MATEMATICA-5

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Fundación Educacional Santa Bernardita 
 Matemática 
 NM2-AB 
 Prof. Valentira Lira 
 
UNIDAD 1: NÚMEROS 
GUÍA DE APRENDIZAJE N°1 
“NÚMEROS REALES” 
Objetivos: 
✓ Reconocer números irracionales y reales 
✓ Ubicar raíces cuadradas en la recta numérica 
✓ Aplicar la descomposición de las raíces 
✓ Operar números reales 
 
Instrucciones: El desarrollo de esta guía de aprendizaje debe ser subida a classroom 
mediante fotografías, PDF o formato Word, tienes una semana para desarrollarla. 
Contactos para dudas IG: @valelaprofe o correo: vlira@cosanber.cl 
 
Números racionales (ℚ) 
El conjunto de los números racionales considera a los números naturales (ℕ), 
números enteros (ℤ), decimales finitos, decimales infinitos periódicos, decimales 
infinitos semiperiódicos, en otras palabras, son aquellos números que pueden ser 
escritos como fracción. 
Ejemplos: 
a) 8.960 es un n° natural, por lo tanto, también es un n° racional 
b) −56 y 0 son números enteros, por lo tanto, también son números racionales 
c) −0,5 es un decimal finito, por lo tanto, también es un n° racional 
d) 1, 45̅̅̅̅ es un decimal infinito periódico, por lo tanto, también es un n° racional 
e) 9,34̅ es un decimal infinito semiperiódico, por lo tanto, también es un n° 
racional 
Números irracionales (ℚ∗) 
El conjunto de los números irracionales considera a los números decimales infinitos 
no periódicos, también se reconocen al no poder ser representados como una 
fracción. 
Ejemplos: 
a) 𝜋 es un decimal infinito no periódico, por lo tanto, es un n° irracional 
b) √3 es un decimal infinito no periódico, por lo tanto, es un n° irracional 
c) √−5
3
 es un decimal infinito no periódico, por lo tanto, es un n° irracional 
Números reales (ℝ) 
El conjunto de los números reales es la unión de los números racionales (ℚ) e 
irracionales (ℚ∗). 
Ejemplos: 
a) 𝜋 es un n° irracional, por lo tanto, es un n° real 
b) 9, 12̅̅̅̅ es un n° racional, por lo tanto, es un n° real 
c) √−2 NO es un n° real, ya que no hay n° real que elevado a 2 resulte −2 
 
mailto:vlira@cosanber.cl
Esquema: 
 
ACTIVIDAD I: 
1. Determina a qué conjunto pertenece cada número, haz un tick (✔) en caso de 
que pertenezca o una equis (X) en caso de que no pertenezca. 
Número 
Natural 
(ℕ) 
Entero 
(ℤ) 
Racional 
(ℚ) 
Irracional 
(ℚ∗) 
Real (ℝ) Imaginario 
2
7
 
0 
−0,45 
√81 
√−16 
2, 3̅ 
√−9
3
 
−√7 
 
2. Determina si las siguientes afirmaciones son verdaderas (V) o falsas (F), justifica 
con un contraejemplo. 
a) ____ Todo número natural es también un número real 
b) ____ Todo número real es también un número entero 
c) ____ El cero es un número irracional 
d) ____ Existen números reales que no son irracionales ni racionales 
Estimar el valor de una raíz cuadrada 
Para comparar número irracionales, se puede apoyar de la recta numérica 
considerando que 0 = √0, 1 = √1, 2 = √4, 3 = √9, etc. Por lo tanto, 
√0 < √1 < √2 < √3 < √4 < √5 < √6 < √7 < √8 < √9 < ⋯ 
En la recta numérica: 
 
 
Ubicar raíces cuadradas en la recta numérica 
Para ubicar raíces cuadradas en la recta numérica se utiliza el teorema de Pitágoras 
y será necesario lápiz, papel, regla y compás. 
 
Ubicaremos √5 
Paso 1: Buscar dos números tal que al elevar cada uno al cuadrado y sumarlos de 
como resultado la cantidad subradical. En este ejemplo dos números que cumplan 
esta condición son el 1 y el 2, porque 22 + 12 = 4 + 1 = 5 
Estos dos números serán nuestros catetos y √5 será la hipotenusa 
 
Paso 2: La apertura del compás debe ser igual a la hipotenusa, luego traza un arco 
de circunferencia (trozo de circunferencia) hasta la recta y marcar la intersección 
entre el arco de circunferencia y la recta. 
 
