10-elipsoide

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53 
ESTUDIO DEL ELIPSOIDE 
 
 
 
1 - Estudio de la Simetría 
 
a) Simetría respecto a los planos coordenados 
 
Simetría respecto al plano xy 
1
)(
2
2
2
2
2
2
=
−
++
c
z
b
y
a
x
 
 
Como la ecuación de la superficie no se altera si cambiamos el signo de la 
variable z, concluimos que la superficie es simétrica respecto al plano xy. 
 
 
Simetría respecto al plano xz 
1
)(
2
2
2
2
2
2
=+
−
+
c
z
b
y
a
x
 
 
Como la ecuación de la superficie no se altera si cambiamos el signo de la 
variable y, concluimos que la superficie es simétrica respecto al plano xz. 
 
 
Simetría respecto al plano yz 
1
)(
2
2
2
2
2
2
=++
−
c
z
b
y
a
x
 
 
Como la ecuación de la superficie no se altera si cambiamos el signo de la 
variable x, concluimos que la superficie es simétrica respecto al plano yz. 
 
 
 
 
b) Simetría respecto a los ejes coordenados 
 
Simetría respecto al eje x 
1
)()(
2
2
2
2
2
2
=
−
+
−
+
c
z
b
y
a
x
 
 
1
2
2
2
2
2
2
=++
c
z
b
y
a
x
 54 
Como la ecuación de la superficie no se altera si cambiamos el signo de las 
variables y y z, podemos concluir que la superficie es simétrica respecto al 
eje x. 
 
 
Simetría respecto al eje y 
1
)()(
2
2
2
2
2
2
=
−
++
−
c
z
b
y
a
x
 
 
Como la ecuación de la superficie no se altera si cambiamos el signo de las 
variables x y z, podemos concluir que la superficie es simétrica respecto al 
eje y. 
 
 
Simetría respecto al eje z 
1
)()(
2
2
2
2
2
2
=+
−
+
−
c
z
b
y
a
x
 
 
Como la ecuación de la superficie no se altera si cambiamos el signo de las 
variables x e y, podemos concluir que la superficie es simétrica respecto al 
eje z. 
 
c) Simetría respecto al origen de coordenadas 
 
1
)()()(
2
2
2
2
2
2
=
−
+
−
+
−
c
z
b
y
a
x
 
 
Como la ecuación de la superficie no se altera si cambiamos el signo de las 
3 variables, podemos concluir que la superficie es simétrica respecto al 
origen de coordenadas. 
 
 
2- Verificar si la superficie contiene o no el origen del sistema 
de coordenadas 
 
Reemplazando por el punto P(0,0,0) en la ecuación: 
 
1
000
2
2
2
2
2
2
≠++
cba
 
 
 10 ≠ 
 
Se deduce que la superficie no contiene al origen de coordenadas. 
 
 55 
 
3- Intersección con los ejes coordenados 
 
 
a) Intersección con el eje x 
 








=
=
=++
0
 0
 1
2
2
2
2
2
2
z
y
c
z
b
y
a
x
 ⇒ 








=
=
=
0
 0
 1
2
2
z
y
a
x
 ⇒ 





=
=
=
0
 0
 22
z
y
ax
 ⇒ 





=
=
±=
0
 0
 
z
y
ax
 
 
O sea que: x = a± ; y = z = 0 determina los puntos A1 (a, 0, 0) ∧ A2 
(-a, 0, 0) 
 
b) Intersección con el eje y 
 








=
=
=++
0
 0
 1
2
2
2
2
2
2
z
x
c
z
b
y
a
x
 ⇒ 








=
=
=
0
 0
 1
2
2
z
x
b
y
 ⇒ 





=
=
=
0
 0
 22
z
x
by
 ⇒ 





=
=
±=
0
 0
 
z
x
by
 
 
O sea que: 
y = b± x = z = 0 ⇒ B1 (0, b, 0) ∧ B2 (0, -b, 0) 
 
 
c) Intersección con el eje z 
 








=
=
=++
0
 0
 1
2
2
2
2
2
2
y
x
c
z
b
y
a
x
 ⇒ 








=
=
=
0
 0
 1
2
2
y
x
c
z
 ⇒ 





=
=
=
0
 0
 22
y
x
cz
 ⇒ 





=
=
±=
0
 0
 
y
x
cz
 
 
O sea que: z = c± x = y = 0 ⇒ C1 (0, 0, c) ∧ C2 (0, 0, -c) 
 
 
 
 
 56 
4- Intersección con los planos coordenados 
 
a) Intersección con el plano coordenado “xy” (z=0) 
 





=
=++
0
1
2
2
2
2
2
2
z
c
z
b
y
a
x
 ⇒ 





=
=+
0
1
2
2
2
2
z
b
y
a
x
 
 
Obtenemos un cilindro elíptico centrado en el origen de coordenadas, 
cortado con el plano “xy” determina una elipse sobre el plano coordenado 
“xy”. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) Intersección con el plano coordenado “xz” (y=0) 
 





=
=++
0
 1
2
2
2
2
2
2
y
c
z
b
y
a
x
 ⇒ 





=
=+
0
1
2
2
2
2
y
c
z
a
x
 
 
Obtenemos un cilindro elíptico centrado en el origen de coordenadas, 
cortado con el plano “xz” determina una elipse sobre el plano coordenado 
“xz”. 
 
