Integrales

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Capitulo 5 
-
Integrales 
x 
Xk - 1 xz Xk 
'------v---' 
III 
Xn _\ Xn = b 
X~I; 
En este capitulo En los dos ultimos capltulos analizamos las definiciones, propiedades y apli-
cac iones de la derivada. Ahora pasaremos del calculo diferencial al calculo integral. Leibniz 
denom in6 calculus summatorius a esta segunda de las dos divisiones mas importantes del 
cal culo. En 1696, persuadido par el matematico suizo Johann Bernoulli, Leibniz cambi6 el nom-
bre a calculus integralis. Como sugieren las palabras latinas originales, el concepto de sum a 
desem pena un papel importante en 81 desarrollo completo de la integral. 
En el capitulo 2 vimos que el problema de la tangente conduce de manera natural a la 
derivada de una funci6n. En el problema de area, el problema motivacional del calculo 
integral, deseamos encontrar el area acotada por la gratica de una funci6n y el eje x. Este 
pro blema lIeva al concepto de integral definida. 
5. 1 La integral indefinida 
5.2 Integracion par sustitucion u 
5.3 EI problema de area 
5.4 La integral definida 
5. 5 Teorema fundamental del calculo 
Revision del capitulo 5 
267 
268 CAPITULO 5 Integ rales 
5.1 La integral indefinida 
I Introduccion En los capftulos 3 y 4 solo abordamos e l problema basico: 
• Dada una funcion.f: encontrar su derivadaf' . 
En este capItulo y en los subsecuentes veremos cuan importante es el problema de: 
• Dada una funcionf, encontrar una funcion F cuya derivada sea! 
En otras palabras, para una funcion dadaf, ahora pensamos enfcomo una derivada. Desearnos 
encontrar una funcion F cuya derivada seaf; es decir, F'(x) = f(x) para toda x en algun interva_ 
10. Planteado en terminos generales, es necesario diferenciar en reversa. 
Empezamos con una definicion . 
Definicion 5.1.1 Antiderivada 
Se dice que un funcion F es una antiderivada de una funcion f sobre algun intervalo I si 
F '(x) =f(x) para toda x en 1. 
Ij):@4(.1' Una antiderivada 
Una antiderivada def(x) = 2x es F(x) = x 2, puesto que F'(x) = 2x. • 
Una funcion siempre tiene mas de una antiderivada. As!, en el ejemplo anterior, F\ (x) = 
x2 - I Y F2(x) = x
2 + 10 tambien son antiderivadas de f(x) = 2x, puesto que Fi(x ) = 
F2(x) = 2x. 
A continuaci6n del11ostraremos que cualquier antiderivada de f debe ser de la forma 
G(x) = F(x) + C; es decir, dos antiderivadas de La misma funci6n pueden diferir a 10 mas ell 
una constante. Por tanto, F(x) + C es La antiderivada mas generaL def(x). 
Teorema 5.1.1 Las antiderivadas difieren 120r una constante 
Si G'(x) = F'(x) para toda x en algun intervalo [a, b], entonces 
G(x) = F(x) + C 
para toda x en el intervalo. 
DEMOSTRACION Suponga que se define g(x) = G(x) - F(x). Entonces, puesto que G'(x) = 
F'(x) , se concluye que g'(x) = G'(x) - F'(x) = 0 para toda x en [a , b]. Si x \ Y X2 son dos nume-
ros cualesquiera que satisfacen a ::; x\ < X 2 ::; b, por el teorema del valor medio (teorema 4.4.2) 
se concluye que en el intervalo abierto (x\, X2) existe un nUl11ero k para el cLlal 
o 
Pero g'(x) = 0 para toda x en [a, b]; en particular, g'(k) = O. Por tanto, g(X2) - g(x\) = 0 0 
g(X2) = g(x\). Luego, por hipotesis, x\ Y X2 son dos nUl11eros arbitrarios, pero diferentes, en el 
intervalo. Puesto que los valores funcionales g(x\) y g(X2) son iguales, debe concluirse que la 
funcion g(x) es una con stante C. Por tanto, g(x) = C il11plica G(x) - F(x) = C 0 G(x) == 
F(x) + C. • 
La nOlac ion F(x) + C representa una fanlilia de f unciones; cada miembro tiene una deriva-
, i"ual a/(.I") , Volviendo al ejemplo I, la antiderivada mas general de f(x) = 2x es la familia 
~~.r )c =o r" + C. Como se ;~ en la F~GURA 5.1.1, la grafica de la antiderivada de f(x ) = 2x es una 
'l'IL'i6n vertical de la graflca de x . 
tra~ , 
1!1@IQon Antiderivadas mas generales 
a) Una antiderivada de f(x) = 2x + 5 es F(x) = x2 + Sx puesto que F'(x) = 2x + S. La 
antiderivada mas general def(x) = 2x + 5 es F(x) = x 2 + Sx + C. 
b ) Una antiderivada def(x) = sec2 x es F(x) = tan x puesto que F'(X) = sec2 x. La anti de-
ri vada mas general de f(x) = sec2 x es F(x) = tan x + C. • 
I Notaci6n de la integral indefinida Por conveniencia, se introducira la notacion para una anti-
derivada de una funcion , Si F'(X) = f(x) , la antiderivada mas general de f se representa por 
ffCX) dx = F(x) + c. 
EI sfm bolo J fue introducido por Leibniz y se denomina signo integral. La notacion Jf(x) dx 
se denomina integral indefinida def(x) respecto a x. La funcionf(x) se denomina integrando. 
EI proceso de encontrar una antiderivada se denomina antidiferenciacion 0 integracion. El 
numero C se denomina constante de integracion. Justo como ! ( ) denota la operacion de dife-
renciacion de ( ) con respecto a x, el simbolismo J ( ) dx denota la operacion de integracion de 
( ) COI1 respecto a x. 
La diferenciacion y la integracion son fundamentalmente operaciones inversas. Si Jf(x) dx = 
F(x) + C, entonces F es la antiderivada de f; es decir, F'(x) = f(x) y asi 
f F'(x) dx = F(x) + C. (1) 
Ademas, df d dx f(x) dx = dx (F(x) + C) = F'(x) = f(x) (2) 
En palabras, (1) Y (2) son, respectivamente: 
• Una antiderivada de Ja derivada de una funcion es esa funcion mas una constante. 
• La derivada de una antiderivada de una funcion es esa funcion. 
A partir de 10 anterior se concluye que siempre que se obtiene la derivada de una funcion, al 
mi smo tiempo se obtiene una formula de integracion. Por ejemplo, debido a (1), si 
d xl/ + I 
- - -==xll 
dx n + 1 
d 1 - Inlx l = -
dx x 
d 
dx sen x = cos x 
d 1 - tan - I x = ---
dx 1 + x 2 
entonces f 
d xl/+ I f X,, +I 
dx n + 1 dx = x" dx = ;+I + C, 
entonces f !lnlx l dx= f~dx=lnlxl+C' 
entonces f ! sen x dx = J cos x dx = sen x + C, 
entonces 
f
!!... tan- I x dx = f __ l - dx = tan - I x + C. 
dx J + x 2 
De esta manera es posible construir una formula de integracion a partir de cada formula de 
derivada. En la TABLA 5.1.1 se resumen algunas formulas de derivadas importantes para las funcio-
nes que se han estudiado hasta el momento, asi como sus formulas de integracion analogas . 
5.1 La integral indefini da 269 
FIGU RA 5.1 .1 Algunos miembros 
de la familia de antiderivadas de 
f(x) = 2x 
<III Este primer resu ltado s6 10 es 
va lido si II * - 1. 
270 CAPITULO 5 Integrales 
d 
l.
dx
x=1 
F6rmula de integraci6n 
JdX=X+C 
d _I _ 1 
10. -d sen x - , ~ 
x vi - x 2 
F6rmula de integraci6n 
I 1 d - I , ~ X = sen x + C vi - x 2 
d X"+ I J X" + I 2. --- = xl/ (n oF - 1) x"dx = -- + C 
dxn+l 11+1 11 
d - I 1 • - tan x = ---
dx 1 + x 2 1 __ 
1-
2 
dx = tan-I x + C 
l+x 
d 1 
3. - Inlxl = -
dx x 
4 
d 
. dx sen x = cos x 
d 
5. dx cos x = - sen x 
d 
6. dx tan x = sec2 x 
d 
7. -dx cot x = - csc2 X 
d 
8. dx sec x = sec x tan x 
J~dX = Inlxl + C 
J cos x dx = sen x + C 
I sen x dx = - cos x + C 
I sec2 x dx = tan x + C 
I csc2 X dx = -cot x + C 
I sec x tan x dx = sec x + C 
d _ I _ 1 
12. -d _ sec x - , ~ 
x Ixl V x " - 1 
13. ull F = bX(ln b), 
GX 
(b > 0, b oF 1) 
14. ! eX = eX 
d 
15. dx senh x = cosh x 
d 
16. -I cosh x = senh x 
GX 
I ~ dx = sec- I[x[ + C x x 2 - 1 
I bX bXdx = - + C Inb 
I eXdx = eX + C 
I cosh x dx = senh x + C 
I senh x dx = cosh x + C 
9. ! esc x = - esc x cot x I esc x cot x dx = -esc x + C 
Con respecto a la entrada 3 de la tabla 5.1.1, es cierto que las f6rmulas de derivadas 
.iL In x = 1.. dId 10g b x dxlnlxl =~, dx ~ x dx x' 
significan que una antiderivada de l / x = X - I puede tomarse como In x, x > 0, In lx l, x -:f- 0, a 
10gb x/ In b, x > O. Pero como resultado mas general y util escribimos 
I~dx = In lx l + C. 
Observe tambien que en la tabla 5.1.1 s6lo se proporcionan tres f6rmulas que implican funcio-
nes trigonometricas inversas. Esto se debe a que, en forma de integral indefinida, las tres f6rmu-
las restantes son redundantes. Por ejemplo, de las derivadas 
d _ I 1 
- sen x = 
dx ~ 
observamos que es posible tomar 
Ih dx = sen- I x + C 1 - x2 
y 
o 
d _ I - 1 
- cos x = 
dx ~ 
Ih dx = -COS- I X + C. 1 - x2 
Observacionessemejantes se cumplen para la cotangente inversa y la cosecante inversa. 
U!JiMQ!'.' Una antiderivada simple pero importante 
La f6rmula de integraci6n en la entrada 1 en la tabla 5 .1.1 se inc1uye para recalcar: 
J dx = I 1 . dx = x + C ya que ! (x + C) = 1 + 0 = 1. 
Este resultado tambien puede obtenerse a partir de la f6rm ula de integraci6n 2 de la tabla S.!.I 
con n = O. • 
A menudo es necesario volver a escribir el integrandof(x) antes de realizar la integraci6n . 
dl§MR! .... e C6mo volver a escribir un integrando 
Evaluc 
a) LI, dx y b) I vX dx. 
Solucio
n 
·b· II S - 5·d ·f· 5 I t· , I d . ., 2 a ) Al volver a escn Ir X" como x e 1 entl lcar n = - , por a ormu a e 1I1tegraclOn 
de la tab la 5.1.1 tenemos: 
Ix-5 dx = X-H I + C = _x-
4 + C = _ _ 1_ + C. 
-5 + 1 4 4X4 
b ) Primero volvemos a escribir el radical vX como XI / 2 y luego se usa la formula de inte-
grac ion 2 de la tabla 5 .1.1 con n = ~: 
I x 3/2 2 XI /2 d,x = ~/2 + C = 3"X 3/2 + C. • 
Debe tomarse en cuenta que los resuLtados de La integraci6n siempre pueden comprobarse 
por diferenciaci6n; por ejemplo, en el inciso b) del ejemplo 4: 
.!i(lx3/2 + c) = l.lx3/2 - 1 = X I /2 = vX 
~ 3 32· 
En el siguiente teorema se proporcionan algunas propiedades de la integral indefinida. 
Teorema 5.1.2 Propiedades de la integral indefinida 
Sean F'(x) = f(x) Y G'(x) = g(x) . Entonces 
i) f kj(x) dx = k ff(X) dx = kF(x) + C, donde k es cualquier constante, 
ii) f [f(x) ::!:: g(x) ] dx = f f(x) dx ::!:: I g(x) dx = F(x) ::!:: G(x) + C. 
Estas propiedades se concluyen de inmediato a partir de las propiedades de la derivada. Por 
ejemplo, ii) es una consecuencia del hecho de que la derivada de una suma es la suma de las deri-
vadas. 
Observe en el teorema 5.1.2ii) que no hay razon para usar dos constantes de integracion, 
puesto que 
I [f(x) ::!:: g(x)] dx = (F(x) + C1) ::!:: (G(x) + C2) 
= F(x) ::!:: G(x) + (CI ::!:: C2) = F(x) ::!:: G(x) + C, 
donde C I ::!:: C2 se ha sustituido por la simple constante C. 
Una integral indefinida de cualquier suma infinita de funciones la podemos obtener al inte-
grar cad a termino. 
D@t!lgr'''j Uso del teorema 5.1.2 
Evallie f ( 4x - ~ + 5 sen x ) ~. 
Soluci6n Por los incisos i) y ii) del teorema 5.1.2, esta integral indefinida puede escribirse 
como tres integrales: 
I ( 4x - ~ + 5 sen x) dx = 4 f x dx - 2 I ~ dx + 5 f sen x dx. 
