 
9
16
 D) 
1
4
 
 
7. Por la inauguración de un restaurante, asistieron 60 clientes. De ellos 25 son varones, 36 
usan lentes, y 15 varones usan lentes. Si el administrador selecciona un cliente al azar que 
no usa lentes para exonerarlo del pago del consumo, ¿cuál es la probabilidad de que sea 
varón? 
 
 A) 5/12 B) 7/12 C) 1/6 D) 4/10 
 
8. De 30 postulantes a la UNMSM, 20 son varones y el resto mujeres. Si la probabilidad de 
ingreso de cualquier postulante es 0,5 y se selecciona un postulante al azar dentro de los 
ingresantes, ¿cuál es la probabilidad de que sea mujer? 
 
 A) 1/6 B) 1/3 C) 5/6 D) 2/3 
 
9. Se tienen dos cajas, una de madera y la otra de cartón, que contienen cerrojos. La caja de 
madera contiene 60 cerrojos grandes y 40 pequeños; la de cartón contiene 10 cerrojos 
grandes y 20 pequeños. Si se extrae al azar un cerrojo y resulta que es grande, determine 
la probabilidad de que sea de la caja de cartón. 
 
 A) 7/15 B) 5/14 C) 2/17 D) 3/17 
 
10. La probabilidad de que Fanny estudie para el examen de Anatomía es 0,8; que no apruebe 
el examen, sabiendo que estudió, es 0,3 ; y que no apruebe el examen, dado que no 
estudió, es 0,4. Si Fanny aprobó dicho examen, ¿cuál es la probabilidad de que no haya 
estudiado? 
 
 A) 1/8 B) 14/17 C) 1/3 D) 3/17 
 
3 5 
10 
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EJERCICIOS PROPUESTOS N°18 
 
1. Si un médico cirujano determinó que la probabilidad de éxito en la operación de tres de sus 
pacientes es 0,8; 0,6 y 0,5 respectivamente, ¿cuál es la probabilidad de que al menos en 
uno de dichos pacientes tenga éxito su operación? 
 
 A) 0,96 B) 0,91 C) 0,84 D) 0,98 
 
2. De una caja, en cuyo interior se encuentran diez fichas numeradas del 1 al 10, Filomeno 
extrae cuatro fichas al azar y luego las ordena en una fila en forma ascendente de acuerdo 
a su numeración. ¿Cuál es la probabilidad de que la ficha con numeración 5 se ubique en 
la segunda posición? 
 
 A) 7/18 B) 1/4 C) 5/12 D) 4/21 
 
3. El administrador de un hotel tiene tres llaveros: el primero contiene cinco llaves, el segundo 
siete llaves y el tercero ocho llaves; en cada llavero las llaves son distintas y solo una de 
ellas es del depósito. Si se escoge al azar un llavero y de él una llave, ¿cuál es la 
probabilidad de que la llave sea del depósito, sabiendo que es del primer llavero? 
 
 A) 
65
113
 B) 
65
131
 C) 
56
113
 D) 
56
131
 
 
4. Karito enseña gimnasia rítmica en un colegio, el 20% de sus alumnosrealiza el salto de 
taburete y los restantes, saltos con aros. Además, la probabilidad de sufrir una caída en el 
taburete son 80% mayores que si hacen los saltos con aros. Si la probabilidad de que un 
alumno caiga mientras practica los saltos en el taburete es de 0,36 , ¿cuál es la 
probabilidad de que un alumno, elegido aleatoriamente, sufra una caída realizando saltos 
si solo lo puede hacer usando el taburete o los aros? 
 
 A) 23,2% B) 21,2% C) 38,6% D) 23,9% 
 
5. Un médico ha observado que el 45% de sus pacientes fuma y, de estos, el 80% son 
varones. Entre los que no fuman, el 70% son mujeres. Si se selecciona un paciente al azar, 
¿cuál o cuáles de las afirmaciones siguientes son verdaderas? 
 
