Slides 8 - Variables Aleatorias Continuas

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Introduccion a la Estad́ıstica
(Cap 3. secciones 1 a 3 del Bertsekas)
Variables Aleatorias Continuas
Rotnitzky, Ferrari, Cersosimo, Smucler
Universidad Torcuato Di Tella
Rotnitzky, Ferrari, Cersosimo, Smucler (Universidad Torcuato Di Tella )Introduccion a la Estad́ıstica(Cap 3. secciones 1 a 3 del Bertsekas) 1 / 55
 
Breve recuento del descubrimiento de la distribución
normal
Abraham De Moivre fue un probabilista del siglo XVIII que entre otras
tareas, trabajaba como consultor de apostadores en juegos de azar.
Sus trabajos de consultoŕıa para juegos de azar requeŕıan hacer cálculos
engorrosos de probabilidades.
En muchos casos, estas tareas requeŕıan cálculos engorrosos de
probabilidades de eventos relacionados con la distribución binomial
Por ejemplo, para calcular la probabilidad de que salgan 7 o más caras en 12
tiros de una moneda balanceada De Moivre necesitaba calcular
P (X � 7) =
=
✓
12
7
◆✓
1
2
◆12�7 ✓ 1
2
◆7
+
✓
12
8
◆✓
1
2
◆12�8 ✓ 1
2
◆8
+ ...+
✓
12
12
◆✓
1
2
◆0 ✓ 1
2
◆12
=
✓
12
7
◆
+
✓
12
8
◆
+ ...+
✓
12
12
◆�
⇥
✓
1
2
◆12
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La aproximación de De Moivre
De Moivre, notó que a para X ⇠ Bin (n, 1/2) , a medida que n
aumentaba, la forma del histograma de X se aproximaba más y más a
una curva suave con una forma muy espećıfica parecida a la de una
campana.
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La aproximación de De Moivre
De Moivre razonó entonces que si supiera la forma de la curva suave, podŕıa evitar
los cálculos engorrosos aproximando la probabilidad del evento de interés con el
área bajo la curva suave sobre el intervalo correspondiente a dicho evento.
Bin (50, 0.8)
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La aproximación de De Moivre
En 1738, De Moivre desarrolló unos cálculos de los cuales
esencialmente pod́ıa desprenderse que la fórmula de la curva
aproximante era
y =
1p
2ps2
e�
1
2s2
(x�µ)2
siendo
µ = np y s2 = np (1� p)
Tres cuartos de siglo más tarde, concretamente en 1809, otro
matemático brillante llamado Karl Gauss arribó a la misma curva pero
por otro camino.
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El modelo de Galileo para el error de medición
En el siglo XVII Galileo Galilei hab́ıa notado que sus mediciones
astronómicas de la distancia desde el centro de la tierra a una estrella
teńıan errores, es decir no eran siempre iguales.
Estos errores ocurŕıan, entre otras cosas, porque los instrumentos de
medición eran imperfectos, porque sus observaciones tampoco eran
precisas, y porque las condiciones ambientales no eran siempre
idénticas.
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El modelo de Galileo para el error de medición
Galileo planteó un modelo para los errores de sus mediciones que
traducido al lenguaje moderno era el siguiente.
Modelo: El error cometido en una medición de la distancia de la
Tierra a una estrella es una variable aleatoria:
que puede tomar cualquier valor real,
con distribución simétrica alrededor de 0, es decir, con igual
probabilidad de caer en (�b,�a) que en (a, b).
con mayor probabilidad de tomar valores absolutos pequeños que
grandes
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El modelo de Gauss para el error de medición
Gauss adoptó las tres suposiciones de Galileo pero le agregó la
siguiente suposición adicional:
dadas n mediciones en condiciones similares de la misma distancia, el valor
”más probable” de la distancia real es el promedio aritmético de las n
mediciones.
