Clase N 4 CÁLCULO VECTORIAL MODO VIRTUAL

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Clase Nº:4: Calculo Vectorial Mg. M. Adriana Correa Zeballos 
 
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DICTADO DE ANALISIS MATEMÁTICO II EN MODO VIRTUAL 
 
 
CLASE Nº 4: CALCULO VECTORIAL 
 
 
1. FUNCIÓNES VECTORIALES EN EL PLANO Y EN EL ESPACIO 
Las funciones a las que nos hemos referidos hasta aquí han sido de variables reales y a valores 
reales. En esta oportunidad estudiaremos ciertas funciones a variables reales y cuyos valores son 
vectores. Tales funciones se necesitan para representar curvas en el plano y el espacio tridimensional 
y para describir el movimiento de partículas en esos mismos espacios. 
En este capítulo aprovecharemos toda la experiencia adquirida en el estudio del Cálculo de una 
variable, para recorrer todas las operaciones que nos ofrece esta rama de la matemática, 
aplicándolas a este tipo particular de funciones vectoriales uniparaméticas. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Es decir una función con valor vectorial o función vectorial es simplemente una función cuyo 
dominio es un conjunto de números reales y cuyo rango es un conjunto de vectores. 
1.2. Dominio. 
 Como dominio de la función vectorial r(t), se considera la intersección de los dominios de las 
funciones componentes. 
Ejercicios. Encuentre los dominios de las siguientes funciones vectoriales: 
a) Si r(t) = t3 i + ln(3-t) j ; f(t) = t3 y g(t) = ln(3-t). 
Solución: el dominio de f son todos los Reales y el dominio g es el intervalo (-∞, 3) entonces 
dominio de r es: 
Dr = Df ∩Dg 
Dr = (-∞, 3). 
b) Si 
c) Si 
1.3. Representación de Curvas. 
Las funciones vectoriales se pueden usar para representar curvas en el plano o en el espacio. 
 
 
 
 
( ) 2t,t1,tlntr -=
®
( ) 22 t,t4tr -=
®
1.1. Definición de funciones vectoriales. 
Una función de la forma, 
 f(t)i + g(t)j, ó, 
 f(t)i + g(t)j + h(t)k 
se llama función vectorial en el plano y en el espacio respectivamente, donde las funciones 
componentes, f , g y h son funciones del parámetro t con valores reales. 
 
 
 
Estas funciones también se representan como ó 
 
 
 
( ) =
®
tr
( ) =
®
tr
Definición. Curvas planas. 
Si f y g son funciones continuas de t en el intervalo I, entonces el conjunto de pares ordenados 
(f(t),g(t)) se denomina curva plana C. Las ecuaciones 
 x = f(t) e y = g(t) se llaman ecuaciones uniparamétricas de C, donde t es el parámetro. 
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Esta definición puede extenderse al espacio tridimensional, donde naturalmente la curva será 
alabeada. 
Tomando como parámetro t el tiempo, podemos usar este tipo de función vectorial para 
describir el movimiento de un partícula a lo largo de una curva. O también para describir una curva 
en R2 ó en R3. En ambos casos, el punto final del vector de posición r (t) coincide con el punto (x,y) o 
(x,y,z) de la curva dada por las ecuaciones paramétricas. La flecha en la curva indica la orientación de 
la misma apuntando en la dirección de valores crecientes de t. Ver gráficos 1 y 2. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1.4. Operaciones con funciones vectoriales 
Muchas de las técnicas que se usan en el cálculo con funciones reales se pueden aplicar a 
funciones vectoriales. Es decir podemos sumar, restar, multiplicar por un escalar, como así también 
considerar límites y derivadas de funciones vectoriales. 
Sean f1(t)i + g1(t)j y f2(t)i + g2(t)j, 
Entonces; 
• + = [f1(t) + f2(t)] i + [g1(t) + g2(t)] j 
• - = [f1(t) - f2(t)] i + [g1(t) - g2(t)] j 
• c f1(t)i + c g1(t)j 
( ) =
®
tr ( ) =
®
tv
( )
®
tr ( )
®
tv
( )
®
tr ( )
®
tv
( ) =
®
trc
r (t1) 
r (t2) 
r (t3) 
C 
x 
y 
x 
y 
z 
Graf. 1.Curva en el plano 
r (t1) 
r (t2) 
r (t3) 
C 
Graf. 2. Curva en el 
espacio 
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2. LÍMITE 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Decir que significa que: los 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Es decir si el vector r(t) tiende al vector L cuando t tiende a “a” la longitud del vector [r(t) – L] 
tiende a cero. 
De manera equivalente podemos utilizar la definición ε-δ de límite. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2.2. Propiedades de los Límites. 
Los límites de funciones vectoriales obedecen las mismas reglas que las de funciones reales. 
 