I. La probabilidad de que sea varón no fumador es 0,165 
II. La probabilidad de que sea mujer es 0,475 
III. Si el paciente es varón, la probabilidad de que sea fumador es 0,60 
 
 A) I, II y III B) Solo I y II C) Solo I y III D) Solo II y III 
 
 
 
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6. En un congreso internacional de medicina, se reúnen 250 médicos, de los cuales 115 son 
alemanes, 65 franceses y 70 españoles. Se sabe que el 75% de los alemanes, el 60% de 
los franceses y el 65% de los españoles están a favor de la aplicación de la vacuna contra 
el COVID -19. Si elegimos un médico al azar, ¿cuál es la probabilidad de que esté en contra 
de la aplicación de la vacuna? 
 
 A) 0,317 B) 0,287 C) 0,107 D) 0,307 
 
7. Se tienen tres estuches con lapiceros. El primero contiene 10, de los cuales cuatro no 
pintan; en el segundo hay seis, donde uno de ellos no pinta, y en el tercer estuche hay tres 
lapiceros que no pintan, de un total de ocho. Si se selecciona un estuche al azar y luego 
un lapicero al azar de dicho estuche, ¿cuál es la probabilidad de que no pinte? 
 
 A) 0,3139 B) 0,6861 C) 0,3431 D) 0,6278 
 
8. En una reunión de padres de familia del centro educativo Divino Maestro, se observa que 
hay 38 personas, de las cuales, 19 tienen auto, 20 son damas y 13 damas tienen auto. Si 
se escoge una persona al azar y esta no tiene auto, ¿cuál es la probabilidad de que sea 
varón? 
 
 A) 
12
18
 B) 
13
19
 C) 
9
38
 D) 
12
19
 
 
9. Antonio debe realizar un viaje y solo puede hacerlo en ómnibus o en auto. La probabilidad 
de que viaje en auto es el triple de la probabilidad de que viaje en ómnibus. Si la 
probabilidad de que no viaje es 0,4; determine la probabilidad de que viaje en ómnibus. 
 
 A) 3/20 B) 3/10 C) 2/5 D)4/9 
 
10. En el colegio José María Arguedas hay tres secciones diferentes de cuarto grado de 
secundaria: en la sección “A”, el 25% son varones; en la sección “B”, el 30% son mujeres 
y en la sección “C”, el 40% son varones. Si se elige aleatoriamente una sección y de esta 
un estudiante al azar, ¿cuál es la probabilidad de que sea mujer? 
 
 A) 0,75 B)0,45 C) 0,6 D) 0,55 
 
 
 
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Geometría 
 
EJERCICIOS SEMANA 18 
 
 
1. Un carpintero desea construir una mesa con cubierta elíptica a partir de una hoja de madera 
rectangular contrachapada de 4 por 8 pies. Él trazará una elipse por medio del método de 
“tachuelas y cuerda”, como se muestra en la figura. Si la elipse será la más grande posible 
que se pueda cortar de la hoja de madera, halle la distancia entre las tachuelas. 
 
 A) 2 3 pies 
 B) 3 3 pies 
 C) 4 3 pies 
 D) 5 3 pies 
 
 
2. En la figura, se observa un terreno de forma elíptica que está dividido por una cerca 
BR . La longitud del eje mayor del terreno mide 120 m y el eje menor mide 60 m. Si R es 
un extremo del lado recto del terreno y B es un extremo del eje menor, halle la 
 longitud de la cerca BR . 
 
A) 15 21 m 
B) 30 2 m 
C) 24 21 m 
D) 25 2 m 
 
 
3. Una elipse tiene su centro en el origen de coordenadas, pasa por el punto ( )2 2 ; 2P , su 
eje mayor está contenida en el eje X y mide 8 cm. Halle la ecuación de la elipse. 
 
