Reglas de Derivación del Cálculo Diferencial

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Reglas de Derivación del Cálculo Diferencial 
Regla de la potencia: 
La regla de la potencia es una de las reglas fundamentales en el cálculo diferencial que se utiliza para 
encontrar la derivada de una función de la forma f(x) = x^n, donde "n" es una constante (exponente). 
Esta regla establece cómo calcular la derivada de una función de potencia, y su forma general es la 
siguiente: 
Si f(x) = x^n, donde "n" es una constante, entonces la derivada de f(x) con respecto a x, denotada como 
f'(x), se calcula de la siguiente manera: 
f'(x) = n * x^(n-1) 
En otras palabras, para encontrar la derivada de una función de potencia, simplemente debes 
multiplicar el exponente "n" por el coeficiente y reducir el exponente en 1. 
Ejemplos de la regla de la potencia: 
1. Si f(x) = x^2, entonces f'(x) = 2 * x^(2-1) = 2x. La derivada de x^2 es igual a 2x. 
2. Si g(x) = x^3, entonces g'(x) = 3 * x^(3-1) = 3x^2. La derivada de x^3 es igual a 3x^2. 
3. Si h(x) = x^5, entonces h'(x) = 5 * x^(5-1) = 5x^4. La derivada de x^5 es igual a 5x^4. 
 
Regla del producto: 
La regla del producto, en el contexto del cálculo diferencial, es una de las reglas básicas que se utiliza 
para calcular la derivada de una función que es el producto de dos funciones. Matemáticamente, se 
expresa como sigue: 
Si tienes dos funciones, u(x) y v(x), la derivada del producto de estas dos funciones (u(x) * v(x)) se calcula 
utilizando la regla del producto de la siguiente manera: 
(uv)' = u'v + uv' 
Donde: 
• (uv)' es la derivada del producto de las dos funciones u(x) y v(x). 
• u' es la derivada de la función u(x). 
• v' es la derivada de la función v(x). 
En otras palabras, para encontrar la derivada del producto de dos funciones, primero tomas la derivada 
de la primera función (u') y la multiplicas por la segunda función (v), luego tomas la primera función (u) y 
la multiplicas por la derivada de la segunda función (v') y finalmente sumas ambos resultados. 
 
 
 
 
 
Regla del cociente: 
La regla del cociente se enuncia de la siguiente manera: 
Regla del Cociente: La derivada de una división de dos funciones es igual a la diferencia del cociente de 
las derivadas de las funciones individuales. En otras palabras: 
 
Esta fórmula indica que para encontrar la derivada de f(x), primero debes derivar la función superior g(x) 
y la función inferior h(x) por separado. Luego, multiplicas la derivada de g(x) por h(x) y la derivada de 
h(x) por g(x), y restas estos productos para obtener el numerador de la expresión. Después, divides este 
numerador entre 2[h(x)]2 para obtener el resultado final, que es la derivada de la función f(x). 
La regla del cociente es útil cuando se trabaja con funciones racionales, es decir, aquellas que pueden 
expresarse como el cociente de dos polinomios. Es una de las reglas clave del cálculo diferencial y es 
especialmente útil para resolver problemas en los que es necesario encontrar la tasa de cambio de una 
cantidad que está relacionada con el cociente de dos variables. 
 
Regla de la cadena: 
La regla de la cadena es una herramienta fundamental en el cálculo diferencial que se utiliza para 
calcular la derivada de una función compuesta. Esta regla es esencial cuando tienes una función que 
está formada por la composición de dos o más funciones. Matemáticamente, si tienes una función 
compuesta u(x) = f[g(x)], la regla de la cadena te permite encontrar la derivada de u(x) en términos de 
las derivadas de las funciones individuales f(x) y g(x). La regla de la cadena se expresa de la siguiente 
manera: 
Si u(x) = f[g(x)], entonces u'(x) = f'(g(x)) * g'(x) 
Donde: 
• u(x) es la función compuesta. 
• f(x) es la función exterior. 
• g(x) es la función interior. 
• u'(x) es la derivada de la función compuesta u(x). 
• f'(g(x)) es la derivada de f con respecto a g(x). 
• g'(x) es la derivada de g(x). 
La regla de la cadena es esencial para calcular derivadas en situaciones donde una función depende de 
otra. Por ejemplo, cuando se trata de funciones trigonométricas, exponenciales, logarítmicas o cualquier 
otro tipo de función compuesta. Aquí hay un ejemplo de cómo aplicar la regla de la cadena: 
Supongamos que tienes la función compuesta u(x) = sin(3x). Para encontrar la derivada de u(x), puedes 
utilizar la regla de la cadena de la siguiente manera: 
 
 
• f(x) = sin(x) (función exterior). 
• g(x) = 3x (función interior). 
Ahora, calcula las derivadas de f(x) y g(x): 
• f'(x) = cos(x) (derivada de la función exterior). 
• g'(x) = 3 (derivada de la función interior). 
Luego, aplica la regla de la cadena: 
u'(x) = f'(g(x)) * g'(x) = cos(3x) * 3 
Entonces, la derivada de u(x) es u'(x) = 3cos(3x). 
 
Derivadas implícitas: 
Las derivadas implícitas son una técnica avanzada en cálculo diferencial que se utiliza cuando no es 
posible despejar explícitamente la variable dependiente (generalmente y) en términos de la variable 
independiente (generalmente x) en una ecuación dada. Esto ocurre comúnmente en situaciones donde 
las funciones no están expresadas de manera explícita, sino que están definidas implícitamente a través 
de ecuaciones. 
Para encontrar la derivada implícita de una función dada, se siguen los siguientes pasos: 
1. Escribir la ecuación implícita: Comenzamos con la ecuación que relaciona las variables x e y. Por 
ejemplo, podría ser una ecuación como: 
F(x, y) = 0 
Donde F(x, y) es una función que no se puede despejar explícitamente en términos de y. 
2. Derivar ambos lados: Derivamos ambos lados de la ecuación con respecto a x. Esto implica 
aplicar la regla de la cadena para la derivación de y con respecto a x: 
d/dx [F(x, y)] = 0 
3. Usar la regla de la cadena: Al derivar F(x, y) con respecto a x, se aplica la regla de la cadena para 
obtener dos términos: 
dF/dx + dF/dy * (dy/dx) = 0 
Donde dF/dx representa la derivada parcial de F con respecto a x, dF/dy es la derivada parcial de F con 
respecto a y, y dy/dx es la derivada de y con respecto a x. 
4. Resolver para dy/dx: El objetivo es encontrar la derivada de y con respecto a x, es decir, dy/dx. 
Para hacerlo, se aísla el término dy/dx en la ecuación obtenida en el paso anterior: 
dy/dx = - (dF/dx) / (dF/dy) 
Este valor de dy/dx representa la derivada implícita de y con respecto a x en términos de las derivadas 
parciales de F con respecto a x e y. La derivada implícita es útil en situaciones en las que no es posible 
despejar y de manera explícita y cuando se necesita conocer la tasa de cambio de y con respecto a x en 
el contexto de la ecuación original.