Clase N 16 Cambio de variables en integrales dobles

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Clase Nº 16: Cambio de Variables en Integrales Dobles Mg. M. Adriana Correa Zeballos 
 1 
DICTADO DE ANALISIS MATEMATICO II EN MODO VIRTUAL 
 
CLASE Nº 16: CAMBIO DE VARIABLES EN INTEGRALES DOBLES 
 
 
1. SOPORTE TEÓRICO 
1.1. Introducción 
Hasta aquí se consideraron las integrales dobles y triples, en particular y las múltiples en 
general, en el sistema de coordenadas cartesiano. Al momento de su resolución observamos que en 
algunas de estas integrales, por las propias características de sistema de coordenados elegido, su 
cálculo se tornaba muy dificultoso y en algunos casos no se podía encontrar su solución, a pesar de 
la certeza de su existencia. Por ejemplo la ∬ 𝑒!
!"#! 	𝑑𝐴$ , donde R es la región limitada por x
2 + y2 = 
a2 y por x2 + y2 = b2, en el primer cuadrante, con a y b constantes, en coordenadas cartesianas, solo 
puede calcularse por integración numérica, sin embargo, veremos más adelante que con un sencillo 
cambio de variables su solución es inmediata. 
Entonces surge la siguiente reflexión. Suponiendo que, ∬ 𝑓(𝑥, 𝑦)	𝑑𝐴$ ,	existe y admitiendo que 
D es una región cerrada en el plano uv, limitada por una curva cerrada, con la propiedad de que a 
cada punto de D corresponde uno y solo un punto de R, existirá una función f*(u, v) con la propiedad 
que, ∬ 𝑓∗(𝑢, 𝑣)	𝑑𝐴& , tenga el mismo valor que la anterior, esto es deseamos encontrar f
*(u, v), tal 
que: 
.𝑓(𝑥, 𝑦)	𝑑𝐴 =	
$
.𝑓∗(𝑢, 𝑣)	𝑑𝐴
&
 
Si esto es posible decimos que la integral original ha sido resuelta mediante un cambio de 
variables. A continuación analizaremos las condiciones bajo las cuales este procedimiento es 
permitido. 
 
1.2. Transformación de ℜ2 en ℜ2 
Suponiendo que D y R son regiones en ℜ2, una función T cuyo dominio es D y su rango es R se 
denomina transformación de D sobre R. Esta transformación T, comúnmente, se especifica por el 
sistema; 
x = X(u, v) 
 T 
y = Y(u, v) 
 
Donde X y Y son funciones cuyos dominios contienen a D, con la propiedad de qué; si (u, v) ϵ D, 
entonces [X(u,v),Y(u,v)] ϵ R. La transformación T también se suele expresar como; 
T = {[(u, v), (x, y)] / x = X(u, v), y = Y(u, v), (u, v) ϵ D, (x, y) ϵ R} 
 
1.3. Jacobiano de una Transformación de ℜ2 en ℜ2 
Siendo T la transformación especificada por el sistema; x = X(u, v), y = Y(u, v). El Jacobiano de 
la transformación T se representa por 𝐽(',)
*,+
	) y se define como: 
𝐽 2
𝑋, 𝑌
𝑢, 𝑣 	5 = 6
𝜕𝑋
𝜕𝑢
𝜕𝑋
𝜕𝑣
𝜕𝑌
𝜕𝑢
𝜕𝑌
𝜕𝑣
6 
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Tal como vimos en el desarrollo del cálculo diferencial, el 𝐽(',)
*,+
	), es un determinante y en el 
cálculo del jacobiano se hace uso de las propiedades de los mismos. 
Algunas veces el jacobiano, 𝐽(',)
*,+
	), se representa por ,(';))
,(*,+)
 
 
1.4. Inversa de una Transformación de ℜ2 en ℜ2 
Limitaremos nuestra consideración a las transformaciones que satisfagan las siguientes 
condiciones. 
 
i) La Transformación T estará dada por x = X(u, v), y = Y(u, v), donde ,'
,*
, ,'
,+
, ,)
,*
, ,)
,+
 son continuas 
en D. 
ii) El 𝐽 8',)
*,+
	9 ≥ 0 ó 𝐽 8',)
*,+
	9 ≤ 0, para (u, v) ϵ D. Bajo estas condiciones la transformación T mapea 
una región cerrada y acotada D sobre una región cerrada y acotada R, de tal manera que uno y solo 
un punto de R corresponde a cada punto de D y la frontera de D mapea, sobre la frontera de R. 
iii) Si el si 𝐽 8',)
*,+
	9 ≠ 0, para (u, v) ϵ D, existirá una transformación T*, de R sobre D definida por el 
sistema; 
 
 
 u = U(x, y) 
 T* 
 v = V(x, y) 
 
con (x, y) ϵ R, donde ,0
,!
, ,0
,#
, ,1
,!
, ,1
,#
 son continuas en R y 𝐽 80,1
!,#
	9 ≠ 0, para (x, y) ϵ R. Entonces T* se 
llama, la inversa de la transformación T. Ambas, T y T*, son biunívocas. 
 