 A) 
2 2x y
+ =1
12 6
 B) 
2 2x y
+ =1
16 8
 C) 
2 2x y
+ =1
24 3
 D) 
2 2x y
+ =1
16 4
 
 
Cuerda
Tachuela
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4. La figura muestra un terreno de forma elíptica donde se construirá un parque de juegos 
para niños. Si el largo del terreno es 100 m, la longitud de un lado recto es 64 m, y el 
costo en colocar grass sintético en un terreno de forma circular cuyo radio mide 6 m es 
 S/1 620, halle el costo en colocar el mismo grass sintético en la región elíptica. 
 
A) S/ 60 000 
B) S/ 80 000 
C) S/ 85 000 
D) S/ 90 000 
 
 
5. La figura 1 muestra el frontis de una granja, y la figura 2 la estructura metálica 
 del techo que tiene forma semielíptica. Si la altura máxima de la entrada es 2 m y 
 OD mide 6 m; si los puntos A y B son los extremos de una viga paralela a la base 
 ubicada a 1 m del piso, halle la longitud de la viga AB . 
 
A) 2 3 m 
B) 3 3 m 
C) 4 3 m 
D) 5 3 m 
 
6. En la figura, AB representa una barra de metal cuya longitud es 30 cm y se mueve de tal 
manera que A siempre está en el eje X y B siempre en el eje Y. Si AP = 2(PB), halle la 
ecuación de la curva que describe el punto P. 
 
 A) 
2 2x y
+ =1
100 400
 
 B) 
2 2x y
+ =1
100 200
 
 C) 
2 2x y
+ =1
200 500
 
 D) 
2 2x y
+ =1
300 900
 
 
Figura 1 
A B
Y
XO Piso
Figura 2
D
Y
XO A
B
P
Y
XO-10 10
20
20
a=20
b=10
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7. En la figura, Q es centro, R foco, V1 y V2 son vértices de la elipse. Si la distancia del punto 
L al eje Y es 36 cm y B(40;0), halle la ecuación de la elipse. 
 
A) 
2 2(x - 20) y
+ =1
400 800
 
B) 
2 2(x - 20) y
+ =1
400 500
 
C) 
2 2(x - 20) y
+ =1
400 900
 
D) 
2 2(x - 20) y
+ =1
400 625
 
 
8. La figura muestra una pista de carrera limitada por una elipse y una circunferencia 
concéntricas. En los focos A y B de la elipse se ubican banderines; dichos focos están 
distanciados 60 m. Si el eje menor de la elipse mide 80 m, la distancia desde el banderín 
ubicado en A hacia el vértice más cercano de la elipse es el doble de la distancia hasta la 
circunferencia, halle el área del círculo donde se desea plantar pasto. 
 
 A) 400 m2 
 B) 500 m2 
 C) 625 m2 
 D) 900 m2 
 
 
9. La figura muestra un parque de forma elíptica, el cual se ha dividido en tres parcelas para 
área verde y una parcela triangular AV2B para juegos, siendo V2 y F1 vértice y foco 
respectivamente. Si la distancia de V2 a F1 es 12 m y el área de la región triangular AV2B es 72 
m2, halle el área de dicho parque. 
 
A) 34 3  m2 
B) 32 3  m2 
C) 36 3  m2 
D) 40 3  m2 
 Rpta.: B 
A B
2V
F1
Y
XO
L
V1
V2
P
R
Q B
A
B
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10. Enla figura, Q es centro, V1 y V2 son vértices de la elipse. Si V1(8;6), QV1 = V1M y 5B1Q = 3PB1, 
halle la ecuación de elipse. 
 
 A) 
2 2(x -8) (y -15)
+ =1
9 81
 
 B) 
2 2(x -12) (y -8)
+ =1
16 25
 
 C) 
2 2(x -8) (y -10)
+ =1
9 16
 
 D) 
2 2(x -8) (y -12)
+ =1
9 36
 
 
 
11. La Luna gira alrededor de la Tierra siguiendo una órbita elíptica, con la Tierra ubicada 
 en uno de sus focos. Si la distancia más cercana entre ambas es 363 104 km y la distancia 
más lejana es 405 696 km, halle la distancia del centro de la órbita a la Tierra. 
 
