Integrales Definidas

Vista previa del material en texto

República Bolivariana de Venezuela
Ministerio del Poder Popular para la Educación Universitaria
Universidad Politécnica Territorial del Estado Trujillo “Mario Briceño Iragorry” 
Núcleo “Barbarita de la Torre” 
Trujillo – Edo – Trujillo
Cátedra: Matemática II
Integrales Definidas
Elaborado por:
Ojeda, Rosimar.
V-27.466.011
PNF en Informática
Trayecto II – Trimestre I
Diciembre, 2022
Introducción
 Desde su origen, la noción de integral ha respondido a la necesidad de mejorar los métodos de medición de áreas subtendidas bajo líneas y superficies curvas. La técnica de integración se desarrolló sobre todo a partir del siglo XVII, paralelamente a los avances que tuvieron lugar en las teorías sobre derivadas y en el cálculo diferencial.
 La integral definida es un caso de la integral utilizado para determinar el valor de las áreas delimitadas por una gráfica dentro de un intervalo y el eje horizontal. Sele puede encontrar en diversas áreas y contextos como la biología (en crecimiento de poblaciones), robótica (algoritmo de seguimiento de líneas), arquitectura (volúmenes de sólidos), entre otros. 
Integrales Definidas 
 La integral definida es un concepto utilizado para determinar el valor de las áreas limitadas por curvas y rectas. Dado el intervalo [a, b] en el que, para cada uno de sus puntos x, se define una función f (x) que es mayor o igual que 0 en [a, b], se llama integral definida de la función entre los puntos a y b al área de la porción del plano que está limitada por la función, el eje horizontal OX y las rectas verticales de ecuaciones x = a y x = b.
La integral definida de la función entre los extremos del intervalo [a, b] se denota como:
Propiedades de las Integrales Definidas
La integral definida cumple las siguientes propiedades:
· Toda integral extendida a un intervalo de un solo punto, [a, a], es igual a cero.
· Cuando la función f (x) es mayor que cero, su integral es positiva; si la función es menor que cero, su integral es negativa.
· La integral de una suma de funciones es igual a la suma de sus integrales tomadas por separado.
· La integral del producto de una constante por una función es igual a la constante por la integral de la función (es decir, se puede «sacar» la constante de la integral).
· Al permutar los límites de una integral, ésta cambia de signo.
· Dados tres puntos tales que a < b < c, entonces se cumple que (integración a trozos):
· Para todo punto x del intervalo [a,b] al que se aplican dos funciones f (x) y g (x) tales que f (x) £ g (x), se verifica que:
Ilustración gráfica del concepto de integral definida.
·   es el signo de integración.
· a es el límite inferior de la integración.
· b es el límite superior de la integración.
·  es el integrando o función a integrar.
·  es el diferencial de x y nos indica cuál es la variable de la función que se integra.
Propiedades de las Integrales Definidas
1- El valor de la integral definida cambia de signo si se permutan los límites de integración.
Esta propiedad nos puede servir para no operar con signos negativos.
Ejemplo:
2- Si los límites de integración coinciden, la integral definida vale cero.
En realidad, al tener el mismo límite de integración en ambos extremos no existe ningún área a calcular, es por eso que la integral es igual a cero en este caso.
Ejemplo:
3- Si c es un punto interior del intervalo [a, b], la integral definida se puede descomponer como una suma de dos integrales extendidas a los intervalos [a, c] y [c, b].
Al estar el punto c entre a y b sobre el eje de las abscisas, el área limitada por el intervalo [a,b] es la suma de las áreas limitadas por [a,c] y [c,d], lo mismo ocurre con el valor de la integral.
Ejemplo:
Para 7 que pertenece al intervalo [3,10]
 
4- La integral definida de una suma de funciones es igual a la suma de integrales.
Esta propiedad nos puede servir para no tener expresiones muy largas dentro de una misma integral y así manipular y hacer cálculos más facilmente , o en el otro caso,  agrupar  expresiones para un cálculo más cómodo.
Ejemplo:
Para  y  ,
 
5-  La integral del producto de una constante k por una función es igual a la constante k multiplicada por la integral de la función.
Esto es sacar la constante fuera de la integral.
Ejemplo:
Para la constante k=3
Función Integral
 Considerando una función f continua en [a, b] y un valor x Î [a, b], es posible definir una función matemática de la forma:
donde, para no inducir a confusión, se ha modificado la notación de la variable independiente de x a t. Esta función, simbolizada habitualmente por F (x), recibe el nombre de función integral o, también, función área pues cuando f es mayor o igual que cero en [a, b], F (x) nos da el área.
Interpretación geométrica de la función integral o función área.
Teorema Fundamental del Cálculo Integral
 La relación entre derivada e integral definida queda establecida definitivamente por medio del denominado teorema fundamental del cálculo integral, que establece que, dada una función f (x), su función integral asociada F (x) cumple necesariamente que:
 A partir del teorema fundamental del cálculo integral es posible definir un método para calcular la integral definida de una función f (x) en un intervalo [a, b], denominado regla de Barrow:
· Se busca primero una función F (x) que verifique que F ¿(x) = f (x).
· Se calcula el valor de esta función en los extremos del intervalo: F (a) y F (b).
· El valor de la integral definida entre estos dos puntos vendrá entonces dado por:
Conclusión
 La integral definida es un tema de suma importancia dentro del cálculo integral y de la matemática en general, pues sus aplicaciones tienen alcances bastante amplios y útiles en ramas y áreas como el aspecto industrial, la resolución de problemas planteados, tanto de las matemáticas propias como de la física. Cabe destacar que esta es una herramienta que revolucionó a las matemáticas y otras ciencias en muchos aspectos, ya que es capaz de comprobar y resolver problemas muy complejos que, sin ella, seria muy difícil hacerlo y no se tendría tal exactitud que esta tiene.