 
( ) Ltrlim
at
=
®
®
,atcon,at ¹»" ( ) Ltr »
®
2.1. Definición. 
a) Si r(t) es una función vectorial tal que r(t) = f(t)i + g(t)j entonces, 
, 
siempre que existan los límites de las funciones f y g para 
b) Si r(t) es una función vectorial tal que f(t)i + g(t)j + h(t)k, entonces 
 
Siempre que existan los límites de las funciones f , g y h para 
 
 
( ) ( ) ( ) jtglimitflimtrlim
atatat
ú
û
ù
ê
ë
é
+
ú
ú
û
ù
ê
ê
ë
é
=
®®
®
®
at®
( ) =
®
tr
( ) ( ) ( ) ( ) kthlimjtglimitflimtrlim
atatatat
ú
û
ù
ê
ë
é
+ú
û
ù
ê
ë
é
+
ú
ú
û
ù
ê
ê
ë
é
=
®®®
®
®
at®
y 
L 
r(t) - L 
x 
Definición. 
Decimos que sí y sólo sí para todo ε > 0 existe un número δ> 0 tal que, 
, siempre que, 
 
( ) Ltrlim
at
=
®
®
( ) e<-
®®
Ltr d<-< at0
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Demostración de la propiedad a): 
Sean u y v funciones vectoriales que tienen límites conforme entonces 
 
Hipótesis. 
u y v funciones vectoriales que tienen límites conforme 
Tesis. 
Demostración. 
Sean f1(t)i + g1(t)j y f2(t)i + g2(t)j, 
entonces se tendrá: + = [f1(t) + f2(t)] i + [g1(t) + g2(t)] j , 
por suma de vectores. Aplicando límite a ambos miembros de la igualdad, 
 
 
Las otras propiedades se demuestran de manera similar. 
at®
( ) ( ) ( ) ( )
®
®
®
®
®®
®
+=ú
û
ù
ê
ë
é
+ tvlimtulimtvtulim
atatat
at®
( ) ( ) ( ) ( )
®
®
®
®
®®
®
+=ú
û
ù
ê
ë
é
+ tvlimtulimtvtulim
atatat
( ) =
®
tu ( ) =
®
tv
( )
®
tu ( )
®
tv
( ) ( ) [ ][ ]
[ ]
[ ] [ ]
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
®
®
®
®
®®
®
®
®
®
®
®®
®®
®
®®
®
+=úû
ù
êë
é +\
+=
+++=
úû
ù
êë
é+úû
ù
êë
é=
=úû
ù
êë
é +
tvtutvtu
tvtu
ff
jif
quetieneselímitededefiniciónpor
iftvtu
atatat
atat
atat
atat
atat
limlimlim
limlim
j(t)gi (t)limj(t)gi (t)lim
(t)]g + (t)[glim(t)f + (t)lim
,
 j (t)]g + (t)[g + (t)f + (t)limlim
2211
2121
2121
Teorema. 
Sean u y v funciones vectoriales que tienen límites conforme , y sea c una constante. 
Entonces: 
a) 
b) 
c) 
d) 
at®
( ) ( ) ( ) ( )
®
®
®
®
®®
®
+=ú
û
ù
ê
ë
é
+ tvlimtulimtvtulim
atatat
( ) ( )
®
®
®
®
= tulimctuclim
atat
( ) ( ) ( ) ( )
®
®
®
®
®®
®
=ú
û
ù
ê
ë
é
tvlim.tulimtv.tulim
atatat
( ) ( ) ( ) ( )
®
®
®
®
®®
®
=ú
û
ù
ê
ë
é
tvlimxtulimtvxtulim
atatat
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3. CONTINUIDAD 
 
 
 
 
 
 
Una función vectorial es continua en un intervalo I si es continua en todos los puntos del 
intervalo. 
De acuerdo a la definición 3.1., se enuncia el siguiente teorema. 
 
