Álgebra lineal, Selectividad CCSS Cataluña

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1. [2014] [EXT] Si un vendedor de artículos de lujo hace un descuento del 20% sobre el precio de venta de un artículo, gana 1848 €
sobre el precio de coste; si hace un descuento del 50%, pierde 420 €.
a) Calcule el precio de coste y el precio de venta del artículo.
b) ¿Qué porcentaje aplica sobre el precio de coste para calcular el precio de venta?
2. [2014] [EXT] El propietario de un bar ha comprado refrescos, cerveza y vino, por un total de 5.000 €, sin impuestos. El vino vale
600 € menos que los refrescos y la cerveza juntos. Si tenemos en cuenta que por los refrescos ha de pagar un IVA del 6%, por la
cerveza uno del 12% y por el vino uno del 30%, entonces la factura total, con impuestos incluidos, sube a 5.924 €. Calcule cuánto
ha pagado, sin IVA, por cada clase de bebida.
3. [2014] [JUN] Sean las matrices A = x 0
0 x
 e I = 1 0
0 1
, determine x para que se verifique la ecuación A2-6A+5I = O, donde O es
la matriz cuyos elementos son 0.
4. [2014] [JUN] Pol, Julia y María han comprado un regalo. Julia ha gastado la mitad de dinero que María, y Pol ha gastado el triple
que Julia.
a) Explique razonadamente si con estos datos basta para determinar cuánto ha gastado cada uno de ellos.
b) Si además nos dicen que entre los tres han gastado 63 €, ¿cuánto ha gastado cada uno?
5. [2013] [EXT] Sean las matrices A = 2 1
-1 -1
 y B = -2 5 .
a) Resuelva la ecuación matricial X + 2A = X·A, donde X es la matriz incógnita.
b) Hay alguna matriz Y que verifique Y·A = B? ¿Y que verifique A·Y = B? Justifique sus respuestas.
6. [2013] [EXT] Julia, Pol y María han ido a comprar fruta. Julia ha comprado un kilogramo de manzanas, dos de melocotones y tres
de naranjas, y ha pagado 9 €. Pol ha comprado dos kilogramos de manzanas y cuatro de melocotones, y ha pagado 12 €. María, en
cambio, ha comprado cuatro kilos de manzanas y dos de naranjas, y ha pagado 8 €. Calcule el precio del kilogramo de cada fruta.
7. [2013] [EXT] En los dos últimos años, el valor de las acciones en bolsa de una empresa ha bajado un 20% anual.
a) Este año, en cambio, las acciones han subido un 30%. ¿Cuál es el porcentaje global de pérdida en estos tres años?
b) ¿Cuál debería ser el porcentaje de ganancias de este tercer año si el balance global de los tres años acaba siendo equilibrado,
es decir, sin pérdidas ni ganancias?
8. [2013] [JUN] Sean las matrices A = 2 a
-2 0
 y B = 3 0
b -1
.
a) Determine el valor de los parámetros a y b para que A·B = B·A.
b) Determine el valor de a para el cual se verifica A2 = 2A.
9. [2012] [EXT] Consideremos las matrices A = 1 1 1
-1 -1 2
, B = 
2 -1
-1 2
0 1
 y C = 1 2
-1 1
.
a) Halle una matriz X que cumpla que A·B + X = C.
b) Calcule C3.
10. [2012] [EXT] Una tienda vende latas de bebida a 0,6 € la lata, pero si compramos un paquete de seis latas nos cobran 3 €.
a) ¿Cuál es el porcentaje de ahorro al comprar un paquete respecto a la compra de seis latas sueltas?
b) En una semana, la tienda ha vendido 240 latas y ha ingresado 132,6 €. ¿Cuántos paquetes de seis latas ha vendido?
11. [2012] [JUN] Consideremos las matrices A = 2 1 3
-1 0 4
 y B = 1 -1
0 5
.
a) Justifique si es posible efectuar A·B o B·A. En caso afirmativo, calcúlelo.
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b) Calcule B2 y B3.