5. 1 La integra l indefinida 271 
272 CAPITULO 5 Integrales 
Si el concepto de comlln deno-
lllinador 
(/ b a + b -+ - = - -
c c c 
se Ice de derecha a izquierda, se 
est,\ reali zando " di vision termino 
porterl1lin o". 
Debido a las f6rmulas de integraci6n 2, 3 y 5 en la tabla 5.1.1 , entonces tenemos 
I (4X - ~ + 5 sen x) d.x = 4· ~;2 - 2 . In Ixl + 5 . (-cos x ) + C 
= 2X2 - 2 In I x I - 5 cos x + C. • 
I Uso de la division Escribir un integrando en forma mas manejable algunas veces conlleva a 
una divisi6n. La idea se ilustra con los dos ejemplos siguientes. 
'!I3\~IQ!"iI Divisi6n terminG por terminG 
I6x
3 
- 5 
Evalue x dx. 
~ Solncion Por la divisi6n termino por termino, el teorema 5.1.2 y las f6rmulas de integraci6n 2 
y 3 de la tabla 5.1.1 tenemos: 
I 6x3 x- 5 dx = I (6;3 - ~) dx 
= I (6X2 - ~) dx = 6· ;3 - 5· Inlxl + C = 2x3 - 51nlxl + C. • 
Para resolver el problema de evaluar ff(x) dx, dondef(x) = p(x)/ q(x) es una funci6n racio-
nal, a continuaci6n se resume una regia practica que debe tomarse en cuenta en esta subsecci6n 
y en la subsecci6n subsecuente. 
Integraci6n de una funci6n racional 
Suponga que f(x) = p(x)/ q(x) es una funci6n racional. Si el grado de la funci6n poli-
nomiai p(x) es mayor que 0 igual al grado de la funci6n polinomial q(x), use divisi6n 
larga antes de integrar; es decir, escriba 
p(x) . . rex) 
- ( ) = un pOill10mlO + - ( )' qx qx 
donde el grado del polinomio rex) es menor que el grado de q(x) . 
U!!3MQ!.WJ Divisi6n larga 
J 
X2 
Evalue - - - 2 dx. 
I+x 
Solncion Puesto que el grado del numerador del integrando es igual al grado del denominador, 
se efectua la divisi6n larga: 
x 2 - - =1 - --
1 + x 2 1 + x 2 ' 
Por ii) del teorema 5.1 .2 Y las f6rmulas de integraci6n 1 y 11 en ia tabla 5.1. 1 obtenemos 
J~ dx = J(l -__ 1_7) d.x = x - tan- I x + C. 1 + x 2 I + x- • 
I Ecuaciones diferenciales En varios conjuntos de ejercicios en el capitulo 3 se pideicompro-
bar que una funci6n dada satisface una ecnacion diferenciaI. En terminos generales, una ecua-
ci6n diferencial es una ecuaci6n que implica las derivadas 0 el diferencial de una funci6n desco-
nocida. Las ecuaciones diferenciales se clasifican segun el orden de la derivada mas alta que 
.. , en 1<1 eeuacion. EI objetivo consiste en resolver eeuaciones diferenciales . Una ecuacion 
apalCll: . 
diferencial de pruner orden de la forma 
dy 
dx = g(x) 
pueae resolverse usando integracion indefinida. Por (1) se ve que 
f (:) dx = y. 
Asi. la solueion de (3) es la antiderivada mas general de g; es decir, 
y = f g(x) dx. 
eMilY!":' Resoluci6n de una ecuaci6n diferencial 
(3 ) 
(4) 
Encuentre una funcion y = f(x) cuya grafiea pase por el punto (1 , 2) Y tambien satisfaga la ecua-
cion diferencial dy/dx = 3x2 - 3. 
Solucion Por (3) y (4) se concluye que si 
dy ? - = 3x- - 3 
dx 
entonees y = f (3x 2 - 3)dx. 
Es deci r, y = f (3x 2 - 3)dx = 3· ;3 - 3 · x + C 
o bien, \' = x3 - 3x + C. As!, euando x = 1, y = 2, de modo que 2 = I - 3 + Co C = 4. Por 
tanto, -" = x3 - 3x + 4. Entonees , de la familia de antiderivadas de 3x2 - 3 que se muestra en 
la FIGU RA 5.1.2, se ve que solo hay una euya grafica (mostrada en rojo) que pas a por (l , 2). • 
Al resolver una eeuaeion difereneial como dy/ dx = 3x2 - 3 en el ejemplo 8, la eondiei6n 
lateral espeeifieada de que la grafiea pase por (I, 2), es decir,f(l) = 2, se denomina condicion 
inicial. Una condicion inicial como esta suele escribirse como y(l) = 2. La solucion y = x3 
- 3x + 4 que fue determinada por la familia de soluciones y = x 3 - 3x + C por la condicion 
inicial se denomina solucion particular. EI problema de resolver (3) sujeto a una condicion ini-
cial, 
dy 
dx = g(x), 
se denomina problema con valor inicial. 
Observamos que una ecuacion diferencial de orden n-esimo de la forma d"y/ dx" = g(x) 
plIede resolverse al integrar n veces eonseeutivas la funeion g(x). En este easo, la familia de solu-
ciones eontiene n eonstantes de integraeion. 
U1MJ!Q!'I!' Resoluci6n de una ecuaci6n diferencial 
d 2y 
EnCllentre una funeion y = f(x) tal que - = l. 
dx2 
Solucion La ecuaeion difereneial dada se integra dos veees eonseeutivas. Con la primera inte-
gracion se obtiene 
dy = fd. 2~ dx = fl. dx = x + c 1• 
dx dx-
Can la segunda integraeion se obtiene y = f(x) : 
• 
5.1 La integ ral illdefi nida 273 
FIGURA 5. 1.2 La curva roj a es la 
grafica de la so luci6n del 
problema en el ejemplo 8 
274 CAPiTULO 5 Integ rales 
f NOTAS DESDE EL AULA ............................. ... .......... ..... ... ..... ..... ................... ... ....................... .. ..................... ....... .. .......................... .. 
A menudo, a los estudiantes se les dificulta mas calcular antiderivadas que derivadas. Do~'" 
palabras de advertencia. Primero, debe tenerse mucho cuidado con el procedimiento algebrai_ 
co, especial mente con las leyes de los exponentes. La seguncla advertencia ya se ha plantea_ 
do, aunque vale la pena repetirla: tenga en cuenta que los resultados de la integraci6n indeli_ 
nida siempre pueden comprobarse . En un cuestionario 0 en un examen vale la pena que 
cledique unos minutos de su valioso tiempo para comprobar su respuesta al tomar la deriva_ 
da. A veces esto puede hacerse mentalmente. POl' ejemplo, 
inlegracion 
[ A- .. 
I CE dX = li~ ~s 
comprucbe pOl' 
dii'erenciac ion 
Ejercicios 5.1 La s respuestas de los problemas impares seleccionados comienzan en la pagina RES-1B. 
= Fundamentos 
I (8x + I - geX) dx I (15x - 1 - 4 senh x) dx 27. 28. 
En los problemas 1-30, evalue la integral indefinida dacla. 
1. I 3 dx 2. I (7T2 - 1) dx 29. I 2x
3 
-x
2 + ~x + 4 dx 30. I x
6 
---2 dx 
I + x- l + x 
3. I x
5 
dx 4. I 5X
1/4 dx 
En los problemas 31 y 32, use una identiclad trigonometrica 
para evaluar la integral indefinida clada. 
5. I+dX Vx 
6. I Vx2 dx 31. I tan
2 x dx 32. I cos21 dx 
7. I (1 - [ - 052) dt 8. I lOwVw dw 
En los problemas 33-40, use cliferenciacion y la regIa de la 
cadena para comprobar el resultaclo cle integracion dado. 
I (3x 2 + 2x - 1) dx I ( 2 Vi - t - :2) dt 
33. I ~dX = v'2X+T + C 9. 10. 2x + 1 
11. I vX(x2 - 2) dx 12. I ( 5 2 ) 
34. I (2x2 - 4x)9(x - 1) dx = J...(2x2 - 4X)1 0 + C --+-- ds 40 
Vs2 w 
I cos 4x dx = ±sen 4x + C 
I (4x + 1)2dx I(vX-l)2C!x 
35. 
13. 14. 
I I ? 
I(4W - I?dW I (5u - 1)(3u3 + 2) du 
36. sen x cos x dx = '2sen- x + C 
15. 16. 
I ? I ? 
I r2 - lOr + 4 rx + 1)2 37. x sen x- dx = - '2 cos x- + C 17. 3 dr 18. vX dx 
r 
I cos x dx = 
I X-I - XX-22 + x- 3 dx I t3 - 8t + 1 dt 
38. 
2 sen2 x 
+ c 
19. 20. sen
3 x 
(2t)4 
I In x dx = X In x - x + C 
I(4 senx - 1 + 8x- 5)dx I(-3 cos x + 4 sec2 x) dx 
39. 
21. 22. 
40. I xe' dx = xeX - eX + C 
I csc x(csc x - cot x) dx I sen t dt 23. 24. 
cos2 t En los problemas 41 y 42, efectue las operaciones indicadas. 
25. I2 + 3 sen
2 
x dx 
sen2 x 
26. I(40 - _ 2 )de 
sec e 41. c~ I (x 2 - 4x + 5) dx 42. I 1 (x2 - 4x + 5) dx 
I . 11rohlcmas 43-48, resuelva la ecuaci6n diferencial dada. En os 
til' (. 2 + 9 43. -'- == 1.\ 
dl 
dV 
44. -=- = l Ox + 3vX 
dx 
dr 46. 
dy (2 + X )2 
45. - - , dx X S dl .r-
dr - 2x + sen x 48. 
dy 
47. - - I dx ? d.1 cos- X 
49. Encuentre una funci6n y = f(x ) cuya gnifica pase por el 
pu nta (2, 3) y que tambien satisfaga la ecuaci6n diferen-
cial dl'/ dx = 2x - 1. 
50. Encuentre una funci6n y = f(x ) de modo quel dy/ dx = 
I/V;: Y j(9) = 1. 
51. Si f"(x) = 2x, encuentre1'(x) y f(x). 
52. Encuentre una funci6nftal quef"(x) = 6,1'(- 1) = 2 Y 
/(- 1)=0. 
53. Encuentre una funci6nftal que f"(x) = 12x2 + 2 para la 
cualla pendiente de la recta tangente a su grafica en (1, I) 
es 3. 
54. Sill/ I(x) = 0, l,cmll esf? 
En los problemas 55 y 56, la grafica de la funci6n f se mues-
tra en azul. De las gnificas de las funciones F, G y H cuyas 
gn:ificas se muestran en negro, verde y rojo, respectivamente, 
i,cual funci6n es la grafica de una antiderivada de f? Jus-
titiq lle su razonamiento. 
55. 
56. 
F 
FIG URA 5.1.3 Gnlficas para el problema 55 
H 
y = f(x) ---
FI GURA 5.1.4 Graficas para el problema 56 
= Ap licaciones 
57. Un cubo que contiene un Uquido gira alrededor de un eje 
vertical a velocidad angular constante w. La forma de la 
5.1 La integral indefinida 275 
secci6n transversal del Jfqll ido giratorio en el plano xy 
esta determinada por 
dy w 2 
- =-x 
dx g ' 
Con ejes de coordenadas como se muestra en la FIGURA 
5.1.5, encuentre y =j(x). 
FIGURA 5.1.5 Cubo en el problema 57 
58. Los extremos de una viga de longitud L estan sobre dos 
soportes como se muestra en la FIGURA 5. 1.6. Con una carga 
uniforme sobre la viga, su forma (0 curva elastica) esta 
determinada a partir de 
donde E, I Y q son constantes. Encllentre y = f (x) si 
f(O) = 0 y 1'(L/ 2) = o. 
1= viaa / b it -zs: ) x 
f+-I·--L - - ·I 
FIGURA 5.1.6 Viga en el problema 58 
= Piense en ella 
En los problemas 59 y 60, determine f 
59. ff(X) dx = In llnxl + C 
60. f f(x) dx = x 2e' - 2xeX + 2eX + C 
61. Encuentre una funci6n f tal que f'(x) = x 2 Y y = 4x + 7 
sea una recta tangente a la grafica de f 
62. Simplifique la expresi6n e4Jdx/x tanto como sea posible. 
63. Determine cmU de los dos resultados siguientes es co-
rrecto : 
o 
64. Dado que ! sen TTX = 7T cos 7TX, encuentre una antideri-
vada F de COS7TX que tenga la propiedad de que Fm = O. 
276 CAPITULO 5 Integral es 
5.2 Integracion por sustitucion u 
I Introduccion En la ultima seccion se anali zo el hecho de que para cada f6rmula para la deri -
vada de una funcion hay una formula de antiderivada 0 integral indefinida correspondiente. Por 
ejemplo, al interpretar cada una de las funciones 
x" (n '* -1), y cos x 
como una antiderivada, se encuentra que la "revers a de la derivada" correspondiente es una fami-
lia de antiderivadas: 
J 
x" + 1 
x"dx= -- + C 
n + 1 
(n '* - 1), J ~dx = In lx l + C, J cos x dx = sen x + C. ( I ) 
. I ., ) ..... En la siguiente exposicion se analiza la "revers a de la regia de la cadena" . En este amlli sis el 
R e\' l se a SCCC IOIl 4( .... .• . / . ' 
concepto de dlferencml de una funclOn desempena un papel Importante. Recuerde que si u == 
g(x) es una funci6n diferenciable, entonces su diferencial es du = g'(x) dx . 