 
 
 
 
Demostración en un sentido 
En consecuencia si r es continua en a entonces sus funciones componentes son continuas en a. 
Hipótesis: r es continua en a 
Tesis: Las funciones componentes son continuas en a. 
Demostración 
Sea r(t) = f(t)i + g(t)j 
Por hipótesis r es continua en a por lo tanto 
Por definición de límite, 
 
Demostración en el otro sentido 
Las funciones componentes son continuas en a entonces r es continua en a. 
Hipótesis. Las funciones componentes son continuas en a. 
Tesis. r es continua en a. 
Demostración.Por hipótesis f y g son continuas en a, entonces, 
 
Por definición de límite se tiene que, 
 
y por ser f y g continuas en a, se tiene, 
( ) ( )
®®
®
= artrlim
at
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) aencontinuassongyfagtglimaftflim
vectoresdeigualdadpor
jagiaftrlim
aencontinuarserpor
jtglimitflimtrlim
atat
at
atatat
\=Ù=Þ
+=
úû
ù
êë
é+ú
û
ù
ê
ë
é
=
®®
®
®
®®
®
®
( ) ( ) ( ) ( )agtglimaftflim
atat
=Ù=
®®
( ) ( ) ( ) jtglimitflimtrlim
atatat
ú
û
ù
ê
ë
é
+
ú
ú
û
ù
ê
ê
ë
é
=
®®
®
®
Teorema. 
Una función vectorial r es continua en el punto dado por t = a, sí y sólo sí, sus funciones 
componentes son continuas en a. 
 
3.1. Definición. 
Una función vectorial r se dice que es continua en el punto dado por t=a, sí y sólo sí 
 
 
 
 
( ) ( )
®®
®
= artrlim
at
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, en consecuencia r es continua en a. 
4. DERIVACIÓN. 
 
 
 
 
 
 
 
4.2. Derivada de una función vectorial en un intervalo. 
Una función vectorial es derivable en un intervalo abierto I si existe r’(a) 
para todo “a” en I. Se puede extender esta definición a los intervalos cerrados, para lo cual se 
consideran los límites unilaterales. 
La derivación de funciones vectoriales puede llevarse a cabo componente a componente, como 
se enuncia en el siguiente teorema. 
 
 
 
 
 
 
 
Demostración de i). 
 
Hipótesis. f y g son funciones derivables de t y r(t) = f(t)i + g(t)j. 
Tesis: r’(t) = f’(t) i + g’(t) j 
Demostración. 
 De acuerdo a la definición de r´(t) dada en 4.1. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Demostración de ii). 
Hipótesis. f , g y h son funciones derivables de t 
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
®®
®
®
®
=\+= artrlimjagiaftrlim
atat
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
t
jtgitfjttgittftr
dt
rd
t D
--D++D+
==
®D
®
®
0
' lim
4.1. Definición. 
La derivada de una función vectorial r(t) se define como: 
, 
para todo t para el cual exista el límite. 
 
 
( ) ( ) ( )
t
trttrlimtr
dt
rd
0t
'
D
-D+
==
®®
®D
®®
4.3. Teorema. 
i) Si r(t) = f(t)i + g(t)j, 
donde f y g son funciones derivables de t, entonces 
r’(t) = f’(t)i + g’(t)j 
ii) Si r(t) = f(t)i + g(t)j + h(t)k, 
 donde f , g y h son funciones derivables de t, entonces 
r’(t) = f’(t) i + g’(t) j + h’(t) k 
 
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) jtgitftr
j
t
tgttgi
t
tfttftr
j
t
tgttgi
t
tfttftr
t
jtgttgitfttftr
t
jtgjttgitfittftr
tt
t
t
t
'''
00
'
0
'
0
'
0
'
limlim
lim
lim
lim
+=
þ
ý
ü
î
í
ì
úû
ù
êë
é
D
-D+
+úû
ù
êë
é
D
-D+
=
þ
ý
ü
î
í
ì
úû
ù
êë
é
D
-D+
+úû
ù
êë
é
D
-D+
=
D
-D++-D+
=
D
-D++-D+
=
®
®D®D
®
®D
®
®D
®
®D
®
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Tesis: r’(t) = f’(t) i + g’(t) j + h’(t) k 
Demostración. 
 
