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Sobre Algebrizar la Geometría
Edgar Vera Saravia1
Exordio
El Problema de los Cuadrados Perfectos, presentado en la India en el siglo VII, por el
Astrónomo y Matemático Brahmagupta, surge como inicio del proceso de algebrización de
la Geometría ... y de la Física, por un detalle sorprendente: Está ligado con estructuras
matemáticas básicas además del álgebra de los reales R: El álgebra real de los complejos
C que algebrizan las rotaciones en R2, el álgebra real de los cuaterniones H que algebrizan
las rotaciones en R3 e incluye a la misteriosa álgebra real de los Octoniones O que podrían
ayudar a entender la geometría del espacio-tiempo R(3,1), como lo manifiesta una conjetura
planteada el 2011 por Baez y Huerta :
Los octoniones pueden ayudar a entender las teorías de cuerdas y supersimetría
No sabemos en que momento se perdió el rastro de lo hecho por Brahmagupta.
En el siglo XIX Clifford, uno de los primeros en entender el proceso de algebrización de
Grassmann, un tema casi desconocido en aquella época, presenta dos Álgebras Geométri-
cas: AG(2) del espacio Euclideano R2, que contiene a los complejos C como subálgebra
y AG(3) del espacio Euclideano R3, que contiene a los cuaterniones H como subálgebra
... otro misterio es que estos resultados no fueron considerados de utilidad para la Física
durante buena parte del siglo XX ... muestra de esto es que, para atender la siguiente
demandada planteada por Werner Heisenberg en 1920:
La Física requiere de una matemática completamente nueva,
que incluya álgebras no conmutativas
Pauli creó la R-álgebra de matrices C2×2, que resultó ser la representación matricial del
Álgebra Geométrica AG(3) y Dirac creó la R-álgebra de matrices C4×4, la representación
matricial del Álgebra Geométrica AG(3,1) del espacio-tiempo R(3,1).
La motivación para ofrecer estas notas se sustenta en lo manifestado por dos físicos teóricos
bien conocidos:
Einstein en 1934, en su libro On the Method of Theoretical Physics:
Nuestra experiencia nos enseña que la naturaleza representa la realización
de lo que podemos imaginar de más simple matematicamente.
Yo creo que una construcción puramente matemática nos permite revelar
los conceptos que pueden darnos la clave para entender los fenómenos
naturales y los principios que los mantienen relacionados entre si.
Obviamente la confirmación experimental es el único modo de verificar
una construcción matemática que describe fenómenos físicos; pero solo
en la matemática podemos encontrar el principio creativo.
1edverasar@gmail.com
1
Dirac en 1977, en su conferencia Los Fundamentos Matemáticos de la Teoría Cuántica:
Evitemos comenzar con una idea física preconcebida y, a partir de esto,
buscar o tratar de construir un esquema matemático que lo justifique.
Para cualquier teoría física debemos poner la matemática primero.
Es necesario utilizar una base matemática sólida aun cuando,
inicialmente, esta base no parezca conectada con la física.
Intentaremos presentar el material comentado, tratando de emular las motivaciones y la
didáctica empleadas por Felix Kline en su Erlanger Programm de 1844.
Nuestro deseo es que este tema físicomatemático sea considerado parte de la matemática
básica para docentes universitarios de física y matemática del siglo XXI.
1 Detallando nuestra propuesta
1.1 Sobre el Origen del Proceso de Algebrización
En el siglo siglo VII, en la India, el Astrónomo y Matemático Brahmagupta presentó
El Problema de los cuadrados perfectos:
Dadas (ai), (bj) ∈ Rm determinar (ck) ∈ Rm tal que
(
m∑
1
a2i )(
m∑
1
b2j) =
m∑
1
c2k
El caso m = 2 fue resuelto en el mismo siglo VII por Brahmagupta ... y tiene que ver
con el álgebra real de los Complejos C, asociativos y conmutativos, que algebrizan las
rotaciones en R2.
El caso m = 4 fué resuelto en el siglo XVIII por Leonhard Euler, dando antes un
contraejemplo para el caso m = 3, ... y tiene que ver con el álgebra real de los Cuaterniones
H, asociativos pero no conmutativos, que algebrizan las rotaciones en R3.
El caso m = 8 fué resuelto en el siglo XIX (1843), por Carl Degen ... y tiene que ver con
el álgebra real de los Octoniones O, no asociativos y no conmutativos, sobre los cuales
existe la conjetura de que podrían ayudar a entender las teorías de cuerdas y supersimetría
[4].
1.2 Complementando sobre los siglos XVI, XVII y XVIII
Por Cardano y Bombelli sabemos que las álgebras reales asociativas y conmutativas de
los Reales R y los Complejos C eran usadas, sin una definición precisa, desde 1545.
