Funciones Resumen Teoría

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COLEGIO SANTA BERNARDITA 
TALCAHUANO 
ASIGNATURA/MATEMÁTICA 
CURSO/8-A/8-B 
PROFESORES: JORGE ILLANES PAREJA/OLGA MUÑOZ FUENTES 
 
 
 
MATEMATICA/OCTAVOS AÑOS/JIP/OMF/2020 
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Unidad II: Funciones 
TEMA: Función lineal 
 
Indicadores: 
➢ Elaboran las tablas y gráficos correspondientes, basados en ecuaciones de funciones lineales. 
➢ Representan la noción de función de manera concreta, pictórica o simbólica y las reconocen 
en distintas situaciones. 
➢ Determinan la pendiente de una recta a partir de dos puntos de su gráfica. 
 
ORIENTACIONES: 
1) Si tienes dudas puedes consultar los correos: jillanes@cosanber.cl 
omunoz@cosanber.cl 
2) El desarrollo de todas las guías enviadas debe ser desarrolladas en las 
hojas de cuadernillo y luego guardar la guía y el desarrollo en el 
portafolio de la asignatura 
3) Cuando vuelvas a clases se revisará y será retroalimentado. 
4) NO TE PREOCUPES SI COMETES UN ERROR, de los errores los 
seres humanos aprendemos más. 
 
 
 
 
I: FUNCIONES CRECIENTES, DECRECIENTES Y CONSTANTES. 
 
 El estudio de las funciones es amplio, y estudiar características relevantes se hace 
necesario para poder diferenciarlas. Observa las siguientes gráficas de algunas funciones. 
a) b) c) 
 
d) e) f) 
 
 
mailto:omunoz@cosanber.cl
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Clasifica las funciones anteriores en tres grupos: creciente, decreciente y constante, 
indicando la letra de cada gráfica en el recuadro 
 
Funciones crecientes 
Funciones decrecientes 
Funciones constantes 
 
 Una forma sencilla de saber si una función es creciente, decreciente o constante es 
imaginar una persona que se va moviendo de derecha a izquierda por encima de la función. 
 
 
 
Si esta personita va “subiendo”, la 
función es creciente. 
Vea el ejemplo de la izquierda. 
En el ejercicio anterior el gráfico a) y e) 
representan funciones crecientes. 
 
 
 
 Si esta persona va “bajando”, la función es 
decreciente 
Vea el ejemplo de la derecha 
En el ejercicio anterior el gráfico c) y d) representan 
funciones decrecientes. 
 
 
 
Si la personita camina horizontalmente sin subir ni 
bajar (paralela al eje x), entonces la función es 
constante. 
Vea el ejemplo de la izquierda 
En el ejercicio anterior el gráfico b) y f) representan 
funciones constantes. 
 
 
 
Recuerda estos conceptos, porque más adelante los utilizaremos para estudiar las funciones 
lineales y las situaciones que se puedan modelar con estas. 
 
 
NOTA: Si una personita sube y baja en una misma función, esta no es creciente ni 
decreciente, pero puedes determinar valores de 𝑥 para los cuales es creciente y valores 
𝑦 para los cuales es decreciente. 
 
Decreciente 
Creciente
te 
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II: FUNCIÓN LINEAL. 
 
 A continuación, retomaremos el ejemplo de la primera guía para relacionarlo con el 
concepto de función. 
 
“Como proyecto de una municipalidad se han instalado bicicletas 
estáticas para cargar teléfonos móviles. Por cada hora de pedaleo, a 
mediana velocidad se pueden cargar cuatro teléfonos” 
 
La siguiente tabla muestra la relación de horas de pedaleo y teléfonos cargados 
 
Horas de pedaleo 0 1 2 3 4 5 
Teléfonos cargados 0 4 8 12 16 20 
 
Considerando que 𝑥 corresponde a las horas de pedaleo y 𝑓(𝑥) a la cantidad de teléfonos 
cargados, determinaremos la función que modela esta situación. 
 
Como puedes observar, la cantidad de teléfonos cargados corresponde a 4 veces las horas 
de pedaleo, entonces podríamos escribir: 
𝑓(𝑥) = 4𝑥 
Donde 𝑥 es un número mayor o igual que cero, porque representa las horas de pedaleo 
(¿podrías pedalear -1 hora?). 
 
Ejemplo: 
 
Si una persona pedalea 10 horas, ¿cuántos teléfonos podría cargar? 
 
