Algebra_CNS1

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Matemáticas II 
Pruebas de Acceso a la Universidad 
 
 1 
 
ÁLGEBRA 
 
 
Junio 94. Comprueba que el determinante 
 3 1 1 1 
1 3 1 1 
 1 1 3 1 
 1 1 1 3




 es nulo sin desarrollarlo. Explica el proceso que sigues.
 [1,5 puntos] 
 
 
Junio 94. 
1. Considerar la matriz 






1 1 
1 2 
A . Probar que las matrices de la forma B = k A + r I, donde k y r son números reales 
e I es la matriz unidad 2 2, conmutan con la A, es decir A B = B A [1,5 puntos] 
 
 
2. Discutir y resolver el siguiente sistema dependiente del parámetro [2,5 puntos] 
 
 
Septiembre 94. Dada la matriz 










1 0
n
1
 1
. Calcular: 
a) La potencia enésima An. [1 punto] 
b) La inversa A 1. [0,5 puntos] 
 
 
Septiembre 94. 
 
1. Sea A una matriz cuadrada. Demuestra que las matrices A At y At A son simétricas, donde At denota la matriz 
traspuesta de A. ¿Son iguales?. Pon un ejemplo. [1,5 puntos] 
 
 
2. Hallar el valor de m para que el siguiente sistema tenga infinitas soluciones y calcularlas 
 
 








0z12yx 
0z7yx 
0z4myx2
 [2,5 puntos] 
 
Junio 95. 
 
1. Sea U una matriz cuadrada n n con todos sus elementos iguales a 1, sea In la matriz unidad n n, y sea un número 
real. Escribir la matriz U I, y calcular su determinante. [2 puntos] 
 
 
2. Discutir el siguiente sistema según los valores del parámetro , y resolver cuando sea posible 
 
 








2z2yx
zyx
1zyx
 [2,5 puntos] 
 
 
Junio 95. Encontrar todas las matrices A tal que 











0 1
2 1
 A 
0 0 1
2 1 0
. [1,5 puntos] 
 








02
2
0
zx
yx
yx



 2 
Septiembre 95. 
 
1. Se dice que una matriz n n cuadrada A es ortogonal si A At = I, donde At es la matriz traspuesta de A e I es la matriz 
unidad n n. Se pide: 
a) Estudiar si la matriz traspuesta y la matriz inversa de una matriz ortogonal son matrices ortogonales. [1 punto] 
b) Si A es ortogonal, hallar A . [1 punto] 
 
 
2. Discutir el siguiente sistema según los valores del parámetro , y resolver cuando sea posible. 
 
 








5zyx3
5yx4
1zyx
 [2,5 puntos] 
 
Septiembre 95. Calcular, sin desarrollar, el valor del siguiente determinante, enumerando las propiedades de los 
determinantes utilizadas: 
 
5 1 1 1 5
1 4 1 1 5
1 1 3 1 5
1 1 1 2 5
 1 1 1 1 5
 [2 puntos] 
 
Junio 96. Sin desarrollarlo, calcular razonadamente el valor del determinante de la matriz 














ab c 1
ac b 1
 cb a 1
A [1,5 
puntos]. Deducir de ahí los posibles valores del rango de A [1 punto]. 
 
 
Junio 96. Hallar el rango de la matriz 














2a 4a 1
a 1aa 1 
1 3 1 
A 2 según sea el valor del parámetro a [2 puntos]. 
Indicar cuándo existe la inversa de A [0,5 puntos]. 
 
 
Septiembre 96. Sean 







0 1
1 1 
A , 







1 1
1 1 
B y O la matriz nula 2 2. Se pide: 
 a) Encontrar todas las matrices X tales que A X = B [1,5 puntos] 
 b) Encontrar todas las matrices Y tales que Y B = O [1 punto] 
 
 
Septiembre 96. Hallar el valor o valores de a para que el sistema 








az)1a(yx
1z)1a(y2x
1yx 
 sea compatible e 
indeterminado [1,5 puntos]. Resolverlo en esos casos [1 punto]. 
 
 
 
Junio 97. Discutir el sistema 








1 yx
3azyx
0zyax
 según los valores del parámetro a [1,5 puntos]. Resolverlo en los 
casos en que admita infinitas soluciones [1 punto]. 
 
 
 
Matemáticas II 
Pruebas de Acceso a la Universidad 
 
 3 
 
Junio 97. Dada la matriz 











0 1 0
0 0 1
0 0 0
A , encontrar todas las matrices B tales que A B = B A [1,5 puntos]; 
Calcular An con n entero positivo [1 punto]. 
 
 
Septiembre 97. Dadas las matrices 











3 5 0
1 2 0
 0 0 1
A y 











0 0 1
0 1 0
1 0 0
B , hallar la matriz X dada por A X A
1 = B 
[2,5 puntos]. 
 
 
Septiembre 97. Hallar el rango de la matriz 














1 a 1 1
0 1a 1 0
 1 1 a 1
B según sea el valor del parámetro a [2,5 
puntos] 
 
Junio 98. Discutir el sistema 









0zax
0z)1a(y)1a(
1azy)1a(x
2
2
2
 según sea el valor del parámetro a [1,5 puntos]. Hallar, si 
existe, la solución del mismo cuando a = 0 [1 punto] 
 
Junio 98. Determinar a, b y c para que la matriz 















c b a
2
1
 
2
1
 0
0 0 1
A verifique que su traspuesta At coincide con 
su inversa A-1 [1,5 puntos]. Calcular en todos esos casos la matriz A4 [1 punto]. 
 
