U1 pp 22 circunferencia

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Circunferencia
La circunferencia es una curva plana y cerrada tal que todos sus puntos están a igual distancia del centro.1 
Una circunferencia es el lugar geométrico de los puntos de un plano
que equidistan a otro punto llamado centro.
Distíngase de círculo, cuyo lugar geométrico que queda determinado por una circunferencia y la región del plano que encierra
esta.
Historia
Terminología frecuente
Perímetro
Área
Propiedades
Posiciones relativas respecto la circunferencia
Los puntos
Las rectas
Propiedades
Entre circunferencias
Propiedades
Ángulos en una circunferencia
Propiedades
Inscripción y circunscripción
Representación de la circunferencia
Ecuación de la circunferencia
Propiedades
Función paramétrica
Función paramétrica en el plano complejo
Función vectorial
Ecuación en coordenadas polares
Propiedad
Formas de identificar circunferencias
En topología
En ecuaciones diferenciales
En geometría diferencial de curvas
Circunferencias particulares
Circunferencias de Cardanus
Circunferencia directriz
Circunferencia osculatriz
Véase también
Índice
https://es.wikipedia.org/wiki/Lugar_geom%C3%A9trico
https://es.wikipedia.org/wiki/Punto_(geometr%C3%ADa)
https://es.wikipedia.org/wiki/Plano_(geometr%C3%ADa)
https://es.wikipedia.org/wiki/Equidistante
https://es.wikipedia.org/wiki/Centro_(Geometr%C3%ADa)
https://es.wikipedia.org/wiki/C%C3%ADrculo
Referencias
Enlaces externos
El interés por conocer la longitud de una circunferencia surge en Babilonia. Cuando usaban los carros con ruedas, era primordial
relacionar el diámetro o radio con la circunferencia.2 
Elementos relevantes de la circunferencia, heredados por el círculo:
El centro es el punto equidistante a todos los puntos de una circunferencia.
Señalado con el nombre en la figura.
Un radio es cualquier segmento que une el centro de la circunferencia con un punto
cualquiera de la misma. El radio también es la longitud de los segmentos del mismo
nombre. Señalado con el nombre en la figura.
Un diámetro es cualquier segmento que une dos puntos de la circunferencia
pasando por su centro. El diámetro también es la longitud de los segmento del
mismo nombre. Señalado con el nombre en la figura.
El perímetro es el contorno de la circunferencia y su longitud. Señalado con el nombre en la figura.
Una cuerda es cualquier segmento que une dos puntos de una
circunferencia. El diámetro es un cuerda de máxima longitud. Segmento
verde en la figura.
Un arco es cualquier porción de circunferencia delimitada por dos puntos
sobre esta. Se dice también que una cuerda subtiende cada arco que
determinan sus extremos. Línea curva azul en la figura.
Una flecha o sagita respecto una cuerda es el segmento de su mediatriz
que hay entre esta cuerda y el arco que determina esta, sin pasar por el
centro. Segmento rojo en la figura.
Una semicircunferencia es cualquier arco delimitado por los extremos de un diámetro.
La longitud de una circunferencia en función del radio o del diámetro es:
 