1.5. Teorema de Integración con Cambio de Variables de ℜ2 en ℜ2 
Suponiendo que la integral ∬ 𝑓(𝑥, 𝑦)	𝑑𝐴$ , existe y sea T una transformación definida por x = 
X(u, v), y = Y(u, v), (u, v) ϵ D, donde D es una región en ℜ2, la cual se transforma sobre R mediante T. 
Si las funciones X y Y tienen primeras derivadas parciales continuas en D y si 𝐽 8',)
*,+
	9 ≠ 0,para (u, v) ϵ 
D, entonces: 
.𝑓(𝑥, 𝑦)	𝑑𝐴 =	
$
.𝑓[𝑋(𝑢, 𝑣), 𝑌(𝑢, 𝑣)]	@𝐽 2
𝑋, 𝑌
𝑢, 𝑣	5@ 𝑑𝐴
&
 
 Este teorema aún es verdadero si 𝐽 8',)
*,+
	9 = 0, para algunos puntos de D, siempre que 
𝐽 8',)
*,+
	9 no cambie de signo en D. 
 
2. INTEGRALES DOBLES EN COORDENADAS POLARES CIRCULARES 
2.1. Transformación de Coordenadas Polares Circulares a Cartesianas 
Sabemos que el plano cartesiano es un sistema rectangular, y se lo denomina así debido a que 
las coordenadas de un punto geométricamente describen un rectángulo. Asimismo es conocido que 
a los puntos del plano también se lo puede definir mediante un segmento de magnitud r que parte 
desde un origen y que tiene ángulo de giro anti horario θ, respecto de un eje horizontal. Es suficiente, 
para denotar al punto de esta manera, mencionando el valor de r y el valor de θ . Esto lo hacemos 
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indicando el par ordenado (r, θ), en este caso se dice que son las coordenadas polares circulares del 
punto. Un plano con estas características se lo llama Sistema Polar Circular o Plano Polar Circular, 
puesto que consiste de circunferencias concéntricas al origen y rectas concurrentes al origen con 
diferentes ángulos de inclinación. Al eje horizontal se lo llama Eje Polar, al eje vertical se lo llama Eje 
π/2 . El punto de intersección entre estos dos ejes se lo llama Polo. 
Para representar un punto en el plano, conociendo sus coordenadas polares circulares, no es 
necesario hallar sus coordenadas rectangulares; se lo puede hacer directamente. Este trabajo puede 
ser muy sencillo si se dispone de un plano que tenga como referencia ángulos y magnitudes. 
Vamos a considerar el sistema de coordenadas cartesiano ortogonal en el plano y el sistema de 
coordenadas polares circulares superpuestos, según se muestra en el siguiente gráfico. 
 
 y 
 r 
 y P(x, y) 
 r P (r, θ) 
 θ 
 
 x r x 
 
 
 
 
Las coordenadas polares circulares (r,θ) de un punto P en un sistema de coordenadas polares 
circulares son las coordenadas del punto en el plano de coordenadas rectangulares rθ, que se mapea 
sobre P y la ecuación de una curva c en un sistema de coordenadas polares circulares es la ecuación 
de la curva en el plano de coordenadas rectangulares rθ que se mapea sobre c. Ambas se realizan 
por la transformación T que se especifica de la siguiente manera: 
x = r cosθ 
 T 
y = r senθ 
 
Al emplear esta transformación no es necesario hacer uso de un plano rθ separado, sino 
simplemente superponer un sistema de coordenadas polares circulares al plano cartesiano xy. 
Entonces la región D en el plano polar circular rθ se mapea sobre la región R en el plano cartesiano 
xy, por la transformación T que acabamos de especificar 
El jacobiano de esta transformación será: 
𝐽 823456,25786
2,6
	9 = A
,(23456)
,2
,(23456)
,6
,(25786)
,2
,(25786)
,6
A	= B𝑐𝑜𝑠𝜃 −𝑟𝑠𝑒𝑛𝜃𝑠𝑒𝑛𝜃 		𝑟𝑐𝑜𝑠𝜃 B = r cos
2θ + r sen2θ 
 
𝐽 823456,25786
2,6
	9 =	r (cos2θ + sen2θ) 
 
