4ESO opB_Tema 02_Polinomios

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POLINOMIOS
4º E.S.O. Opción B
EXPRESIONES ALGEBRAICAS
Las combinaciones de números y letras relacionados entre sí por
las operaciones aritméticas se llaman expresionesexpresionesexpresionesexpresiones algebraicasalgebraicasalgebraicasalgebraicas.
ValorValorValorValor numériconumériconumériconumérico de una expresión algebraica es el que se obtiene
2 322 2
3
⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ −x y x x y z
ValorValorValorValor numériconumériconumériconumérico de una expresión algebraica es el que se obtiene
al sustituir en ella las letras por valores concretos y realizar las
operaciones en la expresión algebraica.
2 2
2
3 3 2 4 96
4
= 
→ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ =
= 
x
x y
y
Una expresión algebraica se llama monomiomonomiomonomiomonomio si en ella solo
aparecen multiplicaciones y potencias de exponente natural.
EXPRESIONES ALGEBRAICAS
21 r h
2
⋅ π ⋅ ⋅
Parte literal
coeficiente
Parte literal
Dos monomiosmonomiosmonomiosmonomios son semejantes si tienen la misma parte literal.
2 225 y 3 son semejantesxy xy
2 225 y 3 no son semejantesx y xy
Grado de un monomiomonomiomonomiomonomio es la suma de todos los exponentes de
las letras.
EXPRESIONES ALGEBRAICAS
2 31 r hx y
2
Grado 7
2 33xy x Grado 6
2
Un polinomiopolinomiopolinomiopolinomio es la suma indicada de varios monomios no
semejantes. El gradogradogradogrado deldeldeldel polinomiopolinomiopolinomiopolinomio es el mayor de los grados
de los monomios que lo forman.
225 2 es un polinomio+ − →xy xy y
225 2 es un polinomio de grado 3+ − →xy xy y
SUMA Y RESTA DE POLINOMIOS
( ) 4 3 24 2 3 2P x x x x= − + − ( )
4 32 4 3Q x x x x= + + −Suma y resta los polinomios: y
4 3 2
4 3
4 3 2
4 2 3 2
2 4 3
6 3 4 5
x x x
x x x
x x x x
− + −
+ + −
− + + −
+
4 3 2
4 3
4 3 2
4 2 3 2
2 4 3
2 3 3 4 1
x x x
x x x
x x x x
− + −
+ + −
− + − +
−
( ) ( )4 3 2 4 3 4 3 2 4 3
4 3 2
4 2 3 2 2 4 3 4 2 3 2 2 4 3
6 3 4 5
x x x x x x x x x x x x
x x x x
− + − + + + − = − + − + + + − =
= − + + −
( ) ( )4 3 2 4 3 4 3 2 4 3
4 3 2
4 2 3 2 2 4 3 4 2 3 2 2 4 3
2 3 3 4 1
x x x x x x x x x x x x
x x x x
− + − − + + − = − + − − − − + =
= − + − +
PRODUCTO DE POLINOMIOS
( ) ( ) ( ) ( )2 3 2 2 3 2 3 2
5 4 2 4 3
5 4 3 2
2 3 1 2 3 1 3 1
6 2 2 3
6 5 2
x x x x x x x x x x
x x x x x x
x x x x x
− ⋅ − − = ⋅ − − − − − =
= − − − + + =
= − + − +
POTENCIA DE UN POLINOMIO
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
2
4 2 4 2 4 23 2 3 2 3 2− − = − − ⋅ − − =x x x x x x
Para elevar un polinomio a una potencia, debe multiplicarse por
sí mismo tantas veces como indique el exponente.