donde es la constante pi.
El área del círculo o de la región del plano delimitada por una circunferencia:
A = 
Historia
Terminología frecuente
Perímetro
Área
Propiedades
https://es.wikipedia.org/wiki/Babilonia
https://es.wikipedia.org/wiki/C%C3%ADrculo
https://es.wikipedia.org/wiki/Centro_(geometr%C3%ADa)
https://es.wikipedia.org/wiki/Radio_(geometr%C3%ADa)
https://es.wikipedia.org/wiki/Di%C3%A1metro
https://es.wikipedia.org/wiki/Per%C3%ADmetro
https://es.wikipedia.org/wiki/Cuerda_(geometr%C3%ADa)
https://es.wikipedia.org/wiki/Arco_(geometr%C3%ADa)
https://es.wikipedia.org/wiki/Cuerda_(geometr%C3%ADa)
https://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_pi
https://es.wikipedia.org/wiki/%C3%81rea
https://es.wikipedia.org/wiki/Archivo:RadioDiametro.svg
https://es.wikipedia.org/wiki/Archivo:ArcoFlechaCuerda.svg
Solo las rectas que contengan el centro de la circunferencia pueden ser un eje
de simetría de esta.
Los puntos de la circunferencia sobre cualquier perpendicular a las recta que pasa
por el centro son equidistantes a esta. Al construir un triángulo isósceles con dos
radios y la perpendicular queda probado que son equidistantes a la recta que ahora
se le puede llamar recta de simetría.
Las circunferencias son invariantes a cualquier rotación con el eje en el centro
de esta circunferencia.
Trivial después de entender que los radios sufren una rotación, por tanto, no
modifican su longitud ni su origen común, ya que se trata de un desplazamiento del
plano y por tanto una isometría.
Véase también: Posiciones relativas en el círculo
Posiciones de los puntos respecto de la circunferencia:
Un punto exterior es el que está a una distancia mayor al radio de la circunferencia respecto
la posición de su centro.
Un punto interior es el que está a una distancia menor al radio de la circunferencia respecto
la posición de su centro.
Posiciones de las rectas respecto de la circunferencia:
Una recta exterior es cualquier recta que no tiene puntos en común con la
circunferencia.
Una recta tangente es cualquier recta que toca la circunferencia en un único punto.
Una recta secante es cualquier recta que corta la circunferencia en dos puntos.3 
Se llama punto de tangencia cada uno de los puntos que comparte la circunferencia con los
diferentes elementos tangentes, es decir, el punto donde se produce la tangencia. En todo punto de
la circunferencia se pueden hacer tangencias.
Toda recta tangente a una circunferencia es perpendicular al radio que
contiene el punto de tangencia.
Por reducción al absurdo, se puede suponer que no es perpendicular, por tanto, se
puede construir un triángulo isósceles con otro radio, probando así que hay otro
punto de tangencia diferente al primero y como este debería ser único implica la
negación de que no sean perpendiculares y por tanto es un ángulo recto.
Posiciones entre circunferencias:
Una circunferencia es exterior a otra, si todos sus puntos son exteriores a esta otra. Véase la figura 1 y 8.
Una circunferencia es interior a otra, si todos sus puntos son interiores a esta otra. Véase la figura 5.
Posiciones relativas respecto la circunferencia
Los puntos
Las rectas
Propiedades
Entre circunferencias
https://es.wikipedia.org/wiki/C%C3%ADrculo#Posiciones_relativas_respecto_el_c%C3%ADrculo
https://es.wikipedia.org/wiki/Recta_tangente
