Álgebra lineal Selectividad CCSS 2005

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Álgebra lineal
Selectividad CCSS 2005
1. [ANDA] [JUN-A] Sean las matrices A = -2 -1 1
-1 0 1
 y B = 
1 -1
2 0
-2 1
.
a) Calcule la matriz C = B·A - AtBt.
b) Halle la matriz X que verifique A·B·X = 4
2
.
2. [ANDA] [SEP-A] Sean las matrices A = 1 3
0 1
 y B = 2 -1
0 x
.
a) Determine le valor de x en la matriz B para que se verifique la igualdad: A·B = B·A.
b) Obtenga la matriz C tal que At·C = I2.
3. [ARAG] [JUN-A] En un taller de joyería se fabrican collares de 50, 75 y 85 perlas y para ello se utilizan en su totalidad 17500
perlas y 240 cierres.
a) Cuántos collares de cada tamaño se han de fabricar si se desean tantos collares de tamaño mediano como la media aritmética
del número de collares grands y pequeños?
b) Sin tener en cuenta la condición del apartado anterior, ¿es posible fabricar el mismo número de collares de cada tamaño?
4. [ARAG] [SEP-B] a) Mediante cálculo matricial, discuta y resuelva el sistema: 
2x-y+z = -3
2x+3y-z = 1
2x+7y-3z = 5
.
b) Calcule la matriz X solución de la ecuación 2X+ 1 5
-3 2
2
= -1 4
4 1
.
5. [ASTU] [JUN] Sean las matrices A = x y
0 y
, B = a
1
, C = y
ay
, D = 6-ay
1-a
.
a) Si AB-C = D, plantea un sistema de 2 ecuaciones y 2 incógnitas (representadas por x,y) en función de a.
b) ¿Para qué valores de a el sistema tiene solución? ¿Cuándo es única? Encuentra una solución para a = 1 con y  1.
6. [ASTU] [SEP] Sean las matrices A = x 1
-y 0
, B = m 0
-m 1
, C = 1
2
, D = 2
3-2y
, E = 3 2 .
a) Calcula los productos AB, EA, CE.
b) Si (AB)C = D, plantea un sistema de 2 ecuaciones y 2 incógnitas (representadas por x,y) en función de m. ¿Para qué valores de
m el sistema tiene solución? ¿Es siempre única?
7. [C-LE] [JUN-A] Sea A = 0 1
-1 0
.
a) Calcula A2 y expresa el resultado en función de la matriz identidad.
b) Utiliza la relación hallada con la matriz identidad para calcular A2005.
8. [C-LE] [SEP-A] Calcula dos matrices cuadradas A y B sabiendo que 2A+3B = -4 5
-2 -1
 y que A-B = 3 0
-1 2
.
9. [C-LE] [SEP-B] Se considera la función f(x) = 3x
2+24
x+1
.
a) Calcula los máximos y mínimos de f(x).
b) Estudia el crecimiento y decrecimiento de la función en el intervalo (0,5).
10. [C-MA] [JUN] a) Despeja la matriz X en la ecuación: A·X - A = I - A·X.
b) Halla la matriz X sabiendo que A = 
1 1 0
0 1 2
1 0 1
 e I = 
1 0 0
0 1 0
0 0 1
.
11. [C-MA] [JUN] Un video-club está especializado en películas de tres tipos: Infantiles, Oeste americano y Terror. Se sabe que: (a)
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El 60% de las películas Infantiles más el 50% de las del Oeste representan el 30% del total de las películas. (b) El 20% de las
infantiles más el 60% de las del Oeste más el 60% de las de terror representan la mitad del total de películas. (c) Hay 100
películas más del Oeste que de Infantiles. Halla el número de películas de cada tipo.
12. [C-MA] [SEP] a) Despeja la matriz X en la ecuación: A·X + A-1·X = I siendo A-1 la matriz inversa de A.
b) Halla la matriz X sabiendo que A = 
1 0 1
0 1 1
0 1 0
 e I = 
1 0 0
0 1 0
0 0 1
.
13. [C-MA] [SEP] Los 30 alumnos de un grupo de 4º de ESO cursan tres asignaturas optativas distintas: Francés, Cultura Clásica y
Energías alternativas. Si dos alumnos de Francés se hubiesen matriculado de Cultura Clásica, entonces estas dos asignaturas
tendría el mismo número de alumnos. Si dos alumnos de Cultura Clásica se hubiesen matriculado en Energías Alternativas,
entonces Energías Alternativas tendría doble número de alumnos que Cultura Clásica. Halla el número de alumnos matriculado en
cada asignatura.