Septiembre 98. Hallar los valores del parámetro a para que el sistema de ecuaciones 








0azy)1a(x
0zyax
0zx
 admita 
infinitas soluciones [1,5 puntos]. Resolverlo en cada uno de esos casos [1 punto]. 
 
 
Septiembre 98. Dadas las matrices 








3 2
2 2
A y 






0 1
1 0
B , encontrar todas las matrices 2 2 X tales que X A 
= X [1 punto] y todas las matrices Y tales que Y A = B [1,5 puntos]. 
 
Junio 99. Las matrices X e Y son las soluciones del sistema de ecuaciones matriciales 












 










0 3
4 1
Y2X
5 1
3 2
YX2
. Se pide 
hallar X e Y [1 punto] y calcular si tiene sentido X 1 e Y 1 (razonar la posible respuesta negativa) [1,5 puntos]. 
 
 
Junio 99. Discutir según el valor del parámetro a el sistema lineal 








1azx
1z23y8ax
1z20y7ax
 [1,5 puntos] y resolverlo en 
los casos en que tenga infinitas soluciones [1 punto]. 
 4 
Septiembre 99. Hallar en función de a el rango de la matriz 













a 1 4
3 a 0
1 0 1
A [1,5 puntos] y calcular cuando exista 
la matriz inversa A 1 en los casos a = 1 y a = 1 [1 punto]. 
 
 
Septiembre 99. Disponemos de tres lingotes de distintas aleaciones de tres metales A, B y C. El primer lingote 
contiene 20 g del metal A, 20 g del B y 60 del C. El segundo contiene 10 g de A, 40 g de B y 50 g de C. El tercero 
contiene 20 g de A, 40 g de B y 40 g de C. Queremos elaborar a partir de estos lingotes uno nuevo que contenga 15 g de 
A, 35 g de B y 50 g de C. ¿Cuántos gramos hay que coger de cada uno de los tres lingotes? [2,5 puntos]. 
 
 
Junio 00. Hallar, si existe, una matriz cuadrada 2 2 A que cumpla las siguientes condiciones: 
 
1) Coincide con su traspuesta. 
2) Verifica la ecuación matricial 




 





 






 3 3 
3 3
1 0
1 1
A 
1 1
1 1 
 
3) Su determinante vale 9. [2,5 puntos] 
 
Junio 00. Discutir el sistema de ecuaciones 








aazy)1a(x
0z)1a(y
1zx
 según los valores del parámetro a [1 punto]. 
Resolverlo en todos los casos de compatibilidad [1,5 puntos]. 
 
 
Septiembre 00. Dada la matriz 












2 0 1
0 a 0 
1 0 0 
A , se pide: 
i) Hallar el valor o valores de a para que se cumpla la igualdad A2 + 2 A + I = O, siendo I la matriz identidad de orden 
3 y O la matriz nula de orden 3 [1,5 puntos]. 
ii) Calcular en esos casos la matriz inversa de A [1 punto]. 
 
 
Septiembre 00. Sea A una matriz 4 4 cuyas filas, de arribaa abajo son F1, F2, F3 y F4 y cuyo determinante vale 2. Sea 















0 0 0 1
0 0 1 0
1 0 0 0
0 1 0 0
B . Calcular razonadamente: 
1) El determinante de la matriz A B [1 punto] 
2) El determinante de la matriz 3 A [0,5 puntos] 
3) El determinante de la matriz cuyas filas son (de arriba a abajo): 2F1 + F2 , F2 , 3F4 y F3+F1 [1 punto] 
 
 
Junio 01. Dadas las matrices 











0 0 0
a 0 0
0 a 0
A e 











1 0 0
0 1 0
0 0 1
I3 , se pide: 
a) Hallar An para todo entero positivo n [1 punto] 
b) Calcular, si existe, la inversa de la matriz A y la de la matriz I3 + A [1,5 puntos] 
 
 
Junio 01. Tenemos una matriz 3 3 cuyas columnas son (de izquierda a derecha): C1 , C2 , C3 y su determinante vale 
2. 
a) Se considera la matriz A cuyas columnas son (de izquierda a derecha): C2 , C3+C2 , 3C1 , calcular razonadamente el 
determinante de la matriz A
1
 caso de que esta matriz inversa exista [1,5 puntos]. 
b) Sea ahora la matriz cuyas columnas son: C1+C2 , C2+C3 , C3 C1. Razonar la existencia o no existencia de la matriz 
inversa de la misma [1 punto] 
Matemáticas II 
Pruebas de Acceso a la Universidad 
 
 5 
 
Septiembre 01. Dado el sistema de ecuaciones dependiente del parámetro a: 








azy3x2
aazyx
azy2x
, se pide: 
1) Discusión del mismo en función del parámetro a. [1 punto] 
2) Resolución en los casos de compatibilidad. [1,5 puntos] 
 
 
Septiembre 01. Dadas las matrices: 