https://es.wikipedia.org/wiki/Recta_secante
https://es.wikipedia.org/wiki/Archivo:PosicionPuntoRCircunferencia.svg
https://es.wikipedia.org/wiki/Archivo:Rectas_y_circunferencias_01.svg
Una circunferencia es circundante a otra, si todos sus puntos no son
interiores a esta otra que a su vez no es exterior a la primera. Véase las
figuras 7 y 8.
Una circunferencia es tangente exterior a otra, si tienen un único punto
común y todos los demás puntos de una son exteriores a la otra. Véase la
figura 2.
Una circunferencia circundante es tangente exterior a otra, si tienen un único
punto común. Véase la figura 7.
Una circunferencia es tangente interior a otra, si tienen un único punto
común y todos los demás puntos de una son interiores a la otra. Véase la
figura 4.
Una circunferencia es secante a otra, si se cortan en dos puntos distintos.
Véase la figura 3.
Una circunferencia es secante ortogonalmente a otra, si el ángulo de su
intersección es recto, es decir, sus rectas tangentes en cada una de las
intersecciones son perpendiculares.
Son excéntricas las circunferencias que no tienen el mismo centro.
Son concéntricas las circunferencias que tienen el mismo centro, es decir,
las que no son excéntricas.
Son coincidentes las circunferencias que tienen el mismo centro y el mismo
radio, es decir, que todos los puntos de una son los de la otra y viceversa. Véase la figura 6.
Los centros de las circunferencias tangentes están alineados con el punto de
tangencia.
Como la recta tangente en el punto es perpendicular al radio, implica que todos los
radios son perpendiculares a dicha recta tangente en el mismo punto, es decir, todos
los centros están alineados.
Posición de los ángulos respecto de una circunferencia,puede ser:
Un ángulo central es el que tiene su vértice en el centro de la
circunferencia.4 Véase la figura 1.
Un ángulo inscrito es el que tiene su vértice sobre la circunferencia cuyos
lados determinan una cuerdas cada uno en la dicha circunferencia.4 Véase
la figura 2.
Un ángulo semi-inscrito es el que tiene su vértice sobre la circunferencia y
uno de sus lados secantes determina una cuerda y el otro una recta
tangente a la circunferencia, es decir, que el vértice es un punto de
tangencia.4 Véase la figura 3.
Un ángulo ex-inscrito es el que tiene su vértice sobre la circunferencia y
uno de sus lados determina una cuerda y la prolongación del otro determina
otra cuerda, es decir, es el ángulo exterior de un ángulo inscrito.5 Véase la
figura 4.
Un ángulo interior es el que tiene su vértice en el interior de la
circunferencia.4 Véase la figura 5.
Un ángulo exterior es el que tiene su vértice en el exterior de la
circunferencia y cada lado es tangente o secante a la circunferencia.4 
Véanse las figuras 6,7 y 8.
Propiedades
Ángulos en una circunferencia
Propiedades
https://es.wikipedia.org/wiki/%C3%81ngulo_central
https://es.wikipedia.org/wiki/%C3%81ngulo_inscrito
https://es.wikipedia.org/wiki/%C3%81ngulo_exterior_de_un_pol%C3%ADgono
https://es.wikipedia.org/wiki/%C3%81ngulo_exterior_a_una_circunferencia
https://es.wikipedia.org/wiki/Archivo:PosicionesCircunferencias.svg
https://es.wikipedia.org/wiki/Archivo:PosicionesAngulos.svg
En el ángulo central su amplitud y el radio de la circunferencia, determina la longitud del arco 
 resaltado en la figura en azul. Si el ángulo está en grados:
 