Se empieza con un ejemplo. 
I Potencia de una funcion Si deseamos encontrar una funcion F tal que 
J (5x + 1)1 /2 dx = F(x) + C, 
debemos tener F'(x) = (5x + 1)1 /2. 
Al razonar "hacia atras", podemos argumentar que para obtener (5x + 1 )1 /2 necesitamos haber 
diferenciado (5x + 1)3/2. Entonces, pareceria que es posible proceder como en la primera formu-
la en (1); a saber: incrementar la potencia por 1 y dividir entre la nueva potencia: 
J 
(5x + 1)3/2 2 
(5x + 1)1/2 dx = + C = - (5x + 1)3/2 + c. (2) 
3/ 2 3 
Lamentablemente, la "respuesta" en (2) no concuerda, puesto que con la regIa de la cadena, en 
la forma de la regIa de potencias para funciones, se obtiene 
!!..-[l(5X + 1)3/2 + c] = l.2(5x + 1)1 /2 . 5 = 5(5x + 1)1/2 '* (5x + 1)1/2 (3) 
d.x3 32 . 
Para tomar en cuenta el factor 5 faltante en (2) usamos el teorema 5.1.2i) y un poco de pel's-
picacia: 
J (5x + 1)1 /2 dx = J (5x + 1)1 /2 [] dx ..... ~ = I 
= t J !c5x + J )1 /2 51 dx ..... deri vacla de ~ ( 5X + I) ' ~ 
1 2 
= '5' '3(5x + 1)3/2 + C ..... pOi (3 ) 
= 1
2
5 (5x + 1?/2 + c. 
Ahora, usted debe comprobar por diferenciaci6n que la ultima funci6n es, en efecto, una anti de-
rivada de (Sx + 1)1/2. 
La clave para evaluar integrales indefinidas como 
J (5x + 1)1 /2 dx, y J sen lOx dx (4) 
reside en el reconocimiento de que los integrandos en (4), 
x 
y sen lOx 
son resultado de diferenciar una funci6n compuesta por medio de la regIa de la cadena. Para 
hacer este reconocimiento es uti! realizar una sustituci6n en una integral indefinida. 
Teorema 5.2.1 Re la de la sustituci6n u 
Si II 0= g (x) es una func i6n di fe renciab le cuyo rango es un interva[o I , f es una funci6n con-
tinua sobre I y F es una antiderivada de f sobre I, entonces 
f fC(?(X»g'(X) dx = f fCU) du o (5) 
DEMOSTRACION Por ia reg ia de la cadena, 
(,1' F(g(x» = F '(g (x»g'(x) 
(,x 
y cntonces por la defi nici6n de antiderivada tenemos 
f F'(g(x»g'(x) dx = F(g(x» + C. 
5.2 Integraci6n par sustituci6n u 277 
puesto que F es un antiderivada de j; es dec ir, si F' = ,f, entonces la lfnea precedente se vuelve 
f f(g(X»g'(X) dx = F(g(x» + C = F (u) + C = f F '(u) dL! = f f(U) duo (6) . 
La interpretaci6n del resultado en (6) y su resumen en (5 ) es sutil. En la secci6n 5. 1, el slm-
bolo dx se us6 simplemente como un indicador de que la integraci6n es con respecto a la vari a-
ble x. En (6) observamos que es permisible interpretar dx y du como d(ferenciales. 
I Uso de la sustituci6n u La idea basica consiste en poder reconocer una integral indefinida en 
una variable x (como [a proporcionada en (4» que sea la reversa de la reg ia de la cadena al con-
verti rl a en una integral indeflllida diferente en la variable it por medio de la sustituci6n u = g(x) . 
Par conveniencia, a continuaci6n se enumeran algunas directri ces para evaluar f f(g(x»g'(x) dx 
al efectuar una sustituci6n u. 
Directrices para efectuar una sustituci6n u 
i) En la integral ff(g(x»g'(x) dx identifique las funciones g(x) y g'(x ) dx. 
ii) Exprese la integral totalmente en tenninos del slmbolo u al sustituir u y du por g(x ) 
y g'(x) dx respectivamente. En su sustituci6n no debe haber variables x ; dejelas en la 
integral. 
iii) Efectue la integraci6n con respecto a la variable u. 
iv) Finalmente, vuelva a sustituir g(x) por el sfmbolo u. 
Integral indefinida de la patencia de una funci6n La derivada de la potencia de una funci6n 
era un caso especial de la regia dela cadena. Recuerde que si F(x ) = x" + I/ (n + 1), donde 11 es 
un numero real, n =1= -1 y si u = g(x) es una funci6n diferenciable, entonces 
[ g(X) ] " + I 
F(g(x» = n + 1 y 
d 
-d F(g (x» = [ g(X)]"g'(X). 
x 
Entonces, por el teorema 5.2. 1 de inmediato se deduce que 
f 
[ g(X) ] " +1 
[ g(x) ]"g'(x) dx = [ + C. 11 + 
En terminos de sustituciones 
u = g(x) 
(7 ) puede resllmirse como sigue: 
y du = g'(x) dx, 
f 
U"+I 
u"du = ~ + C, 
En e l siguiente ejemplo se evalua la segunda de las tres integrales indefinidas en (4). 
(7) 
(8) 
278 CAPITULO 5 Integra les 
'i!§Ml4!.I' Usa de (8) 
Evalue J 2 X 6 dx. 
(4x + 3) 
--
Solucion La integral vuelve a escribirse como 
y se hace la identificaci6n 
u = 4x2 + 3 y du = 8xdx. 
Luego, para obtener la forma precisa f u- 6 du es necesario ajustar el integrando al multiplicar y 
dividir entre 8: 
(f ~() till 
J I J ~-------(4x2 + 3) -6 X dx = "8 (4x2 + 3) -6 (8x elx) 
= ~ J u- 6 elu 
= !. u- 5 + C 
8 -5 
<- sli stitli cio n 
<- ahora li se (8) 
= -;0 (4x 2 + 3)- 5 + C. <- Olr<l Sli stilllc io n 
Comprobacion por diferenciacion: Por Ja regIa de potencias para funciones, 
![ -;0 (4x 2 + 3)-5 + c] = ( - 410)( - 5)(4x 2 + 3) - 6(8x) = (4x 2 : 3t • 
'ili@ij! •• J Usa de (8) 
Evalue J (2x - 5) II dx. 
Solucion Si u = 2x - 5, entonces du = 2 dx. La integral se ajusta al multiplicar y dividir entre 
2 para obtener la forma correcta de la diferencial elu: 
J 
IJ~~ (2x - 5)11 dx ="2 (2x - 5)11 (2 elx) <- Sli stitllc i6n 
= ~J u11elu <- ahorallsc(8) 
1 U l 2 
="2'12+ C 
= ~(2x - 5)12 + C <- otra SlIslitli cion 
24 . • 
En los ejemplos 1 y 2, el integrando se "arregI6" 0 ajust6 al multiplicar y dividir por una 
constante a fin de obtener la elu id6nea. Este procedimiento funciona bien si de inmediato se 
reconoce g(x) en ff(g(x))g'(x) dx y que a g'(x) dx simplemente Ie falta un multiplo constante id6-
neo. EI siguiente ejemplo ilustra una tecnica algo diferente. 
'iliMIij!.W' Usa de (8) 
Evahie J cos 4 x sen x dx. 
Solucion Para recalcar, volvemos a escribir el integrando como f (cos X)4 sen x dx. Una vez 
que se hace la identificaci6n u = cos x, se obtiene elu = -sen x dx. Al despejar el producto sen x 
elx de la ultima diferencial obtenemos sen x dx = -duo Luego, 
5.2 Integrac i6n par sustituci6n u 279 
I (cos xt sen x dx = I ~ (~) <- SLislilLicitill 
-I u4 du <- ailora Lise (~) 
US 
- 5+ C 
1 
--cos s x + C 5 . +- otra sllsrilucioll 
De nuevo, se solicita que ellector diferencie el ultimo resultado. • 
En los ejemplos que restan en esta secci6n se alternani entre los metodos empleados en los 
ejemplos I Y 3. 
En un nivel pnictico no siempre es evidente que se esta tratando con una integral de la forma 
J [g(x) J"g'(X) dx. Cuando trabaje cada vez mas problemas, observara que las integrales no siem-
pre son 10 que parecen a primera vista. Por ejemplo, usted debe convencerse de que al usar sus-
tituciones en u la integral f cos2 x dx no es de la forma f [g(x) lng,(x) dx. En un sentido mas gene-
ral, en ff(g(x ))g'(x) dx no siempre es evidente que funciones deben escogerse como u y duo 
I Integrales indefinidas de funciones trigonometricas Si u = g(x) es una funci6n diferencia-
ble, entonces las f6rmulas de diferenciaci6n 
d du 
dx senu = cosu dx y 
d du 
- (- cos u) = senu-
dx dx 
conducen, a su vez, a las f6rmulas de integraci6n 
I du cosu dx dx = senu + C 
y I du senu dx dx = -cosu + C. 
Puesto que du = g'(x) dx = ~: dx, (9) y (10) son, respectivamente, equivalentes a 
I cosu du = senu + c, 
I senu du = -cosu + c. 
1+l3mag.M' Usa de (11) 
Evalue I cos 2x dx. 
Solucion Si u = 2x, entonces du = 2 dx Y d.x = ~ duo En consecuencia, escribimos 
I I 
II ldll 
cos 2x dx = cos 2x (dx) <- sllstilLiCiti ll 
= ~ I cos u du <- ailora lise ( I I) 
1 
= 2'sen u + C 
1 = 2'sen 2x + C. <- (lIra slI slilllcion 
(9) 
(10) 
(11) 
(12) 
• 
280 CAPITULO 5 Integrales 
Las f6rmulas de integraci6n (8), (11) Y (12) son los amllogos de la regIa de la cadena de las 
f6rmulas de integraci6n 2, 4 Y 5 en la tabla 5.1.1. En la tabla 5.2.1 que se muestra a continua_ 
ci6n se resumen los amllogos de la regia de la cadena de las J 6 f6rmulas de integraci6n de la 
tabla 5.1.1. 
F6rmulas de 
1. I du = u + C 2. I U" +
l 
u"du = - - + C 
n + 1 (n 
3. I 1 du = In I u I + C 4. I cos u du = sen u + C u 
s. I sen u du = -cos u + C 6. I sec2 u du = tan u + C 
7. I csc2 du = -cot u + C 8. I sec u tan u du = sec u + 
9. I esc ucot u du = -esc u + C 10. I ~dU = sen~l u 
1 - u2 
11. I __ l_2 du = tan ~l u + C 12. I ~ du = sec~llu 
1 + u U u 2 - 1 
13. I b
lt 
H'du = -- + C 
In b 
14. I e" du = elf + C 
15. I cosh u du = senh u + C 16. I senh U du = cosh u + C 
En otros libros de texto, f6rmulas como 3, 10, 11 Y 12 en la tabla 5.2.1 suelen escribirse con 
el diferencial du como numerador: 
IdU, u I du ~' I du 7 ' 1 + u- I du uW-=-!' 
Pero como a 10 largo del tiempo hemos encontrado que estas ultimas f6rmulas a menudo se 
malinterpretan en un entorno de aula, aquf se prefieren las formas proporcionadas en la tabla. 
U!!MJlij!.4j Usa de la tabla 5.2.1 
Evalue I sec2(l - 4x) dx. 
Solucion Reconocemos que la integral indefinida tiene la forma de la f6rmula de integraci6n 
6 en la tabla 5.2.1. Si u = 1 - 4x, entonces du = -4 dx. Ajustar el integrando para obtener la 
forma correcta de la diferencial requiere multiplicar y dividir entre -4: 
1 I ? -4 sec- u du <- formula 6 en la tab la 5.2.1 
1 
-4tan u + C 
1 
-4tan(1 - 4x) + C. • 
5.2 Integraci6n par sustituc i6n u 281 
d1#IQ!'~ Usa de la tabla 5.2.1 
r 
c " ~dx. 
Eva luc . .r ' + 5 
1 ? 2 1 
Solucio" Si u = x + 5, entonces du = 3[ dx Y x dx = 3 duo Por tanto, 
J~ dx = J-3 _1_ (x 2 dx) x + 5 x + 5 
= lJ1du 
3 u 
1 
= 31n I u I + C <- forl11u la 3 ell la tab la 5.2 . I 
• 
d I3\W!'.' Vuelta a escribir y usa de la tabla 5.2.1 
Evalue J I -2 dx. 
I + e x 
Solucio" La integral dada no se ve como ninguna de las formulas de integracion en la tabla 
5.2. 1. No obstante, si el numerador y el denominador se multiplican por e2x, obtenemos 
J 1 J e
2x 
---?- dx = 2 dx. 
l+e--x eX+l 
Si II = e"l + 1, entonces du = 2e2x dx, de modo que por la formula 3 de la tabla 5.2.1, 
J 
1 dx=lJ 1 (2e2X dx) 
I + e-2x 2 e2x + 1 
= lJ1du 
2 u 
1 
= "21nlu l + C 
= ~ln(e2X + 1) + C. 