𝐽 823456,25786
2,6
	9 = r 
Ya que r ≠ 0 para todo (r, θ) ϵ D, entonces de acuerdo al teorema de integración con Cambio de 
Variables de ℜ2 en ℜ2 dado en el apartado 1.5, se cumplirá que;Clase Nº 16: Cambio de Variables en Integrales Dobles Mg. M. Adriana Correa Zeballos 
 4 
.𝑓(𝑥, 𝑦)	𝑑𝐴 =	
$
.𝑓(𝑟𝑐𝑜𝑠θ, 𝑟𝑠𝑒𝑛θ)𝑟	𝑑𝐴
&
 
 
2.2. Teorema de Integración en Coordenadas Polar Circular 
Si la región R está limitada en coordenadas polares circulares por las graficas de r = g1(θ), r = 
g2(θ), θ = a, θ = b, según se muestra en la siguiente figura, 
 
 y 
 
 θ = b 
 R r = g2(θ) 
 
 r = g1(θ) x 
 θ = a 
 
 
Entonces la región R, que es la gráfica de, {(r, θ)/g1(θ)≤ r ≤g2(θ) a ≤ θ ≤ b} 
se denomina región del tipo Tθ. 
Teorema: 
 Suponiendo que ∬ 𝑓(𝑥, 𝑦)	𝑑𝐴	$ existe, si R es una región del tipo Tθ y R es la gráfica, en 
coordenadas polares circulares, de {(r, θ)/g1(θ) ≤ r ≤ g2(θ), a ≤ θ ≤ b}, donde; b – a ≤ 2π y g1(θ) ≤ 
g2(θ), entonces 
.𝑓(𝑥, 𝑦)	𝑑𝐴 =	
$
KK 𝑓(𝑟𝑐𝑜𝑠
9!(:)
9"(:)
θ, rsenθ)	r	dr	dθ
;
<
 
 
Cuando se usa este teorema para calcular ∬ 𝑓(𝑥, 𝑦)	𝑑𝐴	$ , decimos que hemos resuelto la 
integral mediante el uso de coordenadas polares circulares. 
 
Ejemplo: 
Si R es la región limitada por x2 + y2 = 9 y x2 + y2 = 1, solo en el primer cuadrante, calcular 
∬ 𝑒!
!"#! 	𝑑𝐴.$ 
Solución: El círculo x2 + y2 = 9, en coordenadas polares circulares será; r =3 y el círculo x2 + y2 = 1, es 
r = 1. 
El eje x en coordenadas polares circulares tiene como ecuación, θ = 0 y el eje y a θ = 	=
>
. 
Entonces la integral ∬ 𝑒!
!"#! 	𝑑𝐴$ , que como ya dijimos en el apartado 1.1 de esta unidad, en 
coordenadas cartesianas solo podría calcularse por integración numérica, en polares circulares será: 
 
.𝑒!!"#! 	𝑑𝐴 = 	K K 𝑒2!𝑟	𝑑𝑟	𝑑θ
?
@
A
>
B$
 
 
.𝑒!!"#! 	𝑑𝐴 = 	
1
2K (𝑒
C
A
>
B$
− 	𝑒)	𝑑θ 
 
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 5 
.𝑒!!"#! 	𝑑𝐴 = 	
𝜋𝑒
4
$
(𝑒D − 	1) 
 
3. INTEGRALES DOBLES EN COORDENADAS POLARES ELIPTICAS 
3.1. Transformación de Coordenadas Polares Elípticas a Cartesianas 
El sistema polar elíptico tiene similares características al polar circular en cuanto a que un 
punto tiene coordenadas (r, θ) pero se diferencia en que el plano elíptico consiste en elipses 
confocales y rectas concurrentes al origen, con diferentes ángulos de inclinación con las mismas 
características que en el sistema polar circular. Vamos a considerar el sistema de coordenadas 
cartesiano ortogonal en el plano y el sistema de coordenadas polares elíptico superpuestos, según 
se muestra en el siguiente gráfico. 
 
 
 y 
 
 b P (x, y) 
 y r P (r, θ) 
 θ 
 
 x a x 
 
 
 Las coordenadas polares elípticas (r,θ) de un punto P en un sistema de coordenadas polares 
elípticas son las coordenadas del punto en el plano de coordenadas rectangulares rθ, que se mapea 
sobre P y la ecuación de una curva c en un sistema de coordenadas polares elíptica es la ecuación de 
la curva en el plano de coordenadas rectangulares rθ que se mapea sobre c. Ambas se realizan por la 
transformación T que se especifica de la siguiente manera: 
 
 x = a r cosθ 
 T 
 y = b r senθ 
 
Al emplear esta transformación no es necesario hacer uso de un plano rθ separado, sino 
simplemente superponer un sistema de coordenadas polares elíptico al plano cartesiano xy. Entonces 
la región D en el plano polar elíptico rθ se mapea sobre la región R en el plano cartesiano xy, por la 
transformación T que acabamos de especificar 
El jacobiano de esta transformación será: 
 