14. [CANA] [JUN-A] La edad, en años, de Juan es el doble que la suma de las edades de sus dos hijos: Pedro y Luis. A suvez, Pedro es
3 años mayor que Luis. Si dentro de 10 años la edad del padre sobrepasa en 11 años a la suma de las edades de los hijos:
a) Plantear el correspondiente sistema de ecuaciones.
b) Determinar la edad de cada uno de ellos.
15. [CANA] [SEP-A] En una competición escolar participan 1500 niños de tres categorías: alevines, infantiles y juveniles. Se sabe que
los juveniles son el doble de los alevines y que, sumados los alevines e infantiles, hay 100 menos que juveniles. ¿Cuántos hay de
cada categoría?
16. [CATA] [JUN] Resuelva el siguiente sistema de ecuaciones: 
x+y+z = 1
2x+3y-4z = 9
x-y+z = -1
17. [CATA] [JUN] Una marca comercial utiliza tres ingredientes A, B y C en la elaboración de tres tipos de pizzas P1, P2 y P3. La
pizza P1 se elabora con 1 unidad de A, 2 de B y 2 de C; la P2 se elabora con 2 unidades de A, 1 de B y 1 de C, y la P3 se elabora con
2 unidades de A, 1 de B y 2 de C. El precio de venta al público es de 4,80 € para P1, 4,10 € para P2 y 4,90 € para P3. Sabiendo que
el margen comercial (beneficio) es de 1,60 € en cada una de ellas, halle cuánto cuesta cada unidad de A, B y C a la mencionada
marca comercial.
18. [CATA] [SEP] Un almacén de ruedas de vehículos de diferentes tipos tiene el stock de componentes (en centenares de unidades)
dado por la siguiente tabla:
Neumáticos Tapacubos Llantas
Utilitarios 3,1 0,3 2,1
Berlinas 1,6 1,1 0,6
Todo terrenos 0,9 0 0,2
La cantidad de kilos de materia prima necesaria para cada componente es:
Acero Caucho
Neumáticos 0,1 4,6
Tapacubos 1 0,05
Llantas 5 0
a) Calcule el total de acero acumulado en el almacén.
b) Calcule el total de caucho acumulado en el almacén.
19. [CATA] [SEP] Sean las matrices A = 1 0
-1 0
, B = 0 1
1 -1
 y C = -1 -1
1 1
. Halle la matriz X = A·(B–C).
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20. [EXTR] [JUN-B] Dada la matriz A = 
1 2 -1
0 3 3
m 1 -2
, se pide:
a) ¿Para qué valor o valores de m no existe la matriz inversa de A?
b) Determinar la matriz inversa de A cuando m = 2.
Justificar las respuestas.
21. [EXTR] [SEP-B] Dadas las matrices A = -2 -1
1 1
, B = 1 0
2 -3
 y C = 5 2
3 1
, determinar la matriz X que verifica la ecuación A·X = B·C.
Justificar la respuesta.
22. [MADR] [JUN-A] Se considera el siguiente sistema lineal de ecuaciones, dependiente del parámetro real k: 
2x-3y+z = 0
x-ky-3z = 0
5x+2y-z = 0
. Se
pide:
a) Discutir el sistema para los distintos valores de k.
b) Resolver el sistema en los casos en los que sea posible.
23. [MADR] [SEP-B] Se considera el siguiente sistema lineal de ecuaciones que depende del parámetro real p: 
x+y+z = 0
-x+2y+pz = -3
x-2y-z = p
.
a) Discutir el sistema según los distintos valores de p.
b) Resolver el sistema para p = 2.
24. [MURC] [JUN] Estudiar para qué valores de k es compatible el sistema siguiente: 
2x - y = 4
-x + 1
2
y = -2
x + ky = 2
.
Resolverlo para los valores de k que lo hacen compatible indeterminado.
25. [MURC] [SEP] Tres jugadores convienen que el que pierda una partida doblará el dinero que en ese momento tengan los otros dos.
Después de haber perdido todos ellos una partida, cada jugador se retira con veinte euros. ¿Cuánto dinero tenían al principio del
juego?
26. [RIOJ] [JUN] ¿Es posible que una matriz de tamaño 3x2 coincida con su traspuesta? ¿Y con su inversa?