Observe que el sfmbolo de valor absoluto puede eliminarse porque e2x + 
val ores de X. 
1¥I3MQ!.':i Usa de la tabla 5.2.1 
Evalue J e5x dx. 
Solucion Sea u = 5x de modo que du = 5 dx. Entonces 
J e
5x 
dx = t J e5X(5 dx) 
= t J e" du +--- fonnu la 14 ell la tabl a S.2. I 
1 = -e" + C 
5 
= le5x + C 5 . 
D1MIIQI •• , Usa de la tabla 5.2.1 
J 
e4jx 
Evalue 7 dx. 
> 0 para todos los 
• 
• 
Solucion Si hacemos u = 4/ x, entonces du = (- 4/ x2 ) dx y (1/ x2 ) dx = -± duo 
282 CAPITULO 5 Integrales 
De nuevo a partir de la f6rmula 14 de la tabla 5.2. 1 observamos que 
'JI3MQ!e'[" Usa de la tabla 5.2.1 
ICtan - Ix)2 EvalUe 2 dx . 1 + x 
~± I e"du 
~l. e" + C 
4 
~±e4/X + C. • 
Solucion Como en el ejemplo 7, a primera vista la integral dada no se ve como ninguna de las 
f6rmulas en la tabla 5.2.1. Pero si la sustituci6n u se intenta can u = tan- I x y du = _~l_ dx 
I + x" ' entonces 
'ii!!I3MQ!e'" Usa de la tabla 5.2.1 
EvalUe I V I dx. 
100 ~ x 2 
I u2 du <-- 1'6nll ul a 2 en la tabl a 5.2. 1 
3 
=~+c 
3 
= ~Ctan - I X)3 + c. • 
Solucion Al factorizar 100 del radical e identificar u = I~ x Y du = 110 dx, el resultado se 
obtiene a partir de la f6rmula 10 de la tabla 5.2.1: 
- I X + C = sen 10 . • 
I Tres formulas alternas Por razones de conveniencia, las f6rmulas de integraci6n 10, 11 Y 12 
en la tabla 5.2.1 se extienden como sigue. Para a > 0, 
I 
I d - I U V U = sen ~ + C 
a2 ~ u2 a 
(1 3) 
I II - I u " 2 du = ~ tan ~ + C a- + u a a (1 4) 
(1 5) 
5.2 Integraci6n par sustituci6n u 283 
, '1 adqui ri r pnlctica, compruebe estos resultados por diferenciaci6n. Observe que la integral 
r~~~tjnida en el ejemplo II puede evaluarse nipidamente al identificar u = x y a = 10 en (13). 
IIntegral es trigonometricas especiales Las f6rmulas de integraci6n que se proporcionan en 
'e(Tuida, que relacionan algunas funciones trigonometricas con el logaritmo natural, a menudo 
~c~rren en la pnictica, por 10 que merecen atenci6n especial: 
J tan x dx = -inlcos x l + C (16) <III E n lab las de fo rmulas de 
J cot x dx = In lsen x l + C 
J sec x dx = In lsec x + tan x l + C 
JCSCXdX = Inlcscx - cot xl + C. 
Para encontrar (16) escribimos 
J J
senx 
tan xdx = ~-dx 
cos x 
y se identifica u = cos x, du = - sen x dx, de modo que 
J J sen x dx -- J 1 tanxdx = - - - (-senxdx) cos x cos x 
-J~ du 
-ln lul + C 
-lnlcos xl + C. 
Para obtener (18) escribimos 
J d J 
sec x + tan x d 
sec x x = sec x sec x + tan x x 
J 
sec2 x + sec x tan x dx. 
sec x + tan x 
Si hacemos u = sec x + tan x, entonces du = (sec x tan x + sec2 x) dx y as!, 
J
sec xdx= J ~ (sec2 x+secxtanx)dx 
sec x tan x 
J~dU 
= In lu l + C 
= Inlsec x + tan xl + C. 
Tambien, cad a una de las f6rmulas (16)-(19) podemos escribirlas en una forma general: 
J tan u dx = -Inlcos ul + C 
J cot u du = In I sen u I + C 
J sec u dx = I n I sec u + tan u I + C 
J csc u du = lnlcsc u - cot ul + C. 
(17) 
(18) 
(19) 
(20) 
(21) 
(22) 
(23) 
(24) 
inlegra les a mcnudo obsc rv,llllos 
( 16) cscri la C0 l110 
flan x dx = In lsee x l + c. 
Por las propiedades de los 
10garil l11 os 
- In leos x l = In leDs .If ' = 
In lsec x l. 
284 CAPITULO 5 Integ rales 
I Identidades (ltiles Cuando se trabaja con funciones trigonometricas, a menudo es necesario 
usar una identidad trigonometric a para resolver un problema. Las f6rmulas de la mitad de un 
angulo para el coseno y el seno en la forma 
I 
cos2 x = 2(1 + cos 2x) y I sen2 x = 2(1 - cos 2x) (25) 
son particularmente Miles en problemas que requieren antiderivadas de cos2 x y sen2 x. 
'¥i3I1IQ!.lfJ Uso de la f6rmula de la mitad de un angulo 
Evalue J cos2 x dx. 
Solucion Es necesario comprobar que la integral no es de la forma I u2 duo Luego, al usar la 
f6rmula de la mitad de un angulo cos2 x = ~ (l + cos 2x), obtenemos 
J cos2 x dx = J ~(l + cos 2x) dx 
= ~[J dx + ~ J cos 2x(2 dx) ] +- yea el cjc lllplo 4 
= Mx + ~sen2x] + C 
1 1 
= 2x + 4sen2x+ c. • 
Por supuesto, el metodo ilustrado en el ejempl0 12 funciona igualmente bien para encon-
trar antiderivadas como J cos2 5x dx y J sen2 ~ x dx. Con x sustituida por 5x y luego con x 
sustituida por ~ x, las f6rmulas en (25) permiten escribir, respectivamente, 
J J 
1 I I 
cos2 5x dx = 2(1 + cos lOx) dx = 2x + 20 sen lOx + C 
J 
? 1 
sen-2x dx = J 
1 1 1 
- (1 - cos x) dx = -x - -sen x + C 2 2 2 . 
En la secci6n 7.4 abordaremos antiderivadas de potencias mas complicadas de funciones 
trigonometricas. 
f NOTAS DESDE EL AULA 
EI siguiente ejemplo ilustra un procedimiento comun, pero totalmente incorrecto, para eva-
luar una integral indefinida. Ya que 2xj2x = 1, 
J(4 + X
2)1 /2 dx = J(4 + X2)1/22x dx 
2x 
= ~J(4 + X2) 1/22x dx 
2x 
= ~JUI/2 du 
2x 
= ;x . ~(4 + X 2)3/2 + c. 
Usted debe comprobar que la diferenciaci6n de la ultima funci6n no produce (4 + X2)1/2. EI 
error esti en la primera lfnea de la "soluci6n". Las variables, en este caso 2x, no pueden 
sacarse del sfmbolo de la integral. Si u = x2 + 4, entonces al integrando Ie falta la funci6n 
du = 2x dx; de hecho, no hay ninguna forma de arreglar el problema para adecuarse a la forma 
dada en (8). Con las "herramientas" con que contamos en este momenta, simplemente no es 
posible evaluar la integral I (4 + X2)1/2 dx. 
5.2 Integraci6n por sustituci6n u 285 
Ejercicios 5.2 Las respuestas de los problemas impares se leccionados comienza n ell la pag ina RES-1B. 
::: Fu ndam entos 
En los problemas I-50, evalue la integral indefinida dacla 
L1sando una sustituc i6 n u icl6nea. 
I. I V\=4x dx 
j. I d 3. (5x + 1)3 X 
5. JI VX2 + 4 dx 
7. I sen) 3x cos 3x dx 
9. I tan 2 2x sec2 2x dx 
II. I sen 4x dx 
13. I Cv'2r - cos 61) dt 
15. I x sen . .12 dx 
17. Jr2 sec2 x3 dx 
I esc vX cot vX dx 19. vX 
21. I 7x ~ 3 dx 
23. - -'- dx I t x 2 + I 
25. I-X- dX 
x + 1 
27. I_l_dX 
x In x 
I 
sen (In x) 
29. dx 
x 
31. I e lOx dx 
33. Ix 2e-2X' dx 
Ie - v.; 35. -- dx vX 
I eX - e- x 37. \. \. dx e + e . 
39. IndX 
5 -r 
41. f I + 125x2 dx 
2. I (8x + 2) 1/3 dx 
4. I (7 - X)49 dx 
6. I~dt 
8. I sen 2f) cos4 2f) df) 
10. I ~ sec2 xdx 
I 
x 
12. 5cos2 dx 
14. I Sen (2 - 3x) dx 
I cos (I /x) 16. ? dx x -
18. I csc2(0. Ix) dx 
20. 
22. 
24. 
26. 
I tan 5v sec 5v dv 
I (5x + 6)- 1 dx 
I X2 Ix 5x3 + 8 G 
I (x + 3)2 X + 2 dx 
28 I I - sen f) ,if) 
. f) + cos f) U 
30. f I ? dx 
x (In x)-
32. f e~' dx 
I ell, ' 34. - dx X4 
36. f W dx 
38. I e3,y 1 + 2e3x dx 
40. I Y9 ~ 16x2 dx 
42. f 1 ? dx 
2 + 9r 
43. 
45. f 
2x - 3 
, ~ dx 
v i -r 
44. f vb df) 
1 - f)4 
r x - 8 46 -·-,-- dx 
. J x" + 2 
f 
tan- I x 
47. --dx 
I + x 2 
48. f.Jsen-
1 
x dx 
I - x 2 
49. I tan 5x dx 50. f eX cot eX dx 
En los prob le mas 5 1-56, use las iclenticlacles e n (25) para 
evaluar la integral inclefi nicl a dacla. 
51. f sen2 x dx 52. f cos2 7T X dx 
53. f cos2 4x dx 54. f sen2~ x dx 
55. f (3 - 2 sen .:xl dx 56. f ( I + cos 2X)2 dx 
En los problemas 57 y 58, res uel va la ecuac i6n diferencial 
dada. 
57. dy = VT--=-x 
dx 
dy 
58. -I 
GX 
( I - tan X) 5 
? cos- x 
59. Encuentre una fu nci6n y = I(x) cuya gnifica pase por e l 
punto (7T , - I ) Y tambien satisfaga dy/dx = 1 - 6 sen 3x . 
60. E ncuentre una funci o n I tal que f "(x) = (1 + 2x)5 , 
teO) = 0 y f'(0) = o. 
61. Demuestre que : 
a) I sen x cos x dx = ~sen2 x + C I 
b) f sen x cos x dx = _~COS2 x + C2 
c) f sen x cos x dx = -±cos 2x + C3 · 
62. En el problema 6 1: 
a) Compruebe que la cleri vada de cada respuesta en los 
incisos a), b) y c) es sen x cos x. 
b) Use una identidad tri gonometrica para demostrar que 
e l resultado en el inciso b) puede obtenerse a partir 
de la respuesta en el inciso a). 
c) Sume los res ultados de los incisos a) y b) para ob-
tener e l resultado e n el inciso c). 
= Aplicaciones 
63. Considere el penclulo plano mostrado en la FIGURA 5.2.1, 
que oscila entre los puntos A y C. Si B es el punto medio 
entre A y C, es posible demostrar que dt I L 
ds = \I g(s~ - S2)' 
doncle g es la aceleracion debida a la graveclad . 
286 CAPITULO 5 Integrales 
a) Si teO) = 0, demuestre que el tiempo neeesario para 
que el pendulo vaya de B aPes 
t(s) = ~~sen-I(;J. 
b) Use el resultado del ineiso a) para determinar el 
tiempo de reeorrido de B a C. 
c) Use b) para determinar el periodo T del pendulo; es 
deeir, el tiempo para haeer una oseilaei6n de A a C 
y de regreso a A. 
/)
/1\ 
1 1 \ 
1 1 \ 
j
z ;,/1: \ \ 
1 1 \ 
/ I \ 
1 1 \ 
A<--fi~~ 
C=sc 
FIGURA 5.2.1 Pendula en el problema 63 
= Piense en ello 
64. Eneuentre una funei6n y = f(x) para la eual fCrr /2) = 0 
dy 
y dx = eos3 x. [Sugerencia: eos3 x = eos2 x cos x.] 
En los problemas 65 y 66, use las identidades en (25) para 
evaluar la integral indefinida dada. 
65. I cos4 x dx 66. I sen4 x dx 
En los problemas 67 y 68, evalue la integral indefinida dada. 
I II e2x 67. V dx 68. -x--l dx x X4 - 16 e + 
En los problemas 69 y 70, evalue la integral indefinida dada. 
69. I 1 1 dx 70. I 1 + 1 2 dx - cos x sen x 
En los problemas 71-74, evalue la integral indefinida dada. 
Suponga que f es una funci6n diferenciable. 
71. I f'(8x) dx 72. I xf'(5x2 ) dx 
I 
vf(2x) If'(3X + 1) 
73. f(2x)f'(2x) dx 74. f(3x + 1) dx 
75. Evalue If"(4X) dx sif(x) = ~. 
76. Evalue I {I sec2 3x dX} dx. 
5.3 EI problema de area 
I Introduccion As! como la derivada es motivada por el problema geometrieo de construir una 
tangente a una curva, el problema hist6rico que conduce a la definici6n de integral definida es el 
problema de encontrar un area. En especffico, tenemos interes en la siguiente versi6n de este 
problema: 
• Encontrar el area A de una regi6n acotada por el eje x y la grafica de una funci 6n no 
negativa continua y = f(x) definida sobre un intervalo la, b]. 