En una visión actual podemos decir que los complejos C eran considerados «polinomios
con coeficientes reales en la variable i», una enigmática raíz cuadrada de -1:
C = {r1 + r2i; rj ∈ R},
los operaban como polinomios pero, al multiplicar simplificaban utilizando i2 = −1.
2
En 1637 surge la Geometría Analítica de Descartes y Fermat, como el primer proceso de
algebrizar la geometría bidimensional mediante pares de números reales, como consta en
un apéndice de El discurso del método de Descartes.
En 1679 Leibniz, que conocía la Geometría Analítica, le manifiesta a Huygens:
la Física no podrá avanzar más a no ser que se encuentre un nuevo método
de análisis más geométrico, que permita expresar y operar con direcciones tan
directamente como el álgebra (de los números reales) representa y opera con
las magnitudes (las coordenadas de la geometría analítica).
Sin duda Leibniz, en la búsqueda de un mejor modelo matemático para el desarrollo de
la Física, demandaba mejorar la algebrización de la geometría.
En 1796, el agrimensor noruego Caspar Wessel publica su Denominación analítica de las
direcciones, mostrando la relación de la geometría bidimensional con la intuitiva álgebra
de los complejos, un resultado desconocido en la Europa del siglo XVIII.
2 Presentando lo hecho en el Siglo XIX
Otro detalle asombroso es el desconocimiento, durante buena parte del siglo XX, de los
siguientes temas del siglo XIX que vamos ha comentar:
En 1835, después de percatarse que los complejos C le permiten algebrizar el proceso
geométrico de rotación en R2, Hamilton representa el álgebra asociativa y conmutativa de
los complejos C, de un modo que será el germen de la algebrización: Como polinomios
con dos coeficientes reales en la «variable i», una enigmática raiz cuadrada de -1:
C = {r1 + r2i; rα ∈ R} (1)
es decir, un espacio vectorial real (con dos coeficientes reales) cuya base es {1, i} y cuyo
producto es el tradicional producto de polinomios, modificado empleando la
tabla multiplicativa de los complejos:
1 i
i −1 (2)
A seguir Hamilton buscó denodadamente, por más de siete años, un álgebra que haga
lo propio en R3 ... al parecer, desconocía el contraejemplo dado por Euler al problema
de Brahmagupta y buscaba un álgebra con tres coeficientes ... hasta que, en octubre de
1843, consigue crear el álgebra real asociativa pero no conmutativa de los cuaterniones H,
que algebrizan las rotaciones de dicho espacio. Los presentó como polinomios con cuatro
coeficientes reales en las «variables i, j, k», con dos enigmáticas raices cuadradas de -1
adicionales:
H = {r1 + r2i+ r3j + r4k; rα ∈ R} (3)
utilizó el tradicional producto de polinomios sin emplear la conmutatividad, en su
lugar recurrió a la tabla multiplicativa de los cuaterniones:
i j k
i −1 k −j
j −k −1 i
k j −i −1
(4)
3
De las tablas 2 y 4 se deduce que H contiene a C y extiende su estructura de álgebra.
Estas dos afirmaciones se expresan matemáticamente escribiendo:
C < H
en palabras se dice que C es subálgebra de H.
En diciembre de ese mismo año 1843, Graves, un abogado amigo de Hamilton que lo
indujo a estudiar álgebra, le remite un escrito sobre el álgebra real de los Octoniones O,
pidiéndole su apoyo para publicarlo.
Los presentó como polinomios con coeficientes reales en las variables i, j, k, l, m, n, o,
con cuatro nuevas y enigmáticas raices cuadradas de -1:
O = {r1 + r2i+ r3j + r4k + r5l + r6m+ r7n+ r8o; rα ∈ R} (5)
utilizó el tradicional producto de polinomios sin emplear la asociatividad ni la con-
mutatividad, en su lugarrecurrió a la tabla multiplicativa de los octoniones:
i j k l m n o
i −1 k −j m −l −o n
j −k −1 i n o −l −m
k j −i −1 o −n m −l
l −m −n −o −1 i j k
m l −o n −i −1 −k j
n o l −m −j k −1 −i
o −n m l −k −j i −1
(6)
esto va más allá del álgebra geométrica porque O es un álgebra no conmutativa y no
asociativa ... (ij)l ̸= i(jl) ejemplifica la no asociatividad.
Como antes, de las tablas 2, 4 y 6, surgen relaciones de subálgebra que determinan el
llamado encaje de álgebras:
R < C < H < O (7)
La decepción de Graves fué que Hamilton olvidó su pedido y Cayley publicó su aporte en
1845, por lo que los octoniones también son conocidos como Números de Cayley.
En 1844 Hermann Grassmann, un ícono de la Geometría Diferencial, poco conocido y
menos apreciado por sus congéneres de aquella época, publica su Álgebra Exterior que,
además de álgebras geométricas y formas diferenciales, incluye otros aspectos sustantivos
de la geometría diferencial actual.
