Clase N 13 Campos Escalares y Vectoriales

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Clase Nº 13: Campos Escalares y Vectoriales Mg. M. Adriana Correa Zeballos 
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DICTADO DE ANALISIS MATEMATICO II EN MODO VIRTUAL 
 
CLASE Nº 13: CAMPOS ESCALARES Y VECTORIALES 
 
 
1. CAMPO ESCALAR 
1.1. Definición 
Hemos visto funciones que a los números reales le determinan otro número real, o si se prefiere 
que le asignan un número real a un punto del espacio. Estas se denominan funciones escalares y 
también se llaman campos escalares. Esta función igualmente es conocida como función de punto o 
función escalar. En el desarrollo de los temas del cálculo diferencial de varias variables, las hemos 
mencionado como funciones a variables reales y a valores reales. 
 Generalizando tendremos que; si la función z = f (x1, x2, …, xn), definida en un conjunto D ϵ Rn, 
para cada n-ada de números reales de su dominio, le asigna otro número real, entonces al conjunto 
de valores de esta función se le suele conocer con el nombre de función escalar o campo escalar. 
Por ejemplo, para la n-ada particular, (x!", x#", … , x$"), perteneciente a su dominio D, le asigna un 
número z0 = f (x!", x#", … , x$"). Como expresión matemática, un campo escalar es una función de . 
. Esto quiere decir que asocia cada punto de un espacio, para el cual está definida, con un 
número o escalar . 
1.2. Campo Escalar en el Plano 
Si la función es de una variable independiente definimos un campo escalar en el plano, es decir 
una función de ℜ →ℜ, que asocia cada punto, de un intervalo para la cual está definida, con un 
número o escalar f(x). El conjunto de todos los pares ordenados (x, y) que definen a la función es lo 
que denominamos el campo escalar en el plano. 
Ejemplo: Consideremos la función y = +√4 −	𝑥#,	definida en el intervalo cerrado -2 ≤ x ≤ 2. 
Solución: Entonces, por ejemplo, para el punto x = 0 la función le asigna el número real 2, de esta 
manera el par ordenado (0, 2) pertenece a la función y así sucesivamente para los infinitos números 
reales pertenecientes a su dominio. 
Gráficamente para este caso particular, tendríamos; 
 
 y 
 
 - 
 -2 o 2 x 
1.3. Campo Escalar en el Espacio Tridimensional 
Si la función es de dos variables independientes especificaremos un campo escalar en el espacio 
tridimensional. Es decir una función ℜ2 →ℜ, que asocia cada punto de un conjunto en ℜ2, para el 
cual está definida, con un número o escalar f(x, y). El conjunto de todos las ternas ordenadas (x, y, z) 
que definen a la función es lo que denominamos el campo escalar en el espacio. 
Ejemplo: Consideremos la función 	𝑧 = +	.𝑥# +	𝑦#, definida para todo par ordenado (x, y) de 
números reales. 
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Solución: Entonces para el par (1, 1) la función le asigna el número real √2, y así sucesivamente para 
los infinitos pares de números reales de su dominio. Gráficamente para este caso particular, 
tendríamos; 
 
2. CAMPO VECTORIAL 
2.1 Definición 
Las funciones vectoriales que asignan un vector a un punto del espacio se denominan campos 
vectoriales. Estos son muy útiles, por ejemplo, para representar campos de fuerza o campos de 
velocidades en física. 
Entonces un campo vectorial en ℜn , es una función, F : D ⊆ ℜn →ℜn, , que asigna a cada punto 
X(x1, x2, …xn) de su dominio D un vector: 
 F(x1,x2, …xn) = F1(x1,x2, …xn) i1 + F2(x1,x2, …xn) i2 + . . . + Fn(x1,x2, …xn) in, donde F1, F2, . . ., Fn son 
funciones escalares e i1, i2, . . ., in, son los vectores unitarios en cada uno de los ejes coordenados 
ortogonales del sistema cartesiano. En la siguiente figura se muestra una forma esquemática de 
representar un campo vectorial, de ℜn →ℜn. 
 F 
• X 
ℜn 
 
 D⊆ℜn 
 
 
2.2. Campo Vectorial en el Plano 
Si F : D ⊆ ℜ2 →ℜ2 , entonces se denomina como campo vectorial en el plano, a esta función 
F(x, y) definida para puntos en ℜ2 hacia el conjunto de vectores bidimensionales, y se escribe: 
 F(x, y) = F1(x, y) i + F2(x, y) j, 
donde F1(x, y) y F2(x, y) son funciones escalares e i y j son los vectores unitarios en cada uno de los 
ejes coordenados ortogonales x, y, respectivamente, del sistema cartesiano. 
Ejemplo: Represente gráficamente el campo vectorial definido de la siguientes manera; 
 F(x, y) = -y i + x j 
• 
X 
 
• F 
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Solución : Para representar este campo vectorial vamos a seleccionar algunos puntos particulares 
de (x, y) para los cuales está definida la función. Consideremos los puntos (1,0), (0,1), (-1, 0) y (0,-1), 
donde la función tendrá los siguientes valores; 
 F(1,0) = 0 i + j, F(0,1) = - i + 0 j, F(-1,0) = 0 i + - j, F(0,-1) = i + 0 j. 
De esta manera tomamos, cada vector resultante y lo graficamos teniendo como punto inicial 
al punto considerado. Por ejemplo para el par (1,0) graficamos el vector F(1,0) = 0 i + j, a partir del 
punto (1,0) . Procediendo de la misma manera con los otros vectores se obtiene la representación 
gráfica del campo. Para este se tendrá: 
 y 
 