EI area de esta regi6n se denomina area bajo la graticadefsobre el intervalo [a, b]. El reque-
rimiento de que f sea no negativa sobre [a, b] significa que ninguna parte de esta grafica sobre 
el intervalo esta por abajo del eje x. Yea la FIGURA 5.3.1. 
y 
~----~----~--~X 
a b 
FIGURA 5.3.1 Area baja la gnifica 
de f sabre [a. b I 
Antes de continuar con la soluci6n del problema de area es necesario hacer una breve digre-
sian para analizar una notaci6n util para una sum a de numeros como 
1 + 2 + 3 + .. . + n y ]2 + 22 + 32 + ... + n2 
I Notacion sigma Sea a" un numero real que depende de un entero k. La suma a l + a2 + a3 
+ ... + ({II se denota por el sfmbolo 2,Z ~ I ak; esto es, 
11 
~ ak = al + Cl2 + (t, + ... + all" 
k~ 1 
(I) 
puesto que 2, es la letra griega mayuscula sigma, (1) se denomina notacion sigma 0 notacion 
de suma. La variable k se denomina Indice de la suma. Asf, 
lerl11 ina con eSle valor de" 
-t 
cl sil11bolo L indica _> ..s 
la SlIllla de ill, L.,; Cl" 
k~ 1 
t 
el11p ieza con el valor 
indicado de " 
es la suma de todos los numeros de la forma a" cuando k asume los valores sucesivos k = 1, 
k 0= 2, . . . , y termina con k = n. 
1!I3M1 iJ!.I' Usa de la nataci6n sigma 
La suma de los diez primeros enteros pares 
2 + 4 + 6 + .. . + 18 + 20 
pllede escribirse de manera abreviada como 2, ;~ 12k . La suma de los diez enteros positivos impa-
res 
1 + 3 + 5 + .. . + 17 + 19 
pllede escribirse como 2,~~1(2k - 1). 
EI fndice de la suma no necesita empezar en el valor k = 1; por ejemplo, 
5 
~ 2k = 23 + 24 + 25 
k ~ 3 
y 
5 
~ 2k = 20 + 21 + 22 + 23 + 24 + 25. 
k~ O 
• 
Observe que la sum a de los diez enteros positivos impares en el ejemplo 1 tambien puede escri-
birse como 2,~~ 0(2k + 1). Sin embargo, en un analisis general siempre se supone que el indice 
de la suma empieza en k = I. Esta suposici6n responde mas a razones de conveniencia que de 
necesidad. EI indice de la suma a menu do se denomina variable ficticia , puesto que el sfmbolo 
en sf carece de importancia; 10 que importa son los valores enteros sucesivos del fndice y la suma 
correspondiente. En general, 
II 11 n n 
~ a k = ~ ai = ~ a j = ~all1. 
i = 1 j~ 1 111= 1 
Por ejemplo, 
10 10 10 
~ 4k = ~ 4i = ~ 4 j = 41 + 42 + 43 + .. . + 410. 
k~ 1 i~ 1 j~ 1 
I Prop iedades A continuaci6n se presenta una lista de algunas propiedades importantes de la 
notaci6n sigma. 
5.3 EI prob lema de area 287 
288 CAPITULO 5 Integrales 
Teorema 5.3.1 Propiedades de la notaci6n sigma 
Para enteros positivos m y n, 
" /I 
i) L cak = c L ak> don de c es cualquier constante 
k~ I k~ I 
11 11 11 
ii) L (ak ± bk) = L ak + Lbk 
k~1 k ~ 1 k~ 1 
11 11/ 11 
iii ) Lak = Lak + L ak> m < n. 
k ~ 1 k ~ 1 k= lIl + I 
La demostraci6n de la f6rmul a i) es una consecuencia inmediata de la ley distributiva. Por 
supuesto, ii) del teorema 5.3 .1 se cumple para la suma de mas de tres terminos; por ejemplo, 
II II /I 1/ 
L (ak + bk + Ck) = L ak + L bk + L Ck' 
k~ I k~ I k~ I k~ I 
I Formulas de sumas especiales Para tipos especiales de sumas indicadas, particularmente 
sumas que implican potencias de enteros positivos del indice de la suma (como sumas de ente-
ros positivos consecutivos, cuadrados sucesivos, cubos sucesivos, etc.) es posible encontrar L1na 
f6rmula que proporcione el valor numerico verdadero de la suma. Para efectos de esta seccion, 
centraremos la atenci6n en las cuatro f6rmulas siguientes. 
Teorema 5.3.2 F6rmulas de sumas 
Para n un entero positivo y C cualquier con stante, 
11 11 n(n + I) 
i) LC = nc ii) Lk = 
2 
k~1 k~ 1 
11 n(n + 1)(2n + 1) 11 n2(n + 1 )2 
iii) Le = 6 
iv) Lk3 = 4 
k ~1 k~ 1 
Las f6rmulas i) y ii) pueden justificarse facilmente. Si C es una con stante, es decir, indepen-
diente del indice de la suma, entonces L:~ ~ I c significa c + c + c + ... + c. Puesto que hay II 
c, tenemos L: ~ ~ IC = n' c, que es i) del teorema 5.3 .2. Luego, la suma de los n primeros enteros 
positivos puede escribirse como L:~ ~ Ik. Si esta suma se denota por la letra S, entonces 
S = 1 + 2 + 3 + ... + (n - 2) + (n - 1) + n. 
En formaequivalente, S = n + (n - 1) + (n - 2) + .. . + 3 + 2 + I . 
(2) 
(3) 
Si sumamos (2) y (3) con los primeros terminos cOITespondientes, luego los segundos ter-
minos, y asi sucesivamente, entonces 
2S = (n + 1) + (n + 1) + (n + I) + + (n + 1) = n(n + 1). 
, ~-----------------/ 
II tcrillinos de II + I 
Al despejar S obtenemos S = n(n + 1)/2, que es ii). Usted debe poder obtener las f6rmulas iii) 
y iv) con las sugerencias que se proporcionan en los problemas 55 y 56 en los ejercicios 5. 3. 
1¥J3MQI •• j Usa de f6rmulas de suma 
Encuentre el valor numerico de L: ;~ I (k + 5l 
Soluci6n AI desarrollar (k + 5)2 y usaI' i) y ii) del teorema 5.3.1, podemos escribir 
20 20 
2: (k + 5)2 = 2: (k2 + 10k + 25) +- sc c!e,' a al cuadrado e l l1 illtllnio 
k= I k= 1 
20 20 20 
= 2: k2 + J 02: k + 2: 25. (- i) y ii) del I.;orema 5.3 .1 
k= I k= I k= I 
Con la identificaci6n n = 20, por las f6rmulas de sumas iii), ii) Y i) del teorema 5.3.2, respecti-
vamenle. se concJuye 
~ ? 20(2 1)(41) 20(21) 
L.J (k + 5)- = ---'----'-'----'- + 10-
2
- + 20·25 = 5470. 
k= 1 6 • 
La notaci6n sigma y las f6rmulas de sumas anteriores se usan"in de inmediato en el siguien-
Ie aniilis is . 
I Area de un triangulo Suponga pOI' el momento que no se conoce ninguna f6rmula para 
calcular el area A del triangulo rectangulo proporcionado en la FIGURA 5.3.2a). Al superponer un sis-
lema rectangular de coordenadas sobre el triangulo, como se muestra en la figura 5.3.2b), se ve 
que el problema es el mismo que encontrar el area en el primer cuadrante acotada por las lfneas 
reclas.r = (h/ b )x, y = 0 (el eje x) y x = b. En otras palabras, deseamos encontrar el area bajo la 
grMica de y = (h/ b)x sobre el intervalo [0, b] . 
AI usar rectangulos, la FIGURA 5.3.3 indica tres formas diferentes de aproximar el area A. Por 
conveniencia, seguiremos con mayor detalle el procedimiento sugerido en la figura 5.3.3b). 
Empezamos al dividir el intervalo [0, b] en n subintervalos del mismo ancho Llx = b / n. Si el 
punto fronterizo derecho de estos intervalos se denota por xi, entonces 
x'/' = Llx = f!.. 
n 
xi' = 2Llx = 2(~) 
x~' = 3Llx = 3(~) 
y y 
b b b 
a) b) c) 
FI GURA 5.3.3 Aproximaci6n del area A usalldo tres rectallgulos 
Como se muestra en la FIGURA 5.3.4a}, ahora construimos un rectangulo de longitudf(xk) y ancho 
Llx sobre cada uno de estos n subinterval os. Puesto que el area de un rectangulo es largo X 
Qncho, el area de cada rectangulo esf(xk') Llx. Yea la figura 5.3.4b) . La suma de las areas de los 
1/ rectangulos es una aproximaci6n al numero A. Escribimos 
A = f(xDLlx + f(x i')Llx + ., . + f(x ;;' )Llx, 
5.3 EI problema de area 289 
AI 
I~b-I 
a) Triallgu lo rectangulo 
Y It 
Y =t;X (b. 11) 
A 
~~---------4~x 
(b, O) 
b) Triallgulo rectallgulo en 
un sistema de coordelladas 
FIGURA 5.3.2 Ellcuentre el area 
A de l triangulo rectangulo 
y 
* :): 
X I x2 
a) n rectangulos 
y 
e l area es 
.f(x~) LlX 
o en notaci6n sigma, 
1/ 
A = 2:f(xk')Llx. 
k= l 
b) Area de un rectangulo general 
FIGURA 5.3.4 El area A del trian-
(4) gulo es aproximada por la suma 
de las areas de n rectangulos 
290 CAPiTULO 5 Integrales 
y 
x=a 
Parece valido que reduzcamos el error introducido por este metoda de aproximacion (el are 
de cada rectangul o es mayor que el area bajo la grafica sobre un subintervalo [ Xk - I , xd) al di vi~ 
dir el intervalo [0, b] en subdivisiones mas finas. En otras palabras, esperamos que una Inejor 
aproximacion a A pueda obtenerse usando mas y mas rectangulos (n ~ (0) de anchos decrecien_ 
tes (~x ~ 0). Luego, 
f(x) = ~x, * = k(t) Xk n ' t(xt) =!!:. . k . n y b ~x = -n' 
de modo que con ayuda de la fonnula de suma ii) del teorema 5.3 .2, (4) se vuelve 
~ ~ (h ) b _ bh ~ _ bh n(11 + I) _ bh ( 1) 
A ~ L" - ·k --2 L" k- 2 ' -- 1+-. 
k= 1 11 11 11 k= 1 11 2 2 n (5) 
Finalmente, al hacer 11 ~ 00 en el miembro derecho de (5), obtenemos la formula conocida para 
el area de un triangulo: 
A =1. bh . lfm (I + 1.) = 1. bh. 
2 11->00 11 2 
I EI problema general Ahora pasaremos del ejemplo precedente especffico a l problema gene-
ral de encontrar el area A bajo la grafica de una funcion y = f(x) que es continua sobre un inter-
valo [a, b]. Como se muestra en la FIGURA 5.3.5a) , tambien suponemos que f(x) 2': 0 para toda x en 
el intervalo [a , b] . Como sugiere la figura 5 .3.5b), el area A puede aproximarse al sumar las areas 
de 11 rectangulos que se construyen sobre el intervalo. A continuacion se resume un procedimien-
to posible para determinar A: 
• Divida el intervalo [a, b] en 11 subintervaloss [ Xk - I , xd, donde 
a = Xo < X I < X2 < .. . < x ll _ I < XII = b, 
de modo que cada subintervalo tiene el mismo ancho ~x = (b - a)/n. Esta coleccion de 
numeros se denomina particion regular del intervalo [a, b]. 
• Escoja un numero xt en cada uno de los n subintervalos [Xk- I , Xk] Y forme los 11 produc-
tosf(xn~x. Puesto que el area de un rectangulo es largo X ancho,f(x%')~x es el area del 
rectangulo de largo f(x%') y ancho ~x construido sobre el k-esimo subintervalo [Xk - b xd. 
Los 11 numeros x'!" x3', x:l', ... , x~' se denominan puntos muestra. 
• La suma de las areas de los 11 rectangulos 
II 
Lf(x'l')~x = f(x'n~x + f(x1')~x + f(xn~x + ... + f(x;~)~x, 
k = 1 
representa una aproximacion al valor del area A bajo la grMica de f sobre el intervale 
[a , b] . 
Con estas notas preliminares, ahora ya es posible definir el concepto de area bajo una gra-
fica. 
y 
Y = f{x) 
A 
x = b 
-+---L--------------------------------~~ X 
k-I x" xk a b Xn - 1 
Xl ~ 
I'u 
a) Area A bajo la grafica b) 17 rectangulos 
FIGURA 5.3.5 Encuentre el area A bajo la gnlfica de fsobre el intervalo [a, b] 
Definicion 5.3.1 Area ba'o una grafica 
~ 
Sl!a/colltinua sobre [a, b] y t(x) 2: 0 para toda x en el interva[o. E[ area A bajo la gratica 
de (sobre el intervaJo se def1l1e como 
. " 
A = Ifm Lf(xn~x. (6) 
II~OO k = J 
Es posib[e demostrar que cuando / es continua, el lfmite en (6) siempre existe sin importar 
e! lllctodo llsado para dividir [a , b] en sllbintervalos; es decir, [os sllbintervalos plleden tomarse 
° no de modo que su ancho sea el mismo, y los puntos Xk' pueden escogerse en forma arbitraria 
en los subinterva[os [Xk- I, Xk]' No obstante, si los subintervalos no tienen el mismo ancho, 
entollces en (6) es necesario un tipo diferente de Ifmite. Necesitamos sustituir n -+ 00 por el 
requerimiento de que la longitud del subintervalo mas ancho tienda a cero. 
