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51 Progresiones Geométricas de Oro Juárez, G. A.; Navarro, S. I. 
 
 
 
 
Progresiones Geométricas de Oro 
 
Juárez, Gustavo Adolfo; Navarro, Silvia Inés 
 
 
Facultad de Ciencias Exactas y Naturales, Universidad Nacional de 
Catamarca. Avda. Belgrano 300. (4700) Catamarca. 
silvinafacen@yahoo.com.ar 
 
 
Fecha de presentación:30/03/2012 
Fecha de aceptación:11/06/2012 
 
 
Resumen 
Las sucesiones de Fibonacci y de Lucas forman parte de un 
conjunto más general al que nos referiremos en este artículo. En 
ellas se observa un comportamiento análogo entre ambas, 
consecuencia de ser soluciones de una misma ecuación pero con 
condiciones iniciales distintas. Tal ecuación es una ecuación en 
diferencias finitas y junto a los dos valores iniciales determinan un 
problema con valor inicial discreto de segundo orden homogéneo 
con coeficientes unitarios diferenciados solamente por sus dos 
valores iniciales dados. Estos problemas tienen como soluciones 
sucesiones recurrentes. Las identidades entre elementos de ambas 
 
 
52 Progresiones Geométricas de Oro Juárez, G. A.; Navarro, S. I. 
sucesiones arriba citadas es por demás conocidas, aquí 
pretendemos extender las mismas a elementos de otras sucesiones 
más generales a las que llamaremos Progresiones Geométricas de 
Oro. 
 
Palabras Clave: Número de Fibonacci; Número de Lucas; 
Ecuaciones recurrentes; Ecuaciones en diferencias; Progresiones 
geométricas. 
 
 
Gold Geometric Progressions 
 
 
Abstract 
The sequences of Fibonacci and Lucas are part of a larger body to 
which we refer in this article. They show a similar behavior 
between the two, due to be solutions of the same equation but with 
different initial conditions. This equation is a finite difference 
equation with two initial values determines an initial value 
problem of second order discrete homogeneous unit rates 
differentiated only by their given two initial values. These 
problems are recurring sequences as solutions. The identities 
between elements of both sequences mentioned above is known 
other, here we intend to extend them to other elements of more 
general sequences which we will call Gold Geometric Progressions 
 
Keywords: Fibonacci number; Lucas number; Recurrent 
equations; Difference equations; Geometric progressions. 
 
 
 
 
 
 
 
53 Progresiones Geométricas de Oro Juárez, G. A.; Navarro, S. I. 
Introducción 
 
Ecuaciones en Diferencias 
 Siendo { }nx una sucesión se entiende por Ecuación en 
Diferencias a toda ecuación que relaciona términos de esa sucesión 
[4]. 
 Así, las siguientes son Ecuaciones en Diferencias, (en 
adelante EED): 
nxxx nnn 2853 12 =+− ++ , 
7325
3
2 23
1 ++−=−+ nnnxx nn , 
032 24 =+− ++ nnn xxx 
 La primera de ellas es de segundo orden, la siguiente de 
primer orden y la última de cuarto orden. Es decir, entendemos 
por orden a la máxima diferencia entre los subíndices de los 
términos de la sucesión presente en la ecuación. 
 Además la última se dice homogénea mientras que las 
otras no. Esto es, que una vez ubicados los términos que contiene 
a elementos de una sucesión en un miembro si se iguala a cero es 
homogéneo, en caso contrario no homogéneo. 
 En todos los casos se consideró coeficientes constantes y 
ecuaciones lineales, tal linealidad está en las incógnitas de la 
ecuación, o sea en los términos de la sucesión. Resolver una EED 
es hallar la sucesión que satisface tal ecuación. 
 Nos detendremos en las ecuaciones de segundo orden, 
por ser el interés de este trabajo, para las cuales resolver requiere 
 
 
54 Progresiones Geométricas de Oro Juárez, G. A.; Navarro, S. I. 
de una ecuación auxiliar denominada ecuación característica, la 
cual es algebraica de segundo grado en una incógnita con idénticos 
coeficientes de la EED dada. La solución de la ecuación algebraica 
son dos números no necesariamente distintos, denominados raíces 
características. Tales raíces permiten formar la solución de la 
EED, como una combinación lineal de potencias enésimas de tales 
raíces para el caso de raíces características. En el caso de raíces 
características iguales la combinación lineal se realiza entre esa 
raíz y un múltiplo de ella, [1], [4], [7]. 
 Entonces, dada una ecuación en diferencias lineal con 
coeficientes constantes de segundo orden homogénea 
012 =++ ++ nnn bxaxx , con 0≠b , la ecuación característica es 
02 =++ baxx . Las raíces características la indicaremos con 1ρ y 2ρ . 
La solución de la EED se expresa como: nnn CCx 2211 ρρ += si las raíces 
características son distintas, y ( ) nn nCCx ρ21 += , si ambas raíces 
características son iguales, indicándolas con ρ . 
 Por ejemplo la EED 0107 12 =+− ++ nnn xxx , tiene raíces 
características distintas, ellas son 2 y 5 y la sucesión solución es 
nn
n CCx 52 21 += . Mientras que la EED 0168 12 =+− ++ nnn xxx tiene la 
raíz doble 4, y la solución es la sucesión ( ) nn nccx 421 += . 
 