2 0 0
1 2 1
0 0 2
A e 











1 0 0
0 1 0
0 0 1
I3 , se pide: 
a) Calcular A2 – 4A + 4I3 [1 punto] 
b) Calcular, si existe, la inversa de la matriz A [1,5 puntos] 
 
 
Junio 02. a) Discute el sistema 









1zayx)1a(
0zya
0y)1a(x)1a(
2
2
2
 según el valor del parámetro a. [1,3 puntos] 
b) Halla, si existe, la solución cuando a = 4. [1,2 puntos] 
 
 
Junio 02. Sea M 














 ba, ; 
a b
b a
.. 
a) Prueba que si A, B M también A+B y AB están en M. [1 punto] 
b) Determina las matrices C M que verifican que C2 = 2C. [1,5 puntos] 
 
Septiembre 02. Sean A y B las matrices siguientes: 











0 1 1
0 2 0
1 0 1
A 











2 0 0
0 1 1
1 1 0
B 
Es fácil comprobar que ambas tiene el máximo rango, que es 3. Pero ¿qué ocurre si las combinamos linealmente? En 
concreto, estudia el rango de la matriz A + B según los valores del parámetro . [2,5 puntos] 
 
Septiembre 02. a) Discute el sistema de ecuaciones 








1aaz2x3
1azyax
0zyx2
 según el valor del parámetro a. [1,5 puntos] 
b) Halla, si existe, la solución cuando a = 0. [1 punto] 
 
 
Junio 03. Luis, Juan y Óscar son tres amigos. Luis le dice a Juan: Si yo te doy la tercera parte del dinero que tengo, los 
tres tendremos la misma cantidad. Calcular lo que tiene cada uno de ellos sabiendo que entre los tres reunen 60 euros. 
[2,5 puntos] 
 
 
Junio 03. Buscar una matriz cuadrada X (pueden existir varias) cuyo primer elemento valga 2 y tal que la siguiente 
suma 













 
111
11
06
22
XX 
sea la matriz nula [2,5 puntos] 
 Nota: El primer elemento de una matriz es que el está en la primera fila y en la primera columna. 
 6 
Septiembre 03. Discutir el sistema de ecuaciones 








1
22
1
azyx
azyx
zyax
 según los valores del parámetro a [1,5 
puntos]. Entre los valores de a que hacen el sistema compatible elegir uno en particular y resolver el sistema que resulte 
al reemplazar a por el valor elegido [1 punto]. 
 
 
Septiembre 03. Sean las matrices 




 

24
11
A ; 







14
01
B . Vemos que ambas tienen rango máximo, o sea 2. 
Determinar los valores de c tales que la matriz A + cB ya no tenga rango 2 [1,5 puntos]. ¿Cuál es el rango que tienen 
las respectivas matrices suma? [1 punto] 
 
 
Junio 04. Cuando el año 1800 Beethoven escribe su primera Sinfonía, su edad es diez veces mayor que la del 
jovencito Franz Schubert. Pasa el tiempo y es Schubert quien compone su célebre Sinfonía Incompleta. Entonces la 
suma de las edades de ambos músicos es igual a 77 años. Cinco años después muere Beethoven y en ese momento 
Schubert tiene los mismos años que tenía Beethoven cuando compuso su primera Sinfonía. 
 Determinar el año de nacimiento de cada uno de estos dos compositores. [2,5 puntos] 
 Nota: Solamente se calificarán los resultados obtenidos matemáticamente, no los derivados de los conocimientos 
histórico-musicales del examinando. 
 
Junio 04. Sea el sistema 








azay
zax
zyx
02
53
. 
Se pide clasificarlo según los valores del parámetro a [1,5 puntos] y resolverlo si en algún caso es compatible indeter-
minado [1 punto] 
 
Septiembre 04. Sea el sistema homogéneo de ecuaciones 








02
0
02
zayx
zyax
zyx
 
a) Determinar el valor o valores del parámetro a para que el sistema tenga soluciones distintas de la nula [1,5 puntos] 
b) Resolver el sistema para el valor o valores de a hallados en el apartado anterior [1 punto] 
 
 
Septiembre 04. Determinar una matriz cuadrada X que verifique 




 

33
22
XAAX siendo 






11
01
A [2 
puntos]. Luego analizar si la matriz X es inversible, y en el caso de serlo calcular su matriz inversa [0,5 puntos] 
 
 
Junio 05. Eva, Marta y Susana son tres jóvenes amigas que se comprometen a leer el Quijote este verano. Cada una 
por separado y en función del tiempo del que dispone, decide leer un mismo número de páginas cada día hasta terminar 
la obra. Eva leerá diariamente 5 páginas más que Marta y ésta 6 páginas más que Susana. Por ello Eva terminará la obra 
dos semanas antes que Marta y ésta 30 días antes que Susana. Se pregunta cuál es el total de páginas que tiene la 
versión de la inmortal obra cervantina que leen estas amigas. [2,5 puntos] 
 
Junio 05. La terna 0) , 0 , 0( es siempre solución del sistema 








02
0
02
zyax
zyax
azyx
 independientemente del valor del 
parámetro a. 
a) Indicar para qué valores del parámetro la citada terna es la única solución del sistema. [1,5 puntos] 
b) Indicar algún valor del parámetro, si existe, para el cual el sistema tenga algunas soluciones distintas de la nula y 
mostrar estas soluciones. (Nota: si se encuentran varios valores del parámetro cumpliendo la condición pedida, para 
responder a esta cuestión basta tomar uno solo de ellos). [1 punto] 
 