El ángulo central indica qué fracción de circunferencia que tiene el arco, así, si 
 entonces:
Es decir, el arco es directamente proporcional al ángulo central, y que simplificando
queda la fórmula buscada.
Si el ángulo está en radianes:
 
El arco capaz relaciona el ángulo central, inscrito, semi-inscrito y ex-inscrito siempre que las
intersecciones de los lados mantengan la misma distancia.
Si el ángulo inscrito, semi-inscrito y ex-inscrito tienen la misma amplitud , entonces, determinan
la misma longitud de arco, de color azul en la imagen, sobre una misma circunferencia de radio .
Si el ángulo está en grados:
 
Como el ángulo central mide el doble que el ángulo inscrito, semi-inscrito y ex-
inscrito, este hecho se sustituye en la fórmula usada en el ángulo central quedando:
Simplificando queda la fórmula buscada.
Si el ángulo está en radianes:
 
Diversos tipos de ángulos aparecen en el análisis de la potencia de un punto respecto de una circunferencia.
Diremos que una circunferencia está circunscrita a un polígono cuando todos los vértices de dicho polígono están sobre esta, se
dice que este polígono está inscrito.
Diremos que una circunferencia está inscrita a un polígono cuando sea tangente a todos los lados de dicho polígono, se dice que
este polígono está circunscrito.
Inscripción y circunscripción
Representación de la circunferencia
https://es.wikipedia.org/wiki/Arco_capaz
https://es.wikipedia.org/wiki/Potencia_de_un_punto
https://es.wikipedia.org/wiki/Circunferencia_circunscrita
https://es.wikipedia.org/wiki/Figura_inscrita
https://es.wikipedia.org/wiki/Figura_inscrita
https://es.wikipedia.org/wiki/Archivo:AnguloCentralSimple.svg
https://es.wikipedia.org/wiki/Archivo:RelacionAngulos.svg
La circunferencia se puede representar mediante ecuaciones o funciones que determinan la posición de cada uno de sus puntos.
Para ello solo hace falta garantizar que la distancia de cada punto de la circunferencia a su centro sea constante para cada
una de las ecuaciones y funciones que se tenga.
Una circunferencia queda determinada por un centro y un
radio , por tanto, su ecuación queda determinada al imponer que la
distancia de sus puntos, , al centro sea constante, es decir, 
 dando la siguiente ecuación:6 7 
Su representación en un sistema de coordenadas viene dada por cada punto
de la forma que satisfacen la ecuación.
La ecuación anterior es más sencilla si está centrada en el origen de
coordenadas 
La circunferencia de centro en el origen de coordenadas y radio uno se
denomina circunferencia unidad o circunferencia goniométrica y su
ecuación es:8 9 10 11 12 
Su función implícita es y para representar la circunferencia se buscan los puntos del plano que cumplen
la ecuación 
Es posible usar cuadratura para hallar la ecuación de la circunferencia a partir de su ecuación extendida:
Aplicando cuadratura a y se deduce que:
y por tanto de donde:
A partir de los puntos extremos de un diámetro, y , la ecuación de la circunferencia es:
Ecuación de la circunferencia
circunferencia de radio dos en un sistema
de coordenadas
Propiedades
https://es.wikipedia.org/wiki/Coordenadas_cartesianas
https://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%C3%B3n
https://es.wikipedia.org/wiki/Origen_de_coordenadas
https://es.wikipedia.org/wiki/Circunferencia_unidad
https://es.wikipedia.org/wiki/Circunferencia_goniom%C3%A9trica
https://es.wikipedia.org/wiki/Archivo:Cartesian-coordinate-system-with-circle.svg
Solo hace falta extender el producto de la ecuación dada para identificar la
circunferencia:
 
Finalmente se debe observar que los dos puntos anulan la ecuación y probar que el
punto medio es el centro.
La circunferencia con centro en y radio se puede parametrizar usando funciones trigonométricas de un solo
parámetro para obtener una función paramétrica 
 
También se puede parametrizar con funciones funciones racionales como
 
Primero se utiliza un haz de rectas del tipo para proyectar los valores de 
sobre la recta vertical que serán de la forma y proyectando serán de la
forma .
Si se sustituye sobre la circunferencia unidad
 nos dará la intersección
de la proyección sobre esta circunferencia y
por tanto los puntos de esta
paramétricamente:
 
finalmente sustituyendo sobre el haz y arreglando las fracciones queda 
donde incluye el punto en el infinito.13 
En el plano complejo, una circunferencia con centro y radio a partir de la ecuación de la circunferencia 
 se obtiene la forma paramétrica:14 15 
 
donde 
Función paramétrica
Proyección sobre recta
horizontal.
Función paramétrica en el plano complejo
https://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%C3%B3n_param%C3%A9trica
https://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_racional
https://es.wikipedia.org/wiki/Punto_en_el_infinito
https://es.wikipedia.org/wiki/Plano_complejo
https://es.wikipedia.org/wiki/Archivo:Estereogr%C3%A1fica1D.gif
Como en la función paramétrica, la circunferencia puede representarse en cualquier subespacio de dimensión dos de un espacio
vectorial usando dos vectores ortonormales y , y por tanto generadores de dicho subespacio, permitiendo construir la
circunferencia en cualquier plano oblicuo con centro y radio que viene dada o descrita por la función vectorial:
 donde 
Toda curva plana dada en coordenadas polares es de la forma 
 donde es la distancia al centro o polo y 
el ángulo respecto el eje OX, por tanto la expresión de una circunferencia
con centro en el polo y radio es:
 