 
 
 
 
 
 
 
55 Progresiones Geométricas de Oro Juárez, G. A.; Navarro, S. I. 
Desarrollo 
 
Problemas con valores inicial discreto 
 Obtener la sucesión solución de una ecuación en 
diferencias implica hallar una expresión que contiene tantas 
constantes como el orden de la ecuación, de esa manera la solución 
no es única [4], [5]. La unicidad la obtenemos si tales constantes 
toman un valor definido. Para ello debemos conocer los valores 
iniciales de la sucesión. Para una ecuación en diferencias de 
segundo orden necesitamos dos valores iniciales. Una EED con 
valores iniciales dados se denomina Problema con Valor Inicial 
Discreto (en adelante PVID), donde su solución es una sucesión 
única cuya representación no contiene constantes. 
 Por ejemplo, podemos citar los siguientes PVID: 
⎩
⎨
⎧
+−=−
=
+ 523
4
2
1
0
nnxx
x
nn
 
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=−
=
=
+ 2
5
3
2
1
0
nn xx
x
x
 
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
=+−
=
=
==
++ 02
4
3
1
34
3
2
10
nnn xxx
x
x
xx
 
 
 El primero de los ejemplos contiene una EED de primer 
orden y por lo tanto una condición inicial. En el segundo, el 
problema con valor inicial tiene una EED de segundo orden y dos 
valores iniciales. Obsérvese que la EED no contiene todos los 
términos. Mientras que el tercer problema es de cuarto orden y 
por ello tiene cuatro valores iniciales. 
 De esta manera la solución que se obtiene en un PVID es 
particular, o sea, carece de constantes. 
 
 
56 Progresiones Geométricas de Oro Juárez, G. A.; Navarro, S. I. 
 Para los PVID anteriores las soluciones son las 
sucesiones: 
...,13,7,4,3,1,1:
...,7,7,5,5,3:
....,182,57,17,4:
n
n
n
x
x
x
 
 
 
Temporada de conejos: Sucesión de Fibonacci 
 El problema con valor inicial discreto que primero saltó 
a la fama fue el de los conejos, y se le atribuye a Leonardo de Pisa. 
Este gran matemático escribió su majestuosa obra Liber abaci 
(1202), el cuál es un libro histórico sobre aritmética, que tiene dos 
traducciones comunes, El libro del ábaco o El libro del cálculo [3], 
[10]. Con este trabajo, introduce a Europa los números arábigos, 
un elemento importantísimo en nuestro sistema decimal, el cual 
había aprendido cuando estudió con los árabes mientras vivía en el 
norte de África con su padre, Guglielmo. 
 
 
 
 
57 Progresiones Geométricas de Oro Juárez, G. A.; Navarro, S. I. 
 
Leonardo de Pisa, inmortalizado como Fibonacci 
 
 
 El apodo de Guglielmo (Guillermo), padre de Leonardo, 
era Bonacci (simple o bien intencionado). Leonardo recibió 
póstumamente el apodo de Fibonacci (por filius Bonacci, hijo de 
Bonacci). Guglielmo dirigía un puesto de comercio en Bugía (según 
algunas versiones era el cónsul de Pisa), en el norte de África (hoy 
Argelia), y de niño Leonardo viajó allí para ayudarlo en donde 
aprendió el sistema de numeración árabe. A Leonardo se lo conoce 
entonces por Leonardo de Pisa, Leonardo Pisano o Leonardo 
Bigollo, este último, nombre que adquirió mientras formaba 
parte de la Corte delEmperador Federico II, en la República de 
Pisa, sin embargo como Fibonacci paso a la inmortalidad. 
 El problema de los conejos dado por Fibonacci en Liber 
Abacci, plantea las siguientes condiciones [10]. 
 Supongamos que: 
 
 
58 Progresiones Geométricas de Oro Juárez, G. A.; Navarro, S. I. 
• Se coloca un par de conejos en un recinto el primer 
día de enero, 
• Este par produce otro par de conejos el primero de 
febrero y el primer día de cada uno de los meses 
siguientes, 
• Cada nuevo par de conejos madura en un mes y 
produce un nuevo par de conejos en el primer día 
del siguiente mes de vida y en el primer día de cada 
uno de los meses siguientes. 
 