 
 
 
Matemáticas II 
Pruebas de Acceso a la Universidad 
 
 7 
 
Septiembre 05. A, B y C son tres ciudades que forman un triángulo de manera que entre cada dos de ellas hay una 
carretera recta que las une. Se sabe que si se va de A a B dando la vuelta por C se hace un recorrido tres veces mayor 
que si se va directamente de A a B. Asimismo si para ir de A a C se da la vuelta por B el recorrido es el doble que si se 
va directamente de A a C. 
Calcular las distancias entre las tres ciudades sabiendo que la suma de las tres distancias es igual a 120 kilómetros. [2,5 
puntos] 
 
Septiembre 05. Estudiar según el valor del parámetro  , el sistema de ecuaciones 








2
1



zyx
zyx
zyx
 y resolverlo si 
en algún caso es compatible indeterminado. [2,5 puntos] 
 
 
Junio 06. Se consideran las matrices 







111
21
A

 y 











20
0
31
B  donde  es un número real. 
a) Encontrar los valores de  para los que la matriz AB tiene inversa. [1,5 puntos] 
b) Dados a yb números reales cualesquiera, ¿puede ser el sistema 
















b
a
z
y
x
 A compatible determinado con A la 
matriz del enunciado?. [1 punto] 
 
 
Junio 06. Sea la matriz 













22
22
2
abab
baab
ababa
A 
a) Sin utilizar la regla de Sarrus, calcular el determinante de dicha matriz. [1,5 puntos] 
b) Estudiar el rango de A en el caso en que ab  . [1 punto] 
 
 
Septiembre 06. La liga de fútbol de un cierto país la juegan 21 equipos a doble vuelta. Este año, los partidos ganados 
valían 3 puntos, los empatados 1 punto y los perdidos 0 puntos. En estas condiciones, el equipo campeón de liga obtuvo 
70 puntos. Hasta el año pasado los partidos ganados valían 2 puntos y el resto igual. Con el sistema antiguo, el actual 
campeón hubiera obtenido 50 puntos. ¿Cuántos partidos ganó, empató y perdió el equipo campeón? [2,5 puntos] 
 
Septiembre 06. Teniendo en cuenta que 7
zyx
rqp
cba
 , calcular el valor del siguiente determinante sin desarrollarlo 
czbyax
rcqbpa
c3b3a3

 [2,5 puntos] 
Junio 07. Considerar el sistema lineal de ecuaciones en x, y y z: 
 x 3y z 5
mx 2z 0
my z m
  

 
  
 
a) Determinar los valores del parámetro m para los que el sistema tiene solución única. Calcular dicha solución para 
m 1 . [1 punto] 
b) Determinar los valores del parámetro m para los que el sistema tiene infinitas soluciones. Calcular dichas soluciones.
 [1 punto] 
c) Estudiar si existe algún valor de m para el cual el sistema no tiene solución. [0,5 puntos] 
 
 8 
Junio 07. Un cajero automático contiene 95 billetes de 10, 20 y 50 euros y un total almacenado de 2000 euros. Si el 
número total de billetes de 10 euros es el doble que el número de billetes de 20, averiguar cuántos billetes de cada tipo 
hay. [2,5 puntos] 
 
Septiembre 07. Dadas las matrices 
3 1 1 0
A , I
8 3 0 1
   
    
    
 
a) Comprobar que     
22det A det A [0,5 puntos] 
b) Estudiar si para cualquier matriz 
a b
M
c d
 
  
 
 de orden 2 se cumple que     
22det M det M [1 punto] 
c) Encontrar la relación entre los elementos de las matrices M cuadradas de orden 2 que satisfacen: 
      det M I det M det I   [1 punto] 
 
Septiembre 07. Sean 
0
A 0 0
0 0 0
 

 
 
  
 
 
 y 
1 k t
B 0 1 k
0 0 1
 
 
  
 
 
 
 
a) Estudiar para qué valores de  y  la matriz A tiene inversa. [0,5 puntos] 
b) Calcular A5. [1 punto] 
c) Hallar la matriz inversa de B. [1 punto] 
 
 
Junio 08. 
Opción A. a) (1,5 puntos) Sean A, B, I las matrices: 
0 1 1 6 3 4 1 0 0
A 1 1 0 , B 3 2 1 , I 0 1 0
1 0 0 4 1 5 0 0 1
      
     
        
          
. 
Estudiar si existe algún valor de  para el cual se satisfaga  
2
A I B  . 
 
b) (1 punto) Teniendo en cuenta que 
x y z
1 0 2 1
1 1 3
 , determinar el valor de 
x 1/ 4 4
y 0 4
z 1/ 2 12
 
Opción B. (2,5 puntos) Dado el sistema 
x 3y az 4
ax y az 0
x 2ay a 2
2x y 2z 0
  

   

   
   
 . Discutirlo según los valores de a, y resolverlo 
cuando sea compatible. 
 
