Álgebra lineal Selectividad CCSS 2011

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Álgebra lineal
Selectividad CCSS 2011
1. [ANDA] [JUN-A] Sean las matrices A = 2 -5
1 -3
, B = 3 -1 2
0 1 1
, C = 1 2 3
-1 5 3
.
a) Calcule A2-B·Ct.
b) Resuelva la ecuación matricial A·X + B = 2·C.
2. [ANDA] [SEP-B] Sean las matrices A = 0 1 0
1 0 1
 y B = 3 -1
1 2
.
a) Efectúe si es posible, los siguientes productos: A·At ; At·A ; A·B.
b) Resuelve la siguiente ecuación matricial: A·At·X = B.
3. [ARAG] [JUN-B] Considere las matrices A = 
1 1 1
1 2 2
1 0 1
 y B = 
1 2 1
1 1 1
0 1 2
.
a) Calcule la matriz inversa de la matriz B-I3, con I3 = 
1 0 0
0 1 0
0 0 1
.
b) Calcule una matriz X tal que BX-4A = X.
4. [ARAG] [JUN-B] Considere la matriz A = 
2 -1 1
1 1 -3
1 -1 -1
.
a) Calcule el rango de la matriz A.
b) Aplicar el apartado a) para resolver el sistema lineal AX = O.
5. [ARAG] [SEP-A] Considere las matrices A = 1 2
1 1
 y B = 1 2
2 4
.
a) Calcule una matriz X tal que A2X = 1 0
0 1
.
b) Calcule una matriz X tal que A+XB = 0 0
0 -1
.
6. [ARAG] [SEP-A] Razonar la existencia de solución del sistema lineal 
x+3y+z = 6
x-2y-z = 5
2x+11y+4z = 10
.
7. [ASTU] [JUN-A] Sean las matrices A = x
y
, B = y 1
x 1
, C = m
-1
 y D = 0
0
.
a) Si A-BC = D, plantea un sistema de 2 ecuaciones y 2 incógnitas (representadas por x e y) en función del parámetro m.
b) ¿Para qué valores de m el sistema tiene solución? En caso de existir solución, ¿es siempre única? Encuentra la solución para
m = 2.
8. [ASTU] [SEP-A] Juan y Luis son dos amigos que en total tienen 10 hijos. Un tercer amigo, Javier, tiene m hijos más que Juan y m
veces los de Luis.
a) Plantea un sistema de ecuaciones (en función de m) donde las incógnitas x e y sean el número de hijos de Juan y Luis. ¿Para qué
valores de m el sistema anterior tiene solución? ¿En caso de existir solución es siempre única?
b) Si Javier tiene el doble de hijos que Luis, ¿cuántos tiene Luis?
9. [ASTU] [SEP-B] Sean las matrices A = x y
y x
, B = m 0
0 1
, C = 0 2
3 0
, D = 1
1
 y E = 2
1
.
a) Si (A·B-C)D = E, plantea un sistema de dos ecuaciones y dos incógnitas (representadas por x e y) en función del parámetro m.
b) ¿Existe algún valor de m para el que el sistema no tenga solución? Encuentra un valor de m para el que tenga más de una
solución y calcula dos de ellas.
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10. [C-LE] [JUN-A] Resuelve el siguiente sistema matricial: 
2X+3Y = 6 28
10 17
1 1
0 1
X = -1 12
2 7
11. [C-LE] [JUN-B] Un grupo de estudiantes financia su viaje de fin de curso con la venta de participaciones de lotería, por un
importe de 1, 2 y 5 euros. Han recaudado, en total, 600 euros y han vendido el doble de participaciones de 1 euro que de 5 euros.
Si han vendido un total de 260 participaciones, calcula el número de participaciones que han vendido de cada importe.
12. [C-LE] [SEP-A] Se considera el siguiente sistema de ecuaciones: 
x-2y+z = 0
3x+2y-2z = 4
8x+8y+az = 8
.
a) Clasifica el sistema en función de sus posible soluciones para los distintos valores del parámetro a.
b) Halla todas sus lociones para a = -3.