La curva tiene que cumplir la ecuación:
Es decir:
De donde se deduce que 
Cuando el centro está en el punto con radio la circunferencia es:
Función vectorial
Ecuación en coordenadas polares
Circunferencia unitaria.
https://es.wikipedia.org/wiki/Espacio_vectorial
https://es.wikipedia.org/wiki/Coordenadas_polares
https://es.wikipedia.org/wiki/Archivo:Unit_circle_es.svg
https://es.wikipedia.org/wiki/Circunferencia_unitaria
 donde 
Extendiendo la ecuación de la
circunferencia:
 
 
Se hace el cambio y y se simplifica como:
 
Finalmente se toma la raíz positiva para que El polo no puede ser exterior
a la circunferencia por que el dominio del parámetro no queda definido
continuamente en la parametrización.
Dados tres puntos cualesquiera no alineados y existe una única circunferencia que
contiene a estos tres puntos, es decir, esta circunferencia estará circunscrita al triángulo definidopor estos
puntos. La ecuación de la circunferencia está dada de por el determinante matricial:
Según el área que se trabaje, hay formas de identificar y usar una circunferencia implícitamente, además de sus funciones y
ecuaciones.
En topología, se denomina circunferencia a cualquier curva cerrada simple que sea homeomorfa a la circunferencia usual de la
geometría (es decir, la esfera 1–dimensional). Se la puede definir como el espacio cociente determinado al identificar como uno
los dos extremos de un intervalo cerrado. Sin embargo, los geómetras llaman 2-esfera a la circunferencia, mientras que los
topólogos se refieren a ella como 1-esfera y la indican como , dando lugar a posibles confusiones.16 
La dimensión de la circunferencia es 1. De igual modo, la dimensión de una recta no acotada, o de un arco — esto es de un
conjunto homeomorfo con un intervalo cerrado — y de una curva cerrada simple, i.e. un conjunto homeomorfo con una
circunferencia, es igual a 1.17 También el caso de una poligonal cerrada.
Propiedad
Formas de identificar circunferencias
En topología
https://es.wikipedia.org/wiki/Topolog%C3%ADa
https://es.wikipedia.org/wiki/Homeomorfismo
https://es.wikipedia.org/wiki/Espacio_cociente_(topolog%C3%ADa)
https://es.wikipedia.org/wiki/Intervalo_(matem%C3%A1tica)
https://es.wikipedia.org/wiki/2-esfera
https://es.wikipedia.org/wiki/Archivo:CircunferenciaPolar.svg
En el tema de ecuaciones diferenciales, una circunferencia puede determinarse mediante una curva integral de una ecuación
diferencial como:
En teoría local de la curva, se considera como circunferencia una curva de curvatura constante sin torsión.
Un par de circunferencias que se desplazan, tangencial e interiormente, una sobre la otra guardando una razón entre sus radios de
1:2. Investigadas, originalmente, por el matemático italiano, Girolamo de Cardano18 
Usada en una alternativa definitoria de la elipse y de la hipérbola. Siendo estas el lugar de los centros de las circunferencias
tangentes a la llamada circunferencia directriz.18 
Al tratar de la curvatura de una curva o de una superficie, en el punto de contacto, además de la tangente se toma en cuenta la
circunferencia de la curvatura, llamada circunferencia osculatriz18 19 
Círculo
Disco (topología)
Circunferencia de Apolonio
3-esfera | n-esfera
Sección cónica
Elipse | Parábola | Hipérbola
Teorema segundo de Tales
