Álgebra lineal Selectividad CCNN Asturias

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Selectividad CCNN Asturias
1. [2014] [EXT-A] En un partido de baloncesto femenino, el equipo de la Universidad de Oviedo ganó al de otra universidad española
con un marcador de 64 a 48. El marcador obtenido por el equipo ganador se consiguió mediante canastas de dos puntos, triples
(canastas de tres puntos) y tiros libres (canastas de un punto). El número de tiros libres fue dos más que cinco veces el número
de triples. Además, el número de canastas de dos puntos fue dos más que el número de tiros libres.
a) Plantee el sistema de ecuaciones resultante de lo anterior.
b) Escriba la matriz ampliada del sistema obtenido en a).
c) ¿Cuántas canastas de cada tipo metió el equipo de la Universidad de Oviedo?
2. [2014] [EXT-B] Dados los números reales a, b, c, d, se considera la matriz A = a b
c d
. Pruebe que el polinomio p(x) = det A-xI2 es
p(x) = x2-traza(A)x+det(A).
Nota: traza(A) es la suma de los elementos de la diagonal de A.
3. [2014] [JUN-A] Dado el sistema 
-ax+2y = a
x-(1+a)y = a
(1-a)z = 1
a) Estudie su compatibilidad según los valores del parámetro real a.
b) Resuélvalo, si es posible, cuando a = -1.
4. [2014] [JUN-B] Dado el número real a se considera la matriz A = 
1 a a+1
1 1 0
1 a a-1
a) Halle los valores de a para los cuales la matriz A tiene inversa.
b) Obtenga la solución del sistema homogéneo cuya matriz es A en los casos en que sea compatible indeterminado.
5. [2013] [EXT-A] Se considera la matriz A = 
-a 2 0
1 -1-a 0
0 0 1-a
a) Obtenga los valores de a para los que det(A) = 0.
b) Discuta el sistema homogéneo de matriz A según los valores del número real a.
c) Resuélvalo, si es posible, en el caso a = 1.
6. [2013] [EXT-B] En el primer curso de un centro de la Universidad de Oviedo se han matriculado 352 alumnos divididos en tres
titulaciones distintas. En la tercera titulación hay la tercera parte de alumnos que en la primera, y la diferencia de alumnos que
hay entre la primera titulación y la segunda es inferior en dos alumnos al doble de los alumnos que hay en la tercera.
a) Establezca un sistema de ecuaciones con las condiciones del problema, en función del número de alumnos de cada titulación, y
obtenga el número de alumnos que hay en cada titulación.
b) Calcule el determinante de la matriz del sistema.
7. [2013] [JUN-A] Dado el sistema 
ax+y+z = 0
x+ay+z = 0
x+y+az = 1
a) Estudie su compatibilidad según los valores del parámetro real a.
b) Resuélvalo cuando a sea nulo si es posible.
8. [2013] [JUN-B] Dado el número real a se considera la matriz A = 
1 a 1
1 1 0
1 0 0
. Halle el rango de la matriz A2-At, según los distintos
valores de a.
Nota: At es la matriz traspuesta de A.
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9. [2012] [EXT-A] Dado el sistema 
x+y+z = 2
ax+y = 1
x+y+2z = 3
a) Estudie su compatibilidad según los distintos valores de a.
b) Resuélvalo cuando sea compatible indeterminado.
10. [2012] [EXT-B] Dados los números reales a, b, c, x, consideremos la matriz A = 
x b c-4
a x 3
b c x
.
a) Halle los valores de a, b, c, x, para los cuales A es antisimétrica. (Recuerde que la matriz A es antisimétrica si At = -A).
b) Si a = b = c = 1, halle el rango de A según los valores de x.
c) Si a = b = c = 0, resuelva la ecuación |A+At| = 0.
Nota: At denota la matriz traspuesta de A.
11. [2012] [JUN-A] Se consideran las matrices A = 
3 -1 0
-1 3 0
0 0 2
 e I3 = 
1 0 0
0 1 0
0 0 1
.
a) Resuelva la ecuación det A-x·I3 = O.
b) Discuta el sistema homogéneo de matriz A-x·I3 según los valores del número real x.
c) Resuélvalo en aquellos casos en que el sistema sea compatible determinado.
12. [2012] [JUN-B] Dado el sistema 
x+y = 1
ay+z = 0
z+(1+a)y+az = a+1
a) Estudie su compatibilidad según los distintos valores de a.
b) Resuélvalo en el caso en que sea compatible indeterminado.
13. [2011] [EXT-A] Sea la matriz A = 
a 2 1
0 -1 -a
1 -2 a
a) Estudie su rango según los valores del número real a.
b) Resuelva el sistema homogéneo cuya matriz es A en el caso a = -1.