12. [2012] [JUN] Joan, Pere y Marc tienen, entre los tres, sesenta y tres años. Si Joan tuviera tres años menos, su edad sería el
doble de las edades de Pere y Marc juntos. Si Pere tuviera un año más, su edad sería la mitad de la de Marc. ¿Cuál es la edad
actual de cada uno de ellos?
13. [2011] [EXT] Considera la matriz A = 1 -1 3
-3 1 -2
.
a) Una matriz B, cuya primera fila es 2 1 , tiene dos columnas y cumple que A·B = 1 3
1 2
. Complétela.
b) Calcule (A·B)-1.
14. [2011] [JUN] Considere que la matriz A = -1 2 2
2 1 -1
.
a) Una matriz B, cuya primera fila es 1 0 tiene dos columnas y cumple que A·B = 5 -2
3 -5
. Complétela.
b) Haga los cálculos pertinentes para comprobar que (A·B)t = Bt·At.
15. [2011] [JUN] Una empresa compra tres inmuebles por un valor total de 2 millones de euros. Al venderlos, espera tener unas
ganacias del 20%, del 50% y del 25%, repectivamente, que le reportarán unos beneficios totales de 600000 euros. Si embargo,
en el momento de ponerlos a la venta, consigue unas ganancias del 80%, del 90% y del 85%, repectivamente, lo que reporta unos
beneficios totales de 1,7 millones de euros. ¿Cuánto había pagado por cada inmueble?
16. [2010] [EXT] Considere las siguientes matrices: A = 2 1
-4 -2
, B = 1 6
5 -4
 y C = 0 1
1 0
.
a) Determine la matriz X para que X + BC = A2.
b) Calcule las matrices C6 y C7.
17. [2010] [EXT] Si sumamos 2 unidades al denominador de una fracción, la nueva fracción vale 1 unidad. En cambio, si sumamos 3
unidades al numerador de la fracción original, la nueva fracción vale 2 unidades. Determine la fracción original.
18. [2010] [JUN] Una tienda ha vendido 225 lápices de memoria de tres modelos distintos, que llamaremos A, B y C, y ha ingresadoun
total de 10 500 €. El lápiz A cuesta 50 €, y los modelos B y C son, respectivamente, un 10 % y un 40 % más baratos que elmodelo
A. La suma total de lápices vendidos de los modelos B y C es la mitad que la de los lápices vendidos del modelo A. Calculecuántos
ejemplares se han vendido de cada modelo.
19. [2009] [EXT] Diga si un sistema de dos ecuaciones con tres incógnitas puede ser incompatible. Justifique la respuesta y, en su
caso, ponga un ejemplo.
20. [2009] [EXT] Considere el siguiente sistema de ecuaciones: 
3x-y+2z = 0
x-2y+z = 0
x+3y = 0
.
a) Explique, razonadamente, cuántas soluciones tiene.
b) Halle una solución con z = 5.
21. [2009] [JUN] Considera el sistema de ecuaciones siguiente: 
x-2y+3z = 3
-x+y+2z = 1
7x-10y+z = a
.
a) Indica para qué valores del parámetro a el sistema es incompatible.
b) Resuelve el sistema para el valor de a para el cual el sistema es compatible, y encuentra una solución entera.
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22. [2009] [JUN] Un comerciante compra 10 televisores y 6 equipos de música. De acuerdo con el precio marcado debería pagar
10480 €. Como paga al contado le hacen un descuento del 5% encada televisor y un 10% en cada equipo de música, y sólo tiene que
pagar 9842 €. ¿Cuál es el precio marcada de cada televisor y cada equipo de música?
23. [2008] [EXT] Considere el siguiente sistema de ecuaciones lineales: 
x+y+3z = k
2y+z = 0
x+3y+k2z = 2
.
a) Discuta el sistema en función del parámetro k.
b) Determine la solución del sistema para el valor de k que hace el sistema indeterminado.
c ) Halle la solución para k = 1.