1. Real Academia Española y Asociación de
Academias de la Lengua Española (2014).
«Circunferencia» (http://dle.rae.es/circunferencia).
Diccionario de la lengua española (23.ª edición).
Madrid: Espasa. ISBN 978-84-670-4189-7.
2. Boyer: Historia de la matemática
3. De forma muy particular y para facilitar explicaciones
didácticas en diferentes libros es posible encontrar
por recta radial o recta diametral a las rectas que
contienen al centro, un diámetro o un radio de una
circunferencia.
4. RACEFN, ed. (1999). Diccionario Esencial de las
Ciencias. Editorial Espasa Calpe, S.A. p. 61. ISBN 84-
239-7921-0.
5. Dibujo técnico I Escrito por CESAR CALAVERA OPI,
ISABEL JIMENEZ RUIZ, pg 52
6. Haaser, La Salle, Sulivan: Análisis Matemático I
En ecuaciones diferenciales
En geometría diferencial de curvas
Circunferencias particulares
Circunferencias de Cardanus
Circunferencia directriz
Circunferencia osculatriz
Véase también
Referencias
https://es.wikipedia.org/wiki/C%C3%ADrculo
https://es.wikipedia.org/wiki/Disco_(topolog%C3%ADa)
https://es.wikipedia.org/wiki/Circunferencia_de_Apolonio
https://es.wikipedia.org/wiki/3-esfera
https://es.wikipedia.org/wiki/N-esfera
https://es.wikipedia.org/wiki/Secci%C3%B3n_c%C3%B3nica
https://es.wikipedia.org/wiki/Elipse
https://es.wikipedia.org/wiki/Par%C3%A1bola_(matem%C3%A1tica)
https://es.wikipedia.org/wiki/Hip%C3%A9rbola
https://es.wikipedia.org/wiki/Teorema_de_Tales#Segundo_teorema
https://es.wikipedia.org/wiki/Real_Academia_Espa%C3%B1ola
https://es.wikipedia.org/wiki/Asociaci%C3%B3n_de_Academias_de_la_Lengua_Espa%C3%B1ola
http://dle.rae.es/circunferencia
https://es.wikipedia.org/wiki/Diccionario_de_la_lengua_espa%C3%B1ola
https://es.wikipedia.org/wiki/Editorial_Espasa
https://es.wikipedia.org/wiki/ISBN
https://es.wikipedia.org/wiki/Especial:FuentesDeLibros/978-84-670-4189-7
https://es.wikipedia.org/wiki/ISBN
https://es.wikipedia.org/wiki/Especial:FuentesDeLibros/84-239-7921-0
https://es.wikipedia.org/wiki/Geometr%C3%ADa_diferencial_de_curvas
 Wikimedia Commons alberga una categoría multimedia sobre círculos y circunferencias.
 Wikiversidad alberga proyectos de aprendizaje sobre Circunferencia.
Ejercicios resueltos y video tutoriales sobre la circunferencia (http://www.wikimatematica.org/index.php?title=La_
circunferencia)
Círculo y circunferencia, en Descartes. Centro Nacional de Información y Comunicación Educativa. Ministerio
de Educación, Política Social y Deporte de España (http://descartes.cnice.mec.es/materiales_didacticos/poligon
os_areas_dbc/2.htm)
Materiales didácticos: Circunferencia, en Descartes (http://descartes.cnice.mec.es/materiales_didacticos/Circunf
erencia/La%20circunferencia.htm)
Círculo y circunferencia en webdelprofesor.ula.ve, de la Universidad de Los Andes, Venezuela (http://webdelpr
ofesor.ula.ve/nucleotrujillo/alperez/teoria/cap_01a-conceptos_geometricos/05-superficie.htm)
Weisstein, Eric W. «Circunferencia "Circumference" » (http://mathworld.wolfram.com/Circumference.html). En
Weisstein, Eric W. MathWorld (en inglés). Wolfram Research.
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7. Segun la especialización del libro consultado, la
barra simple o la doble barra vertical representa la
distancia, en este caso corresponde a la distancia
euclidiana donde la distancia entre dos puntos es 
 