 
Septiembre 08. 
Opción A. (2,5 puntos) Hallar una matriz 
a b
X
c d
 
  
 
 de orden 2 tal que 1A X A B  siendo 
3 1
A
2 1
 
  
  
 
y 
1 1
B
2 1
 
  
 
 
 
Opción B. a) (1 punto) Probar que      
2 2 2
1 1 1
a b c b a c a c b
a b c
    
b) (1,5 puntos) Hallar la solución del sistema de ecuaciones 
x 2y 3z 0
x 4y 9z 2
  

  
 que además satisface que la suma de 
los valores correspondientes a cada una de las incógnitas es 4. 
 
 
 
Matemáticas II 
Pruebas de Acceso a la Universidad 
 
 9 
 
Junio 09. 
 
Opción A. a) [1,5 puntos] Discutir y resolver en función de los valores del parámetro m el sistema lineal 
 2 2
2
x y z 1
mx m y m z 1
mx my m z 1
  

  
   
 
 
b) [1 punto] Teniendo en cuenta que 
0 1 1
1 0 1 2
1 1 0
 , determinar el valor del determinante 
2
1
2 1
0 a a
a 0 a
a a 0

 
. 
Opción B. a) [1,25 puntos] Dada la matriz 
1 0 0
A 1 1 0
0 0 1
 
 
  
 
 
, calcular la inversa de la matriz nA . 
b) [1,25 puntos] Estudiar para qué valores del parámetro  , existe un único polinomio 
2P(x) a bx cx   que 
satisface P (0) , P (1) 0 , P ( 1) 0     . 
 
 
Septiembre 09. 
Opción A. a) [1,5 puntos] Sean las matrices 
2 a
A
b c
 
  
 
, 
1 0
I
0 1
 
  
 
 de orden 2. Hallar la relación entre los 
parámetros a, b y c para que se verifique que 1A 2I A   . 
b) [1 punto] Calcular, en función de los valores del parámetro k, el rango de la matriz 
1 2 1
B 1 1 3
5 1 k
 
 
  
  
. 
Opción B. a) [1,25 puntos] Resolver el siguiente determinante sin utilizar la regla de Sarrus: 
 
a b c
a c b a c b
a c b a c b
     
  
. 
b) [1,25 puntos] Para 
1 2 3 4
M
1 1 2
 
  
 
, calcular 
nM con n . 
 
Junio 10. 
a) Estudiar para qué valores de a el determinante de la matriz 
0 2
0 1 0
0
 
 
  
   
a a
A a
a a
 es no nulo. Para 3a  , obtener 
el determinante de la matriz 2A . (1,5 puntos) 
 
b) Sean las matrices 
1 1
2 0
0 3
A
 
 
  
 
 
 y 
1 2 1
0 3 1
B
 
  
 
. Calcular el rango de  
T
AB . (1 punto) 
 
Junio 10. 
a) Estudiar para qué valores de x, la matriz inversa de 
2
5
x
x
 
 
 
 coincide con su opuesta. (1,5 puntos) 
b) Dos hermanos de tercero y cuarto de primaria iban camino del colegio con sus mochilas cargadas de libros todos del 
mismo peso. Uno de ellos se lamentaba del peso que transportaba y el otro le dijo: “¿De qué te quejas? Si yo te 
cogiera un libro, mi carga sería el doble que la tuya. En cambio si te diera un libro, tu carga igualaría a la mía” 
 ¿Cuántos libros llevaba cada hermano? (1 punto) 
 
 
 10 
Septiembre 10. 
 
a) Discutir y resolver cuando sea posible el siguiente sistema lineal: (1,75 puntos) 
ax y 0
2x y az 1
y az 1
 

   
  
 
b) ¿Existe algún valor del parámetro a para el cual el vector 
1
2
0
 
 
 
 
 
 sea solución del sistema anterior? (0,75 puntos) 
Septiembre 10. 
Dada la matriz 
cosα senα 0
A senα cosα 0
0 0 β
 
 
  
 
 
 
 a) Estudiar si existen valores de α y β para los cuales la matriz A sea simétrica. ¿Será la matriz TB A A igual a 
la matriz identidad en algún caso? (1 punto) 
 b) Razonar cuál es la relación entre el determinante de A y el de B. (0,75 puntos) 
 c) Discutir y resolver cuando sea posible el sistema 
x 1
B y 1
z 1
   
   
   
   
   
. (0,75 puntos) 
Junio 11. 
a) (1,25 puntos) Estudiar para qué valores de  el determinante de la matriz 
0 1 2
α 1 1 α 2
1 α 1 2
 
 
    
   
A tiene rango 
máximo. 
b) (1,25 puntos) Siendo 1A la inversa de la matriz A , calcular  
2
1A  para 1   . 
Junio 11. 
a) (1 punto) Sean las matrices 
cos sen
A
sen cos
  
  
   
 y 
0
0 0
0
cos sen
B
sen cos
  
 
  
    
. Estudiar qué valores de  y  
hacen que sea cierta la igualdad:       
2
2 1 0det A det A det B   
b) (1,5 puntos) Utilizar las propiedades de los determinantes para calcular el valor de 
2 3 4
2 3 4
2 3 4
a b
c d
 
 
 
con a, b, c, d  
 
Septiembre 11. 
Sea la matriz 
1
A
0
 
  
 
. 
a) (0,75 puntos) Calcular el determinante de la matriz  TA A con TA la traspuesta de A. 
b) (0,75 puntos) Estudiar para qué valores del parámetro  se satisface la ecuación 
 
2 T 24 A 2 A 2 0 con A det A     
c)(1 punto) Obtener la inversa de A cuando sea posible. 
 
 
Septiembre 11. 
 