 Con lo cuál debemos distinguir dos grupos de conejos, los 
adultos y los recién nacidos, se los indicaremos con las sucesiones 
iA y iB respectivamente, correspondientes al i-ésimo mes. Las dos 
sucesiones tienen sus primeros elementos: 
:iA 1, 1, 2, 3, 5, ..... :iB 0, 1, 1, 2, 3, .... 
 De ambas se propone una nueva sucesión iT , que indica 
la cantidad total de conejos para idéntico tiempo, o sea es la suma: 
iii BAT += . 
 Por otro lado podemos observar que nn AB =+1 para 1≥n y 
que 112 +++ += nnn BAA , con lo que en términos de los conejos adultos 
se tiene: nnn AAA += ++ 12 para 1≥n . A ésta sucesión se la denomina 
Sucesión de Fibonacci: 
nn AF = . 
 Hasta aquí el subíndice de la sucesión de Fibonacci se 
inicia en uno. En consecuencia 11 −− == nnn FAB para 2≥n . Si 
 
 
59 Progresiones Geométricas de Oro Juárez, G. A.; Navarro, S. I. 
hacemos 1=n , tenemos 01 FB = , definiendo el primer término de 
Fibonacci y quedando la ecuación recurrente de la sucesión 
11 −+ += nnn FFF , como ecuación generadora de los restantes términos 
a partir de los dos valores iniciales, 00 =F y 11 =F . 
 Ambas expresiones definen a la sucesión de Fibonacci 
mediante el PVID siguiente: 
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
≥+=
=
=
−+ 1;
1
0
11
1
0
nFFF
F
F
nnn
 
 También conocida como definición recurrente de la 
sucesión de Fibonacci. 
 Como la solución de la ecuación en diferencias del PVID 
se expresa generalmente en términos de las raíces características 
2
51+
=α y 
2
51−
=β , 
la sucesión se puede escribir como 
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛ −
−⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛ +
=
nn
nF 2
51
2
51
5
1
 para 1≥n . 
Expresión conocida como Fórmula de Binet, en homenaje al 
matemático francés Jacques-Phillipe-Marie Binet (1786-1856), y 
que en término de las raíces características se expresa como: 
βα
βα
−
−
=
nn
nF . 
 La primera raíz característica, α se conoce como el 
Número de Oro, y se representa con Φ , que es un número 
 
 
60 Progresiones Geométricas de Oro Juárez, G. A.; Navarro, S. I. 
irracional y se lo estudia en la razón áurea de un segmento y en el 
rectángulo áureo. 
 Como α=Φ , podemos hallar otra representación de la 
sucesión de Fibonacci en la forma de Binet. Para ello primero 
presentemos algunas identidades de las raíces características, esto 
es: 
 1. 1=+ βα 5. 12 += ββ 
 2. 5=− βα 6. 322 =+ βα 
 3. 1−=⋅ βα 7. βαβα −=− 22 
 4. 12 +=αα 8. 122 =⋅ βα 
 
 La forma de Binet se expresa en términos del número 
áureo como 
( )
12
1
−Φ
Φ−−Φ
=
nn
nF 
 
 
Y Lucas... y Lucas... y Lucas 
 Esta expresión clásica en el pato Lucas Armando, por 
estar siempre después de Bugs Bunny [2], parece llevarnos a la 
segunda sucesión más conocida, que parte de un PVID con igual 
EED pero con valores iniciales distintos. De allí que la solución 
general es la misma en ambas sucesiones pero los valores iniciales 
la diferencian de la anterior, es decir de la sucesión de Fibonacci. 
 
 
61 Progresiones Geométricas de Oro Juárez, G. A.; Navarro, S. I. 
 Antes, aclaremos quien es nuestro Lucas, no nos 
referimos al personaje de los dibujos animados sino a François 
Édouard Anatole Lucas (Amiens, 4 de abril de 1842-París, 3 de 
octubre de 1891), quién fue un reconocido matemático francés. 
 
 
 
François Lucas, matemático francés 
 
 
 Trabajó en el observatorio de París y más tarde fue 
profesor de matemáticas en la capital del Sena, [3], [8]. Se le 
conoce sobre todo por sus trabajos sobre la sucesión de Fibonacci y 
por el test de primalidad que lleva su nombre, pero también fue el 
inventor de algunos juegos recreativos matemáticos muy conocidos 
como el de las Torres de Hanói. 
 Entre las incursiones que realizó sobre la sucesión de 
Fibonacci, está la notación que el asignó a la misma, ésta es: 
( )
5
1 nn
nF
Φ−−Φ
= . 
 