8. "Introducción a la geometría" Eugenio Roanes
Macías. Anaya editorial. 1.ª ed, 1980. ISBN 84-207-
1478-X
9. "Geometría Diferencial" Antonio López de la Rica,
Agustín de la Villa Cuenca. 1997. ISBN 84-921847-3-
6
10. "Geometría analítica del plano y del espacio". Jesús
M. Ruiz. Anaya, 1.ª ed, 2003. ISBN 84-667-2612-8
11. "Cálculus" (Volumen I). Tom M. Apostol. Segunda
edición, 1991. Editorial Reverté, S.A. ISBN 84-291-
5002-1
12. "Cálculo" (Volumen I) Ron Larson, Robert P.
Hostetler, Bruce H. Edwards. McGraw-Hill, Octava
edición, 2006. ISBN 970-10-5274-9
13. Geometría analítica de Pastor, Santaló y Balanzat,
página 76.
14. es una función analítica, usada para describir
regiones circulares en plano complejo como arcos de
circunferencias alrededor de un punto, por tanto,
frecuente en diversa bibliografía de análisis.
15. Weinberger, Hans F. (1992). Ecuaciones
diferenciales en derivadas parciales (Dr. D. Francisco
Vélez Cantarell, trad.) [Partial differential equations].
Ed Reverté, S.A. pp. a partir de la gágina 215.
ISBN 84-291-5160-5.
16. Weisstein, Eric W. «Circle» (http://mathworld.wolfra
m.com/Circle.html). En Weisstein, Eric W. MathWorld
(en inglés). Wolfram Research. Consultado el 2016.
17. Kazimierz Kuratowski: Introducción a la teoría de
conjuntos y a la topología, Editorial Vicens Vives,
Barcelona, España, 1966
18. Diccionarios RIODUERO. Matemáticas. ISBN 84-
220-0832-7
19. Cf. Barrett O'Neill. Elementos de Geometría
Diferencial pág. 80 Limusa Wiley
Enlaces externos
https://es.wikipedia.org/wiki/Wikimedia_Commons
https://commons.wikimedia.org/wiki/Category:Circle_geometry
https://es.wikipedia.org/wiki/Wikiversidad
https://es.wikiversity.org/wiki/Circunferencia
http://www.wikimatematica.org/index.php?title=La_circunferencia
http://descartes.cnice.mec.es/materiales_didacticos/poligonos_areas_dbc/2.htm
http://descartes.cnice.mec.es/materiales_didacticos/Circunferencia/La%20circunferencia.htmhttp://webdelprofesor.ula.ve/nucleotrujillo/alperez/teoria/cap_01a-conceptos_geometricos/05-superficie.htm
https://es.wikipedia.org/wiki/Eric_W._Weisstein
http://mathworld.wolfram.com/Circumference.html
https://es.wikipedia.org/wiki/MathWorld
https://es.wikipedia.org/wiki/Wolfram_Research
https://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Circunferencia&oldid=118721797
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https://es.wikipedia.org/wiki/Especial:FuentesDeLibros/9701052749
https://es.wikipedia.org/wiki/Luis_Santal%C3%B3
https://es.wikipedia.org/wiki/Manuel_Balanzat
https://es.wikipedia.org/wiki/ISBN
https://es.wikipedia.org/wiki/Especial:FuentesDeLibros/84-291-5160-5
https://es.wikipedia.org/wiki/Eric_W._Weisstein
http://mathworld.wolfram.com/Circle.html
https://es.wikipedia.org/wiki/MathWorld
https://es.wikipedia.org/wiki/Wolfram_Research
https://es.wikipedia.org/wiki/Especial:FuentesDeLibros/8422008327