Datos Desarrollo Respuesta 
𝒇(𝒙) = 𝟒𝒙 
 
𝒙 = 𝟏𝟎 
(número de 
horas 
pedaleando) 
Reemplazamos 𝑥 por 10 
𝑓(10) = 4 ⋅ 10 
𝑓(10) = 40 
Como los 𝑓(𝑥) corresponden a 
los teléfonos cargados serán 40. 
R: Podría cargar 40 
teléfonos pedaleando 
10 horas. 
 
DESAFÍO 1: 
¿Cuántos teléfonos celulares se cargan si una persona pedalea 12,5 horas? 
 
 
 
 
REALICE LA PÁGINA 90 DE SU LIBRO DE TEXTO. 
Si no conoces las reglas de las 3R, puedes ver el siguiente video: https://youtu.be/u-
WwWuUh1jw 
https://youtu.be/u-WwWuUh1jw
https://youtu.be/u-WwWuUh1jw
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 El modelo que acabas de realizar en esta guía con 𝑓(𝑥) = 4𝑥 y el de la página 90 
𝑓(𝑥) = 3𝑥 corresponden a funciones lineales. 
 
Definición 
 
 
 
 
Ejemplo: 
 
Una panadería vende el kg de pan a $1.000. Para una gran reunión familiar necesitan 
comprar 3,5 kg de pan. ¿Cuánto dinero pagará por esa cantidad? 
 
Datos Desarrollo Respuesta 
Si 𝑓 es la función 
del precio del pan 
por kilo: 
𝑓(𝑥) = 1.000𝑥 
 
𝒙 = 𝟑, 𝟓 (kilos de 
pan) 
Reemplazamos 𝑥 por 3,5 
𝑓(3,5) = 1.000 ⋅ 3,5 
𝑓(3,5) = 3.500 
Como los 𝑓(𝑥) corresponden 
al precio del pan en pesos. 
R: Pagará $3.500 por 
3,5 kg de pan. 
 
En la guía anterior representaste funciones de distintos modos, y uno de los más útiles es a 
través de una gráfica. 
 
DESAFÍO 2: 
 
Construye la gráfica de la función anterior completando la tabla de valores y 
luego ubicando los pares de puntos encontrados en el plano cartesiano de la 
derecha. Finalmente une los puntos encontrados. 
 
 
 
Kg de 
pan x 
Precio 
del pan 
en pesos 
f(x)=y 
0 
1 
2 
3 
4 
5 
 
 
 
Una función lineal 𝒇 es una función que puede escribirse de la 
forma 𝒇(𝒙) = 𝒎 ⋅ 𝒙, con 𝒎 ≠ 𝟎. 
 
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La gráfica encontrada debe ser parecida a esta, pues el dominio son los números 𝑥 ≥ 0 
porque es imposible comprar −1𝑘𝑔 de pan, por ejemplo. 
 
 
Aunque si consideráramos a la función lineal 𝑓(𝑥) = 1000𝑥 completa (sin restricciones), 
esta se extendería para ambos lados. 
 
 
 
 
En el desarrollo anterior, notamos que 𝑓(𝑥) = 1.000𝑥, por lo tanto 𝑚 = 1.000. Este 𝑚 
recibe el nombre de coeficiente de variación o pendiente de la recta 
 
 
 
 
Ejemplo: 
 
Vuelve a mirar las 6 gráficas de la página 1 y completa esta tabla indicando las gráficas 
tienen pendiente positiva (𝑚 > 0) o negativa (𝑚 < 0) 
 
Pendiente positiva 𝒎 > 0 
Pendiente negativa 𝒎 < 𝟎 
 
 
 
 
 
Una función lineal 𝒇(𝒙) = 𝒎 ⋅ 𝒙, con 𝒎 ≠ 𝟎, corresponde a una 
recta que pasa por el origen 𝑶(𝟎, 𝟎). 
El gráfico dependerá del dominio o del conjunto considerado 
para graficarla. 
El valor de m representa la pendiente de la recta. Si 𝒎 > 𝟎 la 
recta es creciente, si 𝒎 < 𝟎 la recta es decreciente. 
La función constante tiene pendiente nula o su pendiente es igual 
a cero (𝒎 = 𝟎). (ver gráficas b y f de la página 1) 
Por lo tanto, no es una función lineal, ya que no cumple la 
definición. 
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III: PENDIENTE DE UNA RECTA 
 
 La pendiente de una recta (o el coeficiente de variación de una función) se puede 
determinar si se conocen dos puntos (𝑥1, 𝑦1) y(𝑥2, 𝑦2), que pertenecen a la gráfica de la 
función. Se calcula de la siguiente manera 
 
 
 
 
 
 
 
Ejemplo: 
 
Determina la pendiente de la recta según la siguiente gráfica de la función 𝑓 
 
 
 
En primer lugar, necesitamos determinar 2 puntos que pertenezcan a la gráfica. Podría ser 
el punto 𝐴, 𝐵 𝑜 𝐶 que están marcados en el dibujo, e incluso podríamos ocupar el 𝑂(0,0) 
porque la gráfica también pasa por el origen del sistema coordenado. 
 