(2,5 puntos) Utilizar las propiedades de los determinantes para obtener los valores de a y b que satisfacen 
simultáneamente las ecuaciones 
Matemáticas II 
Pruebas de Acceso a la Universidad 
 
 11 
2 2
a b 1 2
a a
a b 0 1 0 y 0
a ba
a 2b 3 2

  

 
 
Junio 12. 
Sean a un número real y el sistema lineal 
2
ax y z 1
x ay z a
x y az a
  

  
   
 
a) (1,5 puntos) Calcule el determinante de la matriz de los coeficientes y determine para qué valores de a el 
sistema anterior es incompatible, compatible determinado y compatible indeterminado. 
b) (1 punto) Resuelva el sistema anterior en el caso a 0 
Junio 12. 
a) (1,5 puntos) Comprueba que la matriz M es inversible y calcule su inversa, donde 
1 0 1
M 2 1 1
1 2 2
 
 
  
  
 
b) (1 punto) Encuentre las matrices A y B que cumplen las siguientes ecuaciones 
 
3 2 0 1 4 0
8A 5B 2 1 3 , 2A B 2 1 3
0 3 3 0 1 1
   
   
        
       
 
Septiembre 12. 
a) (0,5 puntos) El determinante de la matriz A que aparece a continuación es 2 
1 0 1
A 1 2 1
0 1 1
 
 
  
  
 
 Sin utilizar la regla de Sarrus, determine cuánto vale el determinante de la matriz B siguiente (enuncie las 
propiedades que utilice): 
1 0 2
B 1 2 4
0 1 0
 
 
  
  
 
 b) (2 puntos) Sea C la siguiente matriz: 
sen x cos x 0
C cos x sen x 0
1 sen x x
 
 
  
 
 
 
 Determine los valores de x para los que la matriz C tiene inversa y calcularla cuando sea posible. 
 
Septiembre 12. 
a) (1,5 puntos) Determine para qué valores de m el siguiente sistema de ecuaciones: 
mx 2y 6z 0
2x my 4z 2
2x my 6z m 1
  
  
   
 
 es compatible determinado, compatible indeterminado o incompatible. 
 b) (1 punto) Se sabe que una matriz simétrica B de dimensión 3 3 tiene como determinante 3 . Determine el 
determinante de la matriz 
tB B donde 
tB denota la traspuesta de B. 
 
 
 
 
 
 
 
 12 
SOLUCIONES 
 
Junio 94. 
Se basa en la propiedad: “si a una línea le sumamos una 
combinación lineal de las demás paralelas, el determi-
nante no varía”. Suma a la primera columna (por 
ejemplo) las paralelas a ella y todos sus elementos son 
iguales a cero, con lo que el determinante será cero. 
 
Junio 94. 
1. Construye la matriz B y comprueba que A B = B A 
2. Si 1, 1, 0: el sistema es compatible determina- 
 do. Soluciones: 
21
2
x


 , 
21
2
y


 , 
21
4
z


 
 Si = 1, 1: el sistema es incompatible 
 Si = 0: el sistema es compatible indeterminado. 
Soluciones: 0x  , 2y  , z = k 
 
Septiembre 94. 
a) 






1 0
1 1
An b) 












1 0
n
1
 1
A 1 
Septiembre 94. 
1.   ttttttt AAAAA)A(AA  es simétrica 
   AAAA)A(AAA ttttttt  es simétrica 
 No tienen por qué ser iguales: A At At A. Puede 
comprobarse con la matriz 






0 0
1 1
A 
2. m = 6. Soluciones: 
5
k2
z ,ky ,
5
k19
x  
unio 95. 
1. 


















0 ... 
.................
 ... 0 
 ... 0
IU 
  IU 1n)()1n(  
 
2. Si 0, 1: sistema compatible determinado. 
 Soluciones: 



2
1
x
2
, 



2
12
y
2
 , 
 



2
)1()1(
z
2
 
 Si = 0: sistema incompatible. 
 Si = 1: sistema compatible indeterminado. 
 Soluciones: x = k , y = 1 k , z = 0 
 
Junio 95. 











y x 
y22 x1
0 1 
A 
 
Septiembre 95. 
1. a) Sí, son ortogonales. b) 1A  
 
2. Si 0, 3: sistema compatible determinado. 
 Soluciones: 



3
5
x , 
)3(
5




y , 
 
 
 
 Si = 0 ó = 3: sistema incompatible. 
 
Septiembre 95. 
120 
 
Junio 96. 
0A  . Si a = b = c: rg (A) = 1 ; en cualquier otro 
caso: rg (A) = 2. 
 
Junio 96. 
 Si a 1, 1: rg (A) = 3 A 1 
 Si a = 1: rg (A) = 2 
 Si a = 1: rg (A) = 1 
 
Septiembre 96. 
a) 






0 0
1 1
X b) 






b b
a a
Y 
 
Septiembre 96. 
Si a = 1: el sistema es compatible indeterminado. 
Soluciones: x = 1, y = 0 , z = k 
 
Junio 97. 
 Si a 1, 2: sistema compatible determinado 
 Si a = 1: sistema incompatible 
 Si a = 2: sistema compatible indeterminado 
 Soluciones: x = 1 k , y = 2 k , z = k. 
 