Ejercicios. Encontrar las derivadas de las funciones que se indican. 
i) r(t) = t2 i + lnt j 
ii) r(t) = et. lnt i – t2. sent j 
iii) r(t) = t2 i + lnt j 
iv) r(t) = et. lnt i – t2. sent j 
v) r(t) = (t/sent) i – (cost/t) j 
vi) r(t) = sen3t i – cost3 j + ln(t1/2) k 
vii) r(t) = (et/cost) i – (sent3/t) j + tg(t1/2) k 
 
4.4. Propiedades de la Derivada. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
t
kthjtgitfktthjttgittflimtr
dt
rd
0t
'
D
---D++D++D+
==
®D
®®
Teoremas. 
Sean r y u funciones vectoriales derivables y sea f una función real y c un escalar, entonces se 
cumple que; 
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
f) 
g) Si , entonces 
 
( ) ( )
®®
=úû
ù
êë
é trctrc
dt
d '
( ) ( ) ( ) ( )
®®®®
±=ú
û
ù
ê
ë
é
± tutrtutr
dt
d ''
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
®®®
+=ú
û
ù
ê
ë
é
trtftrtftrtf
dt
d ''
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
®®®®®
+=ú
û
ù
ê
ë
é
tu.trtu.trtu.tr
dt
d ''
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
®®®®®
+=ú
û
ù
ê
ë
é
tuxtrtuxtrtuxtr
dt
d ''
( )[ ] ( )[ ] ( )tftfrtfr
dt
d ''
®®
=ú
û
ù
ê
ë
é
( ) ( ) ctr.tr =
®®
( ) ( ) 0tr.tr ' =
®®
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )kthjtgitftr
k
t
thtthj
t
tgttgi
t
tfttftr
k
t
thtthj
t
tgttgi
t
tfttftr
t
kthtthjtgttgitfttftr
t
kthktthjtgjttgitfittftr
ttt
t
t
t
''''
000
'
0
'
0
'
0
'
limlimlim
lim
lim
lim
++=
þ
ý
ü
î
í
ì
úû
ù
êë
é
D
-D+
+úû
ù
êë
é
D
-D+
+úû
ù
êë
é
D
-D+
=
þ
ý
ü
î
í
ì
úû
ù
êë
é
D
-D+
+úû
ù
êë
é
D
-D+
+úû
ù
êë
é
D
-D+
=
D
-D++-D++-D+
=
D
-D++-D++-D+
=
®
®D®D®D
®
®D
®
®D
®
®D
®
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Demostraciones de cada una de las propiedades 
 
Demostración de la propiedad a) 
 
Hipótesis. f(t)i + g(t)j función vectorial derivable. 
Tesis. 
Demostración. 
 
Demostración de la propiedad b) 
Hipótesis. 
 f1(t)i + g1(t)j y f2(t)i + g2(t)j funciones vectoriales derivables 
Tesis. 
 
Demostración. 
 
( ) =
®
tr
( ) ( )
®®
=ú
û
ù
ê
ë
é
trctrc
dt
d '
( ) ( ) ( )( )[ ]
( ) ( )[ ]
( ) ( )
( ) ( )[ ]
( )
( ) ( )
®®
®
®
=ú
û
ù
ê
ë
é
\
=
+=
+=
+=
+=ú
û
ù
ê
ë
é
trctrc
dt
d
trc
jtgitfc
jtgcitfc
jtgcitfc
dt
d
jtgitfc
dt
dtrc
dt
d
'
'
''
''
( ) =
®
tr ( ) =
®
tu
( ) ( ) ( ) ( )
®®®®
±=ú
û
ù
ê
ë
é
± tutrtutr
dt
d ''
( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]{ }
( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]
( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]
( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
®®®®
®®
®®
±=úû
ù
êë
é ±\
±=
+±+=
±+±=
þ
ý
ü
î
í
ì ±+
þ
ý
ü
î
í
ì ±=
±+±=úû
ù
êë
é ±
tutrtutr
dt
d
tutr
jtgtfitgtf
jtgtgitftf
jtgtg
dt
ditftf
dt
d
jtgtgitftf
dt
dtutr
dt
d
''
''
'
2
'
2
'
1
'
1
'
2
'
1
'
2
'
1
2121
2121
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Demostración de la propiedad c) 
Hipótesis. Sea r(t) = f1(t)i + g1(t)j, función vectorial derivable 
Tesis. 
Demostración. 
 
Demostración de la propiedad d) 
Hipótesis. f1(t)i + g1(t)j y f2(t)i + g2(t)j funciones vectoriales derivables 
 
Tesis. 
 