14. [2011] [JUN-A] Se considera la matriz A = 
a+1 2 a+1
0 a-1 1-a
1 1 a
.
a) Obtenga los valores del número real a para los que A tiene matriz inversa.
b) Halle, si es posible, la matriz inversa de A en el caso a = 0.
15. [2011] [JUN-B] Dado el sistema 
x+ay-z = 1+a
x+y-az = 2
x-y-z = a
a) Estudie su compatibilidad según los valores de a.
b) Resuélvalo cuando el sistema sea compatuible indeterminado.
16. [2010] [EXT-A] Dado el sistema 
x+y+z = 1
2x+y+mz = 1
4x+y+m2z = m
a) Estudie su compatibilidad según los valores de m. 
b) Resuélvalo cuando sea compatible indeterminado.
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17. [2010] [EXT-B] Dada la matriz A = 
1 m 0
0 1 m
1 1 -2
a) Calcule el determinante de A. 
b) Indique los valores de m para los que A tiene matriz inversa.
c) Halle, si existe, la matriz inversa de A cuando m = 1.
18. [2010] [JUN-A] Dado el sistema 
2x-y+z = 2
ax-y+z = 1
x+ay+z = 1
a) Discuta su compatibilidad según los distintos valores de a.
c) Resuélvalo, si es posible, cuando a = 0.
19. [2010] [JUN-B] Dada la matriz A = 
1 2 0
2 1 1
0 0 1
a) Calcule los valores de m para los que la matriz A-mI no tiene inversa.
b) Calcule, si existe, la inversa de la matriz A-2I.
Nota: I es la matriz identidad de orden 3.
20. [2009] [EXT] Dado el número real m, se considera la matriz A = 
1 1 1
1 m 1
m 1 1
.
a) Halle los valores de m para los que la matriz A tiene inversa.
b) Para m = 2, halle, si existe, la inversa de A.
c) Para m = 2, calcule el vector X que verifique A·X = B, siendo B = 
-4
1
4
.
21. [2009] [EXT] Se considera el sistema 
2y+az = a
(a-2)x+y+3z = 0
(a-1)y = 1-a
.
a) Estudie el sistema, según los valores de a.
b) Resuélvalo cuando sea compatible indeterminado.
22. [2009] [JUN] Dado el número real a, se considera el sistema 
x-ay+z = a
ax-y+z = 1
-ax-y+z = a
a) Discuta el sistema según los valores de a.
b) Resuelva el sistema para el caso a = 2.
23. [2009] [JUN] Se consideran las matrices P = 
0 1 3
2-a 1 a
3 3 a
 y Q = 
1 0 1
0 2 -1
1 1 2
.
a) Según los valores de a, estudie el rango de P.
b) Para el caso a = 1, halle X tal que P·X = Q.
24. [2008] [EXT] Dado un número real a, se considera el sistema 
2x+ay+6z = 0
ax+2y+4z = 2
ax+2y+6z = a-2
.
a) Discuta el sistema según los valores de a.
b) Resuelva el sistema para el caso a = 1.
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25. [2008] [EXT] Se considera una matriz cadrada A de orden 3 que verifica la ecuación A2 = 6A-9I, donde I = 
1 0 0
0 1 0
0 0 1
.
a) Exprese A4 como combinación lineal de I y A.
b) Estudie si la matriz B = 
1 3 1
-2 6 1
2 -3 2
 verifica la ecuación B2 = 6B-9I. Determine si B tiene inversa y, si la tiene, calcúlela.
26. [2008] [JUN] Sean las matrices A = 
x y x
y 0 y
1 z z
, B = a 2 3 y C = 4 0 2 .
a) Halle los valores de x, y, z para los que A no tiene inversa.
b) Determine los valores de a para los que el sistema B·A = C tiene solución.
c) Resuelva el sistema anterior cuando sea posible.
27. [2007] [EXT] Sea la matriz A = 
-1 -2 -2
1 2 1
0 -1 -1
.
a) Comprueba que verifica A3-I = O, con I la matriz identidad y O la matriz nula.
b) Calcula A12.
c) Basándose en los apartados anteriores y sin recurrir al cálculo de inversas halla la matriz X que verifica la igualdad
A2X + I = A.
28. [2007] [EXT] Dado el sistema 
2x+y = a
(1-a)x-y = 1
ax+y = a
,
a) Estudia su compatibilidad, según los valores de a.
b) Resuélvelo cuando sea posible.
29. [2007] [JUN] Sean las matrices A = 
0 1 2
1 0 2
1 a 1
 y B = 
0 1 2 3
1 0 2 2
1 a 1 1+a
.
a) Estudia, en función de a, el rango de las matrices A y B.
b) Calcula, para a = -1, la matriz X que verifica A·X = B.