𝐽 8<23456,			;25786
2,6
	9 = A
,(<23456)
,2
,(<23456)
,6
,(;25786)
,2
,(;25786)
,6
A	=	B𝑎𝑐𝑜𝑠𝜃 −𝑎𝑟𝑠𝑒𝑛𝜃𝑏𝑠𝑒𝑛𝜃 𝑏𝑟𝑐𝑜𝑠𝜃 B	= abrcos
2θ + abrsen2θ 
 
𝐽 8<23456,			;25786
2,6
	9 = 	abr (cos2θ + sen2θ) 
 
𝐽 8<23456,			;25786
2,6
	9= abr 
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 6 
 
Ya que r ≠ 0 para todo (r, θ) ϵ D, entonces de acuerdo al teorema de integración con Cambio de 
Variables de ℜ2 en ℜ2, se cumplirá que 
 
.𝑓(𝑥, 𝑦)	𝑑𝐴 =	
$
.𝑓(𝑎𝑟𝑐𝑜𝑠θ, 𝑏𝑟𝑠𝑒𝑛θ)𝑎𝑏𝑟	𝑑𝐴
&
 
 
3.2. Teorema de Integración en Coordenadas Polares Elípticas 
 La transformación en coordenadas polares elípticas es útil cuando la región R es una elipse o 
porción de elipse, con ecuación canónica, !
!
<!
+ #
!
;!
= 1. Esta curva en coordenadas polares elípticas 
será r = 1. 
Si la región R está limitada en coordenadas polares elípticas por las graficas r = 1, θ = c, θ = d, 
según la siguiente figura, 
 y 
 
 b θ = d 
 R r =1 
 
 a x 
 θ = c 
 
 
 
 
 
 
Entonces la región R, es la gráfica de, {(r, θ) / 0 ≤ r ≤ 1, c ≤ θ ≤ d}. 
 
 
Teorema: 
 Suponiendo que ∬ 𝑓(𝑥, 𝑦)	𝑑𝐴	$ existe, si R es una región que es la gráfica, en coordenadas 
polares elípticas de {(r, θ) / 0 ≤ r ≤ 1, c≤ θ ≤ d}, donde; d – c ≤ 2π, entonces 
.𝑓(𝑥, 𝑦)	𝑑𝐴 =	
$
KK 𝑓(𝑎𝑟𝑐𝑜𝑠
@
B
θ, brsenθ)abr	dr	dθ
F
3
 
Cuando se usa este teorema para calcular ∬ 𝑓(𝑥, 𝑦)	𝑑𝐴	$ , decimos que hemos resuelto la 
integral mediante el uso de coordenadas polares elípticas. 
Ejemplo: 
Si R es la región limitada por la elipse, !
!
C
+	#
!
G
= 1, calcular: 
.(
𝑥>
9 +	
𝑦>
4 )𝑑𝐴.
$
 
Solución: La elipse,	!
!
C
+	#
!
G
= 1,	que es la frontera de la región R, en coordenadas polares elípticas 
será; r =1. El eje x en coordenadas polares elípticas tiene como ecuación, θ = 0 y el eje x, después de 
girar una vuelta a; θ = 	2π. 
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El integrando !
!
C
+	#
!
G
, en coordenadas polares elípticas será; 
𝑥>
9 +	
𝑦>
4 =
(3𝑟𝑐𝑜𝑠θ)>
9 +	
(2𝑟𝑠𝑒𝑛θ)>
4 
𝑥>
9 +	
𝑦>
4 = 𝑟
>(𝑐𝑜𝑠>θ +	𝑠𝑒𝑛>θ) 
𝑥>
9 +	
𝑦>
4 = 𝑟
> 
La integral ∬ (!
!
C
+	#
!
G
)𝑑𝐴$ , que en coordenadas cartesianas sería complicada su resolución, en 
polares elípticas es extremadamente sencilla, entonces: 
.(
𝑥>
9 +	
𝑦>
4 )𝑑𝐴 = K K 𝑟
>3.2. 𝑟
@
B
>A
B$
𝑑𝑟𝑑θ 
Ordenando el segundo miembro de esta igualdad, se tiene; 
.^
𝑥>
9 +	
𝑦>
4 _𝑑𝐴 = 6K K 𝑟
?
@
B
𝑑𝑟	𝑑θ
>A
B$
 
