S07 s2 - Cambió de orden en la inetgración

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INTEGRALES DOBLES: CAMBIÓ DE 
ORDEN EN LA INTEGRACIÓN.
TEORÍA Y EJERCICIOS.
LOGRO DE LA SESIÓN:
“Al finalizar la sesión de aprendizaje el estudiante puede cambiar el orden de 
integración para facilitar el calculo en aplicaciones a problemas de las Ciencias 
básicas.”
FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES.
INTEGRALES 
DOBLES.
Inversión del 
orden de 
integración.
¿ Para que sirve ?
• Calculo de áreas, volúmenes de solidos.
• Calculo de masas, movimientos estáticos.
• Entre otras.
INTEGRALES DOBLES.
1.Integrales sobre regiones 
generales.
REGIONES TIPO I Y II.
• Regiones de tipo I. Sean 𝑔𝑔1;𝑔𝑔2: 𝑎𝑎, 𝑏𝑏 → ℝ funciones reales y continuas en 
𝑎𝑎, 𝑏𝑏 , tal que 𝑔𝑔1 𝑥𝑥 ≤ 𝑔𝑔2 𝑥𝑥 ; para todo 𝑥𝑥 ∈ 𝑎𝑎, 𝑏𝑏 . Considere la región
𝐷𝐷 = 𝑥𝑥,𝑦𝑦 :𝑎𝑎 ≤ 𝑥𝑥 ≤ 𝑏𝑏;𝑔𝑔1(𝑥𝑥) ≤ 𝑦𝑦 ≤ 𝑔𝑔2(𝑥𝑥) ; entonces la integral doble sobre D es: 
• Regiones de TIPO II. Sean ℎ1;ℎ2: 𝑐𝑐,𝑑𝑑 → ℝ funciones reales y continuas en 
𝑐𝑐,𝑑𝑑 , tal que ℎ1 𝑦𝑦 ≤ ℎ2 𝑦𝑦 ; para todo 𝑦𝑦 ∈ 𝑎𝑎, 𝑏𝑏 . Considere la región
𝐷𝐷 = 𝑥𝑥,𝑦𝑦 : 𝑐𝑐 ≤ 𝑦𝑦 ≤ 𝑑𝑑;ℎ1(𝑦𝑦) ≤ 𝑥𝑥 ≤ ℎ2(𝑦𝑦) ; entonces la integral doble sobre D es: 
Ejemplo. Cambiar el orden de integración.
Solución.
EJEMPLO.
1. ∫1
𝑒𝑒 ∫0
ln(𝑥𝑥)𝑓𝑓(𝑥𝑥,𝑦𝑦)𝑑𝑑𝑦𝑦𝑑𝑑𝑥𝑥
2. ∫0
2 ∫0
4−𝑥𝑥2 𝑓𝑓(𝑥𝑥, 𝑦𝑦)𝑑𝑑𝑦𝑦𝑑𝑑𝑥𝑥
EJERCICIOS EXPLICATIVOS.
EJERCICIOS EXPLICATIVOS.
EJERCICIOS EXPLICATIVOS.
EJERCICIOS EXPLICATIVOS.
EJERCICIOS EXPLICATIVOS.
EJERCICIOS EXPLICATIVOS.
Datos/Observaciones
3 FINALMENTE
IMPORTANTE
1.Saber identificar el 
tipo de región para 
integrar.
2.Recordar la noción 
de antiderivada, 
esto nos puede 
ayudar a facilitar la 
solución.
Gracias por tu 
participación
Hemos visto la 
importancia de las 
integrales dobles.
Ésta sesión 
quedará grabada
PARA TI
1. Revisa los 
ejercicios indicados 
y realiza la Tarea 
de ésta sesión.
2. Consulta en el 
FORO tus dudas.
EJERCICIO RETO
LISTO PARA MI EJERCICIO RETO
EJERCICIO RETO.
EJERCICIO RETO
Datos/Observaciones
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