Junio 97. 











a b c
0 a b
0 0 a
B 











0 0 0
0 0 0
0 0 0
An 
 
Septiembre 97. 












5 10 2 
3 6 1
3 5 0 
X 
 
Septiembre 97. 
 Si a 0 , 1: rg B = 3 
 Si a = 0 ó a = 1 rg B = 2 
 
Junio 98. 
 Si a 1 , 1: sistema compatible determinado 
 Si a = 1: sistema incompatible 
 Si a = 1: sistema incompatible. 
 Para a = 0 el sistema es compatible determinado y sus 
soluciones son: x = 0 , y = 1 , z = 1. 
 
 
)3(
5




z
Matemáticas II 
Pruebas de Acceso a la Universidad 
 
 13 
 
Junio 98. 
a = 0 , b = 
2
1
 , c = 
2
1
 (b y c distinto signo) 
3
4
1 IA  ; 












1 0 0
0 1 0
0 0 1
A
4
2 
 
Septiembre 98. 
Tiene infinitas soluciones cuando a = 0 y cuando a = 1. 
Para a = 0: x = k , y = k , z = k 
Para a = 1: x = k , y = 0 , z = k 
 
Septiembre 98. 









b b2
a a2
X 













1 
2
3
1 1
Y 
Junio 99. 









2 1
2 1
X 




 

1 1
1 0
Y 
X 1 pues X = 0. Y 1 pues Y 0: 







0 1
1 1 
Y 1 
Junio 99. 
 Si a 1 , 1: sistema compatible determinado 
 Si a = 1: sistema incompatible 
 Si a = 1: sistema compatible indeterminado. 
 Soluciones: x = 1 + k , y = 3k , z = k 
 
Septiembre 99. 
 Si a 1 , 3: rg A = 3 
 Si a = 1 ó a = 3: rg A = 2 
 Para a = 1: 






















8
1
 
8
1
 
2
1
8
3
 
8
5
 
2
3
8
1
 
8
1
 
2
1
 
A 1 
 
Septiembre 99. 
25 grs del A, 50 grs del B y 25 grs del C. 
 
Junio 00. 









5 1
1 2
A 
 
Junio 00. 
 Si a 1 , 2: sistema compatible determinado. 
 Soluciones: 
2a
1a
x


 , 
2a
1a
y


 , 
2a
1
z

 
 Si a = 1: sistema compatible indeterminado. 
 Soluciones: x = 1 k , y = 0 , z = k 
 Si a = 2: sistema incompatible. 
 
 
 
 
Septiembre 00. 
i) a = 1 ii) 













0 0 1 
0 1 0 
1 0 2
A 1 
Septiembre 00. 
1) 2)1(2BABA  
2) 162A3  
3) 12 
 
Junio 01. 
a) Para n = 1: 











0 0 0
a 0 0
0 a 0
An 
 para n = 2: 













0 0 0
0 0 0
a 0 0
A
2
n 
 para n 3: 











0 0 0
0 0 0
0 0 0
An 
b) A 1 pues A = 0. (I3 + A)
1 = 














1 0 0
 1 0
a 1 2
a
a
 
Junio 01. 
a) A = 6 ; A 1 = 
6
1
 
b) En este caso: A 1 pues A = 0 
 
Septiembre 01. 
a) Si a 0: sistema compatible determinado. 
 Si a = 0: sistema compatible indeterminado. 
b) Para :0a  x = a 1 , y = a+1 , z = 1 
 Para :0a    z , y , x 
Septiembre 01. 
a) El resultado es la matriz nula 3 3 
b) 



















2
1
 0 0 
4
1
 
2
1
 
4
1
0 02
1
 
A 1 
 
Junio 02. 
a) Si a 1 , 1: sistema compatible determinado 
 Si a = 1 , 1: sistema incompatible 
b) 
75
1
x  , 
15
1
y  , 
15
16
z  
 
Junio 02. 
a) Comprueba que al sumar y multiplicar dos matrices 
de M sus resultados también pertenecen a M. 
 14 
b) 






1 1
1 1
C 








1 1
1 1 
C 
Septiembre 02. 
 Si 1 , 1: rg (A+ b) = 3 
 Si = 1 ó = 1: rg (A+ B) = 2 
Septiembre 02. 
a) Si a 3 , 1: sistema compatible determinado 
 Si a = 3: sistema incompatible 
 Si a = 1: sistema compatible indeterminado. 
b) 
3
1
x  , 
6
5
y  , 
6
1
z  
Junio 03. 
Luis: 30 € , Juan: 10 € , Óscar: 20 € 
 
Junio 03. 











1112
222
X 
Septiembre 03. 
 Si a  1 , 2: sistema compatible determinado 
 Si a = 1: sistema incompatible 
 Si a = 2: sistema compatible indeterminado 
Por ejemplo, para a = 0: x = 2 , y = 0 , z = 1 
Septiembre 03. 
c = 1 , c = 6. 
El rango es 1. 
Junio 04. 
Beethoven nació en 1770 y Schubert en 1797. 
Junio 04. 
 Si a 0 y 5: sistema compatible determinado. 
 Si a = 0: sistema compatible indeterminado. 
 Soluciones: x = 5 – 3 , y = , z = 0 
 Si a = 5: sistema incompatible. 
Septiembre 04. 
a) 
4
1
 ; 0  aa 
b) Para  zyxa :0 
 Para 

 zyxa , 
3
2
 , 
3
4
 :
4
1
 
Septiembre 04. 