Entre los años 1873 -1879, conjugando resultados de Hamilton y Grassman en la búsqueda
de un proceso amigable de algebrizar la geometría, William Clifford crea sus Ágebras
Geométricas AG(2) y AG(3), asociativas pero no conmutativas, que contienen como sub-
álgebras a los complejos y a los cuaterniones respectivamente:
AG(2) > C y AG(3) > H
Adelantamos un diagrama que explicita isomorfismos con álgebras de matrices:
R2×2 < C2×2
||| |||
AG(2) < AG(3)
∨ ∨
R < C < H
(8)
4
las dos primeras filas explicitan las representaciones matriciales de álgebras geométricas
y las dos últimas filas muestran las bondades de las álgebras geométricas.
Este proceso de algebrización de la geometría y su aporte a la Física, se detuvo en 1886
cuando Gibbs, Helmholtz y Heaveside, buscando procesos matemáticos tridimensionales
para la ingeniería, «destrozaron los Cuaterniones» y crearon el Álgebra Vectorial. ¿Es
este el motivo que determinó el desconocimiento de las Álgebras Geométricas de Clifford
y su casi nula participación en la Física en gran parte del siglo XX?.
3 Presentando lo hecho en el Siglo XX
Corrobora el detalle sorprendente de que lo hecho hasta el siglo XIX y lo presentado en
las secciones anteriores, fué casi totalmente desconocido durante el Siglo XX.
Como veremos en lo que sigue, se limitaron a presentar álgebras de matrices que, como
ya fué comentado, son representaciones matriciales de álgebras geométricas del siglo XIX.
Es precisamente la familiaridad existente con las álgebras reales de matrices del siglo XX,
que nos sugiere motivar cada álgebra geométrica con su correspondiente representación
matricial: AG(2) con R2×2, AG(3) con C2×2 y AG(3,1) con C4×4.
3.1 Las álgebras de matrices de Pauli y Dirac
La creación de la Teoría de la Relatividad por Einstein y los requerimientos matemáticos
de la Física para trabajar con el espacio de Minkowski, determinaron el abandono del
Álgebra Vectorial ... recordemos que, en 1920, Heisenberg presentó la demanda :
La Física requiere de una matemática completamente nueva,
que incluya álgebras no conmutativas.
Ante el desconocimiento de las Álgebras Geométricas del siglo XIX, las demandas sobre
modelos matemáticos apropiados para la Física, planteadas por Leibniz en el siglo XVII
y por Heinsenberg en el siglo XX, encontraron en 1928, como respuesta siglo XX, a las
R-álgebras de matrices C2×2 de Pauli, C4×4 de Dirac y también a R2×2 < C2×2.
Nos intriga el desconocimiento de las Álgebras Geométricas por parte de Pauli y Dirac.
Sucede que R2×2 y C2×2 son representaciones matriciales de la respuesta Siglo XIX:
Las R-Álgebras Geométricas de Clifford AG(2) y AG(3) respectivamente.
De otro lado, C4×4 es la representación matricial de la R-Álgebra Geométrica espacio-
temporal AG(3,1) ... sucede que esta álgebra geométrica también contiene una subálgebra
especial ... el álgebra de los Octoniones asociativos:
Oa = {r1 + r2i+ r3j + r4k + r5l” + r6m” + r7n” + r8o; rα ∈ R} (9)
una familia de polinomios en las variables
i, j, k, l”, m”, n” y o
en este caso el producto de polinomios es complementando con la
tabla multiplicativa de los octoniones asociativos Oa :
5
1 i j k l” m” n” o
i −1 k −j −m” l” o n”
j −k −1 i n” o −l” m”
k j −i −1 o −n” m” l”
l” m” −n” −o 1 i −j k
m” −l” −o n” −i 1 k j
n” −o l” −m” j −k 1 i
o n” m” l” −k −j −i −1
(10)
observar que l”, m” y n” son raices cuadradas de 1.
Esta tabla también contiene las tablas de complejos 2 y cuaterniones 4 ... surge un nuevo
encaje de álgebras
AG(2) > C, AG(3) > H y AG(3, 1) > Oa
Comencemos explicitando las bondades y limitaciones de las Álgebras Geométricas:
Contienen como subálgebras a las álgebras de los Complejos, Cuaterniones y Octoniones
asociativos. Esto, sin duda, motiva realizar «un viaje de retorno del siglo XX al siglo XIX»
e iniciar la tarea de rescatar el proceso de algebrizar la geometría, comenzando con las
Álgebras Geométricas creadas por Clifford y ordenar las cosas como adelantamos en el
siguiente diagrama:
R2×2 < C2×2 C4×4
||| ||| |||
AG(2) < AG(3) < AG(3, 1)
∨ ∨ ∨
C < H < Oa
Este diagrama presenta, amigablemente, una pequeña parte de la Geometría creada por
Grassmann en 1844 y muestra sus bondades iniciales en las dos últimas filas.