 
A) 21 296 km 
B) 16 200 km 
C) 20 000 km 
D) 17 200 km 
 
 
12. Dada la ecuación de la elipse 6x2 + 8y2 – 36x + 32y + 38 = 0, halle las coordenadas de su 
centro. 
 
 A) (3 ; -2) B) (3 ; – 1) C) (2 ; – 3) D) (4; – 5) 
 
 
Y
X
O
V1
V2
B1 2BQ
P
M
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13. En la figura, se observa una ventana donde el vidrio tiene forma semielíptica con vértices 
en A y B. Por seguridad, se colocan varillas de fierro representados por FP , PQ , QG y 
OM, donde F y G son los focos de la elipse. Si AO = OB, AB = 150 cm y FG = 90 cm, halle 
la suma de las longitudes de las varillas que se colocaron. 
 
A) 244 cm 
B) 245 cm 
C) 248 cm 
D) 246 cm 
 
14. La figura muestra una ventana cuyo borde superior tiene forma de una semielipse. La 
ventana mide 20 pulg en su punto más alto y de 50 pulg de ancho en la base. Halle la altura 
de la ventana a 15 pulg del punto medio O de AB . 
 
A) 14 pulg 
 
B) 15 pulg 
 
C) 16 pulg 
 
D) 17 pulg 
 
 
 
 
 
EJERCICIOS PROPUESTOS 
 
 
 
1. Los focos de una elipse son los puntos F1(-4;3) y F2(2;3), y el perímetro del triángulo cuyos 
vértices son los focos y un punto de la elipse es igual a 18 cm. Halle la ecuación de la 
elipse. 
 
A) 
2 2(x +1) (y - 3)
+ =1
36 27
 B) 
2 2(x -1) (y +3)
+ =1
36 27
 
C) 
2 2(x - 2) (y -5)
+ =1
36 27
 D) 
2 2(x +1) (y - 4)
+ =1
36 27
 
 
50 pulg
20 pulg
15 pulgOA B
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2. En la figura, O es centro, F1 y F2 son focos de la elipse. Si 4(F1F2) = 3(CD) y AF1 + 
AF2 = 30 cm, halle la ecuación de la elipse. 
 
 A) 
2 2x y
+ =1
225 144
 
 B) 
2 2x y
+ =1
144 81
 
 C) 
2 2x y
+ =1
225 81
 
 D) 
2 2x y
+ =1
144 100
 
 
 
 
3. El centro de una elipse es el punto Q(2;-2) y uno de los focos es F2(2; – 6). Si el eje menor 
mide 16 cm y el eje mayor es paralelo al eje Y, halle la ecuación de la elipse. 
 
 
 A) 
2 2(x - 2) (y +2)
+ =1
64 100
 B) 
2 2(x - 2) (y +2)
+ =1
64 90
 
 C) 
2 2(x - 2) (y +2)
+ =1
64 120
 D) 
2 2(x - 2) (y +2)
+ =1
64 80
 
 
4. La figura representa la sección transversal de un canal de forma semielíptica con un ancho 
máximo de 100 cm y una profundidad máxima de 40 cm. Halle la profundidad del canal a 
20 cm del punto A. 
 
 A) 32 cm 
 
 B) 25 cm 
 
 C) 30 cm 
 
 D) 35 cm 
 
 
 
Y
XOF1 F2
A B
C
D
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5. En la figura, se muestra un parque y una pileta, cuyo borde representan una elipse y una 
circunferencia concéntricas en O respectivamente, donde F1 y F2 son focos, V1 y V2 
vértices. Si el largo y el ancho del parque miden 20 m y 16 m, halle el área de la región 
limitada por el borde de la pileta. 
 
 A) 16 m2 
 
 B) 20 m2 
 
 C) 36 m2 
 
 D) 25 m2 
 
6. Q(-2;2 5 ) es un punto de una elipse cuya longitud del eje mayor es 12 cm; los focos están 
ubicados en el eje de ordenadas y el centro, en el origen de coordenadas. Halle la ecuación 
de la elipse. 
 