I Una forma practica de (6) Para usar (6), suponga que escogemos x%' como se hizo en el ana-
lis is de la Figura 5.3.4; a saber: sea xt el punto fronterizo derecho de cada subintervalo. Puesto 
que el ancho de cada uno de los n subintervalos de igual ancho es ~x = (b - a)/ n, tenemos 
.,. kA kb - a xZ' = a + uX = a + --. 
n 
Luego, para k = 1, 2, ... , n tenemos 
b - a 
x'l' = a + ~x = a + - -
n 
." A (b - a) xl' = a + 2ux = a + 2 -n-
,. A (b - a) X3' = a + 3 uX = a + 3 -n-
.'. A (b - a) x;;' = a + nux = a + n -n- = b. 
AI sustituir a + k(b - a)/n por x2' y (b - a)/ n por ~x en (6), se concluye que el area A tam-
bien esta dada por 
~ ( b - a) b - a A = lim L J a + k - - . --. 
1/->00 k= 1 It n 
(7) 
Observamos que puesto que ~x = (b - a)/ n, It -+ 00 implica ~x -+ O. 
PUMA!'.' Area usando (7) 
Encuentre el area A bajo la grMica de/ex) = x + 2 sobre el intervalo [0, 4] . 
Solucion EI area esta acotada por el trapezoide indicado en la FIGURA 5.3.68). Al identificar 
a '" 0 y b = 4, encontramos 
4-0 4 
~x=-- =-. 
n It 
Asf, (7) se vuelve 
11 ( 4)4 4 11 (4k) A = lim L/ 0 + k- - = Ifm - L/ -
11---+00 k= 1 n n 11->00 It k=1 It 
lim - L - + 2 4 11 (4k ) 
l1->ool1 k =1 n 
4 [4 1/ 11] Ifm- - L k + 2 L I . 
11---+00 11 n k = 1 k=1 
~ par las prop iedades i) y ii) dcl teorClllll 5.3 .1 
5.3 EI problema de area 291 
y y=x+2 
A 
a) 
y ,/ 
V 
/ 
r.1 [7[71:~ 
/ I~ 
/ 
ii' / 
I'll x 
x~ --- - x~ = 4 ~x =± 
11 
b) 
FIGURA 5.3.6 Area bajo la grafica 
en el ejemplo 3 
292 CAPITULO 5 Integra les 
y 
y 
a) 
3 
~x=n 
b) 
FIGURA 5.3.7 Area bajo la gnifica 
en el ejemplo 4 
Luego, por las formulas de suma i) y ii) del teorema 5.3.2, tenemos 
/ 4 [4 n(n + I) ] A = 11m - -. + 2n 
11->00 n 11 2 
11m [ 1
2
6 n(n : 1) + 8] <-- se divide en tre II' 
J/~OO n-
Ifm [ 8 (I + l) + 8] 
II~OO n 
= 811m (I + l) + 8 Ifm I 
1/.----+00 n 11--+00 
= 8 + 8 = 16 unidades cuadradas. 
U!!3\M4K'I' Area usando (7) 
Encuentre el area A bajo la grafica de f(x) = 4 - x 2 sobre el intervalo [- 1, 2]. 
Solucion EI area se indica en la FIGURA 5.3.7 a). Puesto que a = -1 Y b = 2, se conc1uye que 
2 - (- 1) 3 
LlX = = - . 
n n 
A continuacion se revisaran los pasos que Bevan a (7). El ancho de cada reetangulo esta dado por 
LlX = (2 - ( - 1»/ n = 3/ n. Luego, empezando en x = - 1, el punto fronterizo derecho de los n 
subintervalos es 
3 
x·1" = -1 + -
n 
xi: = -1 + 2(~) = - 1 +.2. n 
* - I +3(~) =- 1 9 X3 = + -
11 
x~'= -1 + n(~) = 2. 
Entonees, la longitud de cada reetangulo es 
f(x'f) =f(-1 + l) = 4 - f-I + l]2 
n L n 
f(xj) = f( -) + ~) = 4 - [ - I + ~ r 
f(xi) = f( - 1 + ~) = 4 - [ - 1 + ~ r 
f(x;;) = f( - 1 + ~;) = f(2) = 4 - (2)2 = o. 
El area del k-esimo rectangulo es largo X ancho: 
f(x*)l = (4 - [-1 + kl]2)l = (3 + 6! _ 9k2)1. 
k n n n n n2 n 
AI sumar las areas de los n rectangulos obtenemos una aproximacion al area bajo la grafica sobre 
el intervalo: A = L~= If(x;' )(3/ n). A medida que el numero n de rectangulos crece sin Ifmite, 
obtenemos 
5.3 EI problema de area 293 
AI usar las formulas de sumas i), ii) Y iii) de l teorema 5.3.2 obtenemos 
, 3 [ 6 11(11 + I) 9 1/.(11 + 1)(211 + I)] 
A = lim - 311 + - . - 2 . 6 
11 ..... 00 n n 2 n 
Ifm [ 9 + 9 (1 + 1) - * (1 + l )(2 + 1)] 
11 ..... 00 n _ 11 n 
= 9 + 9 - 9 = 9 unidades cuadradas. • 
I Otras elecciones para xt No hay nada en espec ial si xi' se escoge como el punto fronterizo 
derecho de eada subintervalo . Volvemos a recalcar que x~' puede tomarse como cualquier 11l1me-
ro conveniente en [Xk- I, xd. En caso de que se elija x%' como e1 punto fronterizo izquierdo de 
cada sub intervalo, entonees 
b -a 
xt' = a + (k - l )Lh = a + (k - 1)--, k = 1,2, .. . , 11, 
n 
y (7) 5e volverfa 
II ( b - a) b - [{ A = Ifm ~f a + (k - I ) - - . --. 
11 -,;00 k= Inn 
(8) 
En el ejemplo 4 , los rectllngulos correspondientes serfan como se observa en la FIGURA 5.3.8. En 
este easo se hubiera tenido xi' = - 1 + (k - 1)(3/ n). En los problemas 45 y 46 de los ejercicios 
5.3 se Ie pi de resolver el problema de area en el eje mplo 4 escogiendo Xk' como primer punto 
fronterizo izquierdo y punto medio de eada subintervalo [Xk- I, xd . Al elegir xt como el punto 
medio de cada [Xk- I, Xk J, entonces 
y 
FIGURA 5.3.8 Rectangllios usando xt= a + (k - ~)LlX' k = 1, 2, . . . , n. (9) los puntos fronterizos izqlli erdos 
de los intervalos 
Ejercicios 5.3 Las respuestas de los problemas impares seleccionados comienzan en la pagina RES- l B. 
= Fundamentos 
En los problemas 1- 10, desarrolle la suma indieada. 
5 5 
1. ~ 3k 2. :L (2k - 3) 
k=1 k= 1 
4 2k 
4 ( 3 Y 3. :L - 4. ~TO k= I k 
10 ( _ I )k 10 ( _1)k- 1 
S. :L 6. :L ? k= 12k + 5 k= I k-
5 4 
7. ~ (/ - 2j) 8. :L (m + 1)2 
j=2 11/ = 0 
5 ± sen (hr/ 2) 
9. :L eos h r 10. 
k= 1 k=1 k 
En los proble mas 11-20, use notaci6n sigma para eseribir la 
suma dada . 
II. 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15 
12. 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 
13. I + 4 + 7 + 10 + ... + 37 
14. 2 + 6 + 10 + 14 + + 38 
15. 
16. 
1 I 1 I 
1 - 2 + 3 - 4 + 5 
_l + l _ l + .± _ ~ 
2 3456 
17. 6 + 6 + 6 + 6 + 6 + 6 + 6 + 6 
18. 1 + V2 + v'3 + 2 + v5 + ... + 3 
71" I 271" 1 371" I 471" 
19. cos - x - - cos - x + -cos - x - -cos- x 
p 4 p 9 p 16 P 
1"( 1) ? r (I) 
20. f'(l )(x - I ) - - 3- (x - 1)- + - 5- (x - 1)3 
f (4)(I) 4 1 (5)( I ) -
- - 7 - (x - 1) + - 9 - (x - I ? 
En los problemas 21-28, encuentre el valor numerico de la 
suma dada. 
20 50 
21. ~ 2k 22. ~ ( - 3k ) 
k= 1 k= O 
294 CAPiTULO 5 Illtegraies 
10 1000 
23. L (k+ I) 24. L (2k - I) 
k= 1 k=1 
6 :; 
25. L (k" + 3) 26. L (6k 2 - k) 
k=1 k= 1 
10 10 
27. L (p' + 4) 28. L (2i3 - 5i + 3) 
1'=0 i=1 
En los problemas 29-42, use (7) y el teorema 5.3.2 para 
encontrar el area bajo la grMica de la funcion dada sobre el 
intervalo indicado. 
29. f(x) = x , [0, 6] 30. f(x) = 2x, [ I , 31 
31. f(x) = 2x + I, [ I, 5] 
33. f(x) = x 2, [0,2] 
32. f(x) = 3x - 6, [2,4] 
34. f(x) = Xl, [-2, I] 
35. f(x) = I - x 2, [-1, I] 
36. f(x) = 2Xl + 3, [ - 3, - I] 
37. f(x) = Xl + 2x, [1 ,2] 
38. f(x) = (x - I)l, [0,2 ] 39. f(x) = x 3, [0, I] 
40. f(x) = x' - 3x2 + 4, [0,2] 
{
2 O:::;x < I 
41. f(x) = x' + L, L:::; x :::; 4 
42. f(x) = {x~x++2, 1, O:::;x < 
1 :::; x:::; 3 
43. Trace la grafica de y = I /x sobre el intervalo [t n AI 
dividir el intervalo en cuatro subintervalos del mismo 
ancho, construya rectangulos que aproximen el area A 
bajo la grMica sobre el intervalo. Primero use el punto 
fronterizo derecho de cada subintervalo, y luego use el 
punto fronterizo izquierdo. 
44. Repita el problema 43 para y = cos x sobre el intervalo 
[-7T/2,7T/2 ]. 
45. Yuelva a trabajar el ejemplo 4 escogiendo xt como el 
punto fronterizo izquierdo de cada subintervalo. Yea (8) . 
46. Yuelva a trabajar el ejemplo 4 escogiendo xl' como el 
punto medio de cada subintervalo. Yea (9). 
En los problemas 47 y 48, dibuje la region cuya area A esta 
dada por la formula. No intente evaluar. 
47. A = lfm ±) 4 - 4~2 l 48. A = lfm ± (sen k7T) 7T 
11-+00 k= I n- n 11-+00 k= Inn 
= Piense en ello 
En los problemas 49 y 50, escriba el numero decimal dado 
usando notacion sigma. 
49. 0.1111 I I I I 50. 0.3737373737 
51. Use la formula de suma iii) del teorema 5.3.2 para encon-
trar el valor numerico de L~~ 21k2. 
52. Escriba la suma 8 + 7 + 8 + 9 + to + II + 12 usan-
do notacion sigma de modo que el fndice de la suma 
empiece con k = O. Con k = I. Con k = 2. 
53. Despeje x: L~ = I(Xk - x? = O. 
54. a) Encuentre el valor de L~ = I[f(k) - f(k - I)]. Se 
dice que una suma de esta forma es teLescopica. 
b) Use el inciso a) para encontrar el valor numeric\) de 
40() 
L (VI< - v'f(-=-T). 
k=1 
55. a) Use el inciso a) del problema 54 para demostrar que 
II 
L r (k + If - k2 ] = - I + (n + 1)2 = 11" + 211. 
k=1 
b) Use el hecho de que (k + 1)2 - k2 = 2k + I para de-
mostrar que 
/I II 
L[(k + 1)2-k2 1 = n + 2Lk. 
c) Compare los resultados de los incisos a) y b) para 
obtener la formula de suma iii) del teorema 5.3.2. 
56. Muestre como el patron ilustrado en La FIGURA 5.3.9 puede 
usarse para inferir la formuLa de suma iv) del teorema 
5.3.2. 
23 33 
FIGURA 5.3.9 Arrcglo para el problema 56 
57. Obtenga la formula para el area del trapezoide proporcio-
nado en la FIGURA 5.3.10. 
T 
T "2 
1 ,----------A --' 1 
I--b-I 
FIGURA 5.3.10 Trapezoide en el problema 57 
58. En un supennercado, 136 latas se acomodan en forma 
triangular como se muestra en la FIGURA 5.3.11. i,CUantas 
latas puede haber en la parte inferior de la pila? 
FIGURA 5.3.11 Pila de laras en el problema 58 
5.4 La integral definida 295 
Use (7) y la formula de suma 59. 