Lo más sorprendente es que muchos años antes, como ya fue comentado en la Sección 2,
en el Siglo VII el gran matemático Indio Brahmagupta había iniciado el camino correcto
cuando presentó El Problema de los Cuadrados Perfectos ... recordemos dicho
problema y explicitemos que sus soluciones muestran aspectos concretos:
Dadas (ai), (bj) ∈ Rm determinar (ck) ∈ Rm tal que
(
m∑
1
a2i )(
m∑
1
b2j) =
m∑
1
c2k
El caso m = 2 fué resuelto en el mismo siglo VII por Brahmagupta ... ahora sabemos que
el álgebra real de los Complejos C lo resuelve considerando
(||a||2)(||b||2) = ||c||2
donde
a = a1 + a2ı, b = b1 + b2ı y c = ab
y también sabemos que C algebriza las rotaciones bidimensionales.
6
El caso m = 4 fué resuelto en el siglo XVIII por Euler, dando antes un contraejemplo
para el caso m = 3 ... ahora se sabe que el álgebra real de los Cuaterniones H creados por
Hamilton, en el siglo XIX, resuelven este caso de modo similar al caso complejo y que H
algebriza las rotaciones tridimensionales.
El caso m = 8 fue resuelto en el siglo XIX por Carl Degen ... ahora se sabe que el álgebra
real de los Octoniones O creados por Graves, en ese mismo siglo, lo resuelve de modo
similar a los casos anteriores, pero no se sabe qué es lo que algebriza O; más aún, resulta
ser un álgebra no conmutativa y no asociativa.
Fué recién en la segunda década del siglo XX que pasaron a ser denominadas
Álgebras de División Normadas (ADN) ... aclaremos esto ... si bien Adolf Hurwitz
demostró en 1898 que son las únicas álgebras reales donde es posible dividir y medir, su
teorema fué publicado póstumamente en 1923, (ver [6]):
Existen cuatro Álgebras de División Normadas:
Reales R, Complejos C, Cuaterniones H y Octoniones O
con dimensiones 1 = 20, 2 = 21, 4 = 22 y 8 = 23 respectivamente.
El álgebra real de los octoniones asociativos Oa, subálgebra de AG(3,1) ≡ C4×4, resulta
un ejemplo de una R-álgebra que no es una ADN.
4 Reescribiendo lo hecho en el Siglo XX
Debido a la familiaridad existente con las Álgebras de Matrices, comenzaremos explici-
tando y ampliando algunos detalles que nos sirvan de motivación ahora y más adelante,
cuando presentemos las menos divulgadas Álgebras Geométricas del siglo XIX.
4.1 El Álgebra de Matrices de Pauli
Pauli utilizó matrices del álgebra real C2×2, que ahora llevan su nombre:
σ1 =
[
0 1
1 0
]
, σ2 =
[
1 0
0 −1
]
y σ3 =
[
0 −i
i 0
]
. (11)
Denotando con σ0 la matriz identidad y utilizando las siguientes abreviaciones:
σ12 ≡ σ1σ2, σ31 ≡ σ3σ1, σ23 ≡ σ2σ3, σ123 ≡ σ1σ2σ3
construyamos la tabla multiplicativa de las matrices de pauli:
σ1 σ2 σ3
σ1 σ0 σ12 −σ31
σ2 −σ12 σ0 σ23
σ3 σ31 −σ23 σ0
(12)
7
A seguir, usando exclusivamente la tabla (12) y la asociatividad del producto de matrices,
construyamos la tabla multiplicativa de las bimatrices de pauli:
σ12 σ31 σ23
σ12 −σ0 σ23 -σ31
σ31 −σ23 −σ0 σ12
σ23σ31 −σ12 −σ0
(13)
El siguiente cálculo:
a0σ0 + a1σ1 + a2σ2 + a3σ3 + a12σ12 + a31σ31 + a23σ23 + a123σ123 =
a0
[
1 0
0 1
]
+ a1
[
0 1
1 0
]
+ a2
[
1 0
0 −1
]
+ a3
[
0 −ı
ı 0
]
+
a4
[
0 −1
1 0
]
+ a5
[
−ı 0
0 ı
]
+ a6
[
0 −ı
−ı 0
]
+ a7
[
−ı 0
0 −ı
]
=
[
(a0 + a3) + (a4 + a7)ı (a1 − a5)− (a2 − a6)ı
(a1 + a5) + (a2 + a6)ı (a0 − a3)− (a4 − a7)ı
]
nos permite considerar
C2×2 = {a0σ0 + a1σ1 + a2σ2 + a3σ3 + a12σ12 + a31σ31 + a23σ23 + a123σ123; aJ ∈ R} (14)
como un R-espacio vectorial de polinomios en las variables matriciales σ1, σ2 y σ3 .
La familia
{σ0, σ1, σ2, σ3, σ12, σ31, σ23, σ123} ⊂ C2×2 (15)
resulta una base, que llamaremos Base de Pauli de C2×2.