Videos de apoyo: 
- https://youtu.be/VP-_0Hr-tXE 
- https://youtu.be/2T0GFW3_atI 
 
https://youtu.be/VP-_0Hr-tXE
https://youtu.be/2T0GFW3_atI
ACTIVIDAD II 
1. Ubica las siguientes raíces en la recta numérica horizontal. 
√2, √3, √6, √7, √10, √18 
 
2. Completa los espacios con los números naturales más cercanos a la raíz cuadrada. 
a) ____ < √7 < ____ d) ____ < √23 < ____ g) ____ < √420 < ____ 
b) ____ < √10 < ____ e) ____ < √130 < ____ h) ____ < √68 < ____ 
c) ____ < √17 < ____ f) ____ < √55 < ____ i) ____ < √72 < ____ 
 
3. Completa cada espacio con el símbolo <, > o = según corresponda. 
a) √4 _____ √3,5 d) √|−5| ______√|5| g) −√3 _______ − √2 
b) √400 _____ 20 e) √1, 9̅ ____ √2 h) √1, 2̅ + 2, 3̅ ______√3,5 
c) −√
1
2
 ____ −√
3
2
 f) √2, 5̅ ______ − √2,5 i) √10 − |−2| _____√6 
 
Descomponer raíces 
Para descomponer raíces existes varios métodos. 
Método 1: 
Paso 1: Buscar dos números que multiplicados dan como resultado la cantidad 
subradical y uno de ellos tenga raíz exacta. 
Ejemplo: √363 = √121 ⋅ 3 
 
Paso 2: Separar las raíces y resolver la raíz de resultado entero. 
Ejemplo: √363 = √121 ⋅ 3 = √121 ⋅ √3 = 11√3 
 
Método 2: 
Paso 1: Descomponer la cantidad subradical en factores primos, es decir hasta que 
no se pueda descomponer más. 
Ejemplo: √600 = √6 ⋅ 100 = √3 ⋅ 2 ⋅ 10 ⋅ 10 = √3 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 5 ⋅ 2 ⋅ 5 
Paso 2: Agrupar los factores en este caso en potencias elevadas a 2, ya que el índice 
es 2. 
 Ejemplo: √600 = √3 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 5 ⋅ 2 ⋅ 5 = √3 ⋅ 22 ⋅ 2 ⋅ 52 
Paso 3: Extraer los valores que están elevados a 2 
Ejemplo: √600 = √3 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 5 ⋅ 2 ⋅ 5 = √3 ⋅ 22 ⋅ 2 ⋅ 52 = 2 ⋅ 5 ⋅ √3 ⋅ 2 = 10√6 
 
Videos de apoyo: 
- https://youtu.be/oWoSDBgQd-M 
- https://youtu.be/HBjT0uo9yxU 
- https://youtu.be/desONj_65CY 
 
Adición y sustracción. 
Para sumar o restar raíces es necesario que sean semejantes, es decir, que tengan 
el mismo índice y misma cantidad subradical, en caso de no tener la misma cantidad 
subradical se debe identificar si alguna de las raíces de puede descomponer. 
Ejemplo: 
 
 
Multiplicación 
Para multiplicar raíces cuadradas se conserva el índice de la raíz y se multiplican las 
cantidades subradicales. 
 
Ejemplo: 
 
 
 
 
 
 
√𝑎
𝑛 √⋅ 𝑏
𝑛
= √𝑎 ⋅ 𝑏
𝑛
 
https://youtu.be/oWoSDBgQd-M
https://youtu.be/HBjT0uo9yxU
https://youtu.be/desONj_65CY
División 
Para dividir raíces cuadradas, se conserva el índice de la raíz y se multiplican las 
cantidades subradicales. 
 
Ejemplo: 
 
 
ACTIVIDAD II 
1. Resuelve los siguientes ejercicios: 
a) 3√7 + 2√28 − 6√63 
 
 
b) 3√28 − 2√20 + 5√80 − 4√63 
 
 
c) 
1
2
√𝑎 −
2
5
√𝑎 +
3
4
√𝑎 −
1
3
√𝑎 
 
 
d) √45 + 3√20 − 11√112 
 
 
 
 
√𝑎
𝑛 √÷ 𝑏
𝑛
= √𝑎 ÷ 𝑏
𝑛
 
√𝑎
√
𝑛
𝑏
𝑛 = √
𝑎
𝑏
𝑛
 
2) Si 𝑃 = √20, 𝑄 = 5√4, 𝑅 = 3√8 y 𝑆 = √2, ¿cuál de las siguientes relaciones es 
verdadera? 
 Modelo PDT admisión 2021 
 
 
3) Si 𝑝 y 𝑞 son números reales tal que 𝑝 < 𝑞, ¿cuál de las siguientes afirmaciones 
es siempre verdadera? 
Modelo PDT admisión 2021 
 
 
4) 
Modelo PSU admisión 2020 
 
 
 
"La capacidad no está en la flecha sino en el indio” 
LIBROS: 
Desarrolla las siguientes páginas para reforzar lo aprendido. Recuerda que 
puedes verificar tus resultados con el solucionario que aparece en las últimas 
páginas. 
- Texto del estudiante: 9 - 18 
- Cuaderno de actividades: 4 - 11 
Si presentas alguna duda sobre las páginas del texto contáctame al IG o al 
correo.