Integrando respecto de r, obtenemos; 
.^
𝑥>
9 +	
𝑦>
4 _𝑑𝐴 =
3
2
$
K 	𝑑θ
>A
B
 
Integrando respecto de θ: 
.^
𝑥>
9 +	
𝑦>
4 _𝑑𝐴 = 3𝜋
$
 
 
 
Consignas para la revisión de la teoría 
Analice, defina, enuncie y demuestre, cuando sea necesario, en las siguientes consignas: 
1. Transformación de ℜ2 en ℜ2 
2. Jacobiano de una transformación de ℜ2 en ℜ2 
3. Teorema de integración con cambio de variables de ℜ2 en ℜ2 
4. Transformación de coordenadas polares circulares a cartesianas 
5. Teorema de integración en coordenadas polares circulares 
6. Transformaciónde coordenadas polares elípticas a cartesianas 
7. Teorema de integración en coordenadas polares elípticas 
 
Consigas para la revisión de la práctica 
Resuelva los siguientes ejercicios que se proponen: 
1. Describa la región de integración de la siguiente integral ∫ ∫ 𝑟𝑑𝑟𝑑𝜃@"5786@
A
B 
Rta: La región que esta afuera del círculo de radio 1 y adentro de la cardiode r = 1 + senθ. 
2. Utilice coordenadas polares circulares para evaluar la siguiente integral 
doble:			∫ ∫ @@"!!"#!
HGI#!
#
√>
B 𝑑𝑥𝑑𝑦 
Rta: A
D
 ln5 
3. Utilice la transformación u = x – y, v= x + y, para evaluar la integral: ∬ !I#!"# 𝑑𝐴, donde R es el 
 R 
cuadrado con vértices (0.2), (1,1), (2.2) y (1, 3). 
Clase Nº 16: Cambio de Variables en Integrales Dobles Mg. M. Adriana Correa Zeballos 
 8 
Rta: -ln2 
4. Evalúe ∬ 𝑒
#$%
#&%	𝑑𝐴$ donde R es la región trapezoidal con vértices (1,0), (2,0), (0,-2) y (0,-1). 
Rta: ?
G
(𝑒 − 𝑒I@) 
 
5. Use coordenadas polares circulares para determinar si el resultado de la integral es verdadero o 
falso: ∫∫c4 − 𝑥> − 𝑦>𝑑𝐴 = 16𝜋/3. La región R es el disco de radio 2. 
 R 
Rta: Verdadero 
 
6. Use polares circulares para determinar si el resultado de la integral dada es verdadero o falso: 
∫∫𝑑𝐴 = 16𝜋. Donde R es el semi disco circular de de radio 4. 
 R 
Rta: Falso 
 
7. Use polares elípticas para determinar si el resultado de la integral dada es verdadero o falso: 
∫∫𝑑𝐴 = 3𝜋. R es el semi disco elíptico del semi plano superior limitado por !
!
C
+	#
!
G
= 1. 
 R 
Rta: Verdadero 
8. Utilice coordenadas polares circulares para evaluar la siguiente integral doble: 
			∫ ∫(𝑥> +	𝑦>)?/>𝑑𝐴 , donde R es la región del primer 
 R 
Rta: 81π/5. 
9. Utilice coordenadas polares circulares para evaluar la siguiente integral doble: 
			∫ ∫(𝑥𝑦 + 2𝑥 + 3𝑦)𝑑𝐴 , donde R es la región del primer 
 R 
cuadrante acotada por: x = 1 - 𝑦>, y = 0, , x = 0. 
Rta: 41/30. 
10. Use coordenadas polares circulares para calcular la integral dada por ∫∫(𝑥> +	𝑦>	)	𝑑𝐴.	 R es 
 R 
la región limitada por el cuarto de circulo 𝑥> + 𝑦>= 1 del primer cuadrante y los ejes coordenados. 
Rta: π/8 
11. Use coordenadas polares elípticas para calcular la integral dada por ∫∫ 8!
!
@L
+	#
!
>M
	9 𝑑𝐴.	Donde 
 R 
R es la limitada por el cuarto de elipse !
!
@L
+ #
!
>M
= 1 del primer cuadrante y los ejes coordenados. 
Rta: π/8 
12. Calcule ∬ #
H!!"#!
	𝑑𝐴$ donde R es la región del primer cuadrante situada en el interior de la 
circunferencia 𝑥> + 𝑦> = 4𝑥 y exterior a la circunferencia dada por 𝑥> + 𝑦> = 4 . 
Rta: 4/3