A seguir extendemos las tablas (12) y (13) operando del modo establecido; es decir, sin
emplear explícitamente matrices y usando solamente la asociatividad del producto, se
obtiene la tabla multiplicativa de la base de pauli de C2×2:
σ1 σ2 σ3 σ12 σ31 σ23 σ123
σ1 σ0 σ12 σ13 σ2 −σ3 σ123 σ23
σ2 −σ12 σ0 σ23 −σ1 σ123 σ3 σ31
σ3 −σ13 −σ23 σ0 σ123 σ1 −σ2 σ12
σ12 −σ2 σ1 σ123 −σ0 σ23 σ13 −σ3
σ31 σ3 σ123 −σ1 −σ23 −σ0 σ12 −σ2
σ23 σ123 −σ3 σ2 σ31 −σ12 −σ0 −σ1
σ123 σ23 σ31 σ12 −σ3 −σ2 −σ1 −σ0
(16)
será la versión matricial de la tabla multiplicativa de una base del Álgebra
Geométrica AG(3) del espacio cartesiano R3.
La tabla (16) contiene la tabla multiplicativa de la base de pauli de R2×2 :
σ1 σ2 σ12
σ1 σ0 σ12 σ2
σ2 −σ12 σ0 −σ1
σ12 −σ2 σ1 −σ0
8
versión matricial de la tabla multiplicativa de una base del Álgebra Geométrica
AG(2) del espacio Euclidiano R2 .
Ahora bien, como la R-álgebra C2×2 contiene a
R2×2 = {a0σ0 + a1σ1 + a2σ2 + a12σ12; aJ ∈ R}
como R-subálgebra, podemos considerar el siguiente encaje de álgebras reales
AG(2) ≡ R2×2 < C2×2 ≡ AG(3). (17)
Las ideas anteriores permitiran construir las álgebras geométricas AG(3), con repre-
sentación matricial C2×2, y AG(2) con representación matricial R2×2.
Concluimos esta sección dando una idea de la utilidad de lo que estamos haciendo:
Empleando las siguientes identificaciones en la tabla (13)
σ12 ≡ i, σ31 ≡ j, σ23 ≡ k,
se obtiene la tabla multiplicativa de los cuaterniones de Hamilton 4
i j k
i −1 k −j
j −k −1 i
k j −i −1
H = {a0 + a1i+ a2j + a3k; aα ∈ R}
que contiene la tabla multiplicativa de los complejos 2
1 i
i −1
C = {a0 + a1i; aα ∈ R}.
Con esto ampliamos el encaje (17) y la utilidad de las álgebras geométricas:
R2×2 < C2×2
||| |||
AG(2) < AG(3)
∨ ∨
R < C < H
(18)
4.2 El Álgebra de Matrices de Dirac
Dirac, en su teoría relativista del electrón, consideró las matrices que llevan su nombre:
γ1 =
[
⊙ σ1
σ1 ⊙
]
, γ2 =
[
⊙ σ2
σ2 ⊙
]
, γ3 =
[
⊙ σ3,
σ3 ⊙
]
, γ4 =
[
⊙ −σ0
σ0 ⊙
]
∈ C4×4 (19)
donde ⊙ ∈ C2×2 indica la matriz nula.
9
γ0 ∈ C4×4 denotará la matriz identidad y empleando las siguientes abreviaciones:
γ12 ≡ γ1γ2, γ31 ≡ γ3γ1, γ23 ≡ γ2γ3, γ123 ≡ γ1γ2γ3, y γ1234 ≡ γ1γ2γ3γ4
construyamos la tabla multiplicativa de las matrices de dirac:
γ1 γ2 γ3 γ4
γ1 γ0 γ12 γ13 γ14
γ2 −γ12 γ0 γ23 γ24
γ3 −γ13 −γ23 γ0 γ34
γ4 −γ14 −γ24 −γ34 −γ0
(20)
Notar que, si reescribimos la tabla (12) empleando las identificaciones
σi ≡ γi cuando i ∈ {0, 1, 2, 3}, (21)
podemos imaginar que tabla (12) es parte de la tabla (20) , que C2×2 es subálgebra
de C4×4 y finalmente el seudoencaje de álgebras de matrices:
R2×2 < C2×2 ” < ” C4×4 (22)
sucede que un resultado como este sí se cumple con álgebras geométricas:
R2×2 < C2×2 C4×4
||| ||| |||
R < AG(2) < AG(3) < AG(3, 1)
Concluimos recordando un «comentario antimatrices»: Como reperesentaciones de apli-
caciones lineales no ofrecen la invarianza de referenciales que requiere la Física.