 
62 Progresiones Geométricas de Oro Juárez, G. A.; Navarro, S. I. 
 Por otro lado definió y estudió una sucesión que se 
conoce como de Lucas, dada por el PVID 
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
+=
=
=
−+ 11
2
1
3
1
nnn LLL
L
L
 
 La sucesión en términos de las raíces se puede denotar 
usando la expresión de Binet como 
nn
nn
nL βα +=
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛ −
+⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛ +
=
2
51
2
51
, para 1≥n . 
 Esta sucesión tiene valores iniciales muy particulares, en 
efecto βα +=1L y 
22
2 βα +=L , es decir estos valores dependen de 
las raíces características de la EED. 
 Con esto redefinimos a la sucesión de Lucas como 
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
+=
+=
+=
nn
nL
L
L
βα
βα
βα
22
2
1
 
 Por otro lado, así como la sucesión de Fibonacci pudo 
extenderse al subíndice cero, lo mismo podemos hacer con la de 
Lucas. Para ello tomemos la EED generadora hacia atrás, esto es: 
213120 =−=−= LLL . 
 Obsérvese que éste valor satisface la última definición 
para 0≥n , con lo cual extendemos la sucesión de Lucas, y ahora 
podemos escribirla 
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
+=
=
=
−+ 11
1
0
1
2
nnn LLL
L
L
 
 
 
63 Progresiones Geométricas de Oro Juárez, G. A.; Navarro, S. I. 
 También podemos usar el número áureo para definir la 
sucesión. En tal caso: 
n
n
nL ⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛ −
+Φ=
2
51
. 
O bien, como Φ−=−= 11 αβ , nos queda ( )nnnL Φ−+Φ= 1 
 Además como 
( )
( )( )
( ) ( ) n
nn
nnn
n
−
−−
−−
Φ−=⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛ +
−=⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−
+
=
=⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
+−
+
=⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−
=⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛ −
=
2
51
51
512
5151
512
51
2
2
51β
 
 También podemos decir que 
( ) nnnL −Φ−+Φ= 
 
 
Progresiones Geométricas de Oro 
 Vimos que las sucesiones Fibonacci y de Lucas tienen la 
misma EED en el PVID, es decir, se generan a través de la misma 
forma recurrente. La EED en cuestión, cuyas soluciones 
particulares vimos son representadas por α y β , y que 
determinan la solución general de la EED, como combinación 
lineal de potencias enésimas de ellas. Estas raíces características 
son los números irracionales que satisfacen: βα > 
 Una generalización en forma inmediata podemos realizar 
para estas sucesiones al escribir como un PVID con igual EED 
pero con valores iniciales arbitrarios. 
 
 
64 Progresiones Geométricas de Oro Juárez, G. A.; Navarro, S. I. 
 A este tipo de sucesiones que [3] cita como una 
generalización de la sucesión de Fibonacci, es a la que nos 
referimos en este artículo, y a las cuales las dos sucesiones de 
Fibonacci y Lucas son casos particulares. Si de poner nombres se 
trata las denominaremos Progresiones Geométricas de Oro, y 
mencionaremos el porque. 
 El número de oro α=Φ , cuenta con un gran número de 
propiedades, y asociado a la sucesión de Fibonacci se hallan varias 
de ellas. Una de ellas es la siguiente y que cumpliría su primera 
centuria, y se le adjudica a Barr y Schooling (1912): 
Φ=+
∞→ n
n
n F
F 1lim 
 Esta propiedad se verifica en términos de la EED y es 
independiente de los valores iniciales, por lo que puede extenderse 
a la sucesión generalizada, o sea a las Progresiones Geométricas 
de Oro (en adelante PGO). 
 Con esto la propiedad puede escribirse 
Φ=
Φ
Φ +
∞→ n
n
n
1lim . 
 Esto se verifica, pues: 
n
n
n
nn
nn
nn
n
n cc
cc
cc
cc
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛+
=
+
+
=
Φ
Φ
∞→
++
∞→
+
∞→
α
β
α
ββα
βα
βα
21
21
21
1
2
1
11 limlimlim 
Como 1<
α
β
, resulta 0lim=⎟⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
∞→
n
n α
β
. Con esto el límite es el número 
áureo. 
 
 
65 Progresiones Geométricas de Oro Juárez, G. A.; Navarro, S. I. 
 Por lo tanto se puede escribir, nn ΦΦ=Φ +1 para ∞→n , es 
decir es una progresión geométrica con razón Φ , o sea una 
progresión geométrica con razón áurea, o PGO. 
 De ésta manera la generalización que llamamos PGO la 
podemos expresar mediante el PVID: 
⎪⎩
⎪
⎨
⎧
Φ+Φ=Φ
Φ=Φ
Φ=Φ
−+ 11
2
1
)2( 
)1(
nnn
 
 Busquemos la forma de Binet de una PGO. Como la 
solución general de la EED asociada al PVID es: nnn CC βα 21 +=Φ 
 Y según los valores iniciales que podemos llamar A y B 
respectivamente, queda: 
ACCCC =+=+=Φ 21
0
2
0
10 βα y BCCCC =+=+=Φ βαβα 21
1
2
1
11 
 De allí que 
βα
β
−
−
=
ABC1 y βα
α
−
−
=
BAC2 , por lo que podemos 
dar como forma de Binet a la siguiente expresión, donde se 
destacan los valores iniciales: 
( ) ( )
βα
βααβ
−
−+−
=Φ
nn
BA
n
BAAB, 
 Forma de Binet general para toda PGO que verifica para 
los casos particulares que son: 
βα
βα
−
−
=Φ=
nn
nnF
1,0 
y 
( ) ( )
βα
βααβ
−
−+−
=Φ=
nn
nnL
12211,2 
 
