P_Sem 16_Ses 31_Métodos de Integración aplicados a la Integral Definida (Por Sustitución) ppt

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MATEMÁTICAS PARA 
LOS NEGOCIOS 2
MÉTODOS DE INTEGRACIÓN 
APLICADOS A LA INTEGRAL 
DEFINIDA(POR SUSTITUCIÓN).
LOGRO DE LA SESIÓN
Al finalizar la sesión el estudiante podrá definir la integral
definida, calculará integrales definidas inmediatas y utilizará el
Segundo Teorema Fundamental del Cálculo.
LA INTEGRAL INDEFINIDA
Calcule el área que se destinará para reforestación , que
corresponde a la región limitada por el eje horizontal y la gráfica
de la función: 𝑓 𝑥 = 𝑥𝑒−𝑥
2
en el intervalo [0, 4].
Analicemos el siguiente problema:
¿Alguna 
idea?
EJERCICIOS EXPLICATIVOS
1.-Calcule el valor de la siguiente integral definida 
Solución
 
1
3
2𝑥 𝑥2 + 9𝑑𝑥
Sustituimos 𝑥2 + 9 = 𝑚2 Se busca eliminar la raíz
Derivamos a ambos: D(𝑥2 + 9) = 𝐷𝑚2
2𝑥𝐷𝑥 = 2𝑚𝐷𝑚
𝑆𝑢𝑠𝑡𝑖𝑡𝑢𝑖𝑚𝑜𝑠 𝑒𝑛 𝑒𝑙 𝑒𝑗𝑒𝑟𝑐𝑖𝑐𝑖𝑜 
1
3
2𝑥 𝑥2 + 9𝑑𝑥 = 
1
3
2𝑚 𝑚2𝑑𝑚
EJERCICIOS EXPLICATIVOS
 
1
3
2𝑚 𝑚2𝑑𝑚 = 
1
3
2𝑚2𝑑𝑚
2
3
𝑚3
1
3
Observación: No puede evaluar porque los límites corresponden a la 
variable “x”
𝑥2 + 9 = 𝑚2 ⇒ 𝑥2 + 9 = 𝒎
⇒ 2
3
( 𝑥2 + 9)3
1
3
=
2
3
( 18)3−
2
3
10
EJERCICIOS EXPLICATIVOS
 
1
3
2𝑚 𝑚2𝑑𝑚 = 
1
3
2𝑚2𝑑𝑚
2
3
𝑚3
1
3
Observación: No puede evaluar porque los límites corresponden a la 
variable “x”
𝑥2 + 9 = 𝑚2 ⇒ 𝑥2 + 9 = 𝒎
⇒ 2
3
( 𝑥2 + 9)3
1
3
=
2
3
( 18)3−
2
3
10
EJERCICIOS EXPLICATIVOS
2.Calcule el valor de la siguiente integral definida
Solución
 
0
1 𝑥
𝑒𝑥
2 𝑑𝑥
Sustituimos 𝑥2 = 𝑚
Derivamos a ambos: D(𝑥2) = 𝐷𝑚
2𝑥𝐷𝑥 = 𝐷𝑚
𝑆𝑢𝑠𝑡𝑖𝑡𝑢𝑖𝑚𝑜𝑠 𝑒𝑛 𝑒𝑙 𝑒𝑗𝑒𝑟𝑐𝑖𝑐𝑖𝑜: 
0
1 𝑥
𝑒𝑥
2 𝑑𝑥 = 
0
1 1
2𝑒𝑚
𝑑𝑚
⇒ 𝑥𝐷𝑥 =
1
2
𝐷𝑚
EJERCICIOS EXPLICATIVOS
 
0
1 1
2𝑒𝑚
𝐷𝑚 = 
0
1 1
2
𝑒−𝑚𝐷𝑚
−
1
2
𝑒−𝑚
0
1
𝑥2 = 𝑚
⇒
−
1
2
𝑒−𝑥
2
0
1
= −
1
2
𝑒−1 +
1
2
−
𝟏
𝟐𝒆
+
𝟏
𝟐
Rpta.
EJERCICIOS EXPLICATIVOS
3.Calcule el valor de la siguiente integral definida
 
0
2
𝑥. 4 − 𝑥2 𝑑𝑥
TRABAJO EN CLASE
Resolver 
EJERCICIOS
DE LA SEPARATA 
La disciplina es la parte más
importante del éxito.
CIERRE
1. Se cumplirá: 𝟎
𝟏
𝒙𝟑𝒅𝒙 =
𝟏
𝟑
?
2. Se cumplirá: −𝟏
𝟏
𝒙 𝟓 − 𝒙𝟐𝒅𝒙 = 𝟎 ?
https://www.youtube.com/watch?v=7HtAi51wQVs
Ver……. 
https://www.youtube.com/watch?v=7HtAi51wQVs