Increiblemente, con esta sola suposición adicional el joven Gauss
dedujo que si X representa el error aleatorio de una medición,
entonces la probabilidad de que X caiga entre a y b debe ser igual a
P (a  X  b) =
Z b
a
1p
2ps2
e�
1
2s2
(x�µ)2dx
para
µ = 0 y algún s > 0
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La distribución Normal y el Teorema Central del Ĺımite
Al año siguiente de la publicación de Gauss, otro brillante
probabilista, Pierre-Simon Laplace, descubrió un resultado
maravilloso, conocido como el Teorema Central del Limite -TCL-
llamado aśı por su obicuidad en la probabilidad y estad́ıstica. Este
teorema explica el misterioso resultado de Gauss.
Pronto estudiaremos formalmente el TCL pero por ahora alcanza
decir que del Teorema se desprende esencialmente que cualquier
fenómeno aleatorio X que puede suponerse como el resultado de la
suma aritmética de cantidades que cuantifican muchos fenómenos
aleatorios independientes satisface que P (a  X  b) se puede
aproximar por el área entre a y b bajo una curva normal para un
cierto valor de µ y s.
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La distribución Normal y el Teorema Central del Ĺımite
El TCL explica el resultado de Gauss si partimos de la premisa que el
error de una medición astronómica es el resultado de la suma
aritmética de muchos errores atómicos que actúan
independientemente, por ejemplo: los errores en los distintos
engranajes del instrumento de medición, las distintas percepciones del
observador, las condiciones ambientales, etc.
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La distribución Normal y el Teorema Central del Ĺımite
Con el correr de los años la comunidad cient́ıfica comprendió que la
curva de De Moivre y Gauss aproximaba muy bien la distribución de
las variables aleatorias que representaban mediciones de muchos
feńomenos aleatorios que ocurren en la naturaleza y en el
comportamiento humano con valores espećıficos de µ y s2 para cada
fenómeno.
Por esta razón, hoy en d́ıa a la función
fX (x) =
1p
2ps2
e�
1
2s2
(x�µ)2
se la conoce como curva o distribución normal.
Si estás interesado en leer sobre la historia de la distribución normal, te
recomiendo el art́ıculo que encontrarás en
https://www.maa.org/sites/default/files/pdf/upload library/22/Allendoerfer/stahl96.pdf
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Caracteŕısticas de la curva Normal
Es una curva suave (posee infinitas derivadas en cada valor de x)
Toma valores positivos en toda la recta real, pero asigna valores muy pequeños,
casi nulos, a x que difieren de µ en más de ±3s.
Es unimodal, es decir tiene un solo máximo local, que por lo tanto es máximo
global, y que se atiene en el valor x = µ
Es simétrica alrededor de µ
El valor de s controla la dispersión de la curva alrededor de µ.
Tiene puntos de inflexión, pasando de cóncava a convexa o viceversa, en
x = µ � s y x = µ + s
El área bajo la curva sobre toda la recta real es igual a 1.
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La curva Normal
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Variable aleatoria y distribución Normal
Definición: una variable aleatoria X tiene una distribución Normal o
Gaussiana con media µ y desv́ıo estandard s si X puede tomar
cualquier valor en la recta real y para cualquier a< b,
P (a  X  b) =
Z b
a
fX (x) dx
siendo
fX (x) =
1p
2ps2
e�
1
2s2
(x�µ)2
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Variable aleatoria y distribución Normal
Para indicar que X es una v.a. Normal con media µ y desv́ıo
estandard s escribimos
X ⇠ N
�
µ, s2
�
La función
fX (x) =
1p
2ps2
e�
1
2s2
(x�µ)2
se denomina función de densidad de la distribución Normal.
Cuando µ = 0 y s = 1, se dice que X tiene una distribución Normal
Estandard .
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Variable aleatoria y distribución Normal
Si X ⇠ N
�
µ, s2
�
, entonces X es una variable aleatoria continua pues puede
tomar valores en cualquier punto de (�•,+•).
Muchas variables X que estudiamos en econoḿıa, finanzas y negocios, por
ejemplo
la demanda mensual X de un cierto árticulo en un comercio
el logaritmo del ingreso mensual X de un hogar elegido al azar en una región
del páıs
el retorno mensual X de un cierto portafolio de inversión
a menudo se las modela asumiendo que tienen una distribución
aproximadamente normal, esto es
P (a  X  b) ⇡
Z b
a
fX (x) dx
para
fX (x) =
1p
2ps2
e
� 1
2s2
(x�µ)2
y para cierto µ y s > 0.
