S04 s2 - Plano tangente

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PLANO TANGENTE
TEORÍA Y EJERCICIOS.
LOGRO DE LA SESIÓN:
“Al finalizar la sesión de aprendizaje el estudiante resuelve problemas de contexto 
real en variadas situaciones que involucran PLANOS TANGENTES y sus 
interpretaciones para así modelar problemas de las Ciencias Básicas.”
FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES.
Plano 
Tangente.
Teoría y 
ejercicios.
1 El plano Tangente.
PLANO TANGENTE.
Recordemos que el gradiente es normal a la superficie de nivel 
en el punto 𝑝.
Sea 𝑝 = 𝑥0, 𝑦0, 𝑧0 un punto sobre la gráfica sobre la 
superficie de nivel 𝐹 𝑥, 𝑦, 𝑧 = 𝑐 donde 𝛻𝐹 ≠ 0. El plano 
tangente en 𝑝 es aquel plano que pasa por 𝑝 y es 
perpendicular a 𝛻𝐹(𝑝).
Sea 𝑃 = 𝑥, 𝑦, 𝑧 , 𝑝 = (𝑥0, 𝑦0, 𝑧0) puntos sobre el 
plano, una ecuación del plano viene dada por: 
∇𝐹 𝑝 ∙ (𝑃 − 𝑝) = 0
¿ Para que sirve ?
PLANO TANGENTE.
• En optimización para maximizar y minimizar 
funciones.
• Biología, entre otros.
Recta normal.
RECTA NORMAL
Sea 𝐹:ℝ3 → ℝ , sabemos que 𝐹( 𝑥, 𝑦, 𝑧 ) = 𝑐
define una superficie 𝑆 . Consideremos un 
punto 𝑃(𝑥0, 𝑦0 , 𝑧0) en 𝑆 podemos definir la 
recta normal a la superficie en el punto 𝑃
como la recta cuyo vector dirección es el 
gradiente de 𝐹 ( ∇ 𝐹 𝑃 ); la ecuación 
simétrica de la recta normal viene dada por: 
𝑥 − 𝑥0
𝐹𝑥(𝑃)
=
𝑦 − 𝑦0
𝐹𝑦(𝑃)
=
𝑧 − 𝑧0
𝐹𝑧(𝑃)
EJEMPLO: RECTA NORMAL.
Ejemplo: Determinar las ecuaciones del plano tangente y 
recta normal en el punto (−2,1,−3) al elipsoide: 
𝑥2
4
+ 𝑦2 +
𝑧2
9
= 3
Solución:
Datos/Observaciones
3 FINALMENTE
IMPORTANTE
1.Recordar que el 
gradiente es 
perpendicular al 
plano tangente.
2.El vector dirección 
de la recta normal 
es el gradiente en el 
punto indicado.
Gracias por tu 
participación
Hemos visto la 
importancia en la vida 
cotidiana del plano 
tangente y la recta 
normal.
Ésta sesión 
quedará grabada
PARA TI
1. Revisa los 
ejercicios indicados 
y realiza la Tarea 
de ésta sesión.
2. Consulta en el 
FORO tus dudas.
EJERCICIOS EXPLICATIVOS
EJERCICIOS EXPLICATIVOS.
EJERCICIOS EXPLICATIVOS.
EJERCICIOS EXPLICATIVOS
EJERCICIO RETO
LISTO PARA MI EJERCICIO RETO
EJERCICIO RETO.
EJERCICIO RETO
Datos/Observaciones