Demostración. 
 
 
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
®®®
+=ú
û
ù
ê
ë
é
trtftrtftrtf
dt
d ''
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]
( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]
( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( ) ( )[ ]
( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( )[ ]
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
®®®
®®
®
+=úû
ù
êë
é\
+=
+++=
+++=
+=
+=úû
ù
êë
é
trtftrtftrtf
dt
d
trtftrtf
jtgitftfjtgitftf
jtgtftgtfitftftftf
jtgtf
dt
ditftf
dt
d
jtgtfitftf
dt
dtrtf
dt
d
''
''
'
1
'
111
'
'
11
''
11
'
11
11
( ) =
®
tr ( ) =
®
tu
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
®®®®®
+=ú
û
ù
ê
ë
é
tu.trtu.trtu.tr
dt
d ''
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]
( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]
( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( ) ( )[ ]
( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( ) ( )[ ]
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
®®®®®®
®®®®
®®
+=úû
ù
êë
é\
+=
+++=
+++=
+=
+=úû
ù
êë
é
tu.trtu.trtu.tr
dt
d
tu.trtu.tr
tgtgtftftg.tgtftf
tgtgtg.tgtftftftf
tgtg
dt
dtftf
dt
d
tgtgtftf
dt
dtu.tr
dt
d
''
''
'
21
'
212
'
12
'
1
'
212
'
1
'
212
'
1
2121
2121
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 10 
Demostración de la propiedad f) 
Hipótesis. Sea f1(t)i + g1(t)j función vectorial derivable 
 
Tesis. 
 
Demostración. 
 
Demostración de la propiedad g) 
Hipótesis. r(t) = f(t)i + g(t)j función vectorial derivable y r(t). r(t) = c 
 
Tesis. r(t). r’(t) = 0 
 
Demostración. 
 
Para las demostraciones de las propiedades se pueden considerar funciones vectoriales en el 
espacio y se aplica el mismo procedimiento 
( ) =
®
tr( )[ ] ( )[ ] ( )tftfrtfr
dt
d ''
®®
=ú
û
ù
ê
ë
é
( )[ ] ( )( ) ( )( )[ ]
( )( )[ ] ( )( )[ ]
( )( ) ( )[ ] ( )( ) ( )[ ]
( )( ) ( )( )[ ] ( )
( )[ ] ( )
( )[ ] ( )[ ] ( )tftfrtfr
dt
d
tftfr
tfjtfgitff
jtftfgitftff
jtfg
dt
ditff
dt
d
jtfgitff
dt
dtfr
dt
d
''
''
''
1
'
1
''
1
''
1
11
11
®®
®
®
=úû
ù
êë
é\
=
+=
+=
+=
+=úû
ù
êë
é
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) 0tr.tr
0tr.tr2
ctr.trcomo
tr.tr2
tr.trtr.trtr.tr
dt
d
'
'
'
''
=Þ
=Þ
=
=
+=ú
û
ù
ê
ë
é
®®
®®
®®
®®
®®®®®®
Clase Nº:4: Calculo Vectorial Mg. M. Adriana Correa Zeballos 
 
 11 
5. INTEGRACIÓN. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5.1. Definiciones 
5.1.1. Integral Indefinida. 
Si f(t)i + g(t)j donde las funciones componentes f y g son continuas en , 
entonces la integral indefinida o primitiva de es: 
 
Sabiendo que , 
 y 
donde C1 y C2 son constantes arbitrarias, entonces se tiene, 
, 
operando obtenemos, 
 
si se considera que; 
R(t) = F(t) i + G(t) j y C = C1i + C2j , remplazando, 
 
La integral indefinida de una función vectorial es el conjunto de las infinitas primitivas o 
antiderivadas de la función vectorial r(t). 
La antiderivada de una función vectorial es una familia de funciones que difieren entre sí 
en un vector constante C. 
 