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Cálculo de probabilidades bajo la distribución Normal
Cuando fX (x) es la densidad de una variable aleatoria con distribución
N
�
µ, s2
�
,
P (a  X  b) =
Z b
a
fX (x) dx
Recordá que la integral entre a y b de una función es el área bajo la curva
para todos los x entre a y b.
Por ejemplo, si a = �2.43, b = 1.81 y fX es la densidad de una Normal
estandard, entonces
R b
a fX (x) dx es el área pintada de celeste en el siguiente
gráfico
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Cálculo de probabilidades bajo la distribución Normal
Lamentablemente, para fX la densidad de una distribución normal, la
integral no se puede resolver anaĺıticamente, es decir, no hay una
fórmula para el resultado de integrar entre a y b a fX (x).
Sin embargo, existen muchas formas prácticas de calcular los valores
de la aśı llamada distribución acumulada
FX (u) = P (X  u) =
Z u
�•
fX (x) dx
Una vez que sabemos calcular P (X  u) para cualquier u, podemos
calcular P (a  X  b) con la fórmula
P (a  X  b) = FX (b)� FX (a)
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Variable aleatoria y distribución Normal
Las distribución acumulada FX (u) de la Normal Estandard se puede
calcular por medio de:
tablas�que�aparecen�en� los�apendices�de�casi�todos� los� libros�
introductorios�de�estadistica
Excel�(Add-In�“Analysis�ToolPak”)
distintos�paquetes�con�software�para� realizar�analisis�estad́ıstico�como�
Stata,�R,�SAS,�SPSS
calculadores�disponibles�gratuitamente�en� la�web,�por�ejemplo
IUUQ���EBWJENMBOF�DPN�IZQFSTUBU�[@UBCMF�IUNM
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Cálculo para la distribución Normal en R
Hay dos tipos de cálculos que podemos realizar faćılmente en R.
Cálculo 1: Dado x , calcular P(X  x) =?.
Cálculo 2: Dado p, calcular P(X ?) = p.
Para calcular P (X  x) cuando X ⇠ N
�
mu, sigma2
�
usamos
pnorm(x, mu, sigma)
Por ejemplo, para calcular P (X  2) cuando X ⇠ N
�
3, 12
�
usamos
pnorm(2,3,1)
[1] 0.1586553
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Cuantil de una distribución
Definición: para cualquier variable aleatoria X continua, se denomina
cuantil p de la distribución de X al valor q que resuelve la ecuación
P (X  q) = p
Es decir el cuantil p de X es aquel valor tal que la probabilidad de
que X este por debajo de ese valor es igual a p.
Al cuantil p = 0.5 se lo denomina la mediana de X
vemos entonces que el comando en R
qnorm(p, mu, sigma)
calcula el cuantil p de una v.a. X ⇠ N
�
mu, sigma
2
�
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Función lineal de una v.a. Normal
Teorema: si X ⇠ N
�
µ, s2
�
entonces
Z = aX + b ⇠ N
�
aµ + b, a2s2
�
.
Por ejemplo, si X ⇠ N
�
1, 1
2
�
entonces Z = 2X + 3 ⇠ N
�
5, 2
2
�
En particular, si
X ⇠ N
�
µ, s2
�
) Z = X � µ
s
⇠ N (0, 1)
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Función lineal de una v.a. Normal
El teorema de la filmina anterior tiene importantes consecuencias prácticas.
Veamos algunas
1. Si una v.a. medida en una cierta escala sigue una distribución normal entonces,
cuando la medimos en otra escala también sigue una distribución normal -con otra
media y desv́ıo estandard- siempre que el cambio de escala sea lineal.