30. [2007] [JUN] Cierto país importa 21.000 vehículos de tres marcas A, B y C al precio de 10.000, 15.000 y 20.000euros
respectivamente. El total de la importación asciende a 322 millones de euros. Se ha observado que también hay 21.000 vehículos
contando solamente los de la marca B y  veces los de la A.
a) Plantea un sistema de ecuaciones con las condiciones del problema en función del número de vehículos de cada marca.
b) Establece el número de vehículos de cada marca suponiendo  = 3.
c) Estudia si existe algún valor de  para el cual la situación no pueda darse en el campo de los números reales.
31. [2006] [EXT] Sean las matrices A = 
1 0
2 k
0 1
, B = k 0 -1
1 1 2
.
a) Estudia, en función de los valores reales de k, si la matriz BA tiene inversa.
b) Lo mismo para la matriz AB.
32. [2006] [EXT] Dado el sistema 
(a+2)x + (a-1)y - z = 3
ax - y + z = 3
x + ay - z = 1
a) Estudia su compatibilidad según los valores de a.
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b) Resuélvelo para el caso a = -1.
33. [2006] [JUN] Dada la matriz A = 
1 0 -1
0 x 3
4 1 -x
 donde x es un número real, halla:
a) Los valores de x para los que la matriz A posee inversa.
b) La inversa de A para x = 2.
c) Con x = 5, el valor de b para que la matriz bA tenga determinante 1.
34. [2006] [JUN] Dado el sistema 
ax + y + z = 1
x + ay + z = 1
x + y = 1
a) Estudia su compatibilidad según los valores de a.
b) Resuélvelo cuando sea posible.
35. [2005] [EXT] Dado el sistema 
x+y = 1
ay+z = 0
x+(1+a)y+az = a+1
a) Estudia su compatiblidad según los valores de a.
b) Resuélvelo para a = 2.
36. [2005] [EXT] Si la matria A = 
a b c
d e f
g h i
 tiene determinante k, ¿cuáles son los valores de los siguientes determinantes?:
a) 
d 2e f
a 2b c
g 2h i
b) 
a+b b 2c
d+e e 2f
g+h h 2i
37. [2005] [JUN] Resuelve las siguientes ecuaciones en la variable x:
a) 
0 1 x
x x 1
-x 1 x
 = 0 b) 
1 1 1
1 x 1
1 1 x2
 = 0
38. [2005] [JUN] En un cajero automático se introducen billetes de 10, 20 y 50 euros. El número total de billetes es 130 y el totalde
dinero es 3000 euros. Se sabe que el número de billetes de 10 es  veces los billetes de 50 euros.
a) Calcula el número de billetes de cada tipo, suponiendo que  = 2.
b) Para  = 3, ¿qué ocurre con la situación del cajero planteada?
c) Siguiendo con  = 3, si se tuvieran 100 billetes en el cajero, ¿cuánto dinero debería haber para que sea posible una
composicióin del cajero?
39. [2004] [EXT] Sea el sistema 
2x+ay+ z=2
x+ay = 1
 - y+az=0
a) Estudia su compatibilidad según los valores de a.
b) Resuélvelo cuando sea compatible indeterminado.
40. [2004] [EXT] Dadas las matrices A = 
m 2 6
2 m 4
2 m 6
, B = 
2 2
1 0
-1 2
:
a) Discute el rango de A según los valores de m.
b) ¿Qué dimensiones ha de tomar la matriz X para que sea posible la ecuación AX = B?
c) Calcula X para m = 0.
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41. [2004] [JUN] Dadas las matrices A = 
1 0 2
-2 1 x
1 x 0
, C = 
1 0
0 1
0 0
 y D = 1 0
0 1
,
a) Para qué valor de x la matriz A posee inversa?
b) Calcula la inversa de A para el valor x = -1.
c) ¿Qué dimensiones debe tener una matriz B para que la ecuación matricial A·B = C·D tenga sentido? Calcula B para el valor x =
-1.
42. [2004] [JUN] Las edades (en años) de un niño, su padre y su abuelo verifican las siguientes condiciones: La edad del padre es 
veces la de su hijo. El doble de la edad del abuelo más la edad del niño y más la del padre es de 182 años. El doble de la edad del
niño más la del abuelo es 100.
a) Establece las edades de los tres suponiendo que  = 2.
b) Para  = 3, ¿qué ocurre con el problema planteado?
c) Siguiendo con  = 3, ¿qué ocurre si en la segunda condición la suma es 200 en vez de 182?
43. [2003] [JUN] Sea el sistema 
x-3z = -1
y-t = 2
-3y+2z = 0
-4x+t = -5
a) Discutir su compatibilidad según los valores de .
b) Resolverlo para  = 7.
44. [2003] [JUN] a) Si A es una matriz no singular y (B-C)A = O, siendo O la matriz nula, comprobar que B = C.
b) Según el resultado del apartado anterior, cuando A = 2 -6
-1 3
, la matriz X que verifica la ecuación XA = O es la matriz nula. ¿Es
cierta esta afirmación? ¿Por qué?