 
 F(0,1) 
 1 F(1,0) 
 -1 
 (0, 0) 1 x 
 F(-1,0) -1 
 F(0,-1) 
 No se debe perder de vista que, en este ejemplo, hemos graficado solo cuatro vectores de 
infinitos posibles, 
2.3. Campo Vectorial en el Espacio Tridimensional 
Si F : D ⊆ ℜ3 →ℜ3 , entonces se denomina como campo vectorial en el espacio tridimensional 
(coloquialmente; campo vectorial en el espacio), a esta función F(x, y, z) definida para puntos en ℜ3, 
hacia el conjunto de vectores tridimensionales, denotándose de la siguiente manera; 
F(x, y, z) = F1(x, y, z) i + F2(x, y, z) j + F3(x, y, z) k, 
donde F1(x, y, z), F2(x, y, z) y F3(x, y, z), son funciones escalares e i , j y k son los vectores unitarios en 
cada uno de los ejes coordenados ortogonales x, y, z, respectivamente, del sistema cartesiano. 
En la siguiente Figura se muestra una forma esquemática el modo de representar un campo vectorial, 
de ℜ3 →ℜ3. 
 F(X) 
 
 FF 
 F 
 
• X 
 
 ℜ3 
 D⊆ℜ3 
 
• 
X 
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Ejemplo: Represente gráficamente el campo vectorial definido de la siguientes manera; 
 F(x, y, z) = -y i - x j + z k 
Solución : Para representar este campo vectorial vamos a seleccionar algunos puntos particulares de 
(x, y, z) para los cuales está definida la función. Consideremos los puntos (1,0, 0), (0,1, 0) y (0, 0, 1), 
dondela función tendrá los siguientes valores: 
F(1,0,0)) = 0i – j +0 k, F(0,1,0) = - i – 0j + 0k, F(0,0,1) = 0i + 0 j + k 
De esta manera tomamos, cada vector resultante y lo graficamos teniendo como punto inicial 
al punto considerado. Por ejemplo para (1,0, 0) graficamos el vector F(1,0,0) = 0i – j + 0k, a partir del 
punto (1,0,0). Procediendo de la misma manera con los otros vectores se obtiene la representación 
gráfica del campo. Para este se tendrá: 
 z 
 
 
 
 
 F(,0,0,1) 
 1 F(0,1,0) 
 (0,0,0) 
 F(1,0,0) 1 1 y 
 
 
 x 
También en este ejemplo, hemos tomado solo tres vectores para graficarlos, de infinitos 
posibles. 
2.4. Campo Vectorial Cuadrático Inverso 
Si r(t) = x(t) i + y(t) j + z(t) k, es el vector posición de un punto en el espacio tridimensional, 
donde x(t), y(t) y z(t) son funciones escalares del parámetro t, e i, j y k son los vectores unitarios en 
los respectivos ejes coordenados cartesianos tridimensionales, entonces definimos como campo 
vectorial cuadrático inverso F(x, y, z) al determinado por: 
F(x, y, z) = %|𝐫())|!u(t) 
 Donde, c es una constante real, u(t) es un vector unitario en la dirección del vector r(t), 
definido como; 
𝐮(t) = 	 𝐫())|𝐫())| 
y |𝐫(t)|# es el cuadrado del módulo del vector r(t). 
 
3. OPERADOR DIFERENCIAL VECTORIAL NABLA 
3.1. Definición 
El operador diferencial vectorial nabla es sumamente útil en diversas disciplinas, se lo 
representa por el símbolo (nabla), y en coordenadas cartesianas n-dimensionales, se define como: 
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 = +
+,"
 i1+ 
+
+,!
 i2 +	 ++,# i3+ . . . +
+
+,$
 in 
 
Donde las		 +
+,%
 , para j = 1, 2, . . ., n, es la derivada parcial respecto de cada variable e i1, i2, . . 
., in, son los vectores unitarios en las direcciones de los respectivos ejes coordenados del sistema 
cartesiano. 
En consecuencia en coordenadas cartesianas tridimensionales será; 
 = +
+,
 I + +
+-
 j +	 ++. k 
y en coordenadas cartesianas en el plano 
 = +
+,
 i + +
+-
 j 
Donde, para estos casos particulares, a los vectores unitarios en las direcciones de los ejes 
coordenados x, y, z, los designamos con i, j y k respectivamente. 
3.2. Aplicaciones del Operador Nabla 
El operador diferencial vectorial nabla puede ser aplicado sobre funciones escalares y funciones 
vectoriales. Consideremos los siguientes casos: 
a) Nabla Aplicado a una Función Escalar. 
 Cuando al operador diferencial vectorial nabla se lo aplica a una función escalar f (x1, x2. . ., 
xn), funciona como el producto algebraico de un vector por un escalar. Se debe tener presente que 
los productos de cada vector componente de nabla por la función escalar f, se interpreta como la 
derivada parcial de la función respecto de la correspondiente variable. Por ejemplo, cuando 
realizamos el producto algebraico, 
 ( +
+,%
 ij)[f (x1, x2, . . ., xn)], 
este se traduce como la derivada parcial de la función f respecto de xj, entonces se tendrá que: 
( +
+,%
 ij)[f (x1, x2, . . ., xn)] = [fxj (x1, x2, . . ., xn)] ij 
 Para todo j = 1, 2, . . . ,n). 
b) Nabla Aplicado Escalarmente a una Función Vectorial. 
 Cuándo al operador diferencial vectorial nabla se lo aplica escalarmente a una función vectorial, 
F(x1, x2,..,xn) = F1(x1, x2,..., xn)i1 + F2(x1, x2,..., xn)i2 + ... + Fn(x1, x2,..., xn)in, funciona como el producto 
escalar, también llamado producto punto (.), de dos vectores. 
También para este caso los productos escalares de la función por los correspondientes 
componente del vector nabla se interpretan de la misma manera que el producto algebraico de 
funciones escalares con el operador nabla, que consideramos el apartado anterior, teniendo en 
cuenta, además, lo que establece el álgebra lineal para el producto escalar de dos vectores. Por 
ejemplo, para el producto escalar del componente del operador nabla, ( +
+,%
 ij) por la correspondiente 
componente Fj (x1, x2, . . ., xn) ij, de la función vectorial F, será: 
( +
+,%
 ij).[Fj (x1, x2, . . ., xn) ij] = 
+/%(,",,!,…,,$)
+,%
 