5 Ampliando lo hecho en el Siglo XX
Operando, a partir de la tabla (20), sin emplear explícitamente matrices y usando solo la
asociatividad de su producto, construyamos
la tabla multiplicativa de las multimatrices de dirac:
γ12 γ31 γ23 γ41 γ42 γ43 γ1234
γ12 −γ0 γ23 −γ31 −γ42 γ41 γ1234 γ43
γ31 −γ23 −γ0 γ12 γ4γ3 −γ1234 −γ41 γ42
γ23 γ31 −γ12 −γ0 −γ1234 -γ43 γ42 γ41
γ41 γ42 −γ43 −γ1234 γ0 γ12 −γ31 γ23
γ42 −γ41 −γ1234 γ43 −γ12 γ0 γ23 γ31
γ43 −γ1234 γ41 −γ42 γ31 −γ23 γ0 γ12
γ1234 γ43 γ42 γ41 −γ23 −γ31 −γ12 −γ0
(23)
Ahora bien, identificando los vectores ui, de la base canónica del espacio de Minkowski
R(3,1), con los «vectores matriciales» γi; es decir, considerando:
w ≡ a1γ1 + a2γ2 + a3γ3 + a4γ4 ∈ R(3,1)
10
podemos reconstruir la métrica minkowskiana via la multiplicación de vectores:
ww = a21 + a
2
2 + a
2
3 − a24 = ||w||2
Análogamente, si consideramos: v ≡ a1γ1 + a2γ2 + a3γ3 ∈ R3, podremos reconstruir la
métrica euclideana de R3 via la multiplicación de vectores:
vv = a21 + a
2
2 + a
2
3 = ||v||2
Para apreciar este proceso de unificación debemos abstraer la tabla (23), para ello debemos
ampliar las conocidas raices cuadradas de −1 de complejos y cuaterniones i, j y k
γ0 ≡ σ0 ≡ 1, γ12 ≡ σ12 ≡ i, γ31 ≡ σ31 ≡ j, γ23 ≡ σ23 ≡ k,
incluyendo:
γ41 ≡ l”, γ42 ≡ m”, γ43 ≡ n” y γ1234 ≡ o
con esto se obtiene la tabla 10; es decir,
la tabla multiplicativa de los octoniones asociativos Oa
1 i j k l” m” n” o
i −1 k −j −m” l” o n”
j −k −1 i n” o −l” m”
k j −i −1 o −n” m” l”
l” m” −n” −o 1 i −j k
m” −l” −o n” −i 1 k j
n” −o l” −m” j −k 1 i
o n” m” l” −k −j −i −1
tomar nota que l”, m” y n” son raices cuadradas de 1.
Esto permite ampliar el diagrama (18) y obtener:
R2×2 < C2×2 C4×4
||| ||| |||
R < AG(2) < AG(3) < AG(3, 1)
|| ∨ ∨ ∨
R < C < H < Oa
(24)
a seguir explicitamos algunos detalles.
5.1 El Álgebra real de los Octoniones Asociativos
Recordemos que es la familia de polinomios, presentados en (9),
Oa = {r0 + r1i+ r2j + r3k + r4l” + r5m” + r6n” + r7o; rα ∈ R}
en las variables
i, j, k, l”, m”, n” y o
con la estructura de espacio vectorial usual y con un producto definido operativamente
como el conocido producto de polinomios, con la diferencia de que ahora utilizamos la
11
tabla multiplicativa de Oa, donde ji = −ij recuerda la no conmutatividad.
Con esto verificaremos que Oa es un álgebra real, asociativa y no conmutativa.
El conjugado de o = r0 + r1i+ r2j + r3k + r4l” + r5m” + r6n” + r7o, se define mediante
ō := r0 − r1i− r2j − r3k − r4l”− r5m”− r6n”− r7o.
el grupo de los octoniones asociativos unimodulares se define escribiendo:
Oau := {o ∈ Oa; oō = 1}.
5.2 El Álgebra real de los Cuaterniones
Es la familia de polinomios
H = {r0 + r1i+ r2j + r3k; rα ∈ R},
la tabla multiplicativa de los cuaterniones
1 i j k
i −1 k −j
j −k −1 i
k j −i −1
(25)
es parte de la tabla multiplicativa de los octoniones asociativos Oa, lo que permite verificar
que H es una subálgebra asociativa y no conmutativa de Oa ... H < Oa.
Definiendo el conjugado de q = r0 + r1i+ r2j + r3k mediante
q̄ = r0 − r1i− r2j − r3k
se obtiene el grupo de los cuaterniones unimodulares:
Hu = {q ∈ H; qq̄ = 1}.
A seguir repensamos una «subálgebra de matrices sin matrices» familiar.
5.3 El Álgebra real de los Complejos
Es la familia de polinomios
C = {r0 + r1i; rα ∈ R}.
la tabla multiplicativa de los complejos
1 i
i −1
también es parte de la tabla multiplicativa de los octoniones asociativos Oa, lo que verifica
que C es una subálgebra asociativa y conmutativa de Oa y se obtiene:
el grupo de los complejos unimodulares:
Cu = {z ∈ C; zz̄ = 1}.
