Función y Dominio

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IES Puntagorda Curso 2021-2022
1. Tema 1 Funciones y dominios
Las funciones reales de variable real se clasi�can en:
Algebraicas

Polinómicas : f (x) = 4x3 − 5x+ 7
Racionales f (x) =
3x2 + 5
x2 − 1
Irracionales f (x) =
√
x− 4
Trascendentes:

Exponenciales : f (x) = 2x−3
Logarı́tmicas : f (x) = log (5x+ 2)
Trigonométricas : f (x) = cos (x+ 4)
Función a trozos:
f (x) =

x2 si x ≤ 1
0,5x si 1 < x ≤ 4
Log2 (x) si x > 4
Función en valor absoluto:
f (x) = |x+ 2| =

x+ 2 si x ≥ −2
− (x+ 2) si x < −2
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1.1. Ficha de repaso de funciones elementales
1. Escribe la expresión algebraica al lado de cada grá�ca.
a) f (x) = 3x2 − 6x+ 2
b) f (x) = −3x2 + 6x− 2
c) f (x) = x3 − 2x2 − 5x+ 6
d) f (x) = x− 2
e) f (x) =
3x2 + 5
x2 − 1
f ) f (x) =
√
x− 4
g) f (x) = 2x−3
h) f (x) = log (5x+ 2)
i) f (x) = cos (x)
j ) f (x) = sen (2x)
k) f (x) = tg (x+ 4)
l) f (x) = |x− 3|
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1.2. Uso de geogebra
1.3. Cálculo de dominios y representación grá�ca:
Polinómicas: f (x) = P (x)−→ Dom f (x) = R
1. Polinómicas de primer grado (rectas y = mx+ n ):
Función constante: f(x) = k (y = 3) Recta vertical: x = k (x = −2)
Función afín: y = mx+ n (y = 2x+ 3,5)
Representa las siguientes funciones:
a) y = −2 b) y = 3x c) y = −x+ 2
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2. Polinómicas de segundo grado (cuadrática o parábolas y = ax2 + bx+ c ):
Las funciones cuadráticas son del tipo f(x) = ax2 + bx + c, con a 6= 0. Su grá�ca es una parábola. Para representar
una parábola, es necesario obtener al menos los siguientes elementos:
Según el signo del coe�ciente a, si

a > 0 −→ ∪, la parábola es cóncava.
a < 0 −→ ∩, la parábola es convexa
El vértice de cualquier parábola: V értice = (xv, yv) donde xv =
−b
2 · a
, yv = f (xv)
Los puntos de corte con el eje OX (f(x) = y = 0) se calculan resolviendo la ecuación ax2 + bx+ c = 0 utilizando
la expresión de la solución de la ecuación de 2º grado: x =
−b±
√
b2 − 4 · a · c
2 · a
x1x2
Los puntos de corte con el eje OY (x = 0) sustituyendo x = 0 en la función 99K Punto(0, c)
a) y = −x2 − 6x+ 27
b) y = − (x− 5)2 + 4
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3. Polinómicas de tercer grado (cúbica y = ax3 + bx2 + cx+ d):
Las funciones de grado 3, dependen del valor de a como sigue:
a > 0
xx
y y
a < 0respaldo de la silla
Derecha Izquierda
El punto de in�exión es xv =
−b
3 · a
Los puntos de corte con el eje OX (f(x) = y = 0) se calculan resolviendo la ecuación ax3 + bx2 + cx+ d = 0 y se
suele complicar (podemos hacer uso de la calculadora)
Los puntos de corte con el eje OY (x = 0) sustituyendo x = 0 en la función 99K Punto(0, d)
a) f(x) = y = −x3 − x2 + 2x
b) f (x) = y = x3 − 2x2 − 5x+ 6 −→ f (x) =
(
x− 1
) (
x+ 2
) (
x− 3
)
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4. Funciones racionales
Funciones racionales: f (x) =
P (x)
Q (x)
−→ Dom f (x) = {x ∈ R/Q (x) 6= 0}
a) f (x) =
2
x
b) f (x) =
3x2 + 5
x2 − 1
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5. Funciones Irracionales:
Tipo 1:
f (x) =
√
P (x)−→ Dom f (x) = {x ∈ R/P (x) ≥ 0}
a) f (x) =
√
2x+ 1
b) f (x) =
√
x2 − 4
c) f (x) =
√
x3 − 2x2 − 5x+ 6 =
√
(x− 1) · (x+ 2) · (x− 3)
Tipo 2:
f (x) =
P (x)√
Q (x)
−→ Dom f (x) = {x ∈ R/Q (x) > 0}
a) f (x) =
3x− 1√
x2 − 1
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Tipo 3:
f (x) =
√
P (x)
Q (x)
−→ Dom f (x) = {x ∈ R/Q (x) 6= 0 y P (x) ≥ 0}
a) f (x) =
√
x2 − 4
x+ 3
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Tipo 4:
f (x) =
√
P (x)
Q (x)
−→ Dom f (x) =
{
x ∈ R/P (x)
Q (x)
≥ 0
}
a) f (x) =
√
3x+ 6
x+ 5
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6. Exponenciales:
f (x) = ag(x)−→ Dom f (x) = Dom g (x)
f(x) = ax para a > 1
(0,1)
f(x) = ax para 0 < a < 1
(0,1)
x
y y
x
a) f (x) = ex
2−1
b) f (x) = e
√
x
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7. Logarítmicas:
f (x) = loga (P (x)) donde a > 0, a 6= 1−→ Dom f (x) = {x ∈ R/P (x) > 0}
f(x) = loga(P (x)) para a > 1
x
y
x
y
f(x) = loga(P (x)) para 0 < a < 1
a) f (x) = log10 (2x+ 6)
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8. Función en valor absoluto:
Dom f (x) = R
a) f (x) = |2x+ 5| =