Para todo j = 1, 2, . . . , n. 
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c) Nabla Aplicado Vectorialmente a una Función Vectorial. 
 Cuándo al operador diferencial vectorial nabla se lo aplica vectorialmente, a una función 
vectorial F, funciona como el producto vectorial, también denominado producto cruz (x), de dos 
vectores, con las interpretaciones de los productos algebraico y escalar, que se consideraron para los 
casos desarrollados en los puntos a y b anteriores. Por ejemplo, si se aplica el operador nabla definido 
en el espacio tridimensional, +
+,
 i+ +
+-
 j +	 ++. k, a la función vectorial F(x, y, z) = F1(x, y, z) i + F2(x, y, z) j 
+ F3(x, y, z) k, según nos muestra el algebra lineal será; 
 
xF = 7
𝐢 𝐣 𝐤
+
+,
+
+-
+
+.
F! F# F2
7 
 
3.3. Propiedades del Operador Nabla 
Este operador matemático nabla tiene carácter vectorial; sin embargo carece de algunas de las 
propiedades de las que gozan las magnitudes vectoriales, como por ejemplo el módulo. Sin perder 
generalidad vamos a analizar las propiedades que si tiene el operador diferencial vectorial nabla, en 
coordenadas cartesianas tridimensionales. 
Entonces, siendo c una constante real, f(x,y,z) y g(x, y, z) dos funciones escalares y F(x, y, z) y 
G(x, y, z) dos funciones vectoriales, se cumple que; 
 
1) (cf) = c f 
2) (f + g) = f + g 
3) .(cF) = c .F 
4) .(F + G) = .F + .G 
5) (fg) = f g + g f 
6) .(f F) = f .F + F. f 
7) x(f F) = f xF + f x F 
8) .(FxG) = G.( xF) – F.( xG) 
9) x(cF) = c xF 
10) x(F + G) = xF + xG 
 
3.4. Demostraciones de las Propiedades. 
Teorema 1: 
 Sea f(x, y, z) una función escalar que admite derivadas parciales en su dominio y c una constante 
real, entonces se cumple que: (cf) = c f 
Hipotesis: 
- f(x, y, z) es una función escalar derivable. 
- c una constante real. 
Tesis: 
(cf) = c f 
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Demostración: 
 Aplicando el operador diferencial vectorial nabla a la función [cf(x, y z)], se tiene que : 
(cf) = (cf)xi + (cf)yj + (cf)zk 
 Siendo c una constante y por propiedad de las derivadas, el segundo miembro de esta igualdad 
se puede escribir como: 
(cf) = cfxi + cfyj + cfzk 
(cf) = c(fxi + fyj + fzk) 
La expresión que queda dentro del paréntesis en el segundo miembro de esta última igualdad 
no es otra cosa que la aplicación del operador nabla a la función f(x,y,z), entonces: 
(cf) = c f 
Teorema 2: 
Sean f(x, y, z) y g(x, y, z) funciones escalares, que admiten derivadas parciales en sus dominios, 
entonces se cumple que: (f + g) = f + g 
Hipótesis: 
- f(x, y, z) función escalar, que admite derivadas parciales en su dominio. 
- g(x, y, z) función escalar, que admite derivadas parciales en su dominio. 
 
Tesis: 
(f + g) = f + g 
Demostración: 
 Aplicando el operador diferencial vectorial nabla a la función [f + g], se tiene que : 
 (f + g) = (f + g)xi + (f+ g)yj + (f+ g)zk 
De acuerdo a las propiedades de las derivadas, sabemos que la derivada de una sumade 
funciones es la suma de las derivadas de cada función. 
 (f + g) = fxi + gxi + fyj+ gyj + fzk+ gzk 
 (f + g) = [fxi + fyj + fzk] + [gxi + gyj + gzk] 
Los tres primeros sumandos del segundo miembro de esta última igualdad (escritos entre 
corchetes) constituyen la operación nabla aplicada a la función f y los tres últimos (también entre 
corchetes), es la de nabla aplicada a la función g. Entonces: 
(f + g) = f + g 
 
Teorema 3: 
 Sea F(x, y, z) una función vectorial que admite derivadas parciales en su dominio y c una 
constante real, entonces se cumple que: 
.(cF) = c .F 
Hipotesis: 
- F(x, y, z) = M(x, y, z)i + N(x, y, z)j + P(x, y, z)k, es una función vectorial derivable. 
- c una constante real. 
Tesis: 
.(cF) = c .F 
Demostración: 
 La función a considerar en este caso es [cF(x,y, z)], entonces se tiene: 
cF = c(M i+ Nj + Pk) 
cF = cM i+ cNj + cPk 
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 Aplicando el operador diferencial vectorial nabla escalarmente a esta función vectorial [cF(x, y 
z)], se tiene que : 
.(cF) = cMx + cNy + cPz 
 Siendo c una constante y por propiedad de las derivadas, el segundo miembro de esta igualdad 
se puede escribir como: 
.(cF) = c(Mx + Ny + Pz) 
La expresión que queda dentro del paréntesis en el segundo miembro de esta última igualdad 
no es otra cosa que la aplicación escalar del operador nabla a la función vectorial F(x,y,z), entonces: 
.(cf) = c .F 
Teorema 4: 
Sean: 
 F(x, y, z) = M(x, y, z)i + N(x, y, z)j + P(x, y, z)k y 
 G(x, y, z) = R(x, y, z)i + S(x, y, z)j + T(x, y, z)k, 
dos funciones vectoriales que admiten derivadas parciales en sus dominios, entonces se cumple que: 
.(F + G) = .F + .G 
Hipótesis: 
- F(x, y, z) = M(x, y, z)i + N(x, y, z)j + P(x, y, z)k, función vectorial que admite derivadas parciales 
en su dominio. 
- G(x, y, z) = R(x, y, z)i + S(x, y, z)j + T(x, y, z)k, función vectorial que admite derivadas parciales 
en su dominio. 
Tesis: 
 .(F + G) = .F + .G 
Demostración: 
Considerando la función vectorial [F + G], según establece el álgebra lineal, esta se expresa 
como: 
F + G = (M + R)i + (N + S)j + (P + T)k 
Aplicando escalarmente el operador diferencial vectorial nabla a esta función vectorial [F + G], se 
tiene que : 
 .(F + G) = (M + R)x + (N + S)y + (P + T)z 
De acuerdo a las propiedades de las derivadas, sabemos que la derivada de una suma de 
funciones es la suma de las derivadas de cada función. 
 