2
4
1
1
2
3
X . 
X es inversible: 













11
6
11
1
11
4
11
8
1X 
Junio 05. 
1400 páginas. 
Junio 05. 
a) Para 0a y 2a 
b) Para a = 0 y para a = 2. 
 Para a = 0:   zyx , , 2 
 Para a = 2:   zyx , , 0 
Septiembre 05. 
  30, BAd kms ;   40, CAd kms ; 
  50, CBd kms. 
Septiembre 05. 
 Si 1 : el sistema es compatible determinado 
 Si 1 : el sistema es compatible indeterminado. Las 
soluciones son:  1x , y , z . 
Junio 06. 
a) AB tiene inversa 2 , 
2
1
 
b) No, A tiene un rango máximo 2 y el nº de incógnitas 
es tres. 
Junio 06. 
a)    222 babaaA  
b) 1Arg  
Septiembre 06. 
20 partidos ganados, 10 empatados y 10 perdidos 
Septiembre 06. 
21 
Junio 07. 
a) m 0 y m 1. Si m 1: x 2 , y 2 , z 1        
b) 
5
m 0. x , y , z 0
3



    
c) m 1  
Junio 07. 
50 billetes de 10 €, 25 de 20 € y 20 de 50 € 
Septiembre 07. 
a) Calcular y comprobar 
b) Sí se cumple (demostrar) 
c) 
a b
M
c a
 
  
 
 
Septiembre 07. 
a) A no tiene inversa en ningún caso. 
b) A5 es la matriz nula. 
c) 
2
1
1 k k t
B 0 1 k
0 0 1

  
 
  
 
 
 
Junio 08. 
Opción A. a) 2  b) 1 
Opción B. Para a 2 y a 3   : sistema incompatible 
 Para a 2 : sistema compatible indeterminado 
 Soluciones: 
4 8 8 2
x , y , z
7 7
   
    
 Para a 3:  sistema compatible determinado 
 Soluciones: x 1 , y 0 , z 1   
Septiembre 08. 
Opción A. 
9 11
X
6 7
 
  
  
 
Matemáticas II 
Pruebas de Acceso a la Universidad 
 
 15 
 
Opción B. 
a) Aplicar propiedades de los determinantes 
b) x 13 , y 14 , z 5    
Junio 09. 
Opción A. 
a) Para m 0 y m 1:  compatible determinado 
 Soluciones: 
m 1 1
x ; y 0 ; z
m m

    
 Para m 0 : incompatible 
 Para m 1: compatible indeterminado 
 Soluciones: x 1 ; y ; z      
b) 2 
Opción B. a) 
1 0 0
n 1 0
0 0 1
 
 
 
 
 
 
b) 0  
Septiembre 09. 
Opción A. a) ab 1 , c 0   
b) Si k 11: rgB 3  . Si k 11: rgB 2  
Opción B. a) 0 
b) n
I si n es par
M
M si n es impar

 

 
Junio 10. 
a) Para 0 y 1a a  
b)   2
T
rg AB  
Junio 10. 
a) 3x   
b) 7 y 5 libros. 
Septiembre 10. 
a) - Si a 0 : Sistema compatible determinado. 
 Soluciones: 
1
x 0 ; y 0 ; z
a
   
 - Si a 0 : Sistema incompatible 
b) No. 
Septiembre 10. 
a) α kπ , β  . Cuando β 1  
b) 
2
B A 
c) - Si β 0 : Sistema compatible determinado. 
 Soluciones: 
2
1
x 1 ; y 1 ; z
β
   
 - Si β 0 : Sistema incompatible 
Junio 11. 
a) 
1
, 0
2
   
b)  
2
1
1 1 2
0 2 3
1 0 1

 
 
   
  
A 
 
 
Junio 11. 
a) ; 1   
b)  2 ad bc 
Septiembre 11. 
a) 4 
b) 0  
c) 
2
1 1 1A para 0
0 1

  
   
  
 
Septiembre 11. 
5
a 0 , b 0 ; a , b 1
2
    
Junio 12. 
a) 3A a 3a 2   
  Para a 1 y a 2 :   compatible determinado 
  Para a 1: compatible indeterminado 
  Para a 2 :  incompatible 
b) 
1 1 1
x , y , z
2 2 2
    
Junio 12. 
a) M es inversible porque M 0 
 1
0 2 5 1 5
M 1 3 5 1 5
1 2 5 1 5

 
 
  
  
 
b) 
1 11 0 1 18 0
A 6 3 6 , B 10 5 9
0 1 1 0 1 1
    
   
      
       
 
Septiembre 12. 
a) B 2 
b) 
1C x 0   
 
 
1
2
sen x cos x 0
C cos x sen x sen x
sen x cos x 1 sen x cos x 1
x x x

 
 
 
   
 
   
 
 
 
Septiembre 12. 
a)  Para m 2 :  compatible determinado 
  Para m 2:  incompatible 
  Para m 2 : incompatible 
b) 
tB B 24   
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 16