Supongamos que el peso medido en kg de una persona elegida al azar
de una cierta población es una variable aleatoria X ⇠ N
�
µ, s2
�
. Llamá
Y al peso de la misma persona, pero expresado en gramos. Entonces
Y = 1000X
luego
Y ⇠ N
⇣
1000µ, 10002s2
⌘
2. A la transformación X ! X�µs se la llama habitualmente ”estandardización” de la
v.a.� X�.�
4J�	9¦�
�ϯ��L�FOUPODFT�9�����Lϯ
�RVJFSF�EFDJS�RVF�9�TF�FODVFOUSB�B�L�EFTWJPT�FTUBOEBSE�
QPS� BSSJCB� 	TJ� L� FT�QPTJUJWP
�P�QPS� BCBKP� 	TJ� L� FT�OFHBUJWP
�EF� MB�NFEJB���
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Ejemplo de un uso real de la v.a. Normal
Ejemplo: Suponé que, en base a registros anteriores, la demanda
mensual de pares de botas de cuero en el mes de Julio a tu fábrica es
una v.a. X que podés razonablemente asumir que sigue
aproximadamente una distribución N
�
1500, 100
2
�
.
Problema 1: [Calcular P(X  x) =? para un x dado]. Si durante
el mes de Julio produćıs 1600 pares de botas, ¿cuál es la probabilidad
de satisfacer la demanda?
Problema 2: [Calcular P(X ?) = p para un p dado]. ¿Cuántos
pares de botas debés producir para que la probabilidad de satisfacer la
demanda durante el mes de Julio sea 0.95?
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Solución al problema 1
Queremos calcular p = P (X  1600) sabiendo que
X ⇠ N
�
1500, 100
2
�
.
En R, encontramos la solución con el comando
pnorm(1600,1500,100)
[1] 0.8413447
La probabilidad de satisfacer la demanda es 0.84
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Solución al problema 2
Queremos calcular el valor x tal que P (X  x) = 0.95.
En R, encontramos la solución con el comando
qnorm(0.95,1500,100)
[1] 1664.485
Concluimos que necesitamos 1665 botas para que la probabilidad de
cubrir la demanda sea 0.95
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Variable aleatoria y distribución uniforme continua
La variable aleatoria normal no es la única v.a. continua. A
continuación estudiaremos otra motivándola con el siguiente ejemplo.
Ejemplo. Supongamos que los subtes de una cierta ĺınea llegan a una
estación cada 10 minutos. Juan arriba a la estación en un momento
dado cualquiera. ¿Cuál es la probabilidad de que tenga que esperar
menos de 3 minutos a que arribe el tren?
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Solución al ejemplo
Llamemos X a los minutos que transcurrieron desde que pasó el
último tren hasta que llegó Juan. X puede tomar cualquier valor en el
intervalo (0, 10) . Luego es una variable cont́ınua.
Deseamos calcular P (X > 7) .
Sin más información que la que conocemos, no hay razón para pensar
que sea más probable que X esté en el intervalo (0, 1) que en el
intervalo (1, 2) .
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Variable aleatoria y distribución uniforme continua
Más generalmente, para dos subintervalos cualesquiera, (a, b) y (c , d) de (0, 10)
de la misma longitud, los eventos X 2 (a, b) y X 2 (c , d) deben ser
equiprobables, o sea
P (a  X  b) = P (c  X  d)
Es posible deducir que ésta condición de igualdad implica que para cualquier
a < b, debe necesariamente ocurrir que
P (a  X  b) = b� a
10
Luego, la respuesta es
P (X > 7) = P (7 < X  10)
= P (7  X  10)
=
10� 7
10
= 0.3
Notá que P (7 < X  10) = P (7  X  10) porque P (X = 7) = 7�710 = 0
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Variable aleatoria y distribución uniforme continua
P (a  X  b) = b� a
10
si 0  a < b  10
Notá que para todo 0  a < b  10
P (a  X  b) =
Z b
a
fX (x) dx
donde
fX (x) =
1
10
=
1
longitud del intervalo [0, 10]
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Variable aleatoria y distribución uniforme cont́ınua
Observá que si definimos
fX (x) =
⇢
1
10 si 0  x  10
0 de otro modo
entonces para cualquier a < b, (no necesariamente 0  a ni b  10)
P (a  X  b) =
Z b
a
fX (x) dx
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Variable aleatoria y distribución uniforme continua
Por ejemplo, si a < 0 < b < 10, entonces
P (a  X  b) =
Z b
a
fX (x) dx
=
Z 0
a
fX (x) dx +
Z b
0
fX (x) dx
=
Z 0
a
0dx
| {z }
=0
+
Z b
0
1
10
dx
=
1
10
(b� 0)
= P (0 < X < b)
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Variable aleatoria y distribución uniforme continua
Definición: Una variable aleatoria continua X es uniforme sobre un intervalo
[L,U ] cuando se verifica que para todo a < b
P (a  X  b) =
Z b
a
fX (x) dx
donde
fX (x) =
⇢ 1
U�L si L  x  U
0 de otro modo
Cuando X es uniforme sobre un intervalo [L,U ] lo abreviamos como
X ⇠ Unif (L,U)
La función fX (x) definida arriba se llama función de densidad de una v.a.