 (F + G) = Mx + Rx + Ny+ Sy + Pz+ Tz 
 (F + G) = [Mx + Ny + Pz] + [Rx + Sy + Tz] 
Los tres primeros sumandos del segundo miembro de esta última igualdad (escritos entre 
corchetes), constituyen la operación nabla aplicada escalarmente a la función F y los tres últimos 
(también entre corchetes), es la de nabla aplicada escalarmente a la función G. Entonces 
 .(F + G) = .F + .G 
Teorema 5: 
Sean f(x, y, z) y g(x, y, z) funciones escalares, que admiten derivadas parciales en sus dominios, 
entonces se cumple que: (fg) = f g + g f 
Hipótesis: 
- f(x, y, z) función escalar que admite derivadas parciales en sus dominio. 
- g(x, y, z) función escalar que admite derivadas parciales en sus dominio. 
 
Tesis: 
 (fg) = f g + g f 
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Demostración: 
 Aplicando el operador nabla al producto de fuciones escalares [fg], se tiene: 
(fg) = (fg)xi + (fg)yj + (fg)zk 
Cada paréntesis del segundo miembro de esta igualdad, significa la derivada del producto de 
dos funciones respecto de x, y, z, respectivamente. Entonces por propiedad de la derivada del 
producto de dos funciones, será: 
 (fg) = fxgi + fgxi + fygj+ fgyj + fzgk+ fgzk 
Extrayendo el factor común f del segundo, cuarto y sexto sumando del segundo miembro de 
esta igualdad y el factor común g del primer, tercer y quinto sumando de la misma, resulta: 
 (fg) = f(gxi + gyj + gzk) + g(fxi + fyj + fzk) 
El primer paréntesis del segundo miembro de esta igualdad es la aplicación del operador nabla 
la función g y el segundo paréntesis a la función f. Entonces: 
 (fg) = f g + g f 
 
Teorema 6: 
 Sean, f(x, y z) una función escalar y F(x, y, z) una función vectorial, que admiten derivadas 
parciales en sus dominios, entonces se cumple que: 
.(f F) = f .F + F. f 
Hipótesis: 
- f(x, y, z) función escalar, que admite derivadas parciales en su dominio. 
- F(x, y, z) función vectorial que admite derivadas parciales en su dominio. 
Tesis: 
 .(f F) = f .F + F. f 
Demostración: 
 Aplicando escalarmente el operador nabla al producto de la función escalar f por la función 
vectorial F; [fF], donde F(x, y, z) = M(x, y, z)i + N(x, y, z)j + P(x, y, z)k se tiene: 
 .(fF) = (fM)x + (fN)y + (fP)z 
Cada paréntesis del segundo miembro de esta igualdad, significa la derivada del producto de 
dos funciones respecto de x, y, z, respectivamente. Entonces por propiedad de la derivada del 
producto de dos funciones, será: 
 .(fF) = fx M + f Mx + fy N+ f Ny+ fz P+ f Pz 
Extrayendo el factor común f del segundo, cuarto y sexto sumando del segundo miembro de 
esta igualdad y expresando el primer, tercer y quinto sumando como el producto escalar de F y f, 
resulta: 
 .(fF) = f(Mx + Ny + Pz) + (Mi+Nk+Pk).(fxi + fyj + fzk) 
El primer paréntesis del segundo miembro de esta igualdad es la aplicación escalar del operador 
nabla a la función vectorial F y el segundo término es el producto escalar de la función F con el f. 
Entonces: 
.(f F) = f .F + F. f 
 
Teorema 7: 
 Sean, f(x, y z) una función escalar y F(x, y, z) una función vectoral, que admiten derivadas 
parciales en sus dominios, entonces se cumple que: 
x (f F) = f xF + f x F 
Hipótesis: 
- f(x, y, z) función escalar, que admite derivadas parciales en su dominio. 
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- F(x, y, z) = M(x, y, z)i + N(x, y, z)j + P(x, y, z)k, función vectorial que admite derivadas parciales en 
su dominio. 
Tesis: 
 x(f F) = f xF + f x F 
Demostración: 
 La función a considerar es f F(x, y, z ), entonces: 
f F(x, y, z) = fM(x, y, z)i + fN(x, y, z)j + fP(x, y, z)k, 
aplicando vectorialmente el operador nabla a esta función, f F(x, y, z ), se tendrá: 
x(fF) = <
𝐢 𝐣 𝐤
+
+,
+
+-
+
+.
fM fN fP
< 
 Resolviendo este determinante se tiene: 
x(fF) = (fP)yi + (fM)zj + (fN)xk – (fM)yk – (fP)xj - (fN)zi 
Cada uno de los parentesis del segundo miembro de esta igualdad es la derivada de un 
producto de funciones, desarrollándolos se obtiene: 
x(fF) = fyPi+fPyi+fzMj+fMzj+fxNk+fNxk-fyMk-fMyk-fxPj-fPxj-fzNi-fNzi 
Sacando factor común f, en todos los sumandos donde sea posible, del segundo miembro de 
esta igualdad, 
x(fF) = f(Pyi+Mzj+Nxk-Myk-Pxj-Nzi) + fyPi+fzMj+fxNk-fyMk-fxPj-fzNi 
De los seis últimos sumandos que quedan fuera del parentesis, se extraen los factores 
comunes i, j, k. 
x(fF) = f(Pyi+Mzj+Nxk-Myk-Pxj-Nzi) + (fyP-fzN)i+(fzM-fxP)j+(fxN-fyM)k 
 