 
66 Progresiones Geométricas de Oro Juárez, G. A.; Navarro, S. I. 
 Además, como 51221 =−=−=− βααβ , se verifica que 
nn
nnL βα +=Φ=
1,2 
 
 
Vivir el sueño del oro, morir el sueño de las progresiones 
 Es por demás conocido las principales propiedades de los 
números de Fibonacci, enumerar a todas es un gran desafío, aquí 
nos basaremos en algunas de las que se mencionan en las 
bibliografías de referencias, pero nuestra intención en este trabajo 
es presentar a las progresiones geométricas de oro como una forma 
general que incluyen a las de Fibonacci y a las de Lucas, por lo que 
procuraremos dar la extensión de estas versiones, o al menos 
soñar el sueño del oro y no perecer en las demostraciones de tales 
progresiones, parafraseando la zamba de los mineros [6]. 
 Los enunciados los presentaremos en el orden en que 
suelen indicarse en las bibliografías de referencias, pero usando 
para nuestras progresiones la notación anterior como una 
generalización de las sucesiones de Fibonacci y de Lucas, o sea 
como PGO. 
 
 
Propiedad 1: 
 La suma de los n primeros términos de una progresión 
geométrica de oro es igual a la diferencia entre el (n+2) término 
menos el segundo término. 
 
 
67 Progresiones Geométricas de Oro Juárez, G. A.; Navarro, S. I. 
 En efecto: de la EED del PVID 11 −+ Φ+Φ=Φ nnn , se tiene 
nnn Φ−Φ=Φ +− 11 con lo cuál justificamos el desarrollo siguiente en 
donde cada uno de los n primeros términos se expresan así: 
120 Φ−Φ=Φ 
231 Φ−Φ=Φ 
342 Φ−Φ=Φ 
. . . . . . . . . 
nnn Φ−Φ=Φ +− 11 
 Sumando miembro a miembro las n igualdades 
anteriores resulta: 
111210 ... Φ−Φ=Φ++Φ+Φ+Φ +− nn 
Tal como queríamos probar. █ 
 
 La propiedad anterior considera la suma de todos los n 
primeros términos de una PGO. 
 Ahora nos remitiremos a los de orden impar y par, 
recuerde el lector que al iniciar el subíndice en 0, el primer 
término lleva subíndice 0, el segundo lleva subíndice 1, ..., el 
término que se ubica en orden impar lleva índice par y viceversa. 
 
 
 
 
 
 
 
68 Progresiones Geométricas de Oro Juárez, G. A.; Navarro, S. I. 
Propiedad 2: 
 La suma de la n primeros términos de orden par de una 
progresión geométrica de oro es igual al término de orden impar 
siguiente menos el primer término. 
 Ahora usaremos la relación 11 −+ Φ−Φ=Φ nnn que también 
se obtiene de la EED del PVID, pero donde la paridad de los 
índices del segundo miembro son iguales y distinta a la del 
primero. Es decir, que para los términos de orden par desde el 
segundo se cumple: 
021 Φ−Φ=Φ 
243 Φ−Φ=Φ 
465 Φ−Φ=Φ 
. . . . . . . . . . . 
22212 −− Φ−Φ=Φ nnn 
 Sumando miembro a miembro estas igualdades resulta: 
0212531 ... Φ−Φ=Φ++Φ+Φ+Φ − nn █ 
 
 
Propiedad 3: 
 La suma de los n primeros términos de orden impar de 
una progresión geométrica de oro es igual al término de orden par 
siguiente menos el segundo término y mas el primer término. 
 Aplicando la primera propiedad para los primeros 2n 
términos y restando los impares según lo dado por la segunda 
propiedad, resulta lo que deseamos demostrar: 
 
 
69 Progresiones Geométricas de Oro Juárez, G. A.; Navarro, S. I. 
0112
01212
0211222420
 
 
][][...
Φ+Φ−Φ=
Φ+Φ−Φ−Φ=
Φ−Φ−Φ−Φ=Φ++Φ+Φ+Φ
−
+
+−
n
nn
nnn
 
█
 
 
 
Propiedad 4: 
 La suma alternada de los n primeros términos de una 
progresión geométrica de oro es igual al término de orden (n-1) 
con el signo contrario al que figura en el primer miembro más dos 
veces el primer término y menos el segundo término. 
 Para la demostración debemos restar miembro a 
miembro las propiedades anteriores: 
1022
1021212223210
2
2
Φ−Φ+Φ−=
=Φ−Φ+Φ−Φ=Φ−Φ++Φ−Φ+Φ−Φ
−
−−−
n
nnnn... 
 O bien, pasando de los dos primeros desarrollo n2Φ 
1012212223210 2... Φ−Φ+Φ=Φ+Φ−Φ++Φ−Φ+Φ−Φ −−− nnnn 
 Combinando ambas expresiones resulta lo que debíamos 
probar: 
1013210 2)1()1(... Φ−Φ+Φ−=Φ−++Φ−Φ+Φ−Φ −n
n
n
n █ 
 La representación del cuadrado de un término de una 
PGO en relación a otros de la misma progresión se establece a 
continuación. 
 