 
 
 
 
 
x 
y 
z 
o 
x 
y 
z 
o 
 57 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
c) Intersección con el plano coordenado “yz” (x=0) 
 





=
=++
0
 1
2
2
2
2
2
2
x
c
z
b
y
a
x
 ⇒ 





=
=+
0
1
2
2
2
2
x
c
z
b
y
 
 
Obtenemos un cilindro elíptico centrado en el origen de coordenadas, 
cortado con el plano ”yz” determinando una elipse sobre el plano 
coordenado “yz”. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
x 
y 
z 
o 
x 
y 
z 
o 
x 
y 
z 
o 
x 
y 
z 
o 
 58 
 
5. Intersección con planos paralelos a los planos coordenados 
 
 
a) Intersección con planos paralelos al plano “yz” (x=k) 
 





=
=++
kx
c
z
b
y
a
x
 1
2
2
2
2
2
2
 ⇒ 





=
=++
kx
c
z
b
y
a
k
 1
2
2
2
2
2
2
 ⇒ 





=
−=+
kx
a
k
c
z
b
y
 1
2
2
2
2
2
2
 
⇒ 







=
=








−
+








−
kx
a
k
c
z
a
k
b
y
 1
 1 1
2
2
2
2
2
2
2
2
 
 
 
Si k = 0 







==
=








−
+








−
0
 1
 
0
1 
0
1
2
2
2
2
2
2
2
2
kx
a
c
z
a
b
y
 ⇒ 





==
=+
0
 1
2
2
2
2
kx
c
z
b
y
 
 
Intersección correspondiente al plano “yz” 
Obtenemos un cilindro elíptico centrado en el origen de coordenadas, 
cortado con el plano “yz” determinando una elipse sobre el plano 
coordenado “yz”. 
 
 
Si 0 < lkl < a 







=
=








−
+








−
kx
a
k
c
z
a
k
b
y
 1
 1 1
2
2
2
2
2
2
2
2
 
Debido a que: 
2
2
1
a
k
− > 0 
 
Obtenemos un cilindro elíptico cortado con un plano paralelo al plano 
coordenado “yz”. 
 59 
Para cada valor de k, independientemente de su signo, se obtiene como 
intersección una elipse. Los semiejes de las elipses obtenidas disminuyen a 
medida que lkl aumenta. 
 
 
Si lkl = a 





==
−=+
akx
a
a
c
z
b
y
 1
2
2
2
2
2
2
⇒ 





==
=+
akx
c
z
b
y
 0
2
2
2
2
 
 
En este caso, la única posibilidad en que 0
2
2
2
2
=+
c
z
b
y
 es que los valores de 
y y los valores de z sean iguales a 0, es decir 



=
=
0
0
z
y
. Por lo tanto 
obtenemos una recta coincidente con el eje x, que cortada con los planos 
ax ±= (x=a y x=-a) dan como intersección dos puntos de coordenadas 
( )001 ,,aP y ( )002 ,,aP − , respectivamente. 
 
 
Si lkl > a 





=
−=+
kx
a
k
c
z
b
y
 1
2
2
2
2
2
2
 ⇒ 





=
=+
kx
negativonro
c
z
b
y
_
2
2
2
2
 
Debido a que: 
2
2
1
a
k
− < 0 
 
Obtenemos un cilindro elíptico de semiejes imaginarios cortado con un 
plano paralelo al plano coordenado “yz”. 
Por lo tanto, no existe intersección entre las superficies. 
 
b) Intersección con planos paralelos al plano “xz” (y=k) 
 





=
=++
ky
c
z
b
y
a
x
 1
2
2
2
2
2
2
 ⇒ 





=
=++
ky
c
z
b
k
a
x
 1
2
2
2
2
2
2
 ⇒ 





=
−=+
ky
b
k
c
z
a
x
 1
2
2
2
2
2
2
 
⇒ 







=
=








−
+








−
ky
b
k
c
z
b
k
a
x
 1
 1 1
2
2
2
2
2
2
2
2
 
 60 
 
Si k = 0 







==
=








−
+








−
0
 1
 
0
1 
0
1
2
2
2
2
2
2
2
2
ky
b
c
z
b
a
x
 ⇒ 





==
=+
0
 1
2
2
2
2
ky
c
z
a
x
 
 
Intersección correspondiente al plano “xz”. 
Obtenemos un cilindro elíptico centrado en elorigen de coordenadas, 
cortado con el plano “xz” determina una elipse sobre el plano coordenado 
“xz”. 
 