13. [C-MA] [JUN-A] Dada la ecuación matricial I+3·X+A·X = B, se pide:
a) Resuelve matricialmente la ecuación.
b) Si A = 3 0
7 1
, calcula la matriz X que cumple A·X = I, donde I es la matriz identidad de orden 2.
14. [C-MA] [JUN-A] En una tienda figura la siguiente información: Tres pantalones cuestan lo mismo que una camisa y cuatro jerséis.
Cinco pantalones cuestan lo mismo que cinco camisas y cuatro jerséis. Un pantalón, una camisa y un jersey cuestan 85 euros. Se
pide:
a) Plantea un sistema de ecuaciones que responda a las condiciones del enunciado.
b) Determina el precio de un pantalón, de una camisa y de un jersey.
15. [C-MA] [JUN-B] Al 50% del total de los alumnos de una clase les gusta solo el fútbol, al 20% del total les gusta solo el
baloncesto y al resto, que son 6 alumos, no le gustan estos deportes. Se pide:
a) Plantea un sistema de ecuaciones que responda a las condiciones del enunciado.
b) Calcula el total de alumnos y el número de alumnos al fútnol y al baloncesto.
16. [C-MA] [SEP-A] Dada la ecuación matricial 6·X-X·A = B, se pide:
a) Resuelve matricialmente la ecuación.
b) Si A = 2 0
5 1
, calcula la matriz X que cumple A·X = I, donde I es la matriz identidad de orden 2.
17. [C-MA] [SEP-A] Si dividimos el número "xyz" entre la suma de sus cifras se obtiene 37 de cociente y de resto 0. La suma de la
cifra de las decenas y de las centenas es el doble de la cifra de las unidades. En cambio si a esa suma le restamos la cifra de las
unidades se obtiene 1. Se pide:
a) Plantea un sistema de ecuaciones que responda a las condiciones del enunciado.
b) ¿Cuáles son las cifras del número "xyz"?
18. [C-MA] [SEP-B] La asociación de Padres y Madres de un IES compra 170 pen drives a tres proveedores diferentes a 6.10, 6.20 y
6.30 euros cada pen drive. La factura total asciende a 1051 euros. Sabiendo que al segundo proveedor le compran el doble del
número de unidades que al primero, se pide:
a) Plantea un sistema de ecuaciones que responda a las condiciones del enunciado.
b) Determina el número de unidades compradas a cada proveedor.
19. [CANA] [JUN-A] El costo de los tres objetos A, B y C el 150% del costo conjunto de A y B y el doble del costo conjunto de A y B.
Si C cuesta el doble que A:
a) Plantear el correspondiente sistema de ecuaciones.
b) ¿Cuánto cuesta cada objeto?
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20. [CANA] [SEP-A] La tarifa de un anuncio por palabras depende de la zona (A, B o C) en que se coloque en un determinado
periódico. La suma de las tarifas de B y C es el triple que la tarifa de A. Si se ponen 10 anuncios en cada tarifa, el precio total es
de 840 euros, pero si se ponen diez en la zona A y 20 en la zona B, el precio total es de 600 euros.
a) Plantear el correspondiente sistema.
b) ¿Cuánto vale un anuncio en cada una de las zonas?
21. [CATA] [JUN] Considere que la matriz A = -1 2 2
2 1 -1
.
a) Una matriz B, cuya primera fila es 1 0 tiene dos columnas y cumple que A·B = 5 -2
3 -5
. Complétela.
b) Haga los cálculos pertinentes para comprobar que (A·B)t = Bt·At.
22. [CATA] [JUN] Una empresa compra tres inmuebles por un valor total de 2 millones de euros. Al venderlos, espera tener unas
ganacias del 20%, del 50% y del 25%, repectivamente, que le reportarán unos beneficios totales de 600000 euros. Si embargo,
en el momento de ponerlos a la venta, consigue unas ganancias del 80%, del 90% y del 85%, repectivamente, lo que reporta unos
beneficios totales de 1,7 millones de euros. ¿Cuánto había pagado por cada inmueble?
