05-cilindro_eliptico

Vista previa del material en texto

43 
ESTUDIO DEL CILINDRO ELIPTICO 
 
 
 
1 - Estudio de la Simetría 
 
a) Simetría respecto a los planos coordenados 
 
Simetría respecto al plano xy 
1
2
2
2
2
=+
b
y
a
x
 
 
Como la ecuación no contiene a la variable z, concluimos que la superficie 
es simétrica respecto al plano xy. 
 
 
Simetría respecto al plano xz 
1
)(
2
2
2
2
=
−
+
b
y
a
x
 
 
Como la ecuación de la superficie no se altera si cambiamos el signo de la 
variable y, concluimos que la superficie es simétrica respecto al plano xz. 
 
 
Simetría respecto al plano yz 
1
)(
2
2
2
2
=+
−
b
y
a
x
 
 
Como la ecuación de la superficie no se altera si cambiamos el signo de la 
variable x, concluimos que la superficie es simétrica respecto al plano yz. 
 
 
b) Simetría respecto a los ejes coordenados 
 
Simetría respecto al eje x 
1
)(
2
2
2
2
=
−
+
b
y
a
x
 
 
Como la ecuación de la superficie no se altera si cambiamos el signo de la 
variable y y la ecuación no contiene a la variable z, podemos concluir que la 
superficie es simétrica respecto al eje x. 
 
1
2
2
2
2
=+
b
y
a
x
 44 
 
Simetría respecto al eje y 
1
)(
2
2
2
2
=+
−
b
y
a
x
 
 
Como la ecuación de la superficie no se altera si cambiamos el signo de la 
variable x y la ecuación no contiene a la variable z, podemos concluir que la 
superficie es simétrica respecto al eje y. 
 
 
Simetría respecto al eje z 
1
)()(
2
2
2
2
=
−
+
−
b
y
a
x
 
 
Como la ecuación de la superficie no se altera si cambiamos el signo de las 
variables x e y, podemos concluir que la superficie es simétrica respecto al 
eje z. 
 
c) Simetría respecto al origen de coordenadas 
 
1
)()(
2
2
2
2
=
−
+
−
b
y
a
x
 
 
Como la ecuación de la superficie no se altera si cambiamos el signo de las 
variables, podemos concluir que la superficie es simétrica respecto al origen 
de coordenadas. 
 
 
2- Verificar si la superficie contiene o no el Origen del Sistema de 
Coordenadas 
 
Reemplazando por el punto P(0,0,0) en la ecuación: 
 
1
00
2
2
2
2
≠+
ba
 
 
 10 ≠ 
 
Se verifica, por lo tanto que la superficie no contiene al origen de coordenadas. 
 
 
 
 
 
 
 45 
 
 
3- Intersección con los ejes coordenados 
 
 
a) Intersección con el eje x 
 








=
=
=+
0
 0
 1
2
2
2
2
z
y
b
y
a
x
 ⇒ 








=
=
=
0
 0
 1
2
2
z
y
a
x
 ⇒ 





=
=
=
0
 0
 22
z
y
ax
 ⇒ 





=
=
±=
0
 0
 
z
y
ax
 
 
O sea que: x = a± y = z = 0 ⇒ A1 (a, 0, 0) ∧ A2 (-a, 0, 0) 
 
 
b) Intersección con el eje y 
 








=
=
=+
0
 0
 1
2
2
2
2
z
x
b
y
a
x
 ⇒ 








=
=
=
0
 0
 1
2
2
z
x
b
y
 ⇒ 





=
=
=
0
 0
 22
z
x
by
 ⇒ 





=
=
±=
0
 0
 
z
x
by
 
 
O sea que: y = b± x = z = 0 ⇒ B1 (0, b, 0) ∧ B2 (0, -b, 0) 
 
 
c) Intersección con el eje z 
 








=
=
=+
0
 0
 1
2
2
2
2
y
x
b
y
a
x
 ⇒ 





=
=
≠
0
 0
 10
y
x 
 
Por lo tanto, no hay intersección con el eje z. 
 
 
 
 
 
 
 46 
 
4- Intersección con los planos coordenados 
 
a) Intersección con el plano coordenado xy (z=0) 
 





=
=+
0
1
2
2
2
2
z
b
y
a
x
 
 
Obtenemos un cilindro elíptico centrado en el origen de coordenadas, 
cortado con el plano xy 
Elipse sobre el plano coordenado xy 
 
 
b) Intersección con el plano coordenado xz (y=0) 
 





=
=+
0
 1
2
2
2
2
y
b
y
a
x
 ⇒ 





=
=
0
1
2
2
y
a
x
 ⇒ 




=
=
0
22
y
ax
 ⇒ 




=
±=
0y
ax
 
 
Obtenemos dos planos: x = a y x = -a que cortados con el plano y = 0 dan 
como intersección dos rectas: r1: x = a y r2: x = -a sobre el plano 
coordenado xz. 
 
 
c) Intersección con el plano coordenado yz (x=0) 
 





=
=+
0
 1
2
2
2
2
x
b
y
a
x
 ⇒ 





=
=
0
1
2
2
x
b
y
 ⇒ 




=
=
0
22
x
by
 ⇒ 




=
±=
0x
by
 
 
Obtenemos dos planos: y = b y y = -b que cortados con el plano x = 0 dan 
como intersección dos rectas: r1: y = b y r2: y = -b sobre el plano 
coordenado xz. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 47 
 
5. Intersección con planos paralelos a los planos coordenados 
 
 
a) Intersección con planos paralelos al plano yz (x=k) 
 





