S06 s2 - Multiplicadores de Lagrange

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EXTREMOS CONDICIONADOS: 
MULTIPLICADORES DE LAGRANGE.
TEORÍA Y EJERCICIOS.
LOGRO DE LA SESIÓN:
“Al finalizar la sesión de aprendizaje el estudiante conoce, interpreta y aplica como 
optimizar una función sujeta a una condición para así modelar problemas de las 
Ciencias Básicas.”
FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES.
EXTREMOS 
CONDICIONADOS.
Multiplicadores 
de Lagrange.
1 Extremos condicionados.
Extremos condicionados.
Considere 𝑓: 𝐷 ⊂ ℝ𝑛 → ℝ una función de 𝑛 variables.
• Un punto 𝑷 = (𝒙𝟏, 𝒙𝟐, … , 𝒙𝒏) satisface las condiciones de 
enlace si existe 𝜑1, 𝜑2, … : 𝐷 →ℝ tal que:
• Se dice que 𝑓 preserva un valor máximo condicionado en 𝑃0 si: 
𝑓 𝑃0 ≥ 𝑓 𝑃 ; para todo P, 𝑃0 satisfaciendo ∗ .
• Se dice que 𝑓 preserva un valor máximo condicionado en 𝑄0 si: 
𝑓 𝑄0 ≤ 𝑓 𝑃 ; para todo P, 𝑄0 satisfaciendo ∗ .
2. Método de Multiplicadores de Lagrange.
Pasos de Multiplicadores de Lagrange.
Considere f igual que antes y 𝑃 = 𝑥0, 𝑥1, … , 𝑥𝑛
satisfaciendo (∗).
• Formular la función de Lagrange:
𝐹 𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛, λ1, … , λ𝑚 = 𝑓 𝑥1, … , 𝑥𝑛 + ෍
𝑘=1
𝑚
λ𝑘𝜑𝑘(𝑥1, … , 𝑥𝑛)
• Determinar puntos críticos de 𝐹, resolviendo el sistema de 
𝑛 + 𝑚 ecuaciones formado por:
𝜕𝐹
𝜕𝑥𝑗
= 0;
𝜕𝐹
𝜕λ𝑘
= 0, 𝑗 = 1, … , 𝑛; 𝑘 = 1,2, … , 𝑚.
• Evaluar la función en los puntos críticos, luego elegir estos 
valores el máximo y el mínimo según sea el caso. 
3. Hessiano orlado para una curva de 
restricción cualquiera.
HESSIANO ORLADO.
Para maximizar o minimizar 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦) definida en 
𝐷 sujeta a una condición o restricción 𝜑: 𝐷 → ℝ tal 
que 𝜑 𝑥, 𝑦 = 0, se define la función de Lagrange:
𝐿 𝑥, 𝑦 = 𝑓 𝑥, 𝑦 + λφ(𝑥, 𝑦)
Definimos el Hessiano orlado para cada punto crítico como siendo: 
• Si 𝐻(𝑥, 𝑦, λ) < 0, entonces hay un mínimo en (𝑥, 𝑦)
• Si 𝐻(𝑥, 𝑦, λ) > 0, entonces hay un máximo en (𝑥, 𝑦).
¿ Para que sirve ?
PLANO TANGENTE.
• En optimización para maximizar y minimizar 
funciones.
• En finanzas y economía para generar mejorar 
la producción. Entre otros.
Datos/Observaciones
3 FINALMENTE
IMPORTANTE
1.Definir la función de 
Lagrange.
2.Aplicar el Hessiano 
orlado en el caso de 
dos variables..
Gracias por tu 
participación
Hemos visto la 
importancia en la vida 
cotidiana de los 
multiplicadores de 
Lagrange.
Ésta sesión 
quedará grabada
PARA TI
1. Revisa los 
ejercicios indicados 
y realiza la Tarea 
de ésta sesión.
2. Consulta en el 
FORO tus dudas.
EJERCICIOS EXPLICATIVOS.
EJERCICIOS EXPLICATIVOS
EJERCCIOS EXPLICATIVOS.
EJERCCIOS EXPLICATIVOS.
EJERCICIOS EXPLICATIVOS
EJERICIOS EXPLICATIVOS.
EJERCICIO RETO
LISTO PARA MI EJERCICIO RETO
EJERCICIO RETO.
EJERCICIO RETO
Datos/Observaciones