27. [RIOJ] [JUN] Tres hermanos queiren reunir 26 euros para comprar un regalo a sus padres. Después de una larga discusión han
decidido que el mediano debe poner el doble que el pequeño y el mayor debe poner dos terceras partes de lo que ponga el
mediano. ¿Cuánto debe poner cada uno?
28. [RIOJ] [SEP] Supongamos que A es una matriz 2x3 y B es una matriz 3x2. ¿Tiene sentido escribir (AB)-1 = B-1A-1?
29. [RIOJ] [SEP] En los tres cursos de una diplomatura hay matriculados un total de 350 alumnos. El número de matriculados en
primer curso coincide con los de segundo más el doble de los de tercero. Los alumnos matriculados en segundo más el doble de los
de primero superan en 250 al quíntuplo de los de tercero. Calcula el número de los alumnos que hay matriculados en cada curso.
30. [VALE] [JUN-A] Elena, Pedro y Juan colocan diariamentehojas de propaganda sobre los parabrisas de los coches aparcados en la
calle. Pedro reparte siempre el 20% del total de la propaganda, Juan reparte 100 hojas más que Elena y entre Pedro y Elena
colocan 850 hojas en los parabrisas. Plantear un sistema de ecuaciones que permita averiguar cuántas hojas reparten,
respectivamente, Elena, Pedro y Juan y calcular estos valores.
31. [VALE] [JUN-B] Sea 
2 2 1
2 3 1
2 5 1
 la matriz de los coeficientes de un sistema de ecuaciones lineales y 
1
1
1
 la matriz de sus términos
independientes. Se pide:
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a) Escribir las tres ecuaciones que forman el sistema.
b) Obtener todas las soluciones del sistema.
32. [VALE] [SEP-A] Dos hermanos deciden invertir 10000 € cada uno en distintos productos financieros. El mayor invirtió una
cantidad A en un producto que ha proporcionado un beneficio del 6%, una cantidad B en otro que ha dado una rentabilidad del 5%
y el resto en un plazo fijo al 2% de interés. El hermano menor invirtió esas mismas cantidades en otros productos que le han
proporcionado, respectivamente, unos beneficios del 4, 3 y 7 %. Determinar las cantidades A, B y C invertidas si las ganancias del
hermano mayor han sido 415 € y las del pequeño 460 €.
33. [VALE] [SEP-B] Calcular la matriz X = a b
0 c
 que verifica la ecuación matricial AXB = C, siendo: A = 1 0
1 1
; B = 1 2
-1 -3
 y
C = -1 -2
-3 -8
.
 Soluciones
1. a) 
0 3 -3
-3 0 0
-3 0 0
 b) 
-2
3
0
 2. a) 2 b) 1 0
-3 1
 3. a) 60, 80, 100 b) no 4. a) c.i. -k-4
4
,k+2
2
,k b) 1
2
13 -11
13 12
 5. a) ax+ay = 6
(1-a)y = 1-a
 b) a=0: inc; a=1: c.i. (6-k,k), k1;
a{0,1}: c.d. 6. a) mx-m 1
-my 0
, 2x-2y 3 , 3 2
6 4
 b) m=2: inc; m=0: c.i; m{0,2}: c.d. 7. a) -I b) A 8. 1 1
-1 1
, -2 1
0 -1
 9. a) max: -4; min: 2 b) crec: (2,5) 10.
1
2
A-1(A+I); 1
6
4 -1 2
2 4 -2
-1 1 4
 11. 500, 600, 900 12. A+A-1 -1; 1
10
5 -3 4
0 2 4
0 4 -2
 13. 12, 8, 10 14. a) 
x-2y-2z = 0
y-z = 3
x-y-z = 21
 b) 42, 12, 9 15. 400, 300, 800 16. 1, 1, -1 17.
0'60, 0'50, 0'80 18. 1646; 2583 19. 1 2
-1 -2
 20. 1; 1
3
-3 1 3
2 0 -1
-2 1 1
 21. -6 -3
7 4
 22. a) k = -8: c.i; k  -8: c.d. b) k=-8: (m,7m,19m); k-8: (0,0,0) 23. a) p = 1: inc; p 
1: c.d. b) (1,0,-1) 24. k=-1
2
: c.i. (2m-4,m); k-1
2
 c.d. 25. 32'50, 17'50, 10 26. no, no 27. 6, 12, 8 28. no 29. 200, 100, 50 30. 550, 300, 650 31. 
2x+2y+z = 1
2x+3y+z = 1
2x+5y+z = 1
 ;
1-k
2
,0,k 32. 2000, 4500, 3500 33. -1 0
0 2
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