Ocuparemos el punto 𝐵(4,3) y el punto 𝐴(8,6). Estos serán nuestros (𝑥1, 𝑦1) y (𝑥2, 𝑦2) 
𝑚 =
𝑦2 − 𝑦1
𝑥2 − 𝑥1
=
6 − 3
8 − 4
=
3
4
 
 
Por lo tanto, la pendiente de la recta será 𝑚 =
3
4
 
Y Como es una función lineal: 𝑓(𝑥) =
3
4
𝑥 
𝑚 =
Δ𝑦
Δ𝑥
=
𝑦2−𝑦1
𝑥2−𝑥1
, 𝑥1 ≠ 𝑥2 
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Los puntos que ocupes pueden ser cualquiera que pertenezca a la gráfica, lo único 
importante es mantener un orden. En el ejemplo anterior el punto 𝐵(4,3) se eligió como 
(𝑥1, 𝑦1), y el punto 𝐴(8,6) como (𝑥2, 𝑦2). 
 
DESAFÍO 3 
 
Calcula la pendiente de la recta ocupando los puntos 𝑨(𝟖, 𝟔) y C(−𝟑, −𝟒). Tu eliges 
cual de los dos es (𝒙𝟏, 𝒚𝟏) 𝐲 (𝒙𝟐, 𝒚𝟐). 
 
 
 
 
 
Calcula la pendiente de la recta ocupando el punto 𝑩(𝟒, 𝟑) y el punto 𝑶(𝟎, 𝟎). 
 
 
 
 
 
LOS 3 RESULTADOS DE LAS PENDIENTES DEBERÍAN DARTE 
3
4
 
 
 
 
 
 
 
Ejemplo 
 
Una auto eléctrico Nissan Leaf puede recorrer 250 km con una carga de batería de 5 horas 
(carga completa). En cambio, si la batería se carga solo 2 horas, la autonomía de este auto 
es de 100km. ¿Cuál es la función que modela la autonomía del auto según las horas de 
batería cargada? 
 
Para dar solución necesitaremos encontrar la pendiente 
 
Datos Desarrollo Respuesta 
Variable 
independiente X: 
horas de carga 
 
Variable dependiente 
Y: autonomía 
 
X Y 
5 250 
2 100 
 
Con los puntos (5,250) y 
(2,100) realizamos el cálculo de 
pendiente 
𝑚 =
250 − 100
5 − 2
=
150
3
= 50 
 
La función es lineal, porque al 
cargar 0 horas la batería, el 
auto NO se moverá (0km). 
R: 𝑓(𝑥) = 50𝑥 
Representa la 
autonomía, 
donde x es el 
número de horas 
cargadas. 
La pendiente para una recta es ÚNICA. Entonces cualquier par de 
puntos que utilices siempre te dará la misma pendiente 
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La gráfica de la situación anterior se muestra a continuación. 
La recta dibujada no es infinita, porque la batería no se puede cargar más de 5 horas ni 
menos 0 horas. 
 
 
 
 
IV: DETERMINAR SI UN PUNTO PERTENECE O NO A UNA FUNCIÓN 
 
 La gráfica anterior de 𝑓(𝑥) =
3
4
𝑥 es muy bonita, pero no podemos verla 
completamente. Si quisiéramos saber si el punto (12,10) pertenece a la gráfica de la función 
¿cómo podríamos averiguarlo? 
 
 Recuerda que (12,10) significa que 𝑥 = 12 e 𝑦 = 10, por lo tanto, si al reemplazar la 
𝑥 = 12 en la función 𝑓(𝑥) =
3
4
𝑥 se obtiene como resultado 10, el punto pertenece a la 
función, en cualquier otro caso, no pertenece. 
 
𝑓(12) =
3
4
⋅ 12 = 9 
Como el resultado da 9 y no 10, entonces el punto (12,10) no pertenece a la función. En 
cambio, el punto (12,9) sí pertenece (porque cumple la ecuación anterior). 
 
PÁGINAS DEL LIBRO DE TEXTO A TRABAJAR: 96, 97, 98, 99, 100 Y 
101 
 
 
 
Recuerda: “Perder la paciencia, es perder la batalla”