A) 
2 2x y
+ =1
20 25
 B) 
2 2x y
+ =1
16 36
 C) 
2 2x y
+ =1
9 36
 D) 
2 2x y
+ =1
8 40
 
 
 
Álgebra 
 
1. Funciones crecientes y decrecientes 
 
 Sea f :Dom(f) → una función. 
 
 Se dice que f es creciente sobre A Dom(f) , si dados 1 2x ,x A 
 tales que 1 2 1 2x x f(x ) f( x ) →  . 
 
Se dice que f es decreciente sobre A Dom(f) , si dados 1 2x ,x A 
tales que 1 2 1 2x x f(x ) f( x ) →  . 
 
 Ejemplo 1 
La función  f :Dom(f) 1,4= − → definida por 2f(x) x 4x 5= + − ,¿es creciente o 
decreciente? 
 
 
V1 V2F1 F2O
A
B
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 Solución: 
 
 
 
 
2 2 2
1 2 1 2
2 2
1 2 1 2
2 2
1 2 1 2
f(x) x 4x 5 (x 4x 4) 9 (x 2) 9
Se tiene que Dom(f) 1,4
Sean x y x en 1,4 tal que x x
0 x 2 x 2 (x 2) ( x 2)
(x 2) 9 ( x 2) 9 f(x ) f(x )
Por lo tanto, f es creciente en 1,4 .
= + − = + + − = + −
= −
− 
  +  +  +  +
 + −  + −  
−
 
 
 Gráficamente se observa que f es creciente en  1,4− . 
 
 Propiedades 
 
 a) Si  f :Dom(f) a,b= → es creciente, entonces  Ran(f) f(a), f(b)= . 
 
 b) Si  f :Dom(f) a,b= → es decreciente, entonces  Ran(f) f(b), f(a)= . 
 
Observando el gráfico de una función, podemos reconocer cuándo es creciente o 
decreciente. En la figura, se indica este hecho. 
 
 
 
2. Función inyectiva, sobreyectiva y biyectiva 
 
 Sea f :Dom(f) B→ una función. 
 
● Se dice que f es inyectiva sobre A Dom(f) , si y solo si se cumple que dados.
1 2 1 2 1 2x , x A tal que si f(x ) f(x ) implica que x x = = . 
 
● Se dice que f es sobreyectiva (o suryectiva) si Ran(f) B= , esto es, para cada y B 
existe x Dom(f) tal que f(x) y= . 
 
● Se dice que f es biyectiva si y solo si f es inyectiva y sobreyectiva a la vez. 
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Existe una forma gráfica de reconocer que f es inyectiva; esta es, si toda recta 
horizontal corta la gráfica de f en un solo punto entonces f es inyectiva. Pero si existe 
una recta horizontal que la corta en dos o más puntos, f no es inyectiva. 
 
 
 
 
 
Propiedad 
Si una función f es inyectiva sobre un intervalo real  a,b , entonces f es creciente o 
decreciente sobre dicho intervalo. 
 
3. Función inversa 
Sea f :Dom(f)  → una función inyectiva. La función f :Dom(f )
   → se llama 
la función inversa de f y es definida por la regla f (y) x si y solo si f(x) y, x Dom(f) = =  
. 
Donde se cumplen: 
 i) Dom(f ) Ran(f) = 
ii) Ran(f ) Dom(f) = 
 
 Observaciones: 
 
▪ Si f no es inyectiva, no existe la función inversa de f. 
 
▪ Formalmente, para hallar la regla de correspondencia de la función inversa de una 
función inyectiva f, se debe despejar la variable “x” desde y f(x)= en términos de “y”; 
después se hace la sustitución x f (y)= en la expresión resultante, para finalmente 
cambiar las variables “x” e “y”, obteniéndose así la regla de correspondencia de la 
función inversa. 
Modo práctico: Se intercambian las variables “x” e “y” en y f(x)= y se despeja la 
variable “y”; finalmente, se hace la sustitución y f (x)= . 
 
 
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▪ Se cumple que: 
 
f (f(x)) x, x Dom(f)