Aproximaciones Lineales del Cálculo Diferencial

Vista previa del material en texto

Aproximaciones Lineales del Cálculo Diferencial 
Tangentes: 
1. Tangente a una Curva: La tangente a una curva en un punto dado es una línea recta que toca la 
curva en ese punto sin cruzarla. Esta línea representa la dirección instantánea de cambio de la 
curva en ese punto. 
2. Pendiente de la Tangente: La pendiente de la tangente en un punto de una curva es igual a la 
derivada de la función en ese punto. Matemáticamente, si tienes una función f(x) y deseas 
encontrar la pendiente de la tangente en el punto x = a, esta pendiente se denota como f'(a). 
3. Ecuación de la Tangente: La ecuación de la tangente a una curva en el punto (a, f(a)) es una línea 
recta que se puede escribir en forma de ecuación lineal de la siguiente manera: y = f'(a) * (x - a) + 
f(a). 
 
Aproximaciones lineales: 
1. Teorema de Taylor: El teorema de Taylor establece que una función f(x) se puede aproximar por 
una función lineal (una recta) alrededor de un punto a. La aproximación lineal se expresa como: 
f(x) ≈ f(a) + f'(a) * (x - a) 
Donde f(a) es el valor de la función en el punto a, f'(a) es la derivada de la función en el punto a, y (x - a) 
es la distancia desde el punto a hasta el punto x. 
2. Aproximación Lineal en Notación Diferencial: A menudo, se utiliza la notación diferencial para 
representar la aproximación lineal. Se denota como Δy ≈ f'(a) * Δx, donde Δy es el cambio en la 
función, Δx es el cambio en la variable independiente, y f'(a) es la derivada en el punto a. 
3. Aplicación Práctica: Las aproximaciones lineales se utilizan en muchas disciplinas para hacer 
estimaciones cercanas a los valores reales de una función en puntos cercanos. Por ejemplo, en 
física, se pueden usar para estimar la posición de un objeto en movimiento en un momento 
específico. En economía, se pueden utilizar para proyectar el crecimiento de una inversión. 
Las tangentes y las aproximaciones lineales son herramientas valiosas en el cálculo diferencial, ya que 
permiten comprender cómo cambian las funciones en puntos específicos y proporcionan una manera de 
aproximar el comportamiento de una función en un entorno local. Estos conceptos son fundamentales 
para comprender el análisis de funciones y tienen aplicaciones en una amplia gama de campos 
científicos y técnicos.