 
 
 
70 Progresiones Geométricas de Oro Juárez, G. A.; Navarro, S. I. 
Propiedad 5: 
 El cuadrado de un término de una progresión geométrica 
de oro puede expresarse como la diferencia de ese término 
multiplicado por el siguiente término y del mencionado término 
por el anterior. 
( ) 11112 −+−+ ΦΦ−ΦΦ=Φ−ΦΦ=ΦΦ=Φ kkkkkkkkkk █ 
 Usando la notación obtenida en el enunciado anterior 
podemos efectuar la suma de los cuadrados de los primeros 
números áureos. 
 
 
Propiedad 6: 
 La suma de los cuadrados de los primeros n términos de 
una progresión geométrica de oro puede expresarse 
2
0101
2
1
2
1
2
0 ... Φ+ΦΦ−ΦΦ=Φ++Φ+Φ −− nnn 
 En efecto: 
1021
2
1 ΦΦ−ΦΦ=Φ 
2132
2
2 ΦΦ−ΦΦ=Φ 
3243
2
3 ΦΦ−ΦΦ=Φ 
................................. 
121
2
1 −−−− ΦΦ−ΦΦ=Φ nnnnn 
 Sumando miembro a miembro y considerando la identidad 
del cuadrado del primer término se prueba el enunciado. █ 
 
 
71 Progresiones Geométricas de Oro Juárez, G. A.; Navarro, S. I. 
 Una relación que permite expresar al primer elemento 
en términos de otros arbitrarios consecutivos se obtiene de la 
siguiente manera: 
( )
( )
( )
( )
( )
...................................................
13885
8553
5332
322
2
67676
56565
45454
34343
23232
120
Φ+Φ−=Φ−Φ−Φ=
Φ−Φ=Φ−Φ+Φ−=
Φ+Φ−=Φ−Φ−Φ=
Φ−Φ=Φ−Φ+Φ−=
Φ+Φ−=Φ−Φ−Φ=
Φ−Φ=Φ
 
 Vemos como aparecen los términos siguientes de la 
sucesión áurea acompañados con coeficientes que son sucesivos 
términos de la sucesión de Fibonacci, y con signos positivos y 
negativos intercalados. Con lo cuál podemos reescribir como: 
.............................
6776
5665
4554
3443
2332
12210
Φ+Φ−=
Φ−Φ=
Φ+Φ−=
Φ−Φ=
Φ+Φ−=
Φ−Φ=Φ
FF
FF
FF
FF
FF
FF
 
 Formalmente podemos enunciar: 
 
 
72 Progresiones Geométricas de Oro Juárez, G. A.; Navarro, S. I. 
 
 
Propiedad 7: 
( ) ( ) nnnnnn FF Φ−+Φ−=Φ +++ 1110 11 █ 
 Podemos tomar en forma arbitraria a un término áureo 
para escribir en término de los siguientes usando el desarrollo de 
la propiedad anterior. 
( )
( )
( )
( )
( )
...................................................
13885
8553
5332
322
2
67676
56565
45454
34343
23232
12
+++++
+++++
+++++
+++++
+++++
++
Φ+Φ−=Φ−Φ−Φ=
Φ−Φ=Φ−Φ+Φ−=
Φ+Φ−=Φ−Φ−Φ=
Φ−Φ=Φ−Φ+Φ−=
Φ+Φ−=Φ−Φ−Φ=
Φ−Φ=Φ
hhhhh
hhhhh
hhhhh
hhhhh
hhhhh
hhh
 
 Que como se ve es inmediata a partir del desarrollo 
anterior por lo que escribimos: 
 
 
73 Progresiones Geométricas de Oro Juárez, G. A.; Navarro, S. I. 
..............................
6776
5665
4554
3443
2332
1221
++
++
++
++
++
++
Φ+Φ−=
Φ−Φ=
Φ+Φ−=
Φ−Φ=
Φ+Φ−=
Φ−Φ=Φ
hh
hhhh
hh
hh
hhh
FF
FF
FF
FF
FF
FF
 
Formalmente podemos enunciar: 
 
 
Propiedad 8: 
( ) ( ) nhnnnhnnh FF +++++ Φ−+Φ−=Φ 111 11 █ 
 Las dos propiedades anteriores muestran de qué manera 
al relacionar términos de una progresión geométrica de oro 
arbitraria, aparecen términos de la Sucesión de Fibonacci. 
 