2x+ 5 si 2x+ 5 ≥ 0
− (2x+ 5) si 2x+ 5 < 0
b) f(x) =
∣∣x2 − 2x− 8∣∣
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9. Trigonométricas:
a) Función seno: f (x) = sen (x) −→f (x) = sen (g (x))
Dom sen (x) = R
b) Función coseno:f (x) = cos (x) −→f (x) = cos (g (x))
Dom cos (x) = R
c) Función tangente: f (x) = tg (x) =
sen (x)
cos (x)
−→f (x) = tg (g (x))
Dom tg (x) = {x ∈ R/cos(x) 6= 0} =
{
x ∈ R/x 6= π
2
+ k · π, k ∈ Z
}
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1.3.1. Ficha de cálculo de dominios de funciones
10. Calcula el dominio de las siguientes funciones racionales e irracionales:
a) yx+ y − x = 0
b) g(x) =
x2 + 3
x2
c) y =
1
7− 3x
d) f(x) =
√
x2 + 4
e) y =
1√
4− 2x
f ) y =
1
3
√
x
g) y =
√
x− 1
x
h) y =
√
x− 2
x2 − 3x+ 2
i) y =
√
x+ 1
x− 4
j ) y =
√
x2 − 4
x2 − 9
k) y =
√
x2 − 4
3
√
x− 6
l) y =
2x+ 7
3
√
9− x
m) f(x) =
5
x2 − 9
n) y2 − x = 0
ñ) f(x) =
√
x2 − 1
o) f(x) =
x− 1
x+ 1
p) f(x) =
√
x2
x2 − 4
q) f(x) =
√
x− 1
x+ 1
11. Calcula el dominio de las siguientes funciones logarítmicas y exponenciales.
a) f(x) = ln (−3x+ 2)
b) f(x) = ln
(
5− x2
)
c) f(x) = ln
(
−x2 + x+ 2
x2 + 2x− 15
)
d) f(x) =
√
lnx− 1
e) f(x) =
lnx√
x− 3
f ) f(x) =
x
ln (x− 1)
g) f (x) = 5
√
1−x
h) f (x) = 5
√
x2−4
i) f (x) = 5
√
x
x2 − 4
j ) f (x) =
(
1
2
)x2−3x+1
12. Calcula el dominio de las siguientes funciones valor absoluto y trigonométricas:
a) f(x) = 2 + |x− 3|
b) f(x) =
∣∣∣∣ 2x− 2
∣∣∣∣
c) f(x) =
2
|x| − 2
d) f(x) =
1− x
x2 − |x|
e) f(x) =
1− x
|4x| − x2
f ) f(x) = ln |x− 1|
g) f(x) =
1
|lnx− 1|
h) f(x) = |lnx− 1|
i) f(x) = sen (x+ 7)
j ) f(x) = cos
(
2 + 7x
x2 − 9
)
k) f(x) =
2x− 10
sen (x)
l) f(x) = cos
(
x
x3 − x
)
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13. Calcula el dominio de las siguientes funciones a trozos:
a) f (x) =

x2 si x ≥ 1
x
x+ 3
si x < 1
b) f (x) =

√
x2 + 1 si x < 0
√
x si x ≥ 0
c) f (x) =

1 si x ≤ 0
1
x3 − 2x
si x > 0
d) f (x) =

x− 1 si x > −1
1
x2 − 9
si x ≤ −1
e) f (x) =

1
x− 2
si x ≤ 0
√
x− 1 si x > 0
f ) f (x) =

1
x2 − 2x
si x ≤ 1
1
ln (x− 1)
si 1 < x < 6
x− 2 si x > 6
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2. 30/09/2021 Examen 1 de matemáticas II
Espacio para la �rma del padre
y/o madre
Nota:
Nombre: ____________
Tema: Dominio de funciones
1. Determinar el dominio de las siguientes funciones empleando intervalos cuandos sea posible.
a) (0.5) f (x) =
x− 7
x2 − 25
b) (1.25) f (x) =
√
x− 7
x2 − 7
c) (1.25) f (x) =
2x− 5√
2x2 + 8x
d) (1.5) f (x) =
√
x+ 3
2x2 − 8
e) (0.75) f(x) =
lnx
x2
f ) (1.5) f(x) =
√
x
ln (3x− 6)
g) (1.5) f(x) = 5
2
|x2 − 9|
h) (1) ♣ f (x) =

1
x+ 2
si − 3 ≤ x ≤ 0
lnx si 0 < x < 1
x− 2 si 1 < x ≤ 7
i) (0.75) ♣ f (x) = 1
cos
(
1
2x− 4
)
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