S11 s1 - INTEGRALES TRIPLES

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INTEGRALES TRIPLES.
TEORÍA Y EJERCICIOS.
LOGRO DE LA SESIÓN:
“Al finalizar la sesión de aprendizaje el estudiante conoce y aplica propiedades 
de la integral triple en coordenadas cartesianas para calcular el volumen de un 
solido y así modelar problemas de las Ciencias Básicas.”
FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES.
INTEGRALES 
TRIPLES.
Teoría y 
ejercicios.
¿ Para que sirve ?
• En el caso de geometría para calcular volúmenes 
de solidos. 
• Para hallar el centro de masa, la masa de un 
cuerpo conociendo su función de densidad.
• En la construcción de placas.
• Entre otras.
INTEGRALES TRIPLES.
1.INTEGRALES TRIPLES.
INTEGRALES TRIPLES.
• Sea 𝑓: 𝑆 ⊂ ℝ3 → ℝ , decimos que 𝑓 es integrable en 𝑆 ⊂ ℝ3, si 
existe un numero 𝐿. Al número L se le conoce como la integral triple 
en 𝑆 definido por: 
𝐿 =ම
𝑆
𝑓 𝑥, 𝑦, 𝑧 𝑑𝑉 = lim
𝑛→∞
෍
1=1
𝑛
𝑓(𝑥𝑖 , 𝑦𝑖 , 𝑧𝑖)∆𝑉𝑖
Siempre que el límite exista.
• Una propiedad importante de las integrales triples es la siguiente: Si 𝑓
esta definida en 𝑆 y existe 𝐴, 𝐵 ⊂ 𝑆 tal que 𝐴 ∩ 𝐵 = ∅; entonces 𝑓 es 
integrable sobre 𝐴 ∪ 𝐵 y su integral es:
ම
𝐴∪𝐵
𝑓 𝑥, 𝑦, 𝑧 𝑑𝑉 =ම
𝐴
𝑓 𝑥, 𝑦, 𝑧 𝑑𝑉 +ම
𝐵
𝑓 𝑥, 𝑦, 𝑧 𝑑𝑉
2. Integrales triples sobre regiones 
generales.
INTEGRALES TRIPLES SOBRE REGIONES GENERALES.
• Considere 𝑓: 𝐸 ⊂ ℝ3 → ℝ una función continua sobre 𝐸, donde:
𝑬 = 𝒙, 𝒚, 𝒛 : 𝒙, 𝒚 ∈ 𝑫, 𝒖𝟏 𝒙, 𝒚 ≤ 𝒛 ≤ 𝒖𝟐 𝒙, 𝒚 ;𝑫 = 𝑷𝒓𝑿𝒀(𝑬)
ම
𝐸
𝑓 𝑥, 𝑦, 𝑧 𝑑𝑉 =ඵ
𝐷
න
𝑈1(𝑥,𝑦)
𝑢2(𝑥,𝑦)
𝑓 𝑥, 𝑦, 𝑧 𝑑𝑧 𝑑𝐴
Es decir la integral triple se convierte en una integral doble.
EJERCICIOS EXPLICATIVOS.
EJERCICIOS EXPLICATIVOS.
EJERCICIOS EXPLICATIVOS.
EJERCICIOS EXPLICATIVOS.
2. Calcular la integral ׮𝐷 𝑥𝑦𝑧𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 donde D es la región 
limitada por 𝑥 = 𝑦2; 𝑥2 = 𝑦; 𝑧 = 𝑥𝑦; 𝑧 = 0.
EJERCICIOS EXPLICATIVOS.
EJERCICIOS EXPLICATIVOS.
3. Calcular la integral ׮𝐷
𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧
(𝑥+𝑦+𝑧+1)3
donde D es la región 
limitada por los planos coordenados y el plano 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 1
Datos/Observaciones
3 FINALMENTE
IMPORTANTE
1.Saber identificar la 
región y el orden de 
integración a 
realizar.
2.Analizar y tratar de 
identificar bien la 
región de trabajo.
Gracias por tu 
participación
Hemos visto la 
importancia de las 
integrales triples.
Ésta sesión 
quedará grabada
PARA TI
1. Revisa los 
ejercicios indicados 
y realiza la Tarea 
de ésta sesión.
2. Consulta en el 
FORO tus dudas.
EJERCICIO RETO
LISTO PARA MI EJERCICIO RETO
EJERCICIO RETO.
EJERCICIO RETO
Datos/Observaciones