En el paréntesis del factor común f, se extraen los factores comunes i, j, k. 
x(fF) = f[(Py-Nz)i+(Mz-Px)j+(Nx-My) k] +[(fyP-fzN)i+(fzM-fxP)j+(fxN-fyM)k] 
El primer corchete de esta igualdad es xF y el segundo corchete es fxF. Entoces se cumple 
que: 
x(f F) = f xF + f x F 
 
Teorema 8: 
 Sean: 
 F(x, y, z) = M(x, y, z)i + N(x, y, z)j + P(x, y, z)k y 
 G(x, y, z) = R(x, y, z)i + S(x, y, z)j + T(x, y, z)k, 
dos funciones vectoriales que admiten derivadas parciales en sus dominios, entonces se cumple que: 
 .(FxG) = G.( xF) – F.( xG) 
Hipótesis: 
- F(x, y, z) = M(x, y, z)i + N(x, y, z)j + P(x, y, z)k, función vectorial que admite derivadas parciales 
en su dominio. 
- G(x, y, z) = R(x, y, z)i + S(x, y, z)j + T(x, y, z)k, función vectorial que admite derivadas parciales 
en su dominio. 
Tesis: 
 .(FxG) = G.(xF) – F.( xG) 
Demostración: 
 La función a considerar en esta oportunidad es [FxG]. 
 
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FxG = A
𝐢 𝐣 𝐤
𝑀 𝑁 𝑃
R S T
A 
 
FxG = NTi + PRj + MSk – NRk – MTj - PSi 
FxG = (NT- PS)i + (PR– MT)j + (MS – NR)k 
 Aplicando escalarmente el operador nabla sobre este producto vectorial de las funciones 
FxG , se obtiene: 
 .(FxG) = (NT- PS)x + (PR– MT)y + (MS – NR)z 
Cada paréntesis del segundo miembro de esta igualdad es la derivada de la diferencia del 
producto de dos funciones. Aplicando las propiedades de las las derivadas se desarrollan, con lo que 
se obtiene: 
 .(FxG)=NxT+NTx-PxS-PSx+PyR+PRy–MyT- MTy+MzS+MSz–NzR- NRz 
 
Extrayendo los factores comunes R, S y T, en primer lugar, y luego M, N y P, se logra: 
 .(FxG)=[R(Py-Nz)+ S(Mz-Px)+T(Nx-My)]+[M(Sz- Ty)+N(Tx- Rz)+P(Ry- Sx)] 
El primer corchete del segundo miembro de esta igualdad es [G.( xF)] y el segundo corchete 
es [– F.( xG)]. Esta afirmación se puede probar facilmente desarrollando las correspondientes 
operaciones. En consecuencia: 
 
 .(FxG) = G.( xF) – F.( xG) 
 
Teorema 9: 
Sea F(x, y, z) una función vectorial que admite derivadas parciales en su dominio y c una 
constante real, entonces se cumple que: x(cF) = c xF 
Hipótesis: 
- F(x, y, z) = M(x, y, z)i + N(x, z, y)j + P(x, y, z)k, es una función vectorial derivable en su dominio. 
- c es una constante real 
Tesis: 
x(cF) = c xF 
 
Demostración: 
 Vamosa considerar ahora la función [cF(x, y, z)], entonces: 
cF(x, y, z) = c[M(x, y, z)i + N(x, z, y)j + P(x, y, z)k] 
cF(x, y, z) = cM(x, y, z)i + cN(x, z, y)j + cP(x, y, z)k 
 Aplicando vectorialmente el operador nabla a la función cF(x, y, z) se tendrá: 
x(cF) = <
𝐢 𝐣 𝐤
+
+,
+
+-
+
+.
cM cN cP
< 
 
Resolviendo el determinante, queda: 
x(cF) = cPyi + cMzj + cNxk - cMyk - cPxj - cNzi 
x(cF) = (cPy – cNz)i + (cMz- cPx )j + (cNx – cMy)k 
 
Siendo c una constante y por propiedad de las derivadas se puede sacar factor común c del segundo 
miembro de esta igualdad. 
x(cF) = c[(Py – Nz)i + (Mz- Px )j + (Nx – My)k] 
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 12 
 
La expresión que queda en el corchete no es otra cosa que el operador nabla aplicado 
vectorialmente sobre la función vectorial F, en consecuencia queda: 
x(cF) = c xF 
 
Teorema 10: 
Sean F(x, y, z) y G(x, y, z) funciones vectoriales, que admiten derivadas parciales en sus 
dominios, entonces se cumple que: 
 
x(F + G) = xF + xG 
 
Hipótesis: 
- F(x, y, z) = M(x, y, z)i + N(x, y, z)j + P(x, y, z)k, función vectorial que admite derivadas parciales 
en su dominio. 
- G(x, y, z) = R(x, y, z)i + S(x, y, z)j + T(x, y, z)k, función vectorial que admite derivadas parciales 
en su dominio. 
 