Ampliación: Si bien es cierto en la definición de integral indefinida que acabamos de 
analizar consideramos una función vectorial en el plano, esta puede naturalmente 
ampliarse para funciones en el espacio tridimensional. 
Si f(t)i + g(t)j +h(t) k donde las funciones f , g y h con continuas en , entonces 
la integral indefinida o primitiva de es: 
 
 
( ) =
®
tr [ ]b,a
®
r
( ) ( ) ( ) jdttgidttfdttr ú
û
ù
ê
ë
é
+ú
û
ù
ê
ë
é
= òòò
®
( ) ( ) 1CtFdttf +=ò ( ) ( ) 2CtGdttg +=ò
( ) ( )[ ] ( )[ ]jCtGiCtFdttr 21 +++=ò
®
( ) ( ) ( )[ ] [ ]jCiCjtGitFdttr 21 +++=ò
®
( ) ( )
®®®
+=ò CtRdttr
( ) =
®
tr [ ]b,a
®
r
( ) ( )[ ] ( )[ ] ( )[ ]kdtthjdttgidttfdttr òòòò ++=
®
Clase Nº:4: Calculo Vectorial Mg. M. Adriana Correa Zeballos 
 
 12 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Esto significa que podemos evaluar la integral definida de una función vectorial, integrando 
cada una de sus funciones componentes. 
 
5.2. Teorema Fundamental del Cálculo para Funciones Vectoriales. 
Al igual que para las funciones escalares, el teorema fundamental del cálculo para funciones 
vectoriales continuas establece que: 
5.1.2.Integral Definida. 
La integral definida de una función vectorial continua r(t), en el intervalo se 
define como: 
 
Desarrollando el segundo miembro de esta igualdad se llega a lo siguiente: 
i) Si r(t) = f(t)i + g(t)j, entonces: 
 
 
y por el teorema Fundamental del Cálculo Integral para funciones reales se tiene que: 
 
ii) Si f(t)i + g(t)j +h(t) k, entonces: 
 
 
 
[ ]b,a
( ) ( ) i
n
1i
*
i
0P
b
a
ttrlimdttr D= åò
=
®
®
®
( ) ( ) ( )
ú
ú
ú
û
ù
ê
ê
ê
ë
é
÷
÷
÷
ø
ö
ç
ç
ç
è
æ
D+
÷
÷
÷
ø
ö
ç
ç
ç
è
æ
D= ååò
==
®
®
jttgittflimdttr i
n
1i
*
ii
n
1i
*
i
0P
b
a
( ) ( ) ( ) jttglimittflimdttr i
n
1i
*
i0Pi
n
1i
*
i0P
b
a
÷÷
ø
ö
çç
è
æ
D+÷÷
ø
ö
çç
è
æ
D= ååò
=
®
=
®
®
( ) ( ) ( ) jdttgidttfdttr
b
a
b
a
b
a
÷
÷
÷
ø
ö
ç
ç
ç
è
æ
+
÷
÷
÷
ø
ö
ç
ç
ç
è
æ
= òòò
®
( ) =
®
tr
( ) ( ) ( ) ( )
ú
ú
ú
û
ù
ê
ê
ê
ë
é
÷
÷
÷
ø
ö
ç
ç
ç
è
æ
D+
÷
÷
÷
ø
ö
ç
ç
ç
è
æ
D+
÷
÷
÷
ø
ö
ç
ç
ç
è
æ
D= åååò
===
®
®
ktthjttgittflimdttr i
n
1i
*
ii
n
1i
*
ii
n
1i
*
i
0P
b
a
( ) ( ) ( ) ( ) ktthlimjttglimittflimdttr i
n
1i
*
i
0P
i
n
1i
*
i
0P
i
n
1i
*
i
0P
b
a
÷
÷
÷
ø
ö
ç
ç
ç
è
æ
D+
÷
÷
÷
ø
ö
ç
ç
ç
è
æ
D+
÷
÷
÷
ø
ö
ç
ç
ç
è
æ
D= åååò
=
®
=
®
=
®
®
( ) ( ) ( ) ( ) kdtthjdttgidttfdttr
b
a
b
a
b
a
b
a
÷
÷
÷
ø
ö
ç
ç
ç
è
æ
+
÷
÷
÷
ø
ö
ç
ç
ç
è
æ
+
÷
÷
÷
ø
ö
ç
ç
ç
è
æ
= òòòò
®
Clase Nº:4: Calculo Vectorial Mg. M. Adriana Correa Zeballos 
 
