Ejercicio1_TP5

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P
S
a
1. Al tirar una piedra verticalmente hacia arriba con una velocidad inicial de 20 m/seg su
altura d(t) expresada (en metros) después de t segundos está dada por la fórmula:
d(t) = 40 t – 5 t2
a. Construí una tabla que dé la altura de la piedra a intervalos de un segundo. ¿Qué
pasa después de 8 segundos? Dibujá la gráfica
b. ¿Cuál es la altura máxima? ¿Cuánto tarda en alcanzarla?
¿Cuánto tarda la piedra en volver al suelo?
c. Calculá la velocidad promedio total, la velocidad promedio durante la subida y la
velocidad media durante la bajada. ¿Cómo son estas velocidades?
d. Calculá la velocidad promedio entre t = 1 y t = 3 segundos y entre t = 5 y t = 7
segundos.
e. Escribí la expresión de la velocidad promedio (vm) entre los instantes t1 y t2.
ráctico 5 – Derivadas - EJERCICIO 1 1
OLUCION Y COMENTARIOS
. Construí una tabla que dé la altura de la piedra a intervalos de un
segundo. ¿Qué pasa después de 8 segundos? Dibujá la gráfica
La función d(t) = 40 t – 5 t2 da información acerca de la altura que alcanza
la piedra al ser lanzada hacia arriba, en cada instante t.
En el momento en que se arroja la piedra, es t = 0 y d(t) = 0.
Para saber qué altura alcanza, cada segundo después de ser arrojada, reemplazamos los distintos
valores de t en la fórmula de la función y completamos la tabla:
t 0 1 2 3 4 5 6 7 8
d(t) 0 35 60 75 80 75 60 35 0
Transcurridos 8 segundos la piedra vuelve a tocar el piso, con lo que deja de moverse.
Entonces, desde que es arrojada al momento en que vuelve a tocar el piso, transcurren 8
segundos. Por lo cual el dominio de la función d es el intervalo [0; 8], y la gráfica es la que se
muestra.
f. Dá la expresión de la velocidad instantánea y aplicala para t = 3 y t = 6 segundos
 CAPITULO VIII
DERIVADAS
Pág. 123
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Práctico 5 – Derivadas - EJERCICIO 1 2
b. ¿Cuál es la altura máxima? ¿Cuánto tarda en alcanzarla?
La función d es una función cuadrática cuyo coeficiente principal es menor que cero. En este caso,
el vértice de la parábola asociada corresponde a un máximo de la función.
Para resolver esta pregunta es suficiente conocer el vértice.
La ecuación de la parábola es y = 40 t – 5 t2, y la abscisa del vértice la encontramos calculando
a2
bt  (como ya hicimos en el TP 2).
Como a = -5 y b = 40, reemplazando es 4
)5(2
40t 


Hallamos la ordenada del vértice, reemplazando en la fórmula por t = 4:
8045440)4(dy 2 
Luego el vértice de la parábolas es el punto V = (4; 80).
Esto quiere decir que a los 4 segundos, la piedra alcanza su altura máxima y esta es de 80 metros.
c. Calculá la velocidad promedio total, la velocidad promedio durante la subida y la velocidad
media durante la bajada. ¿Cómo son estas velocidades?
Sabemos que la velocidad de un móvil está dada por la relación entre el espacio recorrido y el
tiempo empleado para recorrerlo:
t
dvelocidadmedia 

donde d es la variación del espacio y t la del tiempo.
En nuestro caso;
12
12
m tt
)t(d)t(d
v



Luego:
 La velocidad media total es la que se obtiene considerando 8t;0t 21 


 0
8
00
08
)0(d)8(dvm 0vm 
 La velocidad media durante la subida se obtiene con 4t;0t 21 





 20
4
080
04
)0(d)4(d
vm 20vm 
 La velocidad media durante la bajada se obtiene con 8;4 21  tt





 20
4
800
48
)4(d)8(d
vm 20vm 
La velocidad de subida es opuesta a la velocidad de bajada porque la trayectoria que
realiza el móvil en bajada es el regreso de la inicial (subida) por eso tiene signo contrario,
pero el comportamiento es simétrico, lo cual explica que para tiempos que equidistan de 4
la velocidad tenga igual valor absoluto.
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Práctico 5 – Derivadas - EJERCICIO 1 3
d. Calculá la velocidad promedio entre t = 1 y t = 3 segundos y entre t = 5 y t = 7 segundos.
 
20
2
3575
13
1d3dv3t;1t m21 



  20
2
7535
57
5d7dv7t;5t m21 



e. Escribí la expresión de la velocidad promedio (vm) entre los instantes t1 y t2.
   
12
2
1
2
212
12
2
11
2
22
12
12
m tt
tt5tt40
tt
t5t40t5t40
tt
)t(d)t(d
v









Por lo que la velocidad promedio (vm) entre los instantes t1 y t2 es:
 12m tt540v 
f. Dá la expresión de la velocidad instantánea y aplicala para t = 3 y t = 6 segundos.
La velocidad instantánea v0 la hallamos calculando la derivada de la velocidad media en t0 que es el
límite de la velocidad media cuando en t0.
Esto es
      00
tttt
0m00 t1040tt540limt
dlimt'vtv
00




Luego:
  000 t1040tv 
Para encontrar el valor que toma cuando t = 3 y t = 6 segundos, reemplazamos en la fórmula
hallada:
 103.10403v0   206.10406v0 