Tesis: 
x (F + G) = xF + xG 
Demostración: 
 Consideramos la función [F + G] y por propiedad de las funciones vectoriales tendremos que: 
F + G = (M + R)i + (N + S)j + (P + T)k 
 Aplicando vectorialmente el operador nabla a esta sums de funciones vectoriales, será: 
 
x (F+G) = <
𝐢 𝐣 𝐤
+
+,
+
+-
+
+.
M+ R N + S P + T
< 
 
 x (F+G) = (P +T) yi + (N+S)xk+(M+R)zj-(M+R)yk-(P+T)xj-(N+S)zi 
Cada parentesis del segundo miembro de esta igualdad es la derivada de la suma de dos 
funciones, aplicando la propiedad de las derivadas se tiene: 
x (F+G) = P yi +T yi + N xk +S xk+M zj+R zj-M yk -R yk -P xj-T xj-Nzi-Szi 
Sacando factor comun i, j, k, sobre las fnciones componentes M, N, R, y los mismos vectores sobre 
las funciones, R, S, T ) 
x (F+G)=[(P y-Nz)i+(M z-P x)j+(N x-M y) k]+[(T y–Sz)i+(R z-T x)j+(S x-R y)k] 
 
El primer corchete del segundo miembro de última igualdad es el operador nabla aplicado 
vectorialmente a la función F y el segundo corchete es el operador nabla aplicado vectorialmente a 
la función G. 
x (F + G) = xF + xG 
 
4. GRADIENTE DE UN CAMPO ESCALAR 
Si bien es cierto en el cálculo diferencial definimos el gradiente de una función, como el vector 
cuyas componentes son las derivadas parciales respecto de cada variable y mostrábamos, para el 
caso particular de una función de dos variables, que este vector gradiente era perpendicular a la 
curva de nivel de la función en el punto considerado o bien a la superficie de nivel, en el punto de 
Clase Nº 13: Campos Escalares y Vectoriales Mg. M. Adriana Correa Zeballos 
 13 
cálculo, si la función era de tres variables. Ahora estamos en condiciones de especificar el gradiente 
usando el operador nabla. 
Definimos como gradiente de un campo escalar f(x1, x2,..., xn) determinado en un dominio D 
en coordenadas cartesianas n-dimensionales; como el producto algebraico del operador diferencial 
vectorial nabla con el campo escalar f ,y lo denotamos como grad f. Entonces, 
grad f = f 
 
grad f = ( +
+,"
 i1+ 
+
+,!
 i2 +	 ++,# i3+ . . . +
+
+,$
 in) f(x1, x2,..., xn) 
grad f = +3
+,"
 i1+ 
+3
+,!
 i2 +	 +3+,# i3+ . . . +
+3
+,$
 in, 
o si se prefiere; 
grad	f = f,"(x!, x#, . . . , x$)𝐢𝟏 + f,!(x!, x#, . . . , x$)𝐢𝟐+	.			.			. +f,$(x!, x#, . . . , x$)𝐢𝐧 
En consecuencia, en coordenadas cartesianas tridimensionales será; 
grad f = ( +
+,
 i+ +
+-
 j +	 ++. k) f(x, y, z) 
grad f = fx(x, y, z) i + fy(x, y, z) j + fz(x, y, z) k, 
y en coordenadas cartesianas en el plano 
grad f = ( +
+,
 i + +
+-
 j) f(x, y) 
grad f = fx(x, y) i + fy(x, y) j 
Obsérvese que el gradiente de un campo escalar resulta siempre un campo vectorial. 
 
5. DIVERGENCIA DE UN CAMPO VECTORIAL 
Definimos como divergencia de un campo vectorial en coordenadas cartesianas n-
dimensionales, 
F(x1, x2,..,xn) = F1(x1, x2,..., xn) i1 + F2(x1, x2,..., xn) i2 + ... + Fn(x1, x2,..., xn) in, 
como el producto escalar (o producto punto) del operador diferencial vectorial nabla con el campo 
vectorial F y lo denotamos como divF. Entonces, 
divF = .F 
divF = ( +
+,"
i1+
+
+,!
i2+...+
+
+,$
in) . [F1(x1,x2,...,xn)i1 + F2(x1,x2,...,xn)i2+...+ Fn(x1,x2,...,xn)in] 
Según nos indica el algebra lineal este producto escalar de dos vectores será; 
divF = +/"(,",,!,...,,$)
+,"
	+	+/!(,",,!,...,,$)
+,!
 +. . . +		+/$(,",,!,...,,$)
+,$
 
En consecuencia para una función, 
F(x, y, z) = M(x, y, z) i + N(x, y, z) j +P(x, y, z) k, 
 en coordenadas cartesianas tridimensionales, la divergencia será; 
divF = ( +
+,
 i+ +
+-
 j +	 ++. k) . [M(x, y, z) i + N(x, y, z) j + P(x, y, z) k] 
divF = Mx(x, y, z) + Ny(x, y, z) + Pz(x, y, z), 
y para una función vectorial, F(x, y) = M(x, y) i + N(x, y) j, en coordenadas cartesianas en el plano, se 
tendrá: 
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 14 
divF = ( +
+,
 i+ +
+-
 j) . [M(x, y) i + N(x, y) j] 
 divF = Mx(x, y) + Ny(x, y) 
 
Obsérvese que la divergencia de un campo vectorial resulta siempre un campo escalar. 
Los campos vectoriales con divergencia nula (divF = 0) se llaman Solenoidales. 
Siendo F(x, y, z) un campo de velocidades de un fluido, entonces; 
* si divF = 0, el fluido es incompresible, 
* si divF < 0 el fluido se comprime, 
* si divF > 0 el fluido se expande. 
 