Unif (L,U) .
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Variable aleatoria y distribución uniforme continua
El gráfico de la función fX (x) es
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Variable aleatoria y distribución uniforme continua
Notá que debido a que (a, b) y (c , d) son dos intervalos con igual
longitud, entonces P (a < X < b) = P (c < X < d)
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Variable aleatoria cont́ınuas y función de densidad
Para las v.a. normales y uniformes, hemos visto que existe una cierta
función fx (x) tal que para todo a < b,
P (a  X  b) =
Z b
a
fX (x) dx
La situación es más general: t́ıpicamente, cuando una variable
aleatoria es continua (no necesariamente uniforme o normal), existe
una función fX (x) tal que para cualquier a < b podemos calcular
P (a  X  b) como en la ecuación anterior.
Definición: Decimos que fX (x) es la función de densidad de una
variable aleatoria continua X cuando para cualquier a < b se verifica
que
P (a  X  b) =
Z b
a
fX (x) dx
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Variable aleatoria cont́ınuas y función de densidad
Notemos que para cualquier v.a. con alguna densidad fX (x) se
verifica que
P (X = c) = 0 para cualquier constante c
pues
P (X = c) = P (c  X  c) =
Z c
c
fX (x) dx = 0
Propiedades de una función de densidad fX (x):
fX (x) � 0 para todo x
R •
�• fX (x) dx = 1
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Función de distribución acumulada
Definción: dada una variable aleatoria X cualquiera (continua o discreta) la
función de distribución acumulada se define como
FX (x) = P (X  x)
Resultado:
P (a < X  b) = F (b)� F (a)
Demostracion: sea B = (�•, b] y A = (�•, a]. Entonces B �A = (a, b] y por
lo tanto
P (a < X  b) = P (X 2 B � A)
= P (X 2 B)� P (X 2 A)
= P (X  b)� P (X  a)
= F (b)� F (a)
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Función de distribución acumulada
Notemos que si X es una v.a. continua con densidad fX (x) su función de
distribución acumulada satisface
FX (x) =
Z x
�•
fX (u) du
Ejemplo: si X ⇠ Unif (L,U) entonces
FX (x) =
8
<
:
0 si x < L
x�L
U�L si L  x < U
1 si x > U
pues, por ejemplo, si L  x < U,
FX (x) =
Z x
�•
fX (u) du
=
Z L
�•
fX (u) du +
Z x
L
fX (u) du
=
Z L
�•
0du +
Z x
L
1
U � Ldu
=
x � L
U � L
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Esperanza de una v. a. continua
Definición: si X es una v.a. continua con densidad fX (x) , la
esperanza de X se define como
E (X ) =
Z •
�•
xfX (x) dx
siempre que la integral exista, es decir, siempre queR •
�• |x | fX (x) dx < •.
Si
R •
�• |x | fX (x) dx = • entonces diremos que la esperanza de X no
existe.
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Esperanza de una v. a. continua
A E (X ) también se la denomina:
Media de X
Valor medio de X
Al igual que para v. a. discretas, E (X ) ocupa un lugar espećıfico en
el gráfico de la función de densidad fX (x) . Concretamente, si
imaginamos que en el gráfico de fX (x) , el área bajo la curva de
densidad esta ocupada por una superficie de peso homogéneo sobre el
eje horizontal, entonces E (X ) es el punto del eje horizontal donde la
superficie se equilibra, es decir, es el baricentro o centro de gravedad
del eje que sostiene la superficie.