12
5.4 El Álgebra real de los Números Hiperbólicos
El lector puede verificar que es la familia de polinomios
H = {r0 + r4l”; rα ∈ R} ⊂ Oa
y que la tabla multiplicativa de los hiperbólicos es
1 l”
l” 1
H resulta subálgebra del álgebra de los octoniones asociativos Oa precisamente:
R2×2 < C2×2 C4×4
||| ||| |||
AG(2) < AG(3) < AG(3, 1) > AG(1, 1)
∨ ∨ ∨ ∨
C < H < Oa > H
(26)
El conjugado de h = r0 + r4l” es definido mediante h̄ = r0 − r4l”, y se obtiene
el grupo de los hiperbólicos unimodulares:
Hu = {h ∈ H; hh̄ = 1}.
6 Reescribiendo lo hecho en el Siglo XX
6.1 Sobre los Espinores de Dirac
• Existe una biyección entre (3,1)-Espinores y el álgebra de los octoniones asociativos:
H2 ∋ (q1, q2) ↔ q1 + q2l” ∈ Oa, (27)
donde q1 = r0 + r1i+ r2j + r3k y q2 = s0 + s1i+ s2j + s3k.
• Existe un isomorfismo de grupos entreSU(3,1) y los octoniones asociativos unimod-
ulares: Oau = {o ∈ Oa t.q. oo = 1} ⊂ AG(3,1)
H2×2 ⊃ SU(3, 1) ∋
[
q1 −q̄2
q2 q̄1
]
↔ q1 + q2l” ∈ Oau (28)
• La acción de este grupo Oau en R(3,1) (para cada o ∈ Oau)
v ∈ R(3,1) −→ w ≡ ovō ∈ R(3,1)
preserva la métrica del espacio de Minkowski R(3,1); en efecto,
usando la asociatividad :
R ∋ ||w||2 = ww = ovōovō = ... = vv = ||v||2 ∈ R
13
6.2 Sobre los Cuaterniones
• Existe una biyección entre 3-Espinores (Espinores de Pauli) y Cuaterniones:
C2 ∋ (z1, z2) ↔ z1 + z2j ∈ H, (29)
donde z1 = r0 + r1i y z2 = r2 + r3i
• Existe un isomorfismo de grupos entre SU(2) y los cuaterniones unimodulares:
Hu
C2×2 ⊃ SU(2) ∋
[
z1 −z̄2
z2 z̄1
]
↔ z1 + z2j ∈ Hu ⊂ AG(3). (30)
donde, para el isomorfismo, consideramos z1 = r0 + r1i y z2 = r2 + r3i.
• La acción del grupo Hu en R3 (para cada q ∈ Hu)
v ∈ R3 −→ w ≡ qvq̄ ∈ R3
preserva la métrica del espacio euclideano R3; en efecto, usando la asociatividad:
R ∋ ||w||2 = ww = qvq̄qvq̄ = vv = ||v||2 ∈ R
6.3 Sobre los Complejos
• Existe una biyección entre 2-Espinores y complejos
R2 ∋ (r1, r2) ↔ r1 + r2i ∈ C.
• Existe un isomorfismo de grupos entre U(1) y los complejos unimodulares Cu :
R2×2 ⊃ U(1) ∋
[
cosθ −senθ
senθ cosθ
]
↔ eθı ∈ Cu ⊂ AG(2). (31)
• La acción del grupo Cu en R2 (para cada q ∈ Hu)
v ∈ R2 −→ w ≡ qvq̄ ∈ R2
preserva la métrica del espacio euclideano R2; en efecto, usando la asociatividad,
R ∋ ||w||2 = ww = qvq̄qvq̄ = vv = ||v||2 ∈ R.
6.4 Sobre los Hiperbólicos
• Existe una biyección entre (1,1)-boost y números hiperbólicos H
R1,1 ∋ (a0, a4) ↔ a0 + a4l” ∈ H.
• Existe un isomorfismo de grupos entre U(1) y los hiperbólicos unimodulares Hu:
R2×2 ⊃ U(1) ∋
[
coshθ −senhθ
senhθ coshθ
]
↔ eθlh ∈ Hu ⊂ AG(1, 1). (32)
• La acción del grupo Hu en R(1,1)
v ∈ R(1,1) −→ w ≡ hvh̄ ∈ R(1,1)
preserva la métrica del espacio de Minkowki R(1,1); en efecto, usando la asociatividad:
R ∋ ||w||2 = ww = hvh̄hvh̄ = vv = ||v||2 ∈ R
14
6.5 Resumiendo los Resultados Tradicionales
Presentamos un diagrama de encajes de álgebras y grupos :
R2×2 < C2×2 C4×4 R2×2
||| ||| ||| |||
AG(2) < AG(3) < AG(3, 1) > AG(1, 1)
∨ ∨ ∨ ∨
C < H < Oa > H
∪ ∪ ∪ ∪
Cu < Hu < Oau > Hu
||| ||| ||| |||
{±[1]} U(1) < SU(2) < SU(3, 1)
∩ ∩ ∩ ∩
R1×1 R2×2 < C2×2 < H2×2
Son precisamente las Álgebras de Clifford (en particular el álgebra real de los octoniones
asociativos Oa) que abstraen, amplían y unifican lo hecho por Pauli y Dirac, con una
presentación integradora de las álgebras más conocidas y de utilidad en la física tradi-
cional. El diagrama arriba permite explicitar que existen:
• Dos encajes de álgebras reales:
R < C < H < Oa > H > R. (33)
• Dos encajes de grupos unimodulares:
Ru < Cu < Hu < Oau > Hu > Ru.