=
=+
kx
b
y
a
x
 1
2
2
2
2
 ⇒ 





=
=+
kx
b
y
a
k
 1
2
2
2
2
 ⇒ 





=
−=
kx
a
k
b
y
 1
2
2
2
2
 ⇒ 





=








−=
kx
b
a
k
y 1 2
2
2
2
 ⇒ 





=








−=
kx
a
kb
by 
2
22
22
 ⇒ 





=
−±=
kx
a
kb
by 
2
22
2
 
 
 
Si k = 0 





==
−±=
0
 
2
22
2
kx
a
kb
by
 ⇒ 




==
±=
0
 2
kx
by
 ⇒ 



==
±=
0
 
kx
by
 
 
Intersección correspondiente al plano yz 
Obtenemos, sobre el plano coordenado yz dos rectas: 
r1: y = b y r2: y = -b 
 
 
Si 0 < lkl < a 





=
−±=
kx
a
kb
by 
2
22
2
 
 
2
22
2
a
kb
b − > 0 
 
 
2
22
a
kb
− > - 2b 
 
 22kb− > - 2b 2a 
 
 2k− > - 2a 
 
 2k < 2a 
 
 48 
Debido a que 
2
22
2
a
kb
b − > 0 cuando 2k < 2a 
Obtenemos dos planos 
2
22
2
a
kb
by −+= e 
2
22
2
a
kb
by −−= que cortados 
con el plano x = k dan como intersección dos rectas: 
r1: x = +
2
22
2
a
kb
b − y r2: x = -
2
22
2
a
kb
b − respectivamente. 
 
 
Si lkl = a 





==
−±=
akx
a
kb
by 
2
22
2
 ⇒ 





==
−±=
akx
a
ab
by 
2
22
2
 ⇒ 




==
−±=
akx
bby 22
 ⇒ 
 




==
=
akx
y 0
 
 
En este caso, obtenemos el plano y= 0 que cortado con los planos x = lkl= a 
(x = a y x = -a) dan como intersección las rectas x = a y x = -a 
respectivamente. 
 
 
Si lkl > a 





=
−±=
kx
a
kb
by 
2
22
2
 
 
2
22
2
a
kb
b − < 0 
 
 
2
22
a
kb
− < - 2b 
 
 22kb− < - 2b 2a 
 
 2k− < - 2a 
 
 2k > 2a 
 
 49 
Debido que 
2
22
2
a
kb
b − < 0, cuando 2k > 2a 
No existe intersección entre las superficies, en este caso. 
 
 
b) Intersección con planos paralelos al plano xz (y=k) 
 





=
=+
ky
b
y
a
x
 1
2
2
2
2
 ⇒ 





=
=+
ky
b
k
a
x
 1
2
2
2
2
 ⇒ 





=
−=
ky
b
k
a
x
 1
2
2
2
2
 ⇒ 
 





=








−=
ky
a
b
k
x 1 2
2
2
2
 ⇒ 





=








−=
ky
b
ka
ax 
2
22
22
 ⇒ 





=
−±=
ky
b
ka
ax 
2
22
2
 
 
 
 
Si k = 0 
 





==
−±=
0
 
2
22
2
ky
b
ka
ax
 ⇒ 




==
±=
0
 2
ky
ax
 ⇒ 



==
±=
0
 
ky
ax
 
 
Intersección correspondiente al plano yz 
Obtenemos, sobre el plano coordenado yz dos rectas: 
r1: x = a y r2: x = -a 
 
 
 
Si 0 < lkl < b 
 





=
−±=
ky
b
ka
ax 
2
22
2
 
 
2
22
2
b
ka
a − > 0 
 
 
2
22
b
ka
− > - 2a 
 
 50 
 22ka− > - 2a 2b 
 
 2k− > - 2b 
 
 2k < 2b 
 
Debido a que 
2
22
2
b
ka
a − > 0, cuando 2k < 2b 
Obtenemos dos planos 
2
22
2
b
ka
ax −+= y
2
22
2
b
ka
ax −−= que cortados 
con el plano y = k dan como intersección dos rectas: 
r1: 
2
22
2
b
ka
ax −+= y r2: 
2
22
2
b
ka
ax −−= respectivamente. 
 
 
Si lkl = b 





==
−±=
bky
b
ka
ax 
2
22
2
 ⇒ 





==
−±=
bky
b
ba
ax 
2
22
2
 ⇒ 




==−±=
bky
aax 22
⇒ 
 




==
±=
bky
x 0
 ⇒ 




==
=
bky
x 0
 
 
En este caso, obtenemos el plano x = 0 que cortado con los planos y = lkl= 
b (y = b e y = -b) dan como intersección las rectas y = b e y = -b 
respectivamente. 
 
 
Si lkl > b 
 





=
−±=
ky
b
ka
ax 
2
22
2
 
 
2
22
2
b
ka
a − < 0 
 
 
2
22
b
ka
− < - 2a 
 
 51 
 22ka− < - 2a 2b 
 
 2k− < - 2b 
 
 2k > 2b 
 
Debido que 
2
22
2
b
ka
a − < 0, cuando 2k > 2b 
No existe intersección entre las superficies, en este caso. 
 
 
 
c) Intersección con planos paralelos al plano xy (z=k) 
 





=
=+
kz
b
y
a
x
 1
2
2
2
2
 
 
Obtenemos un cilindro elíptico centrado en el origen de coordenadas, 
cortado con el plano xy 
Independientemente del valor de k, obtenemos una elipse sobre el plano 
coordenado xy. Los semiejes de las elipses obtenidas no varían a medida 
que aumenta o disminuye el valor de k.