63. Una formula de suma para la suma de los n terminos de 
una sucesion geometrica finita a, ar, ar2, ... , ({ r,, - I esta 
dada por ik4 = n(n + 1)(611
3 + 9n2 + n - I) 
k = 1 30 
para encontrar el area bajo la grafica de f (x) = 16 - X4 
sobre I -2,2]. 
Lar" - I = a -=..r . . " (I ") 
k=1 I I 
60. Encuentre el area bajo la grafica de y = Vx sobre [0, I] 
al considerar el area bajo la grafica de y = x 2 sobre [0, 1]. 
Lleve a cabo sus ideas. 
Use esta formula de suma, (8) de esta secc ion, y la regia 
de L'H6pital para encontrar el area bajo la grafica de 
y = eX sobre [0, I] . 
6t. Encuentre el area bajo la grafica de y = -\YX sobre [0, 8] 
al considerar el area bajo la grafica de y = x 3 sobre 
o :=; x :=; 2. 
62. a) Suponga que y = ax2 + bx + c :2: ° sobre el interva-
10 [0, xo] . Demuestre que el area bajo la grafica sobre 
[0, xo] esta dada por 
b) Use el resultado en el inciso a) para encontrar el area 
bajo la grafica de y = 6x 2 + 2x + 1 sobre el interva-
10 [2,5]. 
64. Un poco de historia En un curso de ffsica para princi-
piantes todo mundo sabe que la distancia de un cuerpo 
que cae es proporcional al cuadrado del tiempo trans-
currido. Galileo Galilei (1564-1642) fue el primero en 
descubrir este hecho. Galileo encontro que la distancia 
que se mueve una masa hacia abajo en un plano inclina-
do es proporcional a un entero positivo impar. Por tanto, 
la distancia total s que una masa se mueve en n segundos, 
con n un entero positivo, es proporcional a I + 3 + 5 + 
... + 2n - 1. Demuestre que esto es 10 mismo que afir-
mar que la distancia total que se mueve una masa hacia 
abajo en un plano inclinado es proporcional al tiempo 
transcurrido n. 
5.4 La integral definida 
I Introducci6n En la seccion previa vimos que el area bajo la grafica de una funcion continua 
no negativa fsobre un intervalo [a, b] se definia como ellfmite de una suma. En esta seccion 
vent que elmismo tipo de proceso limite conduce al concepto de integral definida. 
Sea y = f(x) una funcion definida sobre un intervalo cerrado [a, b]. 
Considere los siguientes cuatro pasos : 
• Divida el intervalo [a, b] en n subintervalos [Xk - j, xd de anchos LlXk = Xk - Xk - I, 
donde 
a = Xo < XI < X2 < ... < X,, _ ] < Xn = b. (1) 
La coleccion de numeros (1) se denomina particion del intervalo y se denota por P. 
o Sea IIPII el mayor numero de los n anchos de los subintervalos LlXI, LlX2, .. . , Llx//, EI 
numero IIPII se denomina norma de la particion P. 
o Escoja un numero x'!: en cada subintervalo [Xk-I, xd como se muestra en la FIGURA 5.4.1. 
Los n numeros x'j', xt xt .. . , x;;' se denominan puntos muestra en estos subintervalos. 
• Forme la suma 
" L f(Xk')Llxk' (2) 
k=1 
Sumas del tipo proporcionado en (2) que corresponden a varias particiones de [a, b] se 
denominan sumas de Riemann en honor del famoso matematico aleman Georg Friedrich 
Bernhard Riemann. 
Aunque el procedimiento anterior parece muy semejante a los pasos que llevan a la defini-
cion de area bajo una grafica dada en la seccion 5.3, hay algunas diferencias importantes. 
Observe que una suma de Riemann (2) no requiere que f sea continua 0 no negativa sobre el 
intervalo [a , b]. Asi, (2) no necesariamente representa una aproximacion al area bajo una grafi-
ca. Tenga en cuenta que "area bajo una grafica" se refiere af area acotada entre fa grafica de una 
fUllcion continua no negativa y ef eje x. Como se muestra en la FIGURA 5.4.2, sif(x) < ° para algu-
na x en [a , b], una suma de Riemann puede contener terminos f(XZ')Llxb donde f(x'!:]) < 0. En 
este caso, los productos f(Xk')Llxk son numeros que son los negativos de las areas de rectangulos 
trazados abajo del eje x. 
Xi-
I I I I . I I I 
FIGURA 5.4.1 Punto ll1uestra x1' 
en [Xk-I, xkl 
FIGURA 5.4.2 La funci6n f es 
positiva y negativa sobre el 
intervalo [a, b I 
296 CAPITULO 5 Integrales 
'¥13MR!.I' Una suma de Riemann ----Calcule la suma de Riemann paraf(x) = X2 - 4 sabre [-2, 3 ] can cinco subintervalos deterl11ina_ 
d - 2 - I - 0 - I - 7 - 3 .* - 1 * - 1 .* - I .,. as par Xo - - , XI - - 2, X2 - , X3 - , X4 - 4, Xs - Y XI - - , X2 - -4' X3 - 2, x:j' "" * 
x~ = ~ . Encuentre la norma de la particion. -' 
Solucion En la FIGURA 5.4.3 se muest:ra 9ue los numeros x}, k = 0, 1, .. . , 5 determinan cinco 
subintervalos [-2, -~] , [ -~, 0] , [0,1], ll , n Y [~, 3] del intervalo [- 2,3] Y un punta I11Uestra 
xi' (en rojo) dentro de cada subintervalo. 
I 7 x l =-- x2 = O x3=1 x4 = -
~= -2,-__ ~~ __ ~_2~~tr-~~~tr-~~t~4 __ ~~ __ '~Xs=3 
""'I ", I '" t i, I " t3 .. ts I 'X 
x[ = - X2= - 4 -'3=2: X4 = 2: Xj =2: 
FIGURA 5.4.3 Cinco subintervalos y puntos muestra en el ej emplo I 
Luego, evalue la funcionf de cad a punta muestra y determine el ancho de cada subintervalo: 
f(x'/') = f( - I) = -3, 1 3 LlXI = XI - Xo = - = 2" - (-2) = 2" 
f(x D = f(- ±) = - ~~ , 
f(x j') = f(±) = ~, 
f(X 4') = f(~) = ~, 
f(xD = f{%) = ~, 
LlX2 = X2- XI = 0 - (-±) = ± 
LlX4 = X4 - X3 = '2 - 1 = 1. 
4 4 
7 5 
LlXs = Xs - X4 = 3 - 4 = 4' 
Entonces, la suma de Riemann para esta particion y esa eleccion del punto muestra es 
fex,/,)LlXI + f(XnLlX2 + f(xD LlX3 + f(Xn LlX4 + f(xnLlXs 
= (-3)(~) + ( - ~~)(±) + (- ~)c1) + (-~)(~) + (~)(~) = 279 --=-8 72 32 . . 
AI analizar los valores de los cinco LlXk observamos que la norma de la particion es IIPII =~. • 
Para una funcionfdefinida sobre un intervalo [a , b] , hay un numero finito de posibles sumas 
de Riemann para una particion dada P del interval0, puesto que los numeros x%' pueden escoger-
se arbitrariamente en cada subintervalo [ Xk - ], xd . 
hMiMQ!.Wj Otra suma de Riemann 
Calcule la suma de Riemann para la funcion del ejemplo I si la particion de [ - 2, 3] es la misma 
pero los puntos muestra son xi = -~, xi' = -i, xj' = t x~' = ~ y x~' = 2.1. 
Solucion Solo es necesario calcular f en los nuevas puntos muestra, puesto que los numeros 
LlXk son los mismos que antes: 
f(x'f) = f(-~) = ~ 
f(xD = f( -t) = 2651 
f(xn = f(~) = ~~ 
f(x1') = f(~) = ~ 
f(xD = f(2.1) = 0.41. 
I ., \ 1'\ suma de Riemann es A 101, ' . 
'(.r'i' ) ~.rl + I(xD6.x2 + f(x j')6.X3 + f(x1')6. X4 + f(X~')6.X5 
j = (-~)(~) + (-2~1)(~) + (-~~}l) + (-~)(~) + (0.41)(~) = -8,85 , • 
Tcnc\1l0S interes en un tipo especial de lfmite de (2), Si las sumas de Riemann L~ = d(Xk')6.Xk 
estan proximas a un numero L para toda partici6n P de [a, b] para la cual la norma IIPII este 
cerca de cero, entonces escribimos 
/I 
lim Lf(Xk') 6.Xk = L 
IIPII--+O k = \ 
(3) 
Y se dice que L es la in~egral definida d,e f sobre el intervalo [a , b], En la siguiente definici6n 
se introduce un nuevo sllnbolo para el numero L. 
Definicion 5.4.1 La inte,gral definida 
Sea/una fu nci6n definida sobre un intervalo cerrado [a , b], Entonees la integral definida de 
j de a a b, que se denota por I:;I(x) dx, se define como 
I
I> /I 
f(x) dx = lim Lf(xt)6.Xk' 
" IIPII--+O k = I 
(4) 
Si el lfmite en (4) existe, se dice que la funci6njes integrable sobre el intervalo, Los nume-
ros a y b en la definici6n precedente se denominan limite inferior y limite superior de integl'a-
cion, respectivamente. La funci6n f se denomina integrando. EI slmbolo integral I, segun 10 
lI saba Leibniz, es una S alargada que representa la palabra suma. Tambien observe que IIPII --+ 0 
siempre implica que el numero de subintervalos n se vuelve infinito (n --+ (0). No obstante, 
como se muestra en 1a FIGURA 5.4.4, el hecho de que n --+ 00 no necesariamente implica IIPII --+ O. 
I Integrabilidad En los dos teoremas siguientes se plantean condiciones que son suficientes 
para que una funci6nfsea integrable sobre un intervalo [a , b]. No se proporcionan las demos-
traciones de estos teoremas. 
Teorema 5.4.1 Continuidad implica integrabilidad 
Si fes continua sobre el intervalo cerrado [a, b] , entonces I(~f(x) dx existe; es decir,f es inte-
grable sobre el intervalo. 
Hay funciones definidas para cada valor de x en [a , b] para las cuales el limite en (4) no 
existe. Tambien, si la funci6nfno esta definida para todos los valores de x en el intervalo, la inte-
gral definida puede no existir; por ejemplo, despues se vera por que una integral como 
J~P/x) dx no existe. Observe que y = l /x es discontinua en x = 0 y no esta acotada sobre el 
intervalo. Sin embargo, a partir de este ejemplo no debe conc1uirse que cuando una funci6n f 
tiene una discontinuidad en [a , b], r f(x) dx necesariamente no existe. La continuidad de una 
funci6n sobre [a , b] es condici6n s~ficiente pero no necesaria para garantizar la existencia 
de t'f(x) dx. El conJ'unto de funciones continuas sobre [a , b] es un subconjunto del conjunto de 
" fllnciones que son integrables sobre el intervalo. 
EI siguiente teorema proporciona otra condici6n suficiente para integrabilidad sobre [a , b ]. 
Teorema 5.4.2 Condiciones suficientes para integrabilidad 
Si una funei6n f esta acotada sobre el intervalo cerrado [a, b], es decir, si existe una cons-
tante positiva B tal que - B ~ j(x) ~ B para toda x en el intervalo y tiene un numero finito 
de discontinuidades en [a , b], entonces f es integrable sobre el intervalo. 
5.4 La integral definida 297 
IIPII 
a ~ 
~II I I • • 
t b 
el numero de intervalos 
se vuelve una infinidac1 
FIGURA 5.4.4 Una infin idac1 de 
subintervalos no implica IIPII-- 0, 
298 CAPITU LO 5 Integ rales 
y 
y = f(x) 
-t--+--t--+-- x 
FIGURA 5.4.5 La integral definida 
de f sabre [0, 3] existe 
Y= f(x ) 
y 
Y = 8 
a b 
--~-~--~-_x 
V= -8 
FIGURA 5.4.6 La funci 6n f no 
est,] acotacla sabre [a, b] 
y r--? 
I y = 'JI -x" 
Cuando una funcion f esta acotada, su gnifica completa debe estar entre dos rectas hori zo 
- n· 
tales, y = B Y Y = -B. En otras palabras, I f(x) I :S B para toda x en [ a, b ] . La funcion 
f(x ) = {~: 0 :Sx<2 2 :Sx:s3 
mostrada en la FIGURA 5.4.5 es di scontinua en x = 2 pero esta acotada sobre [0, 3] , puesto qUe 
If(x)1 :S 4 para toda x en [0, 3]. (Para el caso, I :S f(x) :S 4 para toda x en [0, 3] muestra que f 
esta acotada sobre el intervalo.) Por el teorema 5.4.2 se concluye que f 6'l(x) dx existe. La FIGU_ 
RA 5.4.6 muestra la grMica de una funcion f que no esta acotada sobre un intervalo l ({ , b I. Sin 
importar cuan grande sea el numero B escogido, la grMica de f no puede estar confinada a la 
region entre las rectas horizon tales y = B Y Y = - B. 
I Partici6n regular Si se sabe que una integral definida existe (por ejemplo, el integrando f es 
continuo sobre [a , b J), entonces: 
• Ellimite en (4) existe para cualquier forma posible de particion [a, b] y para toda forma 
posible de escoger xl' en los subintervalos IXk- h xd . 