• Una biyección entre (3,1)-espinores y el álgebra de los octoniones asociativos Oa.
• Un isomorfismo de grupos entre SU(3,1) y los octoniones unimodulares Oau.
• Una biyección entre 3-espinores y el álgebra de los cuaterniones H.
• Un isomorfismo de grupos entre SU(2) y los cuaterniones unimodulares Hu.
• Una biyección entre 2-espinores y el álgebra de los complejos C.
• Un isomorfismo de grupos entre U(1) y los complejos unimodulares Cu.
• Una biyección entre (1,1)-espinores (boost) y el álgebra de los hiperbólicos asocia-
tivos Ha.
• Un isomorfismo de grupos entre U(1) y los hiperbólicos unimodulares Hu.
Lo anterior nos muestra que un enfoque amigable del trabajo pionero de Clifford sobre
álgebras geométricas permite:
1. La ampliación de los encajes (33) a los encajes de álgebras geométricas
R < AG(2) < AG(3) < AG(3, 1) > AG(1, 1) > R.
2. La algebrización de la geometría y su aplicación a la Física tradicional y otras áreas,
como puede verse en: [7], [8], [9], [10], [11], [13] y [14].
15
Referencias
[1] Ablamawicz-Sobczyk Lectures on Clifford (Geometric) Algebras and Applications;
Birkhauser, 2004.
[2] Albuquerque, H. - Majid, S. Quasialgebra Structure of the Octonions; DAMTP/97-138
Univ. of Cambridge, UK, 1998.
[3] Baez, J. Octonions; Bulletin of the American Mathematical Society, vol.39, 2002.
[4] Baez - Huerta Octoniones y Teoría de Cuerdas; Investigación y Ciencia, 2011.
[5] Bekken, O. Wessel on Vectors; A Workshop at the History of Mathematics, Norway,
1988.
[6] Dray, T. - Manogue, C. The Geometry of the Octonions; World Scientific, 2015.
[7] Hestenes, D. Space-Time Algebra; Gordon and Breach, 1966.
[8] Hestenes, D. New Foundations for Classical Mechanics; Kluwer Academic Publishers,
1993.
[9] Lisi, A. G. Clifford bundle formulation of BF gravity generalized to the standard model;
arXiv:gr-qc0511120v2.
[10] Lounesto, P. Clifford Algebras and Spinors; Cambridge University Press, 2001.
[11] Prewass, C. Geometric Algebra with Applications in Engineering; Springer, 2009.
[12] Shapiro D. Composition of Quadratic Forms; de Gruyter Verlag, 2000.
[13] Snygg, J. Clifford Algebra, A Computacional tool for Physicists; Oxford University
Press, 1997.
[14] Sobczyk, G. Matrix Gateway to Geometric Algebra, Spacetime and Spinors;
ISBN 9781704596624, 2019.
[15] Vera, E. ¿Física Teórica y Octoniones?; Revista de Investigación de Física, UNMSM,
Vol. 21 numero 1, 2018.
[16] Wood Ch. https://www.quantamagazine.org Quantamagazine, 2018.
[17] Wolchover N. https://www.quantamagazine.org Quantamagazine, 2018.
16
	Detallando nuestra propuesta
	Sobre el Origen del Proceso de Algebrización
	Complementando sobre los siglos XVI, XVII y XVIII
	Presentando lo hecho en el Siglo XIX
	Presentando lo hecho en el Siglo XX
	Las álgebras de matrices de Pauli y Dirac
	Reescribiendo lo hecho en el Siglo XX
	El Álgebra de Matrices de Pauli
	El Álgebra de Matrices de Dirac
	Ampliando lo hecho en el Siglo XX
	El Álgebra real de los Octoniones Asociativos
	El Álgebra real de los Cuaterniones
	El Álgebra real de los Complejos
	El Álgebra real de los Números Hiperbólicos
	Reescribiendo lo hecho en el Siglo XX
	Sobre los Espinores de Dirac
	Sobre los Cuaterniones
	Sobre los Complejos
	Sobre los Hiperbólicos
	 Resumiendo los Resultados Tradicionales