 13 
 
donde es una antiderivada de , es decir 
Ejercicios: Calcular la integral indefinida de las siguientes funciones vectoriales. 
i) r(t) = cost i + j 
ii) r(t) = (t+1) i - t3 j 
iii) r(t) = sent i + (1+cost) j 
iv) r(t) = (1/t) i + 7j – (t2 – 1) k 
v) r(t) = (2cost.sent) i + sec2t j – [1/(5-t)] k 
vi) r(t) = (1/2t) i - !
√#$%!
 k 
Ejercicios: Calcular la integral definida de las siguientes funciones vectoriales con los límites que se 
indican en cada caso. 
i) r(t) = t3 i + 7j + (t +1) k para 0≤ t ≤ 1 
ii) r(t) = (6 – 6t) i + 3√𝑡	j + (4/t2) k para 1≤ t ≤ 2 
iii) r(t) = sent i + (1 +cost)j + sec2t k para -	𝜋/4≤ t ≤ 𝜋/4 
iv) r(t) = [sect.tgt] i + tgtj + (2sent.cost) k para 0 ≤ t ≤ 𝜋/3 
v) r(t) = (1/t) i + [1/(5-t)] j + (1/2t) k para 1 ≤ t ≤ 4 
vi) r(t) = #
√#$%!
	i + √&
#'%!
	k para 0 ≤ t ≤ 1 
6. APLICACIONES DE LA DERIVADA DE UNA FUNCIÓN VECTORIAL. 
6.1. Aplicaciones geométricas. 
 
 
 
 
 
b) Longitud de arco para una curva en el plano o en el espacio. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
( ) ( ) ( )aRbRdttr
b
a
®®®
-=ò
®
R
®
r ( ) ( )trtR '
®®
=
a) Curva suave en el plano o en el espacio 
Diremos que la curva representada por r(t) = f(t)i + g(t)j o r(t) = f(t)i + g(t)j + + h(t)k es suave en 
un intervalo abierto I, si f´, g´ y h’ son continuas en I, y además r’(t) ≠ 0, para todo valor de t en el 
intervalo I. 
 
 i) Si C es una curva suave dada por r(t) = x(t)i + y(t)j en un intervalo , la longitud de arco 
de C sobre ese intervalo es: 
 
Donde ; 
ii) Si C es una curva suave dada por x(t)i + y(t)j + z(t)k en un intervalo , la longitud 
de arco de C sobre ese intervalo es: 
 
Donde ; 
[ ]b,a
( ) ( )[ ] ( )[ ] dttytxdttrS
b
a
2'2'
b
a
' òò +==
®
( ) ( ) ( ) jtyitxtr ''' +=
®
( )[ ] ( )[ ] dttytxds 2'2' +=
( ) =
®
tr [ ]b,a
( ) ( )[ ] ( )[ ] ( )[ ]dttztytxdttrS
b
a
'2'2'
b
a
' òò ++==
®
( ) ( ) ( ) ( )ktzjtyitxtr '''' ++=
®
( )[ ] ( )[ ] ( )[ ] dttztytxds 2'2'2' ++=
Clase Nº:4: Calculo Vectorial Mg. M. Adriana Correa Zeballos 
 
 14 
Ejercicios: Calcular la longitud de arco de: 
i) a elipse dada por: 
ii) el segmento de recta dado por 
 
iii) de un giro completo de la hélice dada por 
 
 
c) Interpretación Geométrica de la Derivada de una Función Vectorial 
La derivada de una función vectorial se define como: 
, si este límite existe. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Sea C la curva en el plano que es la representación gráfica de la función vectorial 
r(t) = f(t)i + g(t)j 
Sean P y Q dos puntos pertenecientes a C. El vector de posición correspondiente a P es r(t). El 
vector de posición correspondiente a Q es r(t +Δt). El vector secante está representado por 
 r(t +Δt) - r(t). 
 Si el vector 
 (1) 
tiene la misma dirección y es múltiplo escalar del vector r(t +Δt) - r(t). Cuando:
 
Considerando límite de la expresión (1) cuando : 
 , este vector es por definición . Es decir: 
( ) p202cos2 ££+= tjsentittr !
""
( ) ( ) 1015 ££-+= tjtittr !
""
( ) p201cos 2 ££-++= tktbjbsentitbtr
!"!!
( ) ( ) ( )
t
trttrlimtr
dt
rd
0t
'
D
-D+
==
®®
®D
®®
®
PQ
0t ñD
( ) ( )ú
û
ù
ê
ë
é
-D+
D
®®
trttr
t
1
ïî
ï
í
ì
®
®
®D ®
PenCagentetanrectalaenestáquevectoralPQantesecvectorEl
PQpuntoEl
0t
0t ®D
( ) ( )ú
û
ù
ê
ë
é
-D+
D
®®
®D
trttr
t
1lim
0t
( )
®
tr '
P 
Q 
r(t) 
r(t +Δt) 
C 
 