En particular, al escoger los subintervalos del mismo ancho y los puntos muestra como los pun-
tos fronterizos derechos de los subinterval os [Xk- I, xd , es decir, 
b-a 
Llx =--
n 
y 
.'. b - a 
x ,,' = a + k- - , k = 1, 2, ... , n, 
n 
la expresion (4) puede escribirse en forma alterna como 
f(x) dx = Ifm 2-f a + k-- --. J
b 11 ( b - a)b - a 
a 11-400 k = 1 n n 
(5) 
Recuerde por la seccion 5.3 que una particion P de [a , b) donde los subintervalos tienen el 
mismo ancho se denomina partidon regular. 
I Area Tal vez usted concluya que los planteamientos de rf(x ) dx dados en (4) y (5) son 
exactamente los mismos que (6) y (7) de la seccion 5.3 para el ~aso general de encontrar el area 
bajo la curva y = f(x) sobre [a, b]. En cierta forma esto es correcto; no obstante, la definicion 
5.4.1 es un concepto m:is general puesto que, como ya se observo, no estamos requiriendo que f 
sea continua sobre [a, b 1 0 que f(x) 2:: 0 sobre el intervalo, Por tanto, una integral definida no 
necesita ser un area . Entonces, ~que es una integral definida? Por ahora, acepte el hecho de que 
una integral definida es simplemente un numero real. Compare esto con la integral indefinida, 
que es una funcion (0 una familia de funciones) . EI area bajo la grafica de una funcion continua 
no negativa, ~es una integral definida? La respuesta es sf, 
Teorema 5.4.3 EI area como integral definida 
Sif es una funcion continua sobre el intervalo cerrado [a, b 1 y f(x) 2:: 0 para toda x en el inter-
valo, entonces el area A bajo la grafica sobre [a, b 1 es 
I
I> 
A = f(x) dx, 
a 
(6) 
'=!I3f'!IR!'W' EI area como integral definida 
Considere la integral definida f ~ I ~ dx. EI integrando es continuo y no negativo, de 
modo que la integral definida representa el area bajo la grMica de f(x) = ~ sobre el 
intervalo [-1, 1]. Debido a que la grafica de la funcion f es el semicirculo superior de 
x 2 + / = I , el area bajo la grMica es la region sombreada en la FIGURA 5.4.7. Por geometrfa sabe-
mos que el area de un cfrculo de radio r es 7Tr2, y asf con r = 1 el area del semicfrculo y, por 
-+-----+----~x tanto, el valor de la integral definida, es 
- I 
FIGURA 5.4.7 Area en el 
ejemplo 3 
• 
En la secci6n 6.2 volveremos a la cuesti6n de encontrar areas por medio de la integral definida. 
I!II""r Integral definida usando(5) 
tcnt' 1ll0S 
f( - 2 + ~:) = ( - 2 + ~:Y = -S + 36(~) - 54(:~ ) + 27(:: ). 
Luego. par (5) y las f6rmulas de suma i), ii), iii) Y iv) del teorema 5.3.2 se concluye que 
x ' dx = lim "".:£1 -2 + - -f 
I , ,11 .( 3k)3 
, II -,>OO k= Inn 
3 II [ (k) (k2) (k3)] lim - "".:£. - S + 36 - - 54 2 + 27 3" 
II-,>oo n k= Inn n 
Ifml[-sn + 36 . n(n + 1) _ 54. n(n + 1)(2n + I) + 27. n2(n + 1)2] 
II-,>oo n n 2 n2 6 n3 4 
}~! [ - 24 + 54( I +;) - 27( 1 + ~)( 2 + ;) + ~1 (1 + ~)( I + ;)] 
Sl 15 
= - 24 + 54 - 27(2) + 4 = - 4' 
En la FI GURA 5.4.8 se muestra que no se esta considerando el area bajo la gr<ifica sobre [ - 2, 1] . • 
1,IMI14!'Xi Integral definida usando (5) 
Los val ores de las sumas de Riemann en los ejemplos I y 2 son aproximaciones al valor de la 
integral definida f~ 2 (X2 - 4) dx. Se deja como ejercicio demostrar que (5) da 
f
3 25 
(x 2 - 4) dx = -3 = - S.33. 
- 2 
Yea el problema l6 en los ejercicios 5.4. • 
I Propiedades de la integral definida A continuaci6n se analizaran algunas propiedades 
importantes de la integral definida que se defini6 en (4). 
Las dos siguientes definiciones son utiles cuando se trabaja con integrales definidas. 
Definicion 5.4.2 Lfmites de integraci6n 
i) Igualdad de limites Si a esta en el dominio de f, entonces 
f
a 
f(x ) dx = O. 
(/ 
ii) Inversion de limites Si f es integrable sobre [a, b], entonces 
( ~f(x) dx = - f bf(X) dx. 
Jh (/ 
(7) 
(S) 
La definici6n S.4.2i) puede motivarse por el hecho de que el area bajo la grafica de f y por 
arri ba de un solo punto a sobre el eje x es cero. 
En la definici6n de rf(x) dx se supuso que a < b, de modo que la direcci6n de "costum-
bre" de la integraci6n defi~ida es de izquierda a derecha. EI inci so ii) de la definici6n 5.4.2 esta-
blece que invertir esta direcci6n, es decir, intercambiar los Hmites de integraci6n, resulta en la 
negativa de la integral. 
5.4 La integra l defini da 299 
y y = x 3 
FIGURA 5.4.8 GnHic<l de la 
funci6n en e l ejemplo 4 
300 CAPITULO 5 integra ies 
y 
I 
I 
b I 
J c f (x) dx : 
= -----'-.-x 
c b a 
'-----~v---_/ 
FIGURA 5.4.9 
aditivas 
b Ja f (x ) dx 
Las areas son 
1!1#14!"\I Definici6n 5.4.2 
Por el inciso i) de la defini cion 5.4.2, 
1o..; limitc .... de inl l'~ral· i(lIl ~ 
r (X3 + 3x) dx = O. 
• 1!I3MI4!'.' Otro repaso al ejemplo 4 
En el ejemplo 4 vimos que J ~2 X3 dx = -.If. Por el inciso ii) de la definicion 5.4.2 se conclu;; 
f-
2 II 15 15 
x
3
dx = - x 3 dx = - (- 4) = 4' • 
I -2 
En el siguiente teorema se enumeran algunas de las propiedades basicas de la integral cletinida. 
Estas propiedades son analogas a las propiedades de la notacion sigma proporcionadas en el teare_ 
ma 5.3.1 , aSI como a las propiedades de la integral indefinida que se analizaron en la secci6n 5. 1. 
Teorema 5.4.4 Propiedades de la integral definida 
Si f y g son funciones integrables sobre el intervalo cerrado [a, b], entonces 
i) ( bkf (x) dx = k ("f(x) dx , donde k es cualquier constante 
Ja Ja 
ii) ( " [f(x) ::t g(x)] dx = ( hf(X) dx::t ( "g(x) dx. 
J, Ja Ja 
El teorema 5.4.4ii) se extiende a cualquier suma finita de funciones integrables sobre el in-
tervalo [a, b) : 
(" (" (I' (" J [.fI(x) + f 2(X) + ... + Ux)] dx = J .fI(x) dx + L .f2(x) dx + ... + L f ,(x ) d.r. 
G a {/ I t 
La variable independiente x en una integral definida se denomina variable ficticia de inte-
gracion. El valor de la integral no depende del sfmbolo usado. En otras palabras, 
(b I" II> I" J f (x) dx = fe r) dr = f(s) ds = f( r) dt 
(/ (/ a (/ 
y aSI sucesivamente. 
t!I3M4!" :' Otro repaso al ejemplo 4 
POI' (9), no importa que slmbolo se use como la variable de integracion: 
Teorema 5.4.5 Propiedad aditiva del intervalo 
15 
4' 
Si f es una funcion integrable sobre un intervalo cerrado que contiene a los numeros a, b y 
C, entonces 
(9) 
• 
I
b 
Ie I" f (x) dx = f(x) dx + f(x) dx. (10) 
II a c 
Resulta facil interpretar la propiedad aditiva del intervalo dada en el teorema 5.4.5 en el casa 
especial en que f es continua sobre [a , b) y fCx ) 2: 0 para toda x en el intervalo. Como se ve en 
la FIGURA 5.4.9, el area bajo la grafica de f sobre [a, c) mas el area bajo la grafica del intervalo 
adyacente [c, b) es la misma que el area bajo la grafica de f sobre todo el intervalo [a, b]. 
Nota: La conclusion del teorema 5.4.5 se cllmple cuando a, b y c son tres numeros cualesq/lie-
ra en un intervalo cerrado. En otras palabras, no es necesario tener el orden a < c < b como se 
muestra en la figura 5.4.9. Ademas, el resllitado en (10) se extiende a cualquier numero tinito de 
numeros a, b, C I , Cb .. . , c" en el intervalo. POI' ejemplo, para un intervalo celTado que contiene 
a los numeros a, b, CI Y C2, 
fiCX) dx = fj·CX) dx + fICX) dx + fi(X) dx. 
{/ a (" I 1": 
para Lill a particion P dada de un intervalo [a, b], tiene sentido afirmar que 
/I 
Ifm ~ aXk = b - a, 
IIPII-->O k = I 
(11) 
(faS l)'llabras, el Ifmite lim L;'=I ax/, es simplemente el ancho del intervalo. Como una con-en 0 . ' 11P11 .... o" 
secuencia de ( II) , tenemos el siguiente teorema. 
,...---
Teorema 5.4.6 Integral definida de una constante 
1:'--
Para cLialquier con stante k, 
(b (b J k dx = k J dx = k(b - a). 
(f a 
Si f.: > 0, entonces el teorema 5.4.6 implica que flJk dx es simplemente el area de un rectan-a 
gulo de ancho b - a y altura k. Yea Ia FIGURA 5.4.10. 
dWJiQ!'1i1 Integral definida de una constante 
Por el teorema 5.4.6, r 5 dx = 5 r dx = 5(8 - 2) = 30. • 
I!I8MQ!.I !e' Uso de los ejemplos 4 y 9 
Evalue f2 (x 3 + 5) dx. 
Soluci6n Por el teorema 5.4.4ii) podemos escribir la integral dada como dos integrales: 
f
2
(X
3 + 5) dx = ft3 dx + L> dx. 
Luego, por el ejemplo 4 sabemos que I ~2X3 dx = - .!f, y con ayuda del teorema 5.4.6 vemos que 
J ~25 dx = 5 [1 - ( - 2)] = 15. En consecuencia, 
f2 (x3 + 5) dx = ( - 11) + 15 = ~. • 
Por ultimo, los siguientes resultados no son sorprendentes si Ia integral se interpreta como 
un area. 
Teorema 5.4.7 Propiedades de comparacion 
Sean f y g funciones integrables sobre el intervalo cerrado [a, b] . 
i) Si f(x ) 2': g(x) para toda x en el intervalo, entonces 
ff(X) dx 2': f g(x) dx. 
a a 
ii) Si m :5 f(x) :5 M para toda x en el intervalo, entonces 
m(b - a):5 ff(X) dx :5 M(b - a). 
a 
Las propiedades i) y ii) del teorema 5.4.7 se entienden facilmente en terminos de area. Para 
i). si se supone f(x) 2': g(x) 2': 0 para toda x en [a , b], entonces sobre el intervalo el area A I bajo 
la grMica de f es mayor que 0 igual al area A2 bajo la grafica de g. En forma semejante, para ii) 
si se Supone que f es continua y positiva sobre el intervalo cerrado [a , b] , entonces por el teorema 
5.4 La integral definida 301 
y 
y= k 
b 
fc,k dx 
-+--~----------~~ x 
a b 
!---b - Cl----+j 
FIGURA 5.4.10 Si k > 0, el area 
bajo la gratica es k(b - a) 
302 CAPITULO 5 Integrales 
)'1 v = I (·q 
del valor extremo,ftiene un mlnimo absoluto m > 0 y un maximo absoluto M > 0 en el interva_ 
10. Entonces, el area bajo la grafica I,~f(x) dx sobre el intervalo es mayor que 0 igual al area 
m(b - a) del rectangulo mas pequeno mostrado en la FIGURA 5.4.11a) y menor que 0 igual al 
area M(b - a) del rectangulo mas grande mostrado en la figura 5.4.1 Ib). 
Si en i) del teorema 5.4.7 se hace g(x) = 0 y se usa el hecho de que I,;' O dx = 0, se ConcIu_ 
-+-..J..a-'--------'-b- x ye 10 siguiente: 
'" mfnimo el area es 
lII(h - 0) 
y 
a) 
Y = I(.r) 
, 
, 
I , 
el area es: 
M(b - 0)' 
+--'a-------'-b- x 
b) 
FIGURA 5.4.11 Motivaci6n para e l 
inciso ii) del teorema 5.4.7 
y 
• Sif(x) 2: 0 sobre [a, b], entonces I,~f(x) dx 2: O. 
En fonna semejante, al escogerf(x) = 0 en i) , se concluye que: 
• Si g(x) ::5 0 sobre [a, b], entonces I"g(x) dx ::5 O. 
{/ 
( 12) 
( 13) 
I Area neta con signo Debido a que la funci6n f en la FIGURA 5.4.12 asume valores tanto positi-
vos como negativos sobre [a, b] , la integral definida J,~f(x) dx no representa area bajo la grMica 
defsobre el intervalo. Por el teorema 5.4.5, la propiedad aditiva del intervalo,