24. [2008] [EXT] Una persona ha invertido 6 000 € comprando acciones de dos empresas, A y B. Al cabo de un año, el valor de las
acciones de la empresa A ha subido un 5%, mientras que el valor de las acciones de la empresa B ha bajado un 10 %. A pesar de
ello, si vendiera ahora las acciones ganaría 150 €. Determine cuánto dinero invirtió en acciones de cada empresa.
25. [2008] [JUN] Considere el siguiente sistema de ecuaciones: 
x+y+z = 5
2x+3y+z = 3
ax+10y+4z = 2
.
a) Halle los valores de a para los cuales el sistema no es compatible determinado.
b) Halle el valor de a para el cual el valor de x es 2. Determine también los valores de y y de z en ese caso.
26. [2008] [JUN] Un trayecto de 200 km debe hacerse combinando taxi, ferrocarril y autobús. El coste del taxi es de 5 €/km; el del
ferrocarril, de 2 €/km, y el del autobús, de 3 €/km. El recorrido nos ha costado 500 €, por haber hecho el doble de kilómetros en
ferrocarril que en taxi y autobús juntos. Determine las distancias que hemos recorrido en cada medio de transporte.
27. [2007] [EXT] Resuelva el siguiente sistema: 
x+2y-5z = -1
-3x+y-2z = 7
2x-3y+z = -12
28. [2007] [EXT] Una persona va a la bodega y compratres tipos de vino. En total compra 20 botellas y se gasta 100 €. Compra
botellas de tres tipos, A, B y C, que cuestan 3 €, 7 € y 8 €, respectivamente. Halle el número de botellas que ha comprado decada
tipo, sabiendo que ha comprado al menos una de cada tipo.
29. [2007] [JUN] a) Discuta el siguiente sistema en función de los valores del parámetro a: x+(a+1)y = 1
ax+2y = -2
.
b) Resuélvalo para el valor de a que lo hace indeterminado.
30. [2006] [EXT] Discuta en función del parámetro a el siguiente sistema: 
x+y+z = 5
5x+y-z = 11
3x-y+az = 2
.
31. [2006] [EXT] Indique TODOS los productos de dos matrices distintas que se pueden hacer con las siguientes matrices: A =
a b
c d
, B = 
a b
c d
e f
, C = a b c
d e f
, D = a
b
, E = a b .
32. [2006] [JUN] Dadas las matrices A = 2 3
1 2
 y B = 1 3
2 6
, averigüe si existe una matriz C que verifique B•C = A, y en su caso,
calcúlela.
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33. [2006] [JUN] Discuta en función del parámetro p el sistema de ecuaciones lineales de matriz ampliada 
1 3 -2
0 p+5 7
0 0 p-1
8
5
0
34. [2005] [EXT] Un almacén de ruedas de vehículos de diferentes tipos tiene el stock de componentes (en centenares de unidades)
dado por la siguiente tabla:
Neumáticos Tapacubos Llantas
Utilitarios 3,1 0,3 2,1
Berlinas 1,6 1,1 0,6
Todo terrenos 0,9 0 0,2
La cantidad de kilos de materia prima necesaria para cada componente es:
Acero Caucho
Neumáticos 0,1 4,6
Tapacubos 1 0,05
Llantas 5 0
a) Calcule el total de acero acumulado en el almacén.
b) Calcule el total de caucho acumulado en el almacén.
35. [2005] [EXT] Sean las matrices A = 1 0
-1 0
, B = 0 1
1 -1
 y C = -1 -1
1 1
. Halle la matriz X = A·(B–C).
36. [2005] [JUN] Resuelva el siguiente sistema de ecuaciones: 
x+y+z = 1
2x+3y-4z = 9
x-y+z = -1
37. [2005] [JUN] Una marca comercial utiliza tres ingredientes A, B y C en la elaboración de tres tipos de pizzas P1, P2 y P3. Lapizza
P1 se elabora con 1 unidad de A, 2 de B y 2 de C; la P2 se elabora con 2 unidades de A, 1 de B y 1 de C, y la P3 se elabora con2
unidades de A, 1 de B y 2 de C. El precio de venta al público es de 4,80 € para P1, 4,10 € para P2 y 4,90 € para P3. Sabiendo queel
margen comercial (beneficio) es de 1,60 € en cada una de ellas, halle cuánto cuesta cada unidad de A, B y C a la mencionada marca
comercial.