23. [EXTR] [JUN-B] Sean las matrices A = -1 -3
-2 2
 y B = 2 1
1 -1
. Hallar la matriz X que sea solución de la ecuación matricial
A·X+B·X = I, siendo I la matriz identidad de orden 2. Justificar la respuesta.
24. [EXTR] [SEP-B] Resolver la ecuación matricial A·XA-1 = B, siendo A = 1 0
2 -1
 y B = -1 1
-4 3
.
25. [MADR] [JUN-A] Se considera el sistema lineal de ecuaciones dependiente del parámetro real a: 
ax+y+z = a
ay+z = 1
ax+y+az = a
a) Discútase el sistema según los diferentes valores de a.
b) Resuélvase el sistema en el caso en que tenga infinitas soluciones.
c) Resuélvase el sistema para a = 3.
26. [MADR] [JUN-B] Se consideran las matrices A = 
-1 0 1
3 k 0
-k 1 4
 ; B = 
3 1
0 3
2 0
.
a) Calcúlense los valores de k para los cuales la matriz A no es invertible.
b) Para k = 0, calcúlese la matriz inversa A-1.
c) Para k = 0, resuélvase la ecuación matricial AX = B.
27. [MADR] [SEP-B] Se consideran las matricas A = 0 0
1 1
 ; B = 1 a
1 b
 ; I = 1 0
0 1
 ; O = 0 0
0 0
.
a) Calcúlense a, b para que se verifique la igualdad AB = BA.
b) Calcúlense c, d para que se verifique la igualdad A2+cA+dI = O.
c) Calcúlense todas las soluciones del sistema lineal (A-I) x
y
 = 0
0
.
28. [MURC] [JUN-A] Discutir el siguiente sistemaen función del parámetro  y resolverlo para  = 1: 
x+y+z = 1
x+2y = 
2x+y+4z = -1
.
29. [MURC] [SEP-A] Tres familias han comprado naranjas, manzanas y melocotones. La familia A ha comprado 1 kg de cada fruta y ha
pagado 10 euros. La familia B ha pagado 24 euros por 2 kg de naranjas y 4 kg de melocotones, y la familia C se ha llevado 3 kg de
menzanas y 3 kg de melocotones y ha pagado 24 euros. Calcular el precio de 1 kg de cada una de las frutas.
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30. [RIOJ] [JUN] Calcula las soluciones del sistema x+y+z = 2
x+y-z = 2
.
Si se añade la ecuación x = 3, ¿tiene solución el nuevo sistema?
31. [RIOJ] [JUN] Consideramos la ecuación 2x+4y = 4. Añade otra ecuación de forma que el sistema resultante (dos ecuaciones y
dos incógnitas) sea compatible determinado, siendo su única solución y = 0, x = 2.
32. [RIOJ] [SEP] Encuentra un número real a que haga que el siguiente sistema con dos ecuaciones sea incompatible: x+ay = 1
ax+y = 1
.
33. [RIOJ] [SEP] Dada la matriz A = 1 -1
1 0
, resuelve la ecuación matricial AX = 3(A+I), donde I representa la matriz identidad de
orden 2.
34. [RIOJ] [SEP] a) La entrada normal a un museo cuesta 1 euro, pero se hace un descuento del 30% a los jóvenes y del 50% a los
jubilados. De una jornada se tienen los siguientes datos: se vendieron 200 entradas, se obtuvo una recaudación de 154 euros y
solo la mitad de las entradas vendidas tenían algún tipo de descuento. Plantea el correspondiente sistema de ecuaciones y calcula
el número de visitantes que pagó cada una de las tres tarifas posibles.
b) Si añadimos a todo lo anterior: "se sabe que fueron la cuarta parte de jóvenes que de jubilados", ¿hay solución?
