Álgebra lineal Selectividad CCSS 2003

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Álgebra lineal
Selectividad CCSS 2003
1. [ANDA] [JUN-B] Sean las matrices M= 1 2
3 4
 y N = 4 3
2 1
.
a) Calcule la matriz A = M·Mt - 5M (Mt indica la traspuesta de M).
b) Calcule la matriz B = M-1 y resuelva la ecuación N+X·M = M·B, donde X es una matriz 2x2.
2. [ANDA] [SEP-A] Sea la matriz A = 2 x
0 x+2
.
a) Halle los valores de X para los que se verifica A2 = 2A.
b) Para x = -1 halle A-1. Compruebe el resultado calculando A·A-1.
3. [ARAG] [JUN-B] Se considera la matriz A = 
1 2 3
1 3 3
2 5 a
, siendo a un parámetro real.
a) Calcular el rango de a según los valores del parámetro a.
b) Discutir si existe solución del sistema A
x
y
z
 = 
0
0
0
 según los valores de a. En caso afirmativo, resolverlo.
c) Para a = 6, discutir si existe solución del sistema A
x
y
z
 = 
0
1
0
.
4. [ARAG] [SEP-B] Una empresa de juguetes fabrica bicicletas, triciclos y coches. Se sabe que va a necesitar 945 ruedas, quedesea
fabricar 280 juguetes en total y que se fabricarán 10 bicicletas menos que triciclos.
a) Plantear un sistema de ecuaciones lineales para determinar el número de juguetes de cada tipo que va a fabricar.
b) Resolver el sistema anterior por el método de Gauss.
c) ¿Cuál es la relación entre el número de bicicletas y el de coches que se van a fabricar si no se considera la última condición?
5. [ASTU] [JUN] La matriz de los coeficientes de un sistema es 
1 2 1
1 a a
1 4a 1
 y la de los términos independientes 
1
1
2a
.
a) ¿Para qué valor o valores de a el sistema no tiene solución?
b) Para cierto valor de a un individuo encontró 2 soluciones del sistema. ¿Cuánto valía a? ¿Tenía más soluciones el sistema?
c) Encuentra un valor de a para el que el sistema tenga una única solución y, para dicho valor, resuélvelo.
6. [C-LE] [JUN-A] Encuentra, si existen, matrices cuadradas A, de orden 2, distintas de la matriz identidad tales que
A 1 0
1 1
 = 1 0
1 1
A.
7. [C-LE] [SEP-B] Sean las matrices A = 
x 1
2x -1
-x 1
, B = 1
y
, C = 
z
2z
-z
, D = 
1
0
1/3
, donde x, y, z son desconocidos.
a) Calcula las matrices (AB)+C y 3D.
b) Sabiendo que (AB)+C = 3D, plantea el sistema de ecuaciones para encontrar x, y, z.
c) Estudia el sistema anterior. ¿Cuántas soluciones tiene? Encuentra una si es posible.
8. [C-MA] [JUN] Dadas las matrices A = 
2 0 -1
0 2 1
1 1 1
, B = 
2 1
0 1
0 2
 y C = 
0 0
1 0
0 0
:
a) Halla la matriz inversa de A.
b) Resuelve la ecuación matricial A·X - C = B.
c) Calcula la matriz X.
9. [C-MA] [JUN] Un grupo de 30 alumnos de 2º de Bachillerato realiza una votacion a fin de determinar el destino de la excursión
fin de curso, entre los siguientes lugares: Baleares, Canarias y París. El número de los que prefieren Baleares triplica al de los que
prefieren París. El 40% de los que prefieren Canarias coincide con la quinta parte de la suma de los que prefieren los otros dos
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lugares. Halla el número de votos que obtuvo cada destino.
10. [C-MA] [SEP] Dadas las matrices A = 
1 0 1
0 1 0
-1 -1 2
 y B = 
-1 -1 2
-3 -3 3
4 5 -5
a) Halla la matriz inversa de A.
b) Resuelve la ecuación matricial X·A = A+B.
c) Calcula la matriz X.
11. [C-MA] [SEP] Tres amigos, A, B y C, deciden hacer un fondo común con el dinero que tienen para hacer una compra de golosinas.
La razón entre la suma y la diferencia de las cantidades de dinero que tienen A y B es 11/5. Dividiendo la cantidad de dinero que
tiene A entre la cantidad de dinero que tiene B se obtiene de cociente 2 y de resto la cantidad de dinero que tiene C. Halla la
cantidad de dinero que tiene cada uno sabiendo, además, que el doble de la suma de las que tienen B y C excede en 2 euros a la
que tiene A.
12. [CANA] [JUN-A] Durante una hora, una agencia de viajes vende un total de 30 billetes de avión con destino a las islas de La
Palma, Gran Canaria y Lanzarote. Sabiendo que los billetes para Gran Canaria representan el doble de los emitidos para las otras
dos islas y que los correspondientes a Lanzarote son la mitad de los emitidos para La Palma más cuatro:
a) Plantear el correspondiente sistema de ecuaciones.
b) Determinar el número de billetes para cada una de las tres islas.
13. [CANA] [SEP-A] Se tienen que empaquetar 1500 unidades de un artículo en cajas de 5, 10 y 25 unidades, de manera que haya el
triple de cajas de 5 unidades que de 10 unidades y que el número total de cajas sea igual a 90. ¿Cuántas cajas tiene que haber de
cada tipoo?
14. [CATA] [SEP] Considere un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas y con coeficientes reales. ¿Es posible que el
sistema tenga exactamente dos soluciones? ¿Y exactamente tres soluciones? Justifique las respuestas.