6. ROTACIONAL DE UN CAMPO VECTORIAL 
Definimos como rotacional de un campo vectorial F, al producto vectorial (o producto cruz), 
del operador diferencial vectorial nabla con el campo vectorial F y lo denotamos como rot F. 
Entonces, 
rotF = xF 
En consecuencia para una función, 
F(x, y, z) = M(x, y, z) i + N(x, y, z) j +P(x, y, z) k, 
 en coordenadas cartesianas tridimensionales, será; 
rotF = ( +
+,
 i+ +
+-
 j +	 ++. k) x [M(x, y, z) i + N(x, y, z) j +P(x, y, z) k] 
 
Según nos indica el álgebra lineal a esta operación la podemos desplegar como; 
 
rot𝐅 = 7𝐢 𝐣 𝐤
∂
∂x
∂
∂y
∂
∂z
M N P
7	 
 Resolviendo este determinante de tercer orden, tendremos que; 
rotF = Pyi + Mz j + Nx k – My k – Px j – Nz i 
 
 Agrupando los términos con idénticos vector unitario, se obtiene la expresión final del 
rotacional de un campo vectorial en el espacio tridimensional; 
rotF = (Py - Nz) i + (Mz - Px) j + (Nx – My) k 
Obsérvese que el rotacional de un campo vectorial resulta siempre un campo vectorial. 
Siendo F(x, y, z) un campo de velocidades de un fluido, entonces; 
* si rot F ≠ 0, el fluido es Turbulento, 
* si rot F = 0 el fluido es No Turbulento. 
 
7. INVARIANTES DE SEGUNDO ORDEN 
7.1. Divergencia del Gradiente de un Campo Escalar. LAPLACIANO 
Considerando la función escalar o campo escalar f(x, y,z) en el sistema cartesiano 
tridimensional, hemos visto que su gradiente es: gradf= f, y operando resulta; 
gradf = fx(x, y, z) i + fy(x, y, z) j + fz(x, y, z) k 
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 15 
 Si calculamos la divergencia de este campo vectorial, que es el gradiente de la función escalar 
f, se tendrá; 
div(grad f) = . f 
div(gradf) = ( +
+,
 i+ +
+-
 j +	 ++. k) . [fx(x, y, z) i + fy(x, y, z) j + fz(x, y, z) k] 
 
div(gradf) = fxx(x, y, z) + fyy(x, y, z) + fzz(x, y, z), 
que generalmente se expresa como; 
 2f = fxx(x, y, z) + fyy(x, y, z) + fzz(x, y, z), 
A esta función escalar 2f se la conoce como el Laplaciano de la función f(x, y, z), en 
coordenadas cartesianas. 
Cuando f(x, y, z), cumple con la ecuación de Laplace; 2f = 0, entonces se dice que la función 
f(x, y, z) es una función armónica. 
7.2. Rotacional del Gradiente de un Campo Escalar. FUNCIÓN POTENCIAL 
De la misma manera que en el apartado anterior, dada la función escalar o campo escalar f(x, 
y,z) en el sistema cartesiano tridimensional, sabemos que su gradiente es: gradf = f, y que 
operando resulta; 
 
grad f = fx(x, y, z) i + fy(x, y, z) j + fz(x, y, z) k 
 
 Si calculamos el rotacional de este campo vectorial, que es el gradiente de la función escalar f, 
se tendrá; 
rot(grad f) = x f 
 
rot(grad f) = ( +
+,
 i+ +
+-
 j +	 ++. k) x [fx(x, y, z) i + fy(x, y, z) j + fz(x, y, z) k] 
rot(grad	f) = 77
𝐢 𝐣 𝐤
∂
∂x
∂
∂y
∂
∂z
f, f- f.
77 
 
rot(grad f) = fzyi + fxz j + fyx k – fxy k – fzx j – fyz i 
rot(grad f) = (fzy - fyz) i + (fxz - fzx) j + (fyx – fxy) k 
 
Si f(x, y, z) cumple con el teorema de Schwarz-Clairaut, entonces por simple inspección de esta 
igualdad podemos concluir que el rotacional del gradiente de un campo escalar f es siempre el vector 
nulo. 
rot(grad f) = 0 
* Si rot F = 0, entonces se dice que el campo vectorial F es irrotacional 
 A modo de conclusión podemos expresar que: si F es un campo irrotacional, es decir su 
rotacional es el vector nulo (rot F = 0), esto significa que F = grad f, o sea que existe una función 
escalar f de la cual F es su gradiente. Entonces f recibe el nombre de función potencial y F = grad f se 
denomina campo vectorial conservativo. 
 ¿Qué condiciones debe cumplir F para ser conservativo? Analicemos para los casos de un 
campo vectorial F, definido en el plano y en el espacio. 
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 16 
 
a) En el plano 
Teorema. 
Dado el campo vectorial definido en el plano por; 
F(x, y) = M(x, y) i + N(x, y) j, 
donde M y N tienen derivadas parciales continuas en un disco abierto R, entonces F es conservativo 
si y sólo sí My = Nx. 
Consideraremos sólo la condición necesaria- 
H) F es un campo vectorial conservativo. 
T) My = Nx 
D) Si F es un campo vectorial conservativo entonces F = grad f y por lo tanto, 
M(x, y) i + N(x, y) j = fx(x, y) i + fy (x,y) j 
Por igualdad de vectores, 
M(x, y) = fx(x, y) (1) 
N(x, y) = fy (x,y) (2) 
 
 Derivando ambos miembros de la igualdad (1) respecto a y, en la igualdad (2) respecto a x, se 
tiene: 
My(x, y) = fxy(x, y) (3) 
Nx(x, y) = fyx (x,y) (4) 
 