 
Resultados 
 
Y por casa como andamos: el método de inducción 
completa y sus variantes 
 Si bien estas últimas identidades se fueron construyendo 
término a término, se pueden intentar verificar las 
 
 
74 Progresiones Geométricas de Oro Juárez, G. A.; Navarro, S. I. 
demostraciones por medio del Método de Inducción Completa (en 
adelante MIC). Más aún, este método consiste en mostrar la 
validez de una proposición relacionada a números enteros 
positivos, y se compone de dos partes. En la primera, el enunciado 
a probar debe satisfacerse para el primer elemento de la sucesión 
de elementos en cuestión, en la segunda parte, la proposición se 
supone válida para un elemento arbitrario de la sucesión y debe 
probarse la validez del enunciado para el término siguiente de la 
sucesión. Esta segunda parte de la demostración se dice que se 
compone de un teorema donde la suposición forma una hipótesis 
inductiva. Una vez que las dos partes del método se satisfacen se 
puede decir que la proposición es válida para todo elemento de la 
sucesión. 
 Muchas veces se desea probar la validez de un enunciado 
por inducción completa pero debido a su estructura, propia de la 
sucesión, debe modificarse el enunciado anterior del método [4], 
[7], [9], y que, para los que tuvimos la suerte de asistir a las clases 
en donde Homero A. Costa [4] las citaba, formalmente llamándolas 
como las variantes del MIC. 
 Para apreciar como variantes del MIC, se pueden 
presentar distintas situaciones a la vez o varias de ellas, a saber. 
El primer elemento de la sucesión que debe satisfacer una 
proposición, puede no ser cero, sino un número arbitrario. Además 
la sucesión puede contar con más de un valor inicial sobre el cuál 
debe probarse el enunciado de la proposición. De esta manera la 
primera parte del MIC debe manifestar cambios. Por otro lado, la 
hipótesis inductiva (indicada luego como HI) también debe 
mencionar si el supuesto se da sobre un único valor inicial o sobre 
varios, y finalmente la tesis del teorema de la segunda parte 
 
 
75 Progresiones Geométricas de Oro Juárez, G. A.; Navarro, S. I. 
también debe mencionar si la expresión de la proposición es única 
o no. 
 Usaremos una variante del MIC para probar la validez 
del enunciado siguiente: 
 
 
Propiedad 9: 
11 +−+ Φ+Φ=Φ mnmnmn FF con 0,1 ≥≥ mn 
 Realizamos la demostración por inducción en n, tomando 
fijo a m. Como se trata de PGO, existen dos valores iniciales, por 
ello la primera parte se prueba para n =1 y n =2. 
 
i) Sea n =1, la expresión queda: 
mmmmmm FF ++++ Φ=Φ⋅+Φ=Φ+Φ=Φ 111101 10 
 Sea n =2, la expresión resulta: 
11212 +++ Φ+Φ=Φ+Φ=Φ mmmmm FF , 
lo cual es válido por definición de la PGO. 
 
ii) Para la segunda parte del método planteamos la 
hipótesis inductiva y la tesis. 
 HI) Para 1−= hn se verifica 
1121 +−−+− Φ+Φ=Φ mhmhmh FF 
Y para hn = se verifica 
11 +−+ Φ+Φ=Φ mhmhmh FF 
 
 
76 Progresiones Geométricas de Oro Juárez, G. A.; Navarro, S. I. 
 T) Se desea probar que para 1+= hn se cumple 
111 ++++ Φ+Φ=Φ mhmhmh FF 
 D) Partimos del primer miembro de la tesis, aplicamos la 
definición de la PGO y luego las identidades de HI, para luego 
agrupar el primer y tercer término por un lado y los restantes por 
otro y obtener la identidad buscada. 
11
11112
11
++
+−+−−
++−++
Φ+Φ=
Φ+Φ+Φ+Φ=
Φ+Φ=Φ
mhmh
mhmhmhmh
mhmhmh
FF
FFFF 
 De ambas partes, se dice que el enunciado es válido. █ 
 Podemos aplicar la propiedad anterior y suponer que 
nm = . 
 