15. [EXTR] [JUN-A] Dadas las matrices A = 
0 -1 0
1 0 -1
1 1 0
 y B = 
1 0 1
0 -1 1
-1 3 0
, determinar la matriz X = A-1·Bt 2, donde A-1 es la matriz
inversa de A y Bt es la matriz traspuesta de B. Justificar la respuesta.
16. [EXTR] [SEP-A] Determinar la matriz X que verifica la ecuación Bt - A·X = A, donde A = 
1 0 -1
0 -1 0
1 1 0
, B = 
2 1 0
0 1 1
1 3 1
 y Bt es la matriz
traspuesta de B. Justificar la respuesta.
17. [MADR] [JUN-A] Estudiar y resolver el siguiente sistema lineal de ecuaciones: 
x+2y+z = 0
-x-y = 1
-y-z = -1
.
18. [MADR] [SEP-A] Calcular los valores de a para los cuales la inversa de la matriz A = 1
5
a 4
-4 a
 coincide con su traspuesta.
19. [MURC] [JUN] En un estudio de mercado, se eligen tres productos, A, B y C y cuatro tiendas. En la primera, por una unidad de
cada producto cobran, en total, 4.25 euros. En la segunda, 2 unidades de A y 3 de C valen 8.25 euros más que una unidad de B. En
la tercera, una unidad de A y 2 de C valen 4 euros más que 2 unidades de B y, en la cuarta, una unidad de B vale 1.25 euros menos
que una de C. ¿Tienen A, B y C el mismo precio en las cuatro tiendas o no? Si la respuesta es no, justifique por qué y si la
respuesta es sé, diga cuál es ese precio.
20. [MURC] [SEP] Pedro se ha comprado en las rebajas, por 142 euros, un suéter, unos pantalones y unos zapatos. El suéter estaba
rebajado un 20%, los pantalones un 15% y los zapatos un 50%, respecto a sus precios originales. Antes de las rebajas, los
pantalones valían un 20% más que el suéter y con la rebaja los pantalones y los zapatos le han costado lo mismo. Calcule losprecios
originales de las tres cosas.
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21. [RIOJ] [JUN] Sea la matriz 2x2: A = 1 a
2 4
. Calcula el valor de a sabiendo que no existe la matriz inversa de A.
22. [RIOJ] [JUN] Escribe un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas que sea incompatible.
23. [RIOJ] [SEP] Sea la matriz 1x3: A = 1 2 a . Calcula el valor de A sabiendo que AAT = 5 .
24. [RIOJ] [SEP] En un taller de confección se han gastado un total de 300 euros en telas de 3 precios: 6 euros/metro, 9
euros/metro y 12 euros/metro. En total se han comprado 32 metros, y del precio mediano se ha comprado un metro más que del
precio más barato. Calcula cuántos metros se han comprado de cada precio.
25. [VALE] [JUN-A] Dada la siguiente ecuación matricial 
3 -2
-2 1
0 1
x
y
+
x
y
z
 = 
-10
6
3
, obtener de forma razonada los valores de x, y, z.
26. [VALE] [JUN-B] Cinco amigos suelen tomar café juntos. El primer día tomaron 2 cafés, 2 cortados y un café con leche y debieron
pagar 3 €. Al día siguiente tomaron un café, un cortado y tres cafés con leche, por lo que pagaron 3'25 €. El tercer día sólo
acudieron cuatro de ellos y tomaron un café, dos cortados y un café con leche, ascendiendo la cuenta a 2'45 €. Calcular de forma
razonada el precio del café, del cortado y del café con leche.
27. [VALE] [SEP-A] El precio de los billetes de una línea de autobús se obtiene sumando dos cantidades, una fija y otra proporcionala
los kilómetros recorridos. Por un billete entre las poblaciones A y B se ha pagado 20 € y por un billete entre laspoblaciones A yC
se ha pagado 32 €. Si la distancia de A a C es el doble de la distancia de A a B, calcular de forma razonada cuánto se tendráque
pagar por un billete a una población que dista de A la mitad que B.
 Soluciones
1. a) 0 1
-4 5
 b) 
3
2
-3
2
4 -2
 2. a) 0 b) 
1
2
1
2
0 1
 3. a) a=6: 2; a6: 3 b) a=6: (-3k,0,k); a6: (0,0,0) c) inc. 4. a) 
2x+3y+4z = 945
x+y+z = 280
x-y = -10
 b) 55, 65, 160 c) 105 coches más que
bicicletas 5. a) 1 b) 1
2
; c.i. c) a 1, 1
2
 6. a 0
c a
 (a1 o c0) 7. a) 
x+y+z
2x-y+2z
-x+y-z
, 
3
0
1
 b) 
x+y+z = 3
2x-y+2z = 0
-x+y-z = 1
 c) c.i. (1-k,2,k) 8. a) 1
4
1 -1 2
1 3 -2
-2 -2 4
 b) A-1(B+C) c) 1
4
1 4
5 0
-6 4
9. 15, 10, 5 10. a) 1
3
2 -1 -1
0 3 0
1 1 1
 b) (A+B)A-1 c) 
1 0 1
-1 0 2
1 2 -2
 11. 8, 3, 2 12. a) 
x+y+z = 30
2x-y+2z = 0
-x+2z = 8
 b) 4, 20, 6 13. 30, 10, 50 14. no; no 15. 
1 0 3
0 1 -3
-6 -6 16
 16.
0 2 4
-1 -2 -3
-1 2 2
 17. c.i. (k-2,1-k,k) 18. 3 19. 1'50, 0'75, 2 20. 50, 60, 102 21. 2 23. 0 24. 9, 10, 13 25. -2, 1, 2 26. 0'55, 0'60, 0'70 27. 12
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