( ) ( ) ( )4 4 2 2 4 2 4 2
8 6 4 6 4 2 4 2
8 6 4 2
3 3 2 3 2 2 3 2
9 3 6 3 2 6 2 4
9 6 11 4 4
= ⋅ − − − ⋅ − − − ⋅ − − =
= − − − + + − + + =
= − − + +
x x x x x x x x
x x x x x x x x
x x x x
IDENTIDADES NOTABLES
Cuadrado de una suma: (a + b)2 = a2 + b2 + 2ab 
Cuadrado de una diferencia: (a − b)2 = a2 + b2 − 2ab 
Suma por diferencia: (a + b) · (a − b) = a2 − b2
Cubo de una suma: (a + b)3 = a3 + b3 + 3ab2 + 3a2b
Cubo de una suma: (a − b)3 = a3 − b3 + 3ab2 − 3a2b 
Ejemplos:
( ) ( ) ( )
2 2 2 2 2) 8 2 8 2 2 8 2 64 4 32a x y x y x y x y xy+ = + + ⋅ ⋅ = + +
( ) ( ) ( )
2 2 2 2 2) 5 5 2 5 25 10b x y x y x y x y xy− = + − ⋅ ⋅ = + −
( ) ( ) ( ) ( )
3 3 23 2 3 3 2 2) 2 2 3 2 3 2 8 12 6c x z x z x z x z x z xz x z− = − + ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ = − + −
– 3x4 + x3 – x2
3x4 – 7x3 – 6x + 7 3x2 – x + 1
– 6x3 – x2
– 1
Divisor
Cocientex2 – 2x
– 6x
DIVISIÓN DE POLINOMIOS
Dividir el polinomio 3x4 – 7x3 – 6x + 7 entre 3x2 – x + 1
+ 3x2 – x + 1
– 6x3 – x2
+ 6x3 – 2x2 + 2x
– 3x2 – 4x
– 5x + 8 Resto
– 6x
+ 7
Dividir el polinomio 3x3 – 5x2 – 8 entre x – 2
3 – 5 0 – 8
DIVISIÓN DE POLINOMIOS POR RUFFINI
La reglareglareglaregla dededede RuffiniRuffiniRuffiniRuffini es un método abreviado para efectuar las
divisiones de polinomios entre binomios de la forma x + a o x – a
2 6 2 4
3 1 2 – 4 Resto
Cociente
CocienteCocienteCocienteCociente 3x2 + x + 2 y restoy restoy restoy resto – 4
TEOREMA DEL RESTO
TeoremaTeoremaTeoremaTeorema deldeldeldel restorestorestoresto. El resto de la división de un polinomio entre el
binomio x − a es igual al valor numérico del polinomio para x = a
3 – 5 0 – 8
Si dividimos el polinomio 3x3 – 5x2 – 8 entre x – 2, y lo hacemos por
Ruffini el resto es −4.
2 6 2 4
3 1 2 – 4
Si hallamos el valor numérico del polinomio 3x3 – 5x2 – 8 tomando
como valor de x = 2, obtenemos −4.
3(2)3 – 5(2)2 – 8 = 24 – 20 – 8 = −4.
TEOREMA DEL FACTOR
TeoremaTeoremaTeoremaTeorema deldeldeldel factorfactorfactorfactor. Un polinomio P(x) tiene como factor x − a si el valor
numérico de dicho polinomio para x = a es 0.
3 – 5 0 – 4
2 6 2 4
Si dividimos el polinomio 3x3 – 5x2 – 4 entre x – 2, y lo hacemos por
Ruffini el resto es 0.
P(x) = 3x3 – 5x2 – 4
C(x) = x – 2
Dividendo
Divisor 2 6 2 4
3 1 2 0
Utilizando la propiedad del cociente de polinomios P(x) = C(x) · Q(x) + R, 
al ser el resto R = 0 tenemos que P(x) = C(x) · Q(x), y por lo tanto:
3x3 – 5x2 – 4 = (3x2 + x + 2)·(x – 2), y x – 2 es un factor de P(x).
Q(x) = 3x2 + x + 2
C(x) = x – 2Divisor
Cociente
Resto
RAÍZ DE UN POLINOMIO
Las raíces del polinomio P(x) son las soluciones de la ecuación P(x) = 0.
Ejemplo: Halla las raíces del polinomio P(x) = x2 − 6x + 8
Resolvemos la ecuación x2 − 6x + 8 = 0.
12
2
46 36 32 6 2
6 8 0
22 2
x
x x x
x
=± − ±
− + = → = = = 
=
Las raíces de P(x) son los valores x = 2 y x = 4 
RAÍZ DE UN POLINOMIO
Las raíces del polinomio P(x) son las soluciones de la ecuación P(x) = 0.
Ejemplo: Halla las raíces enteras del polinomio P(x) = x3 − 2x2 − 5x + 6
Como tiene grado tres, tendrá como mucho tres soluciones. 
Las raíces serán divisores del 6: ±1, ±2, ±3, ±6 
Las raíces enteras de P(x) son los valores x = 1 , x = −2 y x = 3 
P(−1) = (−1)3 − 2 · (−1)2 − 5 · (−1) + 6 = 8 ≠ 0
P(1) = 0
P(−2) = 0
P(2) ≠ 0
P(−3) ≠ 0
P(3) = 0
Las raíces serán divisores del 6: ±1, ±2, ±3, ±6 
FACTORIZACIÓN DE UN POLINOMIO
Cada raíz de un polinomio P(x) tiene asociado un factor del polinomio.
Ejemplo: Halla los factores del polinomio P(x) = x2 − 6x + 8
Hallamos las raíces resolviendo la ecuación x2 − 6x + 8 = 0.
( )12 4 46 36 32 6 26 8 0
x x es el factor
x x x
= → −± − ± 
− + = → = = = 
( )
( )
12
2
6 36 32 6 2
6 8 0
2 2 2 2
x x x
x x es el factor
± − ± 
− + = → = = = 
= → −
Los factores de P(x) son (x − 2) y (x − 4) 
El polinomio P(x) factoriza como x2 − 6x + 8 = 1 · (x − 2) · (x − 4) 
TEMA 2: POLINOMIOS