 Soluciones
1. a) 
2x+3y+z = 64
z = 5y+2
x = z+2
 b) 
2 3 1 64
0 -5 1 2
1 0 -1 2
 c) (19,3,17) 3. a) a{-2,1}: inc; a{-2,1}: c.d. b) -1,0, 1
2
 4. a) a1 b) (-k,k,0) 5. a) -2, 1 b) a{-2,1}: c.i.; a{-2,1}: c.d. c)
(2k,k,m) 6. a) (210,72,70) b) -5 7. a) a{-2,1}: inc; a{-2,1}: c.d. b) 1
2
, 1
2
,-1
2
 8. a 1
2
,2 : 2; a 1
2
,2 : 3 9. a) a=1: c.i.; a1: c.d. b) (k,1-k,1) 10. a) -7, 7, -3, 0 b)
x{-1,0,1}: 2; x{-1,0,1}: 3 c) 0, -5
2
, 5
2
 11. a) 2, 4 b) x{2,4}: c.i.; x{2,4}: c.d. c) (0,0,0) 12. a) a=1: inc; a=0: c.i; a{0,1}: c. d. b) (1-k,k,0) 13. a) a -1, 1
3
: 2;
a -1, 1
3
: 3 b) (3k,k,k) 14. a{-2,1} b) 1
2
-1 1 3
1 -1 -1
1 1 -1
 15. a = -1: inc; a = 1: c.i; a  1: c.d. b) 2k+3
2
, 1
2
,k 16. a) m=2: inc; m=1: c.i ; m{1,2}: c.d. b) (0,1-k,k) 17. a)
m2-m-2 b) m{-1,2} c) 1
2
3 -2 -1
-1 2 1
1 0 -1
 18. a) a{-1,2}: inc; a{-1,2}: c.d. b) 1
2
,-1
2
, 1
2
 19. a) m{-1,1,3} b) 1
3
1 2 2
2 1 1
0 0 -3
 20. a) m1 b) 
-1 0 1
-1 1 0
3 -1 -1
 c) 
8
5
-17
 21. a)
a{0,2}: inc: a=1: c.i.; a{0,1,2}: c.d. b) (3-5k,k,1-2k) 22. a) a=0: inc; a=1: c.i.; a{0,1}: c.d. b) -1
3
,-3
4
,3
4
 23. a) a = 4 7: 2; a4 7: 3 b) 1
2
-4 14 -14
5 -15 17
-1 5 -5
 24. a) a =
-2: inc; a = 2: comp. ind; a{-2,2}: comp. det. b) 10
3
,7
3
,-3
2
 25. a) A4 = 108A-243I b) 1
27
15 -9 -3
6 0 -3
-6 9 12
 26. a) z = 1, y = 0, x; b) a  0; c) a+2
a2
,-1
a
, 1
3
 27. b) I c)
0 2 4
0 -1 -2
-1 0 1
 28. a) a{-1,2} inc. ; a{-1,2} c.d. b) a = -1: (0,-1) ; a = 2: (3,-4) 29. a) a = -1
2
, rg(A)=rg(B)=2 ; a -1
2
, rg(A)=rg(B)=3. b) 
1 0 0 0
0 1 0 1
0 0 1 1
 30. a)
x+y+z = 21000
2x+3y+4z = 64400
x+y = 21000
 b) 1400, 16800, 2800 c)  = 2 31. a) si b) no 32. a) a = 0: inc ; a = -1: c.i. ; a{-1,0}: c.d. b) (k-1,-2,k) k 33. a) x{1,3} b) 
-7 -1 2
12 2 -3
-8 -1 2
 c) -1
2
34. a) a = 1: c.i. ; a  1: c.d. b) a = 1: k,1-k,0 ; a 1: 1
2
, 1
2
,1-a
2
 35. a) a=1: incomp.; a=0: comp.ind.; a{0,1}: comp.det. b) (2,-1,2) 36. a) -2k b) 2k 37. a) 0, -1, 1 b) -1, 1
38. a) 80, 10, 40 b) imposible c) 2000 39. a) a{-1,1}: comp. ind. a{-1,1}: comp. det. b) a = -1: (1-k,-k,k) ; a = 1: (1-k,k,k) 40. a) m{-2,2}: 2 m{-2,2}: 3 b) 3x2 c)
5
2
-2
4 -2
-1 1
 41. a) - -2+ 2,-2- 2 b) 
-1 -2 -2
-1 -2 -3
1 1 1
 c) 
-1 -2
-1 -2
1 1
 42. a) 18, 36, 64 b) incomp c) comp. indet. 43.  = 18, inc.   18, c.d.  = 7: -67
22
,- 5
11
,- 15
22
,-27
11
 44.
b) X = a 2a
c 2c
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