 
Si 0 < lkl < b 







=
=








−
+








−
ky
b
k
c
z
b
k
a
x
 1
 1 1
2
2
2
2
2
2
2
2
 
Debido a que: 
2
2
1
b
k
− > 0 
Obtenemos un cilindro elíptico cortado con un plano paralelo al plano 
coordenado “xz”. 
Para cada valor de k, independientemente de su signo, se obtiene como 
intersección una elipse. Los semiejes de las elipses obtenidas disminuyen a 
medida que lkl aumenta. 
 
Si lkl = b 





==
−=+
bky
b
b
c
z
a
x
 1
2
2
2
2
2
2
⇒ 





==
=+
bky
c
z
a
x
 0
2
2
2
2
 
 
En este caso, la única posibilidad en que 0
2
2
2
2
=+
c
z
a
x
 es que los valores de 
x y los valores de z sean iguales a 0, es decir 



=
=
0
0
z
x
. Por lo tanto 
obtenemos una recta coincidente con el eje y, que cortada con los planos 
by ±= (y= b ∧ y= -b) dan como intersección dos puntos de coordenadas 
( )001 ,b,P y ( )002 ,b,P − respectivamente. 
 
 61 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Si lkl > b 
 
 





=
−=+
ky
b
k
c
z
a
x
 1
2
2
2
2
2
2
 ⇒ 





=
=+
ky
negativonro
c
z
a
x
_
2
2
2
2
 
 
Debido a que: 
2
2
1
b
k
− < 0 
 
Obtenemos un cilindro elíptico de semiejes imaginarios cortado con un 
plano paralelo al plano coordenado “xz”. 
Por lo tanto, no existe intersección entre las superficies. 
 
 
 
 
 
 
x 
y 
z 
o 
x 
y 
z 
o 
x 
y 
z 
o 
 62 
c) Intersección con planos paralelos al plano xy (z=k) 
 





=
=++
kz
c
z
b
y
a
x
 1
2
2
2
2
2
2
 ⇒ 





=
=++
kz
c
k
b
y
a
x
 1
2
2
2
2
2
2
 ⇒ 





=
−=+
kz
c
k
b
y
a
x
 1
2
2
2
2
2
2
 ⇒
 







=
=








−
+








−
kz
c
k
b
y
c
k
a
x
 1
 1 1
2
2
2
2
2
2
2
2
 
 
 
Si k = 0 







==
=








−
+








−
0
 1
 
0
1 
0
1
2
2
2
2
2
2
2
2
kz
c
b
y
c
a
x
 ⇒ 





==
=+
0
 1
2
2
2
2
kz
b
y
a
x
 
 
Intersección correspondiente al plano xy 
Obtenemos un cilindro elíptico centrado en el origen de coordenadas, 
cortado con el plano “xy” determina una elipse sobre el plano coordenado 
“xy”. 
 
 
Si 0 < lkl < c 







=
=








−
+








−
kz
c
k
b
y
c
k
a
x
 1
 1 1
2
2
2
2
2
2
2
2
 
Debido a que: 
2
2
1
c
k
− > 0 
Obtenemos un cilindro elíptico cortado con un plano paralelo al plano 
coordenado xy 
Para cada valor de k, independientemente de su signo, se obtiene como 
intersección una elipse. Los semiejes de las elipses obtenidas disminuyen a 
medida que lkl aumenta. 
 
 
 63 
Si lkl = c 





==
−=+
ckz
c
c
b
y
a
x
 1
2
2
2
2
2
2
⇒ 





==
=+
ckz
b
y
a
x
 0
2
2
2
2
 
 
En este caso, la única posibilidad en que 0
2
2
2
2
=+
b
y
a
x
 es que los valores de 
x y los valores de y sean iguales a 0, es decir 



=
=
0
0
y
x
. Por lo tanto 
obtenemos una recta coincidente con el eje z, que cortada con los plano 
cz ±= (z=c y z=-c) dan como intersección dos puntos de coordenadas 
( )c,,P 001 y ( )c,,P −002 , respectivamente. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Si lkl > c 





=
−=+
kz
c
k
b
y
a
x
 1
2
2
2
2
2
2
 ⇒ 





=
=+
kz
negativonro
b
y
a
x
_
2
2
2
2
 
x 
y 
z 
o 
x 
y 
z 
o 
x 
y 
z 
o 
 64 
Debido a que: 
2
2
1
c
k
− < 0 
Obtenemos un cilindro elíptico de semiejes imaginarios cortado con un 
plano paralelo al plano coordenado “xy”. 
Por lo tanto, no existe intersección entre las superficies. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Nota: El elipsoide también puede estudiarse como una superficie de 
revolución generada por una elipse que gira alrededor de uno de sus 
ejes. 
x 
y 
z 
o