x 
y 
 
N(t) 
Clase Nº:4: Calculo Vectorial Mg. M. Adriana Correa Zeballos15 
 
 Geométricamente el vector es el vector tangente a la curva C en P, donde C es la 
representación gráfica de r(t). 
Decimos que el vector es tangente a C en P si existe y 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
e) Vector Normal Principal. 
Si C es una curva suave representada por en un intervalo I y si se define el 
vector normal principal unitario en t como: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
6.2. Aplicaciones físicas. 
a) Velocidad. 
 Se considerará el movimiento de una partícula en el plano (el movimiento de una partícula en 
el espacio puede desarrollarse de manera similar). Cuando una partícula se mueve sobre una curva 
en el plano, las coordenadas x e y de su centro de masa son funciones del tiempo t. En lugar de usar 
f y g para representar estas dos funciones es conveniente utilizar x = x(t) e y = y(t). El vector de 
posición r(t) en cada instante de tiempo toma la forma: r(t) = x(t) i + y(t) j. (Recuerde que cuando el 
parámetro t es el tiempo r(t) representa el movimiento de una partícula a lo largo de una curva 
plana). 
( ) ( ) ( )ú
û
ù
ê
ë
é
-D+
D
=
®®
®D
®
trttr
t
1limtr
0t
'
( )
®
tr '
( )
®
tr ' ( )
®
tr ' ( )
®®
¹ Otr '
( )
®
tr ( )
®®
¹ OtT'
( ) ( )
)t(T
tTtN
'
'
®
®
®
=
d) Vector Unitario Tangente. 
También se puede considerar el vector tangente unitario en t: 
 
 
( ) ( )
)t(r
trtT
'
'
®
®
®
=
f) Curvatura. 
Si C es una curva suave representada por , la curvatura de C en t es: 
 
 
La curvatura de C en un punto dado es una medida de qué tan rápido cambia la curva de dirección en un punto. 
 
( )
®
tr
( )
)t(r
tT
K
'
'
®
®
=
 
Clase Nº:4: Calculo Vectorial Mg. M. Adriana Correa Zeballos 
 
 16 
 
® 
El vector velocidad en el tiempo t se define como: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 De la interpretación geométrica de r’(t) se sabe que el mismo representa el vector tangente a 
la curva C en el punto P. Por lo tanto el vector r’(t) nos da la dirección del movimiento en el instante 
t. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ejercicios. 
1) En los siguientes apartados r(t) es el vector posición de una partícula en movimiento en el 
instante t. Calcular la velocidad, la aceleración y la rapidez en ese instante. 
i) r(t) = cos2t i -2sent j t = 0 
ii) r(t) = 4cost i -3sent j +2t k t = π/3 
iii) r(t) = √!
%'#
 i - %
&
	j + √2	t k t = 1 
2) Si r(t) es el vector posición de una partícula en el instante t, hallar los instantes en que los 
vectores velocidad y aceleración son perpendiculares. 
i) r(t) = (t4 + 3) i - 4lnt j – 5t k 
ii) r(t) = et i – etsent j + etcost k 
3) La aceleración de una partícula en el espacio en función del tiempo t es: 
a(t) = 3t i - 4 j + k. Cuando t = 0 la velocidad y la posición de la partícula son, v(0) = 4 i, r(0)= 5 
j. Hallar la velocidad v y la posición r en función del tiempo. 
 
 , si este límite existe. 
Por definición de derivada de función vectorial este límite es , por lo tanto 
 
 
( ) ( ) ( )
t
trttrlimtv
0t D
-D+
=
®®
®D
®
( )
®
tr '
( ) ( ) ( ) ( ) jtyit'xtrtv '' +==
®®
b) Aceleración 
Si las funciones x e y son dos veces derivables de t y r(t) es una función vectorial dada por 
r(t) = x(t) i + y(t) j entonces el vector aceleración en el instante t se define como: 
 
 
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) jtyitxtrtvta ''''''' +===
®®®
c) Rapidez 
El módulo del vector se define como la rapidez de la partícula en el instante t: 
 
( )
®
tr '
( ) ( )
( )[ ] ( )[ ]2'2'
'
tytxRRapidez
trtvRRapidez
+=
==
®®