35. [VALE] [JUN-A] Un comerciante vende tres tipos de relojes, A, B y C. Los del tipo A los vende a 200 euros. Los del tipo B a 500
euros y lso del tipo C a 250 euros. En un mes determinado vendió 200 relojes en total. Si la cantidad de los que vendió ese mes de
tipo B fue igual a los que vendió de tipo A y tipo C conjuntamente, calcula cuántos vendió de cada tipo si la recaudación de ese
mes fue de 73500 euros.
36. [VALE] [JUN-B] Dadas las matrices A = 1 -2
-1 4
, B = 1 0
-2 -1
 y C = 3 1
2 -1
a) Calcula la matriz inversa de la matriz C.
b) Obtén la matriz X que verifica AX + Bt = C, siendo Bt la matriz traspuesta de B.
37. [VALE] [SEP-B] Sean las matrices: A = 3 1
2 4
, B = -1 2
0 1
, C = 2 -1
1 -2
 y D = 8 8
8 3
.
a) Calcula AB+3C.
b) Determina la matriz X que verifica que AX+I = D, donde I es la matriz identidad.
 Soluciones
1. a) -8 7
-6 -4
 b) 7 -30 -13
3 -13 -6
 2. a) AAt = 1 0
0 2
; AtA = 
1 0 1
0 1 0
1 0 1
 b) 1
2
6 -2
1 2
 3. a) 
1 1 -2
1 0 -1
-1 0 2
 b) 
0 12 4
0 4 0
0 -4 0
 4. a) 3 b) O 5. a) 3 -4
-2 3
 b) -2b-1 b
-2d-1 d
, b,d 6.
inc. 7. a) x-my = -1
-mx+y = -1
 b) m=1:inc; m=-1:c.i; m{-1,1}: c.d.; m=2: (1,1) 8. a) x+y = 10
x-my = -m
; m=-1: inc; m-1: c.d. b) 4 9. a) mx+y = 4
x+my = 4
 b) -1; 1 (4-k,k) 10. -3 5
2 7
, 4 6
2 1
11. 160, 20, 80 12. a) a = -7: inc; a  -7: c.d. b) 3
4
,-1
8
,-1 13. a) (3I+A)-1(B-I) b) 1
3
1 0
-7 3
 14. a) 
3x-y-4z = 0
5x-5y-4z = 0
x+y+z = 85
 b) 40, 20, 25 15. a) 
x-y-z = 0
x-4y+z = 0
z = 6
 b) 10, 4 16.
a) B(6I-A)-1 b) 1
2
1 0
-5 2
 17. a) 
63x-27y-36z = 0
x+y-2z = 0
x+y-z = 1
 b) 111 18. 
x+y+z = 170
61x+62y+63z = 10510
2x-y = 0
 50, 100, 20 19. a) 
x+y-2z = 0
x-y+z = 0
2x-z = 0
 b) (k,3k,2k) (k>0) 20. a) 
3x-y-z = 0
x+y+z = 84
x+2y = 60
 b)
21, 19'50, 43'50 21. a) 
1 0
2 -3
1 2
 22. 0'5, 0'5 y 1 (en millones) 23. -1 -2
-1 -1
 24. 1 -1
0 1
 25. a) a = 0: inc; a = 1:c.i; a[0,1}:c.d. b) (0,1-k,k) c) 8
9
, 1
3
,0 26. a) 1, 3 b)
1
3
0 1 0
-12 -4 3
3 1 0
 c) 
0 1
-10 -8
3 2
 27. a) 0, 2 b) -1, 0 c) 0
k
 28.  = 2: inc;   2: c.d;  = 1: (7,-3,-3) 29. 2, 3, 5 30. (2,k,k); no 32. -1 33. 3 3
-3 6
 34. 100, 20, 80; si
35. 30, 100, 70 36. a) 1
5
1 1
2 -3
 b) 1
2
12 12
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