 Como los segundos miembros de (3) y (4) son iguales los primeros también lo son, en 
consecuencia para que F sea conservativo es necesario que: 
My(x, y) = Nx(x, y) 
 
b) En el Espacio Tridimensional 
Teorema. 
 Dado el campo vectorial definido en el espacio tridimensional por; 
F(x, y, z) = M(x, y, z) i + N(x, y, z) j+ P(x, y, z) k, 
donde M, N y P tienen derivadas parciales continuas en un conjunto R del espacio tridimensional, 
entonces F es conservativo si y sólo sí: 
My = Nx, Mz = Px y Nz = Py. 
H) F(x, y, z) = M(x, y, z) i + N(x, y, z) j+ P(x, y, z) k es un campo vectorial conservativo. 
T) My = Nx, Mz = Px y Nz = Py 
D) Si F es un campo vectorial conservativo entonces F = grad f y por lo tanto, 
M(x, y, z) i + N(x, y, z) j+ P(x, y, z) k = fx(x, y, z) i + fy (x, y, z) j + fz(x, y, z) k 
 Por igualdad de vectores, 
M(x, y, z) = fx(x, y, z) (1) 
N(x, y, z) = fy (x, y, z) (2) 
P(x, y, z) = fz (x, y, z) (3) 
 Derivando ambos miembros de la igualdad (1) respecto a y, la igualdad (2) respecto a x, se 
tiene: 
My(x, y, z) = fxy(x, y, z) 
Nx(x, y, z) = fyx (x,y, z) 
 De adonde se obtiene que; 
My(x, y, z) = Nx(x, y, z) 
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 17 
 Derivando ambos miembros de la igualdad (1) respecto a z, y la igualdad (3) respecto a x, se 
tiene: 
Mz(x, y, z) = fxz(x, y, z) 
Px(x, y, z) = fzx (x, y, z) 
 
Con lo que se muestra que; 
Mz(x, y, z) = Px(x, y, z) 
 Derivando ambos miembros de la igualdad (2) respecto a z, y la igualdad (3) respecto a y, se 
tiene: 
Nz(x, y, z) = fyz(x, y, z) 
Py(x, y, z) = fzy (x, y, z) 
 Estas igualdades determinan que; 
Nz(x, y, z) = Py(x, y, z) 
 De adonde se concluye que, para que el campo vectorial definido por; 
F(x, y, z) = M(x, y, z) i + N(x, y, z) j+ P(x, y, z) k 
sea conservativo, es necesario que: 
My = Nx, Mz = Px y Nz = Py 
 
7.3. Divergencia del Rotacional de un Campo Vectorial 
Dado el campo vectorial F, en coordenadas cartesianas tridimensionales, F(x,y, z) = M(x, y, z) i 
+ N(x, y, z) j +P(x, y, z) k, sabemos que su rotacional es; 
rotF = xF 
donde, operando algebraicamente se dedujo que; 
rotF = (Py - Nz) i + (Mz - Px) j + (Nx – My) k 
Calculando la divergencia de este campo vectorial, se tiene; 
div(rotF) =( +
+,
 i+ +
+-
 j +	 ++. k) . [(Py - Nz) i + (Mz - Px) j + (Nx – My) k] 
 
 div(rot F) = Pyx - Nzx + Mzy - Pxy + Nxz – Myz 
 
 Si M, N y P son funciones cumplen con el teorema de Schwarz-Clairaut, entonces podemos 
concluir que la divergencia del rotacional de un campo vectorial F es siempre igual a cero. 
div(rotF) = 0 
 
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 18 
Consignas para la revisión de la teoría 
Analice, defina, enuncie y demuestre, cuando sea necesario, en las siguientes consignas: 
1. Campo escalar en el plano. 
2. Campo escalar en el espacio tridimensional. 
3. Campo vectorial en el plano. 
4. Campo vectorial en el espacio tridimensional. 
5. Operador diferencial vectorial nabla. 
6. Gradiente de un campo escalar. 
7. Divergencia de un campo vectorial. 
8. Rotacional de un campo vectorial. 
9. Invariantes de segundo orden. 
 
Consignas para la revisión de la práctica 
Resuelva los siguientes ejercicios que se proponen. 
1. Demuestre que el rotacional de un campo vectorial definido por: 
F(x, y, z) = M(x, y. z) i + N(x, y, z) j + P(x, y, z) k, donde M, N, y P son funciones derivables, es rot F = 
(Py –Nz) i + (Mz – Px) j + (Nx – My) k. 
2. Suponiendo que M(x, y) y N(x, y) tienen primeras derivadas parciales continuas, demuestre 
que el campo vectorial F(x, y) = M(x, y) i + N(x, y) j, es conservativo si y solo siMy(x, y) = Nx(x, y) 
3. Plantear y desarrollar todas las operaciones binarias entre gradiente, divergencia y rotacional 
que estén definidas. 
4. Siendo F(x, y, z) una función vectorial dada por: 
F(x, y, z) = M(x, y. z) i + N(x, y, z) j + P(x, y, z) k, donde M, N, y P son funciones derivables, demuestre 
que div(rot F) = 0. 
5. Dado el campo vectorial F(x, y, z) = (1/y) i - (x/ y2 ) J + (2z – 1) k, ¿existe una función escalar f 
tal que F(x,y z) = grad f? Si su respuesta es afirmativa, encuentre f. 
6. Dado el campo vectorial F (x, y, z) = ez (y i + xj + xy k ), ¿existe una función f tal que F(x, y, z) = 
grad f? Si su respuesta es afirmativa, encuentre f. 
7. Si esta definido, determinar el rot(graf), siendo f(x, y, z) = xy + yz + x z 
derivable. 
8. Verifique en primera instancia si esta definida la operación binaria, div(graf), siendo f(x, y, z) = 
xy + yz + xz, derivable. En caso afirmativo calcule esta operación binaria.. 
9. Si esta definida, determinar div(rot F), siendo F(x, y, z)= xy i+ yz j + xz k, derivable 
¿La función escalar f(x, y, z) = xy + yz + xz, derivable, dada en un punto P, es armónica? ¿Porqué?