 
Propiedad 10: 
112 +− Φ+Φ=Φ nnnnn FF con 1≥n █ 
 De esta última resulta una identidad simétrica 
 
 
Propiedad 11: 
1111 −++− Φ+Φ=Φ+Φ nnnnnnnn FFFF con 1≥n 
 En efecto: 
 
 
77 Progresiones Geométricas de Oro Juárez, G. A.; Navarro, S. I. 
( )
( )
11
11
11
1111
−+
−−
−−
−−+−
Φ+Φ=
Φ+Φ+=
Φ+Φ+Φ=
Φ+Φ+Φ=Φ+Φ
nnnn
nnnnn
nnnnnn
nnnnnnnnn
FF
FFF
FFF
FFFF
 
█
 
 Como una aplicación de las dos propiedades anteriores 
resulta la identidad: 
 
 
Propiedad 12: 
11112 −−++ Φ−Φ=Φ nnnnn FF con 1≥n 
 En efecto, partiendo de la propiedad 10, la recurrencia 
de la sucesión de Fibonacci y la de la PGO arbitraria, se tiene: 
( )
( )
1111
1111
1111
11111
1111
112
−−++
++−−
+++−
+−++−
+−+−
+−
Φ−Φ=
Φ+Φ−=
Φ+Φ−Φ=
Φ−Φ+Φ=
Φ−+Φ=
Φ+Φ=Φ
nnnn
nnnn
nnnnn
nnnnnn
nnnnn
nnnnn
FF
FF
FF
FFF
FFF
FF
 
█
 
 
 
 
 
 
78 Progresiones Geométricas de Oro Juárez, G. A.; Navarro, S. I. 
Otra sucesión interesante: ...Conejos de oro 
 El análisis realizado hasta aquí nos llevo a definir otra 
sucesión que nos resulta interesante, y para ello la vamos a definir 
en términos de una PGO como 
⎪⎩
⎪
⎨
⎧
Φ+Φ=Φ
−=Φ
−=Φ
=Φ
−+
−−
11
22
2
1
, 22
nnn
n βα
βα
βαβα 
 Es inmediato ver que las condiciones iniciales son 
iguales pues, de la primera propiedad de las raíces características, 
resulta: βαβα −=− 22 . A partir de allí algunos de los siguientes 
términos son: 
( ) ( ) ( ) ( ) ....,8,5,3,2 βαβαβαβα −−−− 
 Es inmediato ver que ( ) nnn FF 5
22, =−=Φ −− βαβαβα , o sea 
es una sucesión múltiplo irracional de la sucesión de Fibonacci, 
por lo que muchas propiedades de esta nueva sucesión se hallan 
directamente de la sucesión de Fibonacci. 
 Antes de buscar la forma de Binet de esta sucesión a 
partir de la forma de una PGO vemos que podemos extender al 
subíndice cero para él 0
22,
0 =Φ
−− βαβα , con lo cual los valores iniciales 
ahora pueden ser 0 y βα − . 
 Por ello la forma de Binet resulta 
nn
n βα
βα −=Φ −,0 
 
 
 
 
 
79 Progresiones Geométricas de Oro Juárez, G. A.; Navarro, S. I. 
Conclusión 
 Poder expresar a las sucesiones de Fibonacci y de Lucas 
como casos particulares de una familia de sucesiones que 
responden a una sucesión recurrente generada por una misma 
ecuación en diferencias, solo variando por los valores iniciales, ha 
sido un desafío en este articulo, complementado por la expresión 
como un problema de valor inicial discreto. Finalmente enunciar 
una sucesión particular en término de las raíces características de 
la ecuación algebraica asociada a fin de asociar con las sucesiones 
de Fibonacci y Lucas, nos da una propuesta para continuar 
investigando sobre la misma. 
 
 
 
 
 
80 Progresiones Geométricas de Oro Juárez, G. A.; Navarro, S. I. 
Referencias 
 
[1] Brousseau Brother Alfred (1971) Linear recursion and Fibonacci 
sequences. A publication of The Fibonacci Association. 
 
[2] Episodio Mejores amigos. El show de los Looney Tunes (2012) Vol. 1. 
DVD video. Warner Bros. Entertaiment Inc. 
 
[3] Hoggatt Jr, Verter E. (1969) Fibonacci and Lucas Numbers. Albert E. 
Meder, Jr. Editorial Adviser. A publication of The Fibonacci 
Association. University of Santa Clara. 
 
[4] Juárez, G. A.; Navarro, S. I. (2005) Ecuaciones en Diferencias con 
aplicaciones a modelos en Sistemas Dinámicos. Editorial Sarquís. 
Argentina. 
 
[5] Juárez, G. A.; Navarro, S. I. (2011) Problemas discretos con valores 
iniciales. Revista de Educación Matemática. Volumen 26 N° 2. Año. 
pps 3-13. 
 
[6] Leguizamón, Gustavo; Jaime Dávalos: La zamba de los mineros. 
 
[7] Markushévich, A. I. (1974) Sucesiones Recurrentes. Editorial MIR. 
Moscú. 
 
[8] Viggiani Rocha, María Isabel (2010) La sucesión de Lucas. Revista de 
Educación Matemática Volumen 25 N° 3. Año. pps 3-18. 
 
[9] Sominski, I. S. (1975) Método de Inducción Matemática. Editorial MIR. 
Moscú. 
 
[10] Vorobyov, N. N. (1988) Los números de Fibonacci. Editorial Limusa. 
México.