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Esperanza de v.a. Normal y Uniforme
si X ⇠ N
�
µ, s2
�
entonces
E (X ) = µ
si X ⇠ Unif (L,U) entonces
E (X ) =
U + L
2
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Esperanza dev.a. Normal y Uniforme
Demostración de la fórmula de la esperanza para X ⇠ Unif (L,U)
E (X ) =
Z •
�•
xfX (x) dx
=
Z L
�•
xfX (x) dx
| {z }
=0
+
Z U
L
xfX (x) dx +
Z •
U
xfX (x) dx
| {z }
=0
=
Z U
L
x
1
U � Ldx
=
1
U � L
Z U
L
xdx
=
1
U � L
�
U2 � L2
�
/2
=
1
U � L (U � L) (U + L) /2
= (U + L) /2
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Esperanza de una función de una v.a. cont́ınua
Teorema: Supongamos que X es una v.a. continua e
Y = g (X )
para alguna función g . Entonces, si
R •
�• |g (x)| fX (x) dx < •,
E (Y ) =
Z •
�•
g (x) fX (x) dx
Si
R •
�• |g (x)| fX (x) dx = • entonces la esperanza de Y no existe.
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Esperanza de una función lineal de una v.a. cont́ınua
Teorema: Supongamos que X es una v.a. continua tal que E (X )
existe y supongamos que
Y = a+ bX
para algunas constantes a y b. Entonces
E (Y ) = a+ bE (X )
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Demostración del teorema
E (Y ) =
Z
(a+ bx) fX (x) dx
=
Z •
�•
afX (x) dx +
Z •
�•
bxfX (x) dx
= a
Z •
�•
fX (x) dx
| {z }
=1
+ b
Z •
�•
xfX (x) dx
| {z }
=E (X )
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Ejemplo de esperanza de una función lineal de una v.a.
cont́ınua
Ejemplo 1: Un vendedor de una tienda de electrodomesticos recibe
un sueldo mensual fijo de $5000 más el 8% del monto total de todas
las ventas que genera durante el mes. Supongamos que el monto
total de las ventas generadas en enero por el vendedor es una variable
aleatoria X con media $600.000. Cual es la esperanza del sueldo de
enero del vendedor?
Solucion: Sea Y el sueldo en pesos de enero del vendedor. Entonces
Y = 5000+ 0.08X
Luego,
E (Y ) = 5000+ 0.08E (X )
= 5000+ 0.08⇥ 600000
= 53000
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Varianza y desv́ıo estandard de una v.a. continua
Definición: La varianza y el desv́ıo estandard de una variable
aleatoria continua X se definen respectivamente como
var (X ) = E
h
(X � E (X ))2
i
SD (X ) =
q
var (X )
Cuando E
h
(X � E (X ))2
i
no existe, entonces
var (X ) = SD (X ) = •.
Al igual que para variables aleatorias discretas, la varianza de una v.a.
continua mide el cuadrado de la dispersión promedio de la v.a.
alrededor de la media.
También al igual que para v.a. discretas, la varianza de una v.a.
continua se puede cacular como
var (X ) = E
�
X 2
�
� [E (X )]2
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Varianza de v.a. Normales y Uniformes
si X ⇠ n
�
µ, s2
�
entonces
var (X ) = s2
si X ⇠ Unif (L,U) entonces
var (X ) =
(U � L)2
12
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Varianza de una función lineal de una v.a. cont́ınua
Resultado: Si X es una v.a. continua e Y = a+ bX , entonces
var (Y ) = b2var (X )
Ejemplo: supongamos que X es la ganancia o pérdida anual por cada
100$ invertidos en una acción. Si var (X ) = 16, ¿cuál es la varianza
de la ganancia de una inversión de 300$?
Solución: para una inversión de 300$ la ganancia es 3X . Luego, la
varianza de la ganancia es
var (3X ) = 9var (X ) = 9⇥ 16 = 144
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