38. [2004] [EXT] Discuta y, en su caso, resuelva el siguiente sistema: 
4x+6y-8z = 2
6x+9y-12z = 3
x+2y+z = 10
.
39. [2004] [EXT] Tenemos dos cajas de libros A y B. Si pasamos 12 libros de la caja A a la B, las dos cajas tendrán la misma cantidad
de libros. Si pasamos 12 libros de la B a la A, la caja A tendrá el triple de libros que la caja B. ¿Cuántos libros contiene cada caja?
40. [2004] [JUN] Juana y Mercedes tenían 20000 € cada una para invertir. Cada una de ellas distribuye su dinero de la misma forma
en tres partes P, Q y R, y las ingresa en una entidad financiera. Al cabo de un año, a Juana le han dado un 4% de interés por la
parte P, un 5% por la parte Q y un 4% por la parte R y a Mercedes le han dado un 5% por la parte P, un 6% por la parte Q y un 4%
por la parte R. Juana ha recibido en total 850 € de intereses, mientras que Mercedes ha recibido 950 €. ¿De qué cantidad de
euros constaba cada una de las partes P, Q y R?
41. [2004] [JUN] Tres hermanos tienen edades diferentes, pero sabemos que la suma de las edades de los tres hermanos es de 37
años, y la suma de la edad del mayor más el doble de la edad del mediano más el triple de la edad del menor es de 69 años.
a) Exprese las edades de los tres hermanos en función de la edad del hermano menor.
b) ¿Es posible que el hermano menor tenga 5 años? ¿Y 12 años? Razone la respuesta.
c) Calcule la edad de los tres hermanos.
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42. [2003] [EXT] Considere un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas y con coeficientes reales. ¿Es posible que el
sistema tenga exactamente dos soluciones? ¿Y exactamente tres soluciones? Justifique las respuestas.
 Soluciones
1. a) 4200, 7560 b) 80% 2. (1200,1600,2200) 3. 1, 5 4. a) no b) (31'50,10'50,21) 5. a) 6 2
-2 0
 b) -7 -12 ; no 6. (1'50,2'25,1) 7. a) 16'8% b) 56'25% 8. a)
0, -4 b) 0 9. a) 0 0
0 0
 b) -5 2
-1 -5
 10. a) 16'67% b) 19 11. a) AB = 3 1 -1
-5 0 20
 b) 1 -6
0 25
; 1 -31
0 125
 12. 43, 6, 14 13. a) 
2 1
19 19
6 7
 b) -2 3
1 -1
 14. a) 
1 0
2 -3
1 2
15. 0'5, 0'5 y 1 (en millones) 16. a) -6 -1
4 -5
 b) 1 0
0 1
, 0 1
1 0
 17. 7
5
 18. 150, 50, 25 19. si 20. a) c.i. b) (-3,1,5) 21. a) a  5 b) (7k-5,5k-4,k) 22. 820, 380
23. a) k = -2: inc; k = 2: c.i. k{-2,2}: c.d. b) (5m+2,m,-2m) c) 11
6
, 1
6
,-1
3
 24. 5000, 1000 25. a) 7 b) 1; -2, 5 26. 16'67, 133'33, 50 27. -2, 3, 1 28. 11, 5, 4 29. a)
a= 1: inc; a = -2: c.i; a{-2,1}: c.d. b) (1+k,k) 30. a = -3: inc; a  -3: c.d. 31. AC, AD, BA, BC, BD, CB, DE, EA, EC, ED 32. no 33. p= -5: inc; p = 1: c.i.; p{-5,1}: c.d. 34.
1646; 2583 35. 1 2
-1 -2
 36. 1, 1, -1 37. 0'60, 0'50, 0'80 38. c.i. (11k-28,19-6k,k) 39. 60, 36 40. 5000, 5000, 10000 41. a) 5+x, 32-2